精选新题速递（3）—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2025八下·普宁月考）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ）
A．4xy B．2xy C． D．
2．（2025八下·深圳期中）下列式子中，从左往右变形错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·邻水模拟）实验室需要配制的盐水溶液，现有100克的盐水、50克盐（浓度）和100克水。若需将原溶液浓度提升至，需加入多少克盐，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·成武模拟）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·株洲期中）李明同学对七年级的120名同学关于节约用水的方法选择的问题进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图，如果将这个水滴图绘制成扇形统计图，那么表示“巧妙用水”的扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·路桥二模）已知分式（a，b为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（ ）
-3 3
无意义 0 2
A．-2 B．-5 C．3 D．4
7．（四川省眉山市仁寿县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
8．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
二、填空题
9．（四川省成都市树德中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为 ．
10．（2025七下·诸暨期中）已知3a+1+3a=108，3b+1-3b=54，则a+b的值为 .
11．（2025七下·温州期中）已知，则代数式 .
12．（2024八下·邛崃期末）已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ．
13．（四川省眉山市仁寿县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）如果，则 ， ．
三、解答题
14．（2025八下·龙岗期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式；
解：将“”看成一个整体，令；
原式；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解．
（2）计算： ．
（3）已知，求的值．
15．（2025八下·深圳期中）阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如： ①用配方法因式分解：a2+6a+8 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2) ②求2x2+12x+22的最小值. 解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值 x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2； 由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 进而2x2+12x+22的最小值为4.
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+
（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；
（3）求2x2-4x+10的最小值.
（4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.
16．（四川省达州市渠县三汇中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学测试题）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等．
①分组分解法：例如：；
②十字相乘法：例如：由图可得：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知a，b，c为的三边长，且，求的周长．
17．（2025八下·长春期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k．
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”．
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为________．
18．（四川省资阳市安岳中学2024—2025学年下学期八年级数学期中测试卷 ）如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
（1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程）
；
；
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
（3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值．
19．（安徽省池州市青阳县2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）今年3至8月份期间，根据、、三种品牌空调的销售情况制作统计图如下，根据统计图，回答下列问题：
（1）3至8月份期间，_____品牌空调销售量最多（填“、或”）；8月份品牌空调销售量有_____台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是_____；
（2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台
（3）小明打算选购一台空调，你建议小明购买哪种品牌的空调？请你写出一条理由．
20．（2025八下·深圳期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断方程6-4(1-x)=2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
21．（2025七下·深圳期中）【知识回顾】借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略。用4个完全相同的小长方形拼成如图①的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为。
（1）观察图①，写出之间的等是关系式： ▲ ；
（2）【深入探究】小深在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若满足，求的值”，小深的解题过程如下：
令，则。
因为，
所以。
请你类比上述方法解决以下问题：
若满足，
① ▲ ；
②求的值；
（3）【应用迁移】图②是某校的花园规划用地示意图：在正方形ABCD空地中开发一个长方形区域EDGF种花，经测量种花区域的面积为，分别以ED，DG为边开发正方形区域MQDE，DHNG种草，开发长方形区域QPHD为休憩区，则整个花园MPNF的面积为 ▲ 。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
墨迹覆盖的这一项是4xy，
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的基本性质；约分
3．【答案】A
【知识点】列分式方程
4．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：C．
【分析】根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】扇形统计图
6．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由表格可知当 时，分式 无意义，即
解得
当 时，分式
即
即
当 时，分式 即 解得
故答案为：B.
【分析】根据分式无意义求出b的值，根据当 时分式的值是0求出a的值，再把 代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
8．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】完全平方式
10．【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：化简第一个方程$$3^{a+1} + 3^a = 108$$得：$$3 \cdot 3^a + 3^a = (3 + 1) \cdot 3^a = 4 \cdot 3^a = 108$$，解得$$3^a = 27$$，即$$a = 3$$，
化简第二个方程$$3^{b+1} - 3^b = 54$$得：$$3 \cdot 3^b - 3^b = (3 - 1) \cdot 3^b = 2 \cdot 3^b = 54$$，解得$$3^b = 27$$，即$$b = 3$$，
∴
故答案为：6.
【分析】 通过提取公因数将方程转化为关于$$3^a$$和$$3^b$$的方程，进而求出$$a$$和$$b$$的值，再相加得到答案.
11．【答案】21
【知识点】因式分解﹣提公因式法；多项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
=
=
将 代入上式得：
原式=2×5+11=21；
故答案为：21.
【分析】通过多项式除以单项式及因式分解将代数式化简，再将已知条件代入计算即可得出答案.
12．【答案】28和26
【知识点】因式分解﹣公式法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
可以被28和26两个数整除，
故答案为：28和26．
【分析】将由幂的乘方的逆运算和平方差公式进行因式分解得到，结合题意即可求解．
13．【答案】4；
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
14．【答案】（1）
（2）
（3）1
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的加减法
15．【答案】（1）4
（2）解：
（3）解：
最小值为8。
（4）解：，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到
x+2（x2-5x+3）=，
当取得最小值，即
此时，将代入，得：，
解得：。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： a2+4a+4=（a+2）2
故答案为：（1）4.
