新题速递（1）—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2025七下·台州期中）小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点，表示两脚的后脚跟，，分别在长方形踏板的边缘线上．若与均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
2．（2025七下·杭州期中）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．四钱纹样式 B．梅花纹样式
C．拟日纹样式 D．海棠纹样式
3．（浙江省宁波市北仑区精准联盟2024-2025学年七年级下学期期中质量调研数学试卷）如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移4cm，得到直角三角形DEF．已知，，则有下列说法：①CH；②；③；④图中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．①②③④ D．①③④
4．（2025七下·滨江期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=47°，则∠2-∠1为（ ）
A．8° B．10° C．12° D．14°
5．（2025七下·杭州期中）如图，在三角形ABC中，，把三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·瑞安期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为288米，拉索PA，PB长度都为480米。为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（ ）米。
A．280 B．288 C．420 D．500
7．（2025七下·余姚期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
8．（2024七下·柯桥月考）如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七下·温州期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，CF，BG交于点A，FG//DE//BC，∠FAG=40°，AC平分∠BAD，若设∠ADE=x°，∠G=y°，则x和y之间的关系是（ ）.
A．x+2y=180 B．x-2y=60 C．x-y=80 D．x+y=150
10．（2025七下·杭州期中）如图，已知，，点E在上，点G，F在上，点H在之间，连接，，，．平分交于点K，，平分，平分，，交于点M，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025七下·慈溪期中） 在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合.将三角尺PCD绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时停止运动，则当运动时间T= 秒时，两块三角尺有一组边平行.
12．（2025七下·南湖期中）将一副直角三角尺按如图①所示放置，现将含角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图②，当时，.那么其他所有能够符合条件的的度数为 ．
13．（2025七下·温州期中）如图1，在长方形纸条ABCD中，，点E，F分别为线段BC，AD上一点，将线段AB沿AE折叠，点的对应点落在纸条外侧；如图2所示，将线段CD沿EF进行第二次折叠；点的对应点落在纸条外侧，设，若，则的度数为 .（用含的代数式表示）。
14．（2025七下·瑞安期中）如图，将一条长方形纸条折出一个“3”，。设为度，为度，则的度数为 度。（用含x，y的代数式表示）
15．（2025七下·杭州期中）如图，分别为直线上两点，且射线绕点以3度/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以12度/秒的速度逆时针旋转至射线后立即以8度/秒的速度顺时针返回．当与重合时，两条射线都停止运动，设旋转时间为（秒），当时，的值为 秒．
16．（浙江省宁波市北仑区精准联盟2024-2025学年七年级下学期期中质量调研数学试卷）将两副三角板ABC、DEF按如图1方式摆放，其中，分别在直线GH、MN上，直线．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点以每秒的速度顺时针旋转（如图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为秒，且，则经过 秒边BC与三角板DEF的一条直角边平行．
三、解答题
17．（浙江省宁波市北仑区精准联盟2024-2025学年七年级下学期期中质量调研数学试卷）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，三角形ABC经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点。根据下列条件，利用无刻度的直尺画图并解答下列问题．
（1）画出三角形；
（2）连接，那么与的数量关系是 ▲ ，位置关系是 ▲ ，线段AC扫过的图形的面积为 ▲ ；
（3）在AB的右下侧确定格点，使三角形ABQ的面积和三角形ABC的面积相等，这样的点有 ▲ 个．
18．（2025七下·南湖期中）如图1，在三角形ABC中，，直线与边AC，AB分别交于D，E两点，直线与边BC，AC分别交于F，G两点，且.
（1）若，求的度数；
（2）如图2，为边AB上一点，连结PF，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，延长AB交直线于点，在射线DC上有一动点，连结PE，PQ，请直接写出的数量关系（用含的式子表示）.
19．（2025七下·杭州期中）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接．
（1）如图1，若点在线段上，，，求的度数．
（2）如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．
（3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）．
20．（浙江省宁波市北仑区精准联盟2024-2025学年七年级下学期期中质量调研数学试卷）已知，点在AB上方，连接BC、CD
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，过点作交ED的延长线于点，写出和之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线FG交CD于点，连接GB并延长至点，若BH平分，求的值．
21．（2025七下·杭州期中）综合与实践数学社团的同学以＂两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角板EFG（）”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线AB和CD之间.
（1）观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若，则的度数为 ；（直接写出结论，不说明理由）
（2）类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点放在CD上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为，求的度数；
（3）解决问题：把三角板的锐角顶点放在CD上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线GF与AB相交所夹锐角的度数.
22．（2025七下·杭州、台州期中）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，∠ECD＝∠DEC＝45°）按图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN.
（1）求∠DEQ的度数.
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为t(s)(0≤t≤60).
①在旋转过程中，若边BF∥CD，求t的值；
②如图③，若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）.请求出当边BF∥HK时t的值.
23．（2025七下·柯城期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，．如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向/秒旋转，在36秒后停止运动．
（1）当时间秒时，试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）在旋转过程中，试探究与之间的关系；
（3）当三角板的一边与三角形的某一边平行（不共线）时，求出时间的所有值．
24．（2025七下·义乌期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要想知道他此次跳远成绩，只需测量线段的长度．
故答案为：A．
【分析】根据垂线段最短并结合图形即可求解．
2．【答案】A
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、此选项中的窗棂图案可以看作由一个“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
B、此选项中的窗棂图案可以看作由一个“基本图案”经过旋转或轴对称变换得到，不能由一个“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
C、此选项中的窗棂图案可以看作由一个“基本图案”经过旋转变换得到，不能由一个“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
D、此选项中的窗棂图案可以看作由一个“基本图案”经过旋转或轴对称变换得到，不能由一个“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】平移只改变图形位置，不改变其大小，形状和方向，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解： ①由条件可知∠ACB=∠F，
∴CH∥DF；
故①正确；
②同理可得DE∥AB，
∴∠DHA=∠A，
∵∠A与∠ACB不一定相等，
∴∠DHA=∠F不一定成立；
故②不正确；
③∵将直角三角形ABC沿BC方向平移4cm，得到直角三角形DEF，
∴DE=AB=8cm，
∴HE=8-3=5cm；
故③正确；
④平移前后三角形的面积不变，
则，
，
∴，
∴S阴影=(AB+HE)×BE÷2=26，
故④正确；
故答案为：D.
