锯齿模型—浙教版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2024七下·赤坎期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（ ）
A．延长交的延长线于点
B．连接
C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
二、填空题
3．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
4．（2023七下·名山期末）如图，，，则，和的数量关系是 ．
5． 如图，AM∥EF，点B，C，D 在平行线内部，连接AB，BC，CD，DE，若∠A+∠B+∠D=180°，则2∠A+∠C+∠E 的度数为 .
三、解答题
6．（2023八上·鹤山月考）（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．
7．（2022七下·北仑期中）
（1）如图1，l1∥l2，若∠P＝65°，计算并直接写出∠A+∠B的大小．
（2）如图2，在图1的基础上，将直线PB变成折线PQB，请证明：∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°．
（3）如图3，在图2的基础上，继续将直线BQ变成折线BMQ．请你写出一条关于∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的数量关系．（无需证明直接写出）
8．（2024七下·城关期中）【模型发现】
某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪踣模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论；
【运用】
（2）如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由；
【延伸】
（3）如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，分别过C、D作的平行线和，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
故选：C．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补，分别过C、D作的平行线和，根据平行线的性质，得到，可求得答案．
2．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：A．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
B．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
C．如图，
由平分，平分，
没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，
∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；
D．如图，延长交于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】先根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定即可判断A；先根据平行线的性质得到，等量代换得到，进而根据平行线的判定即可判断B；根据角平分线的定义结合题意得到没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，故此辅助线的作法不能说明与平行，从而判断C；根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定结合题意即可判断D.
3．【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
4．【答案】
【知识点】平行线的性质；锯齿模型
5．【答案】180°
【知识点】三角形的外角性质；锯齿模型；平行线的判定与性质的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，分别延长CB交AM于点G、延长CD交EF于点H.
【分析】先分别延长CB和CD交AM、EF于点G、H，构造“拐角”模型，从而可推导出 ∠A+∠C+∠E等于 ∠B+∠D，再利用已知条件整体代入即可.
6．【答案】（1）证明：过P作，如图，
∴，
∵（已知），
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）；
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；锯齿模型
7．【答案】（1）解：过P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，
∴∠APB＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝65°，
即∠A+∠B＝65°
（2）证明：过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l1∥QF∥l2，
∴∠A=∠1，∠B=180°-∠4，∠Q=∠3+∠4=∠2+∠4
∴∠A+∠B+∠Q＝∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）＝∠1+∠2+180°=∠APQ+180°，
∴∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°
（3）解：∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；猪蹄模型；锯齿模型
8．【答案】（1）证明：如图1：过作，则，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图2
：过M作，过N作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴①，
同理：②，
∵，
∴，
∴可得：，
∴，
∴，即．
（3）.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】
解：（3）、分别平分和，∴，，
，
∴由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴
，
．
故答案为：
【分析】
（1）如图（1）：
过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图（2）：
过M作，过N作，则；由可得，即；再根据平行线的性质、角的和差可得①、②，再进行运算化简即可；
（3）利用 (1) 的数量关系可知，由角平分线的定义、三角形的内角和定理可得 再利用平行线的性质及角的和差关系进行分析推理即可解答．
（1）证明：如图（1）：过作，则，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图（2）：过M作，过N作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴①，
同理：②，
∵，
∴，
∴可得：，
∴，
∴，即．
（3）解：、分别平分和，
∴，，
，
∴由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴
，
．
1 / 1锯齿模型—浙教版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2024七下·赤坎期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，分别过C、D作的平行线和，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
故选：C．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补，分别过C、D作的平行线和，根据平行线的性质，得到，可求得答案．
2．如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（ ）
A．延长交的延长线于点
B．连接
C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：A．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
B．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
C．如图，
由平分，平分，
没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，
∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；
D．如图，延长交于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】先根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定即可判断A；先根据平行线的性质得到，等量代换得到，进而根据平行线的判定即可判断B；根据角平分线的定义结合题意得到没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，故此辅助线的作法不能说明与平行，从而判断C；根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定结合题意即可判断D.
二、填空题
3．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
4．（2023七下·名山期末）如图，，，则，和的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；锯齿模型
5． 如图，AM∥EF，点B，C，D 在平行线内部，连接AB，BC，CD，DE，若∠A+∠B+∠D=180°，则2∠A+∠C+∠E 的度数为 .
【答案】180°
【知识点】三角形的外角性质；锯齿模型；平行线的判定与性质的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，分别延长CB交AM于点G、延长CD交EF于点H.
【分析】先分别延长CB和CD交AM、EF于点G、H，构造“拐角”模型，从而可推导出 ∠A+∠C+∠E等于 ∠B+∠D，再利用已知条件整体代入即可.
三、解答题
6．（2023八上·鹤山月考）（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．
【答案】（1）证明：过P作，如图，
∴，
∵（已知），
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）；
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；锯齿模型
7．（2022七下·北仑期中）
（1）如图1，l1∥l2，若∠P＝65°，计算并直接写出∠A+∠B的大小．
（2）如图2，在图1的基础上，将直线PB变成折线PQB，请证明：∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°．
（3）如图3，在图2的基础上，继续将直线BQ变成折线BMQ．请你写出一条关于∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的数量关系．（无需证明直接写出）
【答案】（1）解：过P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，
∴∠APB＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝65°，
即∠A+∠B＝65°
（2）证明：过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l1∥QF∥l2，
∴∠A=∠1，∠B=180°-∠4，∠Q=∠3+∠4=∠2+∠4
∴∠A+∠B+∠Q＝∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）＝∠1+∠2+180°=∠APQ+180°，
∴∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°
（3）解：∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；猪蹄模型；锯齿模型
8．（2024七下·城关期中）【模型发现】
某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪踣模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论；
【运用】
（2）如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由；
【延伸】
（3）如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
【答案】（1）证明：如图1：过作，则，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图2
：过M作，过N作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴①，
同理：②，
∵，
∴，
∴可得：，
∴，
∴，即．
（3）.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】
解：（3）、分别平分和，∴，，
，
∴由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴
，
．
故答案为：
【分析】
（1）如图（1）：
过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图（2）：
过M作，过N作，则；由可得，即；再根据平行线的性质、角的和差可得①、②，再进行运算化简即可；
（3）利用 (1) 的数量关系可知，由角平分线的定义、三角形的内角和定理可得 再利用平行线的性质及角的和差关系进行分析推理即可解答．
（1）证明：如图（1）：过作，则，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图（2）：过M作，过N作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴①，
同理：②，
∵，
∴，
∴可得：，
∴，
∴，即．
（3）解：、分别平分和，
∴，，
，
∴由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴
，
．
1 / 1