【分析】 ①由平移的性质得∠ACB=∠F，即可判断；②由平行的性质得∠DHA=∠A，∠A与∠ACB不一定相等，即可判断；③由平移的性质得DE=AB=8cm，可得HE=DE-DH，即可判断；④由S阴影=SABHE，即可判断．
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=47°，
由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，
∴∠1=180°-∠DEF-∠FEG=86°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，
∴∠2-∠1=94°-86°=8°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DEF=∠EFG=47°，由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，根据平角定义求出∠1=86°，再根据二直线平行，内错角相等∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，最后求两个角的差即可.
5．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG，
∴FG=BC=9，BF=4.5，△ABC △EFG，
∴S△ABC=S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM=S△EBM+S梯形BFGM，
∴
故答案为：A.
【分析】利用平移的性质得到FG=BC=9，BF=4.5，△ABC △EFG，则S△ABC=S△EFG，所以S四边形AEMC=S梯形BFGM，然后根据梯形的面积公式计算.
6．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵PC⊥AB，PA=PB，
∴增加的拉索长度应该大于PC的长且小于PA的长，
∴288米<增加的拉索长度< 480米，
∴增加的拉索长度可以是420米，
故答案为：C.
【分析】由垂线段最短，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ①设GP与CD相交于点T，GF与CD交于点K，如图所示：
.
，
，
结论①正确；
②
，
又
即
即：，
整理得：
结论②正确；
③
由②可知
又
，
结论③正确.
综上所述：正确的结论是①②③.
故答案为：A.
【分析】 ①设GP与CD相交于点T，GF与CD交于点K，由得， 再由三角形的外角定理得， 由此得出.据此可对结论①进行判断；
②由得，再由三角形的外角定理得，进而得，再证，则，据此可对结论②进行判断；
③先求出， ，然后根据已知条件得，据此可求出，进而可求出的度数，据此可对结论③进行判断.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠可得：，
，
．
，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，解题即可．
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM∥FG，
∴∠GAM=∠G=y°，
∵AM∥FG，DE∥FG，
∴AM∥DE，
∴∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°，
∵∠FAG=40°，
∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAC=80°，
∵∠BAD+∠DAM+∠GAM=180°，
∴80°+180°-x°+y°=180°，
∴x-y=80.
故答案为：C.
【分析】过A作AM∥FG，由二直线平行，内错角相等，得∠GAM=∠G=y°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AM∥DE，由二直线平行，同旁内角互补，得∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°，由对顶角相等及角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC=80°，最后根据平角的定义建立方程可求出结论.
10．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；平行线的判定与性质；角平分线的性质
11．【答案】6、9、15
【知识点】角的运算；平行线的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当CP⊥AP时，CD∥AP，此时CP旋转了30°.
所以30÷5=6（秒）；
②当PD∥AB时，PD旋转了45°.
所以45÷5=9（秒）；
③继续旋转，当CD∥AB时，此时CP与BP重叠，CP旋转了180°-45°-60°=75°.
所以75÷5=15（秒）.
故答案为：6、9、15.
【分析】通过空间想象，将问题转化成求①CD∥AP；②PD∥AB；③CD∥AB三种情况下的运动时间T.
12．【答案】45°，60°，105°或135°
【知识点】两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：分以下四种情况：(1)AC//DE，如图①，
此时点B在AE上，
∴∠BAD=45°，
(2)AB//DE，如图②，
∴∠EAB=∠E=90°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=135°
(3)BC//AD，如图③，
∴∠BAD=∠B=60°，
(4)BC//AE，
如图④，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
综上所述，∠BAD其他所有可能符合条件的度数为：45°，60°，105°或135°.
故答案为：45°，60°，105°或135°.
【分析】分类讨论：AC//DE，AB//DE，BC//AD，BC//AE，针对每一种情况，计算出对应的∠BAD的度数即可求解.
13．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AD∥BC，
∴∠B=90°，∠DAE=∠AEB，
由折叠性质得：∠B'=∠B=90°，
∠AEB'=∠AEB，C'E∥D'F，
∵，
∴∠B'+∠C'EB'=180°，
∴∠C'EB'=90°，
∴∠BEB'=90°-∠C'EB=90°-α，
则∠AEB=∠BEB'=（90°-α），
即∠DAE=（90°-α）=；
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质可得∠AEB'=∠AEB，再由长方形的性质和平行线的性质得到∠C'EB'=90°，∠DAE=∠BEB'，即可得出结果.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-折叠问题；平行公理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，
∵∠1为x度，
∴∠3=(180-2x)°，
∵AB∥CD，OP∥AB，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠3=∠4=∠5=∠EOP，∠2=∠6=∠7=∠FOP，
∵∠3 =(180-2x)°，∠2为y度
∴∠α=∠EOP+∠FOP=(180-2x+y) °，
故答案为：(180-2x +y).
【分析】过点O作OP∥AB，则OP∥AB∥CD，根据折叠的性质以及平行线的性质即可求解.
15．【答案】12或24
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意，得：与重合所需时间为，旋转至射线所需时间为：；，
∵，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，即：，
解得：；
当时，如图：
同理：，即：，
解得：；
综上：或；
故答案为：12或24．
【分析】根据路程、速度、时间三者的关系，求出EB与EF重合及FD旋转至射线FC所需时间及∠BEB'=3t°，∠DFD'=12t°，由二直线平行，内错角相等得∠EFC=∠DFE=90°；然后分类讨论：①时，画出图形，由二直线平行，内错角相等得∠FEB'=∠EFD'，根据角的构成分别表示出∠D'FE与∠B'EF，从而建立方程求解得出t的值；②时，画出图形，由二直线平行，内错角相等得∠FEB'=∠EFD'，根据角的构成分别表示出∠D'FE与∠B'EF，从而建立方程求解得出t的值，综上可得答案.
16．【答案】15或60或105或150
【知识点】平行线的判定与性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：
如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
当DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM=∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA=∠HAC，
∴∠FDM=∠HAC，即2t°=30°，
∴t=15；
当DE在MN下方时，∠F'DP=2t°-180°，
∵DE'∥BC，DE'⊥DF'，AC⊥BC，
∴AP∥DF'，
∴∠F'DP=∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA=∠HAC，
∴∠F'DP=∠HAC，即2t°-180°=30°，
∴t=105；
②当BC∥DF时，
当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T，
根据题意得：∠FDN=180°-2t°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN=∠BTN，
∵GH∥MN，
∴∠BTN=∠ABC=60°，
∴∠FDN=60°，
即180°-2t°=60°，
∴t=60；
当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，
根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN=∠BTM，
∵GH∥MN，
∴∠BTN=∠ABC=60°，
∴∠BTM=180°-∠BTN=120°，
∴∠NDF=120°，
即2t°-180°=120°，
∴t=150，
综上所述：t=15或60或105或150.
故答案为：15或60或105或150.
【分析】①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分为当DE在MN上方时或当DE在MN下方时两种情况；②当BC∥DF时，延长BC交MN于点T，分当DF在MN上方时或当DF在MN下方时两种情况．
17．【答案】（1）见解析
（2）由平移得，AA'与CC'的数量关系是相等，位置关系是平行，线段AC扫过的图形的面积为S四边形AA'C'C=S△ACA'
+S△CA'C'=10.
（3）解：作图如解析；8
【知识点】三角形的面积；图形的平移
【解析】【解答】解：如图，
【分析】 （1）根据平移的性质作图即可．
（2）结合平移的性质可得答案．
（3）取点C关于AB的对称点Q1，过点Q1作AB的平行线，则此平行线所经过的格点均满足题意，即可得出答案.
18．【答案】（1）解：延长AB交b于Q点，
∴∠AED=∠Q=44°，∠ABC=∠QBF=90°，
∴∠BFG=∠Q+∠QBF =44°+90°=134°.
（2）解：∠PFG+∠AED=90°，
理由如下：
延长AB交b于Q点，
∵∠BFG+∠QFB=180°，
∴∠QFB=∠PFG，
在Rt△QFB中，∠QFB+∠Q=90°，
∴∵∠PFG+∠Q=90°，
又∠AED=∠Q，
∴∠PFG+∠AED=90°，
（3）①当点P在DC的延长线上时，如图，
在△QEP中，
∠PEQ+∠EPQ+∠EQP=180°，
∠EQP=∠EQF+∠PQF，
∠EQF=180°-m，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠EQF+∠PQF=180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+(180°-m)+∠PQF=180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m.
②当点P在DC上时，如图，
同理可得，∠PEQ+∠EPQ-∠PQF=m.
综上，∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的数量关系为：
∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ-∠PQF=m.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)延长AB，结合平行线性质和外角定理即可；
(2)延长AB，结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可；
(3)结合题意画出图形，分类讨论即可.
19．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质
20．【答案】（1）解：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠BCM=∠ABC=145°，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠DCM=∠EDC=116°，
∵∠BCM=∠BCD+∠DCM，
∴∠BCD=∠BCM-∠DCM=145°-116°=29°.
（2）解：∠ABC-∠F=90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图，
∴∠ABC=∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F=∠FCN，
∵∠BCN=∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC=∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ABC=90°+∠F，
即∠ABC-∠F=90°.
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD=∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH=∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG=∠PGQ，∠EFG=∠PGF，
∴∠PGQ=∠ABH，
∴∠BGD-∠CGF=∠CGQ-∠CGF=∠FGQ，
∵∠FGQ=∠PGQ-∠PGF，
∴∠FGQ=∠ABH-∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠FGQ=，
，
∴=45°.
【知识点】平行线的判定与性质；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】 （1）过点C作CM∥AB，可得∠BCM=∠ABC=145°，再由平行线的性质得∠DCM=∠EDC=116°，则可求得∠BCD=∠BCM-∠DCM=145°-116°=29°；
（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F=∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC-∠F=90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ=∠ABH-∠EFG，再由角平分线的定义结合（2），即可求解.
21．【答案】（1）100°
（2）解：过点E作EN//CD，如图1所示：
依题意得：∠BME=20°，∠FEG=∠FGE=45°，
∵AB//CD，EN//CD，
∴AB//EN//CD，
∴∠NEM=∠BME=20°，
∴∠NEG=∠FEG-∠NEM=45°-20°=25°，
∴∠DGE=∠NEG=25°，
∴∠FGD=∠FGE+∠DGE=45°+25°=70°，
∴∠FGC=180°-∠FGD=180°-70°=110°
（3）解：存在，射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5°或11.25°.
分两种情况讨论如下：
①当点E在CD上方时，设AB交GF于点H，如图2所示：
依题意得：∠FEG=∠FGE=45°，
设∠DGE=α，则∠FGC=5∠DGE=5α，
∵∠DGE+∠FGE+∠FGC=180°，
∴5α+45°+α=180，
解得：α=22.5°，
∴∠FGC=5α=112.5°，
∵AB//CD，
∴∠AHG=180°-∠FGC=180°-112.5°=67.5°
②当点E在CD下方时，延长GF交AB于点H，如图3所示：
依题意得：∠FGE=45°，
设∠EGD=β，则∠FGC=5∠DGE=5β，
∴∠FGD=∠FGE-∠EGD=45°-β，
∵∠FGC+∠FGD=180°，
∴5β+45°-β=180°，
解得：β=33.75°，
∴∠FGC=5β=168.75°
∵AB//CD，
∴∠AHG=180°-∠FGC=180°-168.75°=11.25°
综上所述：射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5°或11.25°.
【知识点】邻补角；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：(1)∵AB//CD，∠BEG=145°，
∴∠EGD=180°-∠BEG=35°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠EGF=45°，
∴∠FGD=∠EGF+∠EGD=45°+35°=80°，
∴∠FGC=180°-∠FGD=100°，
故答案为：100°.
【分析】(1)由AB//CD，∠BEG=150°得∠EGD=30°，再由∠EGF=45°得∠FGD=75°，由此根据邻补角的定义可得∠FGC的度数；
(2)过点E作EN//CD，依题意得∠BME=25°，∠FEG=∠FGE=45°，证AB//EN//CD，根据平行线的性质得∠NEM=∠BME=25°，∠NEG=∠FEG-∠NEM=20°，进而得∠DGE=∠NEG=20°，由此可求出∠EGD=∠EGE+∠DGE=65°，然后根据邻补角的定义可得∠FGC的度数；
(3)分两种情况讨论如下：①当点在CD上方时，设AB交GF于点H，设∠DGE=α，则∠FGC=5α，然后由根据平行线的性质可求出∠AHG的度数；②当点E在CD下方时，延长GF交AB于点H，设∠EGD=β，则∠FGC=5β，进而得∠FGD=45°-β，然后由根据平行线的性质可求出∠AHG的度数.
22．【答案】（1）解：如图①，∵，
∴
∵平分，
∴，
∵PQ∥MN，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图②中，
∵∠ECN=60°，∠ECD=45°，
∴，
∵BFCD
∴，
，
∴．
②ⅰ.如图③，当BF∥HK，延长KH交MN于点I，过点K作KJ∥PQ，
由题意易得，∠FBI=3t，
∵PQ∥MN，PQ∥KJ，
∴PQ∥KJ∥MN，
∴∠EKJ=∠QEK=75°+2t，∠JKI=∠KIN，
∴∠KIN=∠JKI=90°-∠EKJ=15°-2t，
∵，
∴，
∴，
∴．
ⅱ.如图④中，当BF∥KH时，延长HK交MN于点J，
同上易得，，∠FBN=3t，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为3s或39s．
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）由平角的定义得∠ACN=120°，由角平分线的定义得∠ECN=∠ACN=60°，由二直线平行，同旁内角互补得∠QEC=120°，最后由角的构成，根据∠QED=∠QEC-∠DEC可算出答案；
（2）①先由角的构成求出∠DCN=15°，再由二直线平行，同位角相等得∠FBC=∠DCN=15°，最后根据时间乘以速度等于路建立方程求解即可；
②分类讨论：如图③，当BF∥HK，延长KH交MN于点I，过点K作KJ∥PQ，由题意易得∠QEK=75°+2t，∠FBI=3t，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥KJ∥MN，由二直线平行，内错角相等得∠EKJ=∠QEK=75°+2t，∠JKI=∠KIN，然后根据角的构成可得∠KIN=∠JKI=90°-∠EKJ=15°-2t，进而再根据二直线平行，同位角相等得∠FBN=∠KIN，据此建立方程，求解即可；如图④，当BF∥KH时，延长HK交MN于点J，由题意易得∠QEK=75°+2t，∠FBN=3t，同上可得∠KJM=2t-15°，然后根据二直线平行，同旁内角互补得∠FBN+∠KJM=180°，据此建立方程求解即可，综上可得答案.
23．【答案】（1）解：，理由如下：
如图，记AE，BC的交点为Q，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：记旋转角为，如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴
则
综上，在旋转过程中，与之间的关系为或；
（3）解：依题意，分以下五种情况：①当时，如图，
∴，
∴，
则（秒），
②当时，此时，与重合，如图，
则（秒）
③当时，此时，，如图，
则，
∴（秒）
④当时，此时，与重合，如图，
则，
∴（秒）
⑤当时，如图，
则
（秒）
综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）如图，记AE，BC的交点为Q，由路程=速度×时间得∠EAE'=60°，再结合三角形的内角和定理得出∠AQC=90°，进而根据垂直的定义可得结论；
（2）分0≤t≤9、9＜t≤18和18＜t≤36三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结论；
（3）①当AD∥BC时，由二直线平行，内错角相等得∠DAC=∠ACB=30°，然后根据角的和差算出旋转角∠DAD'=15°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值；②当DE∥AB时，AD与AC重合，旋转角∠DAD'=45°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值；③DE∥BC时，由平行线的性质得AD⊥BC，则旋转角∠DAD'=45°+∠CAD=105°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值；④当DE∥AC时，AD与AB重合，则旋转角∠DAD'=45°+∠CAB=135°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值；⑤当AE∥BC时，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠B=60°，则旋转角∠DAD'=90°+∠EAB=150°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值，综上可得答案.
（1）解：，理由如下：
如图，记，的交点为，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：记旋转角为，如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴
则
综上，在旋转过程中，与之间的关系为或；
（3）依题意，分以下五种情况：
①当时，如图，
∴，
∴，
则（秒），
②当时，此时，与重合，如图，
则（秒）
③当时，此时，，如图，
则，
∴（秒）
④当时，此时，与重合，如图，
则，
∴（秒）
⑤当时，如图，
则
（秒）
综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
24．【答案】（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
答：∠DEQ的度数为60°；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
综上可得：当t为或时，∠GBN和∠HEK的角平分线互相平行.
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）由平角等于180°求得∠ACN的度数，由角平分线定义可求得∠ECN的度数，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠QEC的度数，然后由角的和差可求解；
（2）①根据可列关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分两种情况：当转到之前时，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得关于t的方程，解方程可求解；当落在射线上时返回，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”并结合已知条件可得关于t的方程，解方程可求解构．
（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
1 / 1新题速递（1）—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2025七下·台州期中）小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点，表示两脚的后脚跟，，分别在长方形踏板的边缘线上．若与均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要想知道他此次跳远成绩，只需测量线段的长度．
故答案为：A．
【分析】根据垂线段最短并结合图形即可求解．
2．（2025七下·杭州期中）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．四钱纹样式 B．梅花纹样式
C．拟日纹样式 D．海棠纹样式
【答案】A
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、此选项中的窗棂图案可以看作由一个“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
B、此选项中的窗棂图案可以看作由一个“基本图案”经过旋转或轴对称变换得到，不能由一个“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
C、此选项中的窗棂图案可以看作由一个“基本图案”经过旋转变换得到，不能由一个“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意；
D、此选项中的窗棂图案可以看作由一个“基本图案”经过旋转或轴对称变换得到，不能由一个“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】平移只改变图形位置，不改变其大小，形状和方向，据此逐一判断得出答案.
3．（浙江省宁波市北仑区精准联盟2024-2025学年七年级下学期期中质量调研数学试卷）如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移4cm，得到直角三角形DEF．已知，，则有下列说法：①CH；②；③；④图中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解： ①由条件可知∠ACB=∠F，
∴CH∥DF；
故①正确；
②同理可得DE∥AB，
∴∠DHA=∠A，
∵∠A与∠ACB不一定相等，
∴∠DHA=∠F不一定成立；
故②不正确；
③∵将直角三角形ABC沿BC方向平移4cm，得到直角三角形DEF，
∴DE=AB=8cm，
∴HE=8-3=5cm；
故③正确；
④平移前后三角形的面积不变，
则，
，
∴，
∴S阴影=(AB+HE)×BE÷2=26，
故④正确；
故答案为：D.
【分析】 ①由平移的性质得∠ACB=∠F，即可判断；②由平行的性质得∠DHA=∠A，∠A与∠ACB不一定相等，即可判断；③由平移的性质得DE=AB=8cm，可得HE=DE-DH，即可判断；④由S阴影=SABHE，即可判断．
4．（2025七下·滨江期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=47°，则∠2-∠1为（ ）
A．8° B．10° C．12° D．14°
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=47°，
由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，
∴∠1=180°-∠DEF-∠FEG=86°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，
∴∠2-∠1=94°-86°=8°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DEF=∠EFG=47°，由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，根据平角定义求出∠1=86°，再根据二直线平行，内错角相等∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，最后求两个角的差即可.
5．（2025七下·杭州期中）如图，在三角形ABC中，，把三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG，
∴FG=BC=9，BF=4.5，△ABC △EFG，
∴S△ABC=S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM=S△EBM+S梯形BFGM，
∴
故答案为：A.
【分析】利用平移的性质得到FG=BC=9，BF=4.5，△ABC △EFG，则S△ABC=S△EFG，所以S四边形AEMC=S梯形BFGM，然后根据梯形的面积公式计算.
6．（2025七下·瑞安期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为288米，拉索PA，PB长度都为480米。为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（ ）米。
A．280 B．288 C．420 D．500
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵PC⊥AB，PA=PB，
∴增加的拉索长度应该大于PC的长且小于PA的长，
∴288米<增加的拉索长度< 480米，
∴增加的拉索长度可以是420米，
故答案为：C.
【分析】由垂线段最短，即可得出答案.
7．（2025七下·余姚期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ①设GP与CD相交于点T，GF与CD交于点K，如图所示：
.
，
，
结论①正确；
②
，
又
即
即：，
整理得：
结论②正确；
③
由②可知
又
，
结论③正确.
综上所述：正确的结论是①②③.
故答案为：A.
【分析】 ①设GP与CD相交于点T，GF与CD交于点K，由得， 再由三角形的外角定理得， 由此得出.据此可对结论①进行判断；
②由得，再由三角形的外角定理得，进而得，再证，则，据此可对结论②进行判断；
③先求出， ，然后根据已知条件得，据此可求出，进而可求出的度数，据此可对结论③进行判断.
8．（2024七下·柯桥月考）如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠可得：，
，
．
，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据折叠和平行线的性质得到，即可得到，解题即可．
9．（2025七下·温州期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，CF，BG交于点A，FG//DE//BC，∠FAG=40°，AC平分∠BAD，若设∠ADE=x°，∠G=y°，则x和y之间的关系是（ ）.
A．x+2y=180 B．x-2y=60 C．x-y=80 D．x+y=150
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM∥FG，
∴∠GAM=∠G=y°，
∵AM∥FG，DE∥FG，
∴AM∥DE，
∴∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°，
∵∠FAG=40°，
∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAC=80°，
∵∠BAD+∠DAM+∠GAM=180°，
∴80°+180°-x°+y°=180°，
∴x-y=80.
故答案为：C.
【分析】过A作AM∥FG，由二直线平行，内错角相等，得∠GAM=∠G=y°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AM∥DE，由二直线平行，同旁内角互补，得∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°，由对顶角相等及角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC=80°，最后根据平角的定义建立方程可求出结论.
10．（2025七下·杭州期中）如图，已知，，点E在上，点G，F在上，点H在之间，连接，，，．平分交于点K，，平分，平分，，交于点M，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；平行线的判定与性质；角平分线的性质
二、填空题
11．（2025七下·慈溪期中） 在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合.将三角尺PCD绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时停止运动，则当运动时间T= 秒时，两块三角尺有一组边平行.
【答案】6、9、15
【知识点】角的运算；平行线的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当CP⊥AP时，CD∥AP，此时CP旋转了30°.
所以30÷5=6（秒）；
②当PD∥AB时，PD旋转了45°.
所以45÷5=9（秒）；
③继续旋转，当CD∥AB时，此时CP与BP重叠，CP旋转了180°-45°-60°=75°.
所以75÷5=15（秒）.
故答案为：6、9、15.
【分析】通过空间想象，将问题转化成求①CD∥AP；②PD∥AB；③CD∥AB三种情况下的运动时间T.
12．（2025七下·南湖期中）将一副直角三角尺按如图①所示放置，现将含角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图②，当时，.那么其他所有能够符合条件的的度数为 ．
【答案】45°，60°，105°或135°
【知识点】两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：分以下四种情况：(1)AC//DE，如图①，
此时点B在AE上，
∴∠BAD=45°，
(2)AB//DE，如图②，
∴∠EAB=∠E=90°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=135°
(3)BC//AD，如图③，
∴∠BAD=∠B=60°，
(4)BC//AE，
如图④，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
综上所述，∠BAD其他所有可能符合条件的度数为：45°，60°，105°或135°.
故答案为：45°，60°，105°或135°.
【分析】分类讨论：AC//DE，AB//DE，BC//AD，BC//AE，针对每一种情况，计算出对应的∠BAD的度数即可求解.
13．（2025七下·温州期中）如图1，在长方形纸条ABCD中，，点E，F分别为线段BC，AD上一点，将线段AB沿AE折叠，点的对应点落在纸条外侧；如图2所示，将线段CD沿EF进行第二次折叠；点的对应点落在纸条外侧，设，若，则的度数为 .（用含的代数式表示）。
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AD∥BC，
∴∠B=90°，∠DAE=∠AEB，
由折叠性质得：∠B'=∠B=90°，
∠AEB'=∠AEB，C'E∥D'F，
∵，
∴∠B'+∠C'EB'=180°，
∴∠C'EB'=90°，
∴∠BEB'=90°-∠C'EB=90°-α，
则∠AEB=∠BEB'=（90°-α），
即∠DAE=（90°-α）=；
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质可得∠AEB'=∠AEB，再由长方形的性质和平行线的性质得到∠C'EB'=90°，∠DAE=∠BEB'，即可得出结果.
14．（2025七下·瑞安期中）如图，将一条长方形纸条折出一个“3”，。设为度，为度，则的度数为 度。（用含x，y的代数式表示）
【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-折叠问题；平行公理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，
∵∠1为x度，
∴∠3=(180-2x)°，
∵AB∥CD，OP∥AB，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠3=∠4=∠5=∠EOP，∠2=∠6=∠7=∠FOP，
∵∠3 =(180-2x)°，∠2为y度
∴∠α=∠EOP+∠FOP=(180-2x+y) °，
故答案为：(180-2x +y).
【分析】过点O作OP∥AB，则OP∥AB∥CD，根据折叠的性质以及平行线的性质即可求解.
15．（2025七下·杭州期中）如图，分别为直线上两点，且射线绕点以3度/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以12度/秒的速度逆时针旋转至射线后立即以8度/秒的速度顺时针返回．当与重合时，两条射线都停止运动，设旋转时间为（秒），当时，的值为 秒．
【答案】12或24
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意，得：与重合所需时间为，旋转至射线所需时间为：；，
∵，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，即：，
解得：；
当时，如图：
同理：，即：，
解得：；
综上：或；
故答案为：12或24．
【分析】根据路程、速度、时间三者的关系，求出EB与EF重合及FD旋转至射线FC所需时间及∠BEB'=3t°，∠DFD'=12t°，由二直线平行，内错角相等得∠EFC=∠DFE=90°；然后分类讨论：①时，画出图形，由二直线平行，内错角相等得∠FEB'=∠EFD'，根据角的构成分别表示出∠D'FE与∠B'EF，从而建立方程求解得出t的值；②时，画出图形，由二直线平行，内错角相等得∠FEB'=∠EFD'，根据角的构成分别表示出∠D'FE与∠B'EF，从而建立方程求解得出t的值，综上可得答案.
16．（浙江省宁波市北仑区精准联盟2024-2025学年七年级下学期期中质量调研数学试卷）将两副三角板ABC、DEF按如图1方式摆放，其中，分别在直线GH、MN上，直线．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点以每秒的速度顺时针旋转（如图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为秒，且，则经过 秒边BC与三角板DEF的一条直角边平行．
【答案】15或60或105或150
【知识点】平行线的判定与性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：
如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
当DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM=∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA=∠HAC，
∴∠FDM=∠HAC，即2t°=30°，
∴t=15；
当DE在MN下方时，∠F'DP=2t°-180°，
∵DE'∥BC，DE'⊥DF'，AC⊥BC，
∴AP∥DF'，
∴∠F'DP=∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA=∠HAC，
∴∠F'DP=∠HAC，即2t°-180°=30°，
∴t=105；
②当BC∥DF时，
当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T，
根据题意得：∠FDN=180°-2t°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN=∠BTN，
∵GH∥MN，
∴∠BTN=∠ABC=60°，
∴∠FDN=60°，
即180°-2t°=60°，
∴t=60；
当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，
根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN=∠BTM，
∵GH∥MN，
∴∠BTN=∠ABC=60°，
∴∠BTM=180°-∠BTN=120°，
∴∠NDF=120°，
即2t°-180°=120°，
∴t=150，
综上所述：t=15或60或105或150.
故答案为：15或60或105或150.
【分析】①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分为当DE在MN上方时或当DE在MN下方时两种情况；②当BC∥DF时，延长BC交MN于点T，分当DF在MN上方时或当DF在MN下方时两种情况．
三、解答题
17．（浙江省宁波市北仑区精准联盟2024-2025学年七年级下学期期中质量调研数学试卷）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，三角形ABC经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点。根据下列条件，利用无刻度的直尺画图并解答下列问题．
（1）画出三角形；
（2）连接，那么与的数量关系是 ▲ ，位置关系是 ▲ ，线段AC扫过的图形的面积为 ▲ ；
（3）在AB的右下侧确定格点，使三角形ABQ的面积和三角形ABC的面积相等，这样的点有 ▲ 个．
【答案】（1）见解析
（2）由平移得，AA'与CC'的数量关系是相等，位置关系是平行，线段AC扫过的图形的面积为S四边形AA'C'C=S△ACA'
+S△CA'C'=10.
（3）解：作图如解析；8
【知识点】三角形的面积；图形的平移
【解析】【解答】解：如图，
【分析】 （1）根据平移的性质作图即可．
（2）结合平移的性质可得答案．
（3）取点C关于AB的对称点Q1，过点Q1作AB的平行线，则此平行线所经过的格点均满足题意，即可得出答案.
18．（2025七下·南湖期中）如图1，在三角形ABC中，，直线与边AC，AB分别交于D，E两点，直线与边BC，AC分别交于F，G两点，且.
（1）若，求的度数；
（2）如图2，为边AB上一点，连结PF，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，延长AB交直线于点，在射线DC上有一动点，连结PE，PQ，请直接写出的数量关系（用含的式子表示）.
【答案】（1）解：延长AB交b于Q点，
∴∠AED=∠Q=44°，∠ABC=∠QBF=90°，
∴∠BFG=∠Q+∠QBF =44°+90°=134°.
（2）解：∠PFG+∠AED=90°，
理由如下：
延长AB交b于Q点，
∵∠BFG+∠QFB=180°，
∴∠QFB=∠PFG，
在Rt△QFB中，∠QFB+∠Q=90°，
∴∵∠PFG+∠Q=90°，
又∠AED=∠Q，
∴∠PFG+∠AED=90°，
（3）①当点P在DC的延长线上时，如图，
在△QEP中，
∠PEQ+∠EPQ+∠EQP=180°，
∠EQP=∠EQF+∠PQF，
∠EQF=180°-m，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠EQF+∠PQF=180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+(180°-m)+∠PQF=180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m.
②当点P在DC上时，如图，
同理可得，∠PEQ+∠EPQ-∠PQF=m.
综上，∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的数量关系为：
∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ-∠PQF=m.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)延长AB，结合平行线性质和外角定理即可；
(2)延长AB，结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可；
(3)结合题意画出图形，分类讨论即可.
19．（2025七下·杭州期中）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接．
（1）如图1，若点在线段上，，，求的度数．
（2）如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．
（3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质
20．（浙江省宁波市北仑区精准联盟2024-2025学年七年级下学期期中质量调研数学试卷）已知，点在AB上方，连接BC、CD
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，过点作交ED的延长线于点，写出和之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线FG交CD于点，连接GB并延长至点，若BH平分，求的值．
【答案】（1）解：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠BCM=∠ABC=145°，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠DCM=∠EDC=116°，
∵∠BCM=∠BCD+∠DCM，
∴∠BCD=∠BCM-∠DCM=145°-116°=29°.
（2）解：∠ABC-∠F=90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图，
∴∠ABC=∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F=∠FCN，
∵∠BCN=∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC=∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ABC=90°+∠F，
即∠ABC-∠F=90°.
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD=∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH=∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG=∠PGQ，∠EFG=∠PGF，
∴∠PGQ=∠ABH，
∴∠BGD-∠CGF=∠CGQ-∠CGF=∠FGQ，
∵∠FGQ=∠PGQ-∠PGF，
∴∠FGQ=∠ABH-∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠FGQ=，
，
∴=45°.
【知识点】平行线的判定与性质；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】 （1）过点C作CM∥AB，可得∠BCM=∠ABC=145°，再由平行线的性质得∠DCM=∠EDC=116°，则可求得∠BCD=∠BCM-∠DCM=145°-116°=29°；
（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F=∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC-∠F=90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ=∠ABH-∠EFG，再由角平分线的定义结合（2），即可求解.
21．（2025七下·杭州期中）综合与实践数学社团的同学以＂两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角板EFG（）”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线AB和CD之间.
（1）观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若，则的度数为 ；（直接写出结论，不说明理由）
（2）类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点放在CD上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为，求的度数；
（3）解决问题：把三角板的锐角顶点放在CD上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线GF与AB相交所夹锐角的度数.
【答案】（1）100°
（2）解：过点E作EN//CD，如图1所示：
依题意得：∠BME=20°，∠FEG=∠FGE=45°，
∵AB//CD，EN//CD，
∴AB//EN//CD，
∴∠NEM=∠BME=20°，
∴∠NEG=∠FEG-∠NEM=45°-20°=25°，
∴∠DGE=∠NEG=25°，
∴∠FGD=∠FGE+∠DGE=45°+25°=70°，
∴∠FGC=180°-∠FGD=180°-70°=110°
（3）解：存在，射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5°或11.25°.
分两种情况讨论如下：
①当点E在CD上方时，设AB交GF于点H，如图2所示：
依题意得：∠FEG=∠FGE=45°，
设∠DGE=α，则∠FGC=5∠DGE=5α，
∵∠DGE+∠FGE+∠FGC=180°，
∴5α+45°+α=180，
解得：α=22.5°，
∴∠FGC=5α=112.5°，
∵AB//CD，
∴∠AHG=180°-∠FGC=180°-112.5°=67.5°
②当点E在CD下方时，延长GF交AB于点H，如图3所示：
依题意得：∠FGE=45°，
设∠EGD=β，则∠FGC=5∠DGE=5β，
∴∠FGD=∠FGE-∠EGD=45°-β，
∵∠FGC+∠FGD=180°，
∴5β+45°-β=180°，
解得：β=33.75°，
∴∠FGC=5β=168.75°
∵AB//CD，
∴∠AHG=180°-∠FGC=180°-168.75°=11.25°
综上所述：射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5°或11.25°.
【知识点】邻补角；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：(1)∵AB//CD，∠BEG=145°，
∴∠EGD=180°-∠BEG=35°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠EGF=45°，
∴∠FGD=∠EGF+∠EGD=45°+35°=80°，
∴∠FGC=180°-∠FGD=100°，
故答案为：100°.
【分析】(1)由AB//CD，∠BEG=150°得∠EGD=30°，再由∠EGF=45°得∠FGD=75°，由此根据邻补角的定义可得∠FGC的度数；
(2)过点E作EN//CD，依题意得∠BME=25°，∠FEG=∠FGE=45°，证AB//EN//CD，根据平行线的性质得∠NEM=∠BME=25°，∠NEG=∠FEG-∠NEM=20°，进而得∠DGE=∠NEG=20°，由此可求出∠EGD=∠EGE+∠DGE=65°，然后根据邻补角的定义可得∠FGC的度数；
(3)分两种情况讨论如下：①当点在CD上方时，设AB交GF于点H，设∠DGE=α，则∠FGC=5α，然后由根据平行线的性质可求出∠AHG的度数；②当点E在CD下方时，延长GF交AB于点H，设∠EGD=β，则∠FGC=5β，进而得∠FGD=45°-β，然后由根据平行线的性质可求出∠AHG的度数.
22．（2025七下·杭州、台州期中）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，∠ECD＝∠DEC＝45°）按图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN.
（1）求∠DEQ的度数.
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为t(s)(0≤t≤60).
①在旋转过程中，若边BF∥CD，求t的值；
②如图③，若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）.请求出当边BF∥HK时t的值.
【答案】（1）解：如图①，∵，
∴
∵平分，
∴，
∵PQ∥MN，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图②中，
∵∠ECN=60°，∠ECD=45°，
∴，
∵BFCD
∴，
，
∴．
②ⅰ.如图③，当BF∥HK，延长KH交MN于点I，过点K作KJ∥PQ，
由题意易得，∠FBI=3t，
∵PQ∥MN，PQ∥KJ，
∴PQ∥KJ∥MN，
∴∠EKJ=∠QEK=75°+2t，∠JKI=∠KIN，
∴∠KIN=∠JKI=90°-∠EKJ=15°-2t，
∵，
∴，
∴，
∴．
ⅱ.如图④中，当BF∥KH时，延长HK交MN于点J，
同上易得，，∠FBN=3t，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为3s或39s．
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）由平角的定义得∠ACN=120°，由角平分线的定义得∠ECN=∠ACN=60°，由二直线平行，同旁内角互补得∠QEC=120°，最后由角的构成，根据∠QED=∠QEC-∠DEC可算出答案；
（2）①先由角的构成求出∠DCN=15°，再由二直线平行，同位角相等得∠FBC=∠DCN=15°，最后根据时间乘以速度等于路建立方程求解即可；
②分类讨论：如图③，当BF∥HK，延长KH交MN于点I，过点K作KJ∥PQ，由题意易得∠QEK=75°+2t，∠FBI=3t，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥KJ∥MN，由二直线平行，内错角相等得∠EKJ=∠QEK=75°+2t，∠JKI=∠KIN，然后根据角的构成可得∠KIN=∠JKI=90°-∠EKJ=15°-2t，进而再根据二直线平行，同位角相等得∠FBN=∠KIN，据此建立方程，求解即可；如图④，当BF∥KH时，延长HK交MN于点J，由题意易得∠QEK=75°+2t，∠FBN=3t，同上可得∠KJM=2t-15°，然后根据二直线平行，同旁内角互补得∠FBN+∠KJM=180°，据此建立方程求解即可，综上可得答案.
23．（2025七下·柯城期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，．如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向/秒旋转，在36秒后停止运动．
（1）当时间秒时，试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）在旋转过程中，试探究与之间的关系；
（3）当三角板的一边与三角形的某一边平行（不共线）时，求出时间的所有值．
【答案】（1）解：，理由如下：
如图，记AE，BC的交点为Q，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：记旋转角为，如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴
则
综上，在旋转过程中，与之间的关系为或；
（3）解：依题意，分以下五种情况：①当时，如图，
∴，
∴，
则（秒），
②当时，此时，与重合，如图，
则（秒）
③当时，此时，，如图，
则，
∴（秒）
④当时，此时，与重合，如图，
则，
∴（秒）
⑤当时，如图，
则
（秒）
综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）如图，记AE，BC的交点为Q，由路程=速度×时间得∠EAE'=60°，再结合三角形的内角和定理得出∠AQC=90°，进而根据垂直的定义可得结论；
（2）分0≤t≤9、9＜t≤18和18＜t≤36三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结论；
（3）①当AD∥BC时，由二直线平行，内错角相等得∠DAC=∠ACB=30°，然后根据角的和差算出旋转角∠DAD'=15°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值；②当DE∥AB时，AD与AC重合，旋转角∠DAD'=45°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值；③DE∥BC时，由平行线的性质得AD⊥BC，则旋转角∠DAD'=45°+∠CAD=105°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值；④当DE∥AC时，AD与AB重合，则旋转角∠DAD'=45°+∠CAB=135°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值；⑤当AE∥BC时，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠B=60°，则旋转角∠DAD'=90°+∠EAB=150°，进而根据速度、时间、路程三者的关系可求出t的值，综上可得答案.
（1）解：，理由如下：
如图，记，的交点为，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：记旋转角为，如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴，
则，
如图，当时，
∴
则
综上，在旋转过程中，与之间的关系为或；
（3）依题意，分以下五种情况：
①当时，如图，
∴，
∴，
则（秒），
②当时，此时，与重合，如图，
则（秒）
③当时，此时，，如图，
则，
∴（秒）
④当时，此时，与重合，如图，
则，
∴（秒）
⑤当时，如图，
则
（秒）
综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
24．（2025七下·义乌期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
【答案】（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
答：∠DEQ的度数为60°；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
综上可得：当t为或时，∠GBN和∠HEK的角平分线互相平行.
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）由平角等于180°求得∠ACN的度数，由角平分线定义可求得∠ECN的度数，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠QEC的度数，然后由角的和差可求解；
（2）①根据可列关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分两种情况：当转到之前时，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得关于t的方程，解方程可求解；当落在射线上时返回，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”并结合已知条件可得关于t的方程，解方程可求解构．
（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
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