【分析】完全平方公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2，
（1）题利用完全平方公式对应为4a=2ab，即b=2，因此b2=4，因此得出答案。
（2）先将12a看做2ab，对应的b就是6，b2就是36，继续凑数并利用平方差公式进行进一步计算即可。
（3）先提取公因数2，然后利用完全平方公式将x2-2x进行变形，最后变为2（x-1）2+8，∵2（x-1）2≥0，所以该式的最小值即可得出；
（4）先将原式用x来表示y，并带入x+2y中，结合完全平方公式进行变形，即可得出时对应的x+2y的最小值，最后代入计算即可求出y的值。
16．【答案】（1）①；②
（2）7
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
17．【答案】（1）A与B是互为“和整分式”，“和整值”
（2）①；②或
【知识点】分式的加减法；一元一次方程的其他应用；解分式方程
18．【答案】（1）不是，是
（2）
（3）或
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
19．【答案】（1），
（2）解：8月，品牌电脑销售量为270台，品牌电脑占27%，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
其它品牌的电脑有：（台）．
（3）解：答案不唯一．
如，建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大．
或：建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快．
或：建议买产品．因为产品3至8月的总的销售量最多．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】
（1）
3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是品牌；
8月份，品牌的销售量为台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是
故答案为：，
【分析】
（1）观察条形统计图、折线统计图即可求解；
（2）根据品牌电脑销售量及品牌电脑所占百分比即可求出8月份电脑的总的销售量，再减去、、品牌的销售量即可求解；
（3）从所占的百分比、每月销售量增长比等方面提出建议即可（答案不唯一，只要符合题意即可）．
（1）3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是品牌；
8月份，品牌的销售量为台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是
故答案为：，
（2）8月，品牌电脑销售量为270台，品牌电脑占27%，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
其它品牌的电脑有：（台）．
（3）答案不唯一．
如，建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大．
或：建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快．
或：建议买产品．因为产品3至8月的总的销售量最多．
20．【答案】（1）解：方程6－4（1-x）与方程是＂相似方程＂，理由如下：
解方程6－4（1-x）＝2x得：，
解方程得：，
检验：是该分式方程得解．
两个方程是＂相似方程＂；
（2）由条件可知，
均为整数，
，
，
又为正整数，
或．
【知识点】解分式方程；分式方程-同解问题
【解析】【分析】（1）需要分别求解两个方程，然后对比它们的解，若解相同，则这两个方程是“相似方程”；
（2）先通过联立两个二元一次方程求出x关于m的表达式，再根据“相伴方程”的定义，即x为整数解，分析m-1可能的取值，从而求出m的值。
21．【答案】（1）(a +b)2 ＝ (a-b)2 + 4ab
（2）①61
②(2025- x) (x -2024) = -30，
(2025- x) + (x- 2024) = 1，
令2025-x=a，x-2024=b，
即ab=-30，a+b=1，
(4049- 2x)2
= [(2025 - x) + (2024 - x)]2 = (a - b)2
= (a +b)2 - 4ab
=12-4×(-30)
= 121；
（3）1425
【知识点】完全平方公式的几何背景；完全平方式
【解析】【解答】解：(1) · (a + b)2 = a2 + 2ab + 62，
(a-b)2 = a2 — 2ab + b2，
.. (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab，
故答案为： (a +b)2 ＝ (a-b)2 + 4ab；
(2) (2025- x) (x -2024) = -30，
(2025- x) + (x- 2024) = 1，
令2025-x=a，x-2024=b，
即ab=-30，a+b=1，
①(2025 - x)2 + (x- 2024)2
= a2 + b2
= (a + b)2 - 2ab
=12-2x（-30)
= 61
故答案为：61；
(3)设ED=a， DG=b，
∵AE=15，GC=30，
∴AD=AE+ED=a+15，
∴CD=DG+GC=b+30，
∵四边形ABCD是正方形，
∴a+15=b+30，
∴a-b=15，
∵S矩形EFGD=300，
∴ab=300，
∴S正方形MPNF = (a + b)2
= (a-b)2 +4ab
=225+ 1200
=1425.
故答案为：1425.
【分析】(1)根据完全平方公式，把(a+b)2和(a-b)2展开，即可得到结果；
(2)①仿照示例，令2025-x=a，x-2024=b，得到ab=-30，a+b=1，即可得到结果；
②参照示例，可得到结果；
(3)根据题意，设ED= a，DG=b，a-b=15，ab=300，即可解答。
1 / 1精选新题速递（3）—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2025八下·普宁月考）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ）
A．4xy B．2xy C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
墨迹覆盖的这一项是4xy，
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
2．（2025八下·深圳期中）下列式子中，从左往右变形错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的基本性质；约分
3．（2025·邻水模拟）实验室需要配制的盐水溶液，现有100克的盐水、50克盐（浓度）和100克水。若需将原溶液浓度提升至，需加入多少克盐，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
4．（2024九下·成武模拟）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：C．
【分析】根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
5．（2025七下·株洲期中）李明同学对七年级的120名同学关于节约用水的方法选择的问题进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图，如果将这个水滴图绘制成扇形统计图，那么表示“巧妙用水”的扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形统计图
6．（2025·路桥二模）已知分式（a，b为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（ ）
-3 3
无意义 0 2
A．-2 B．-5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由表格可知当 时，分式 无意义，即
解得
当 时，分式
即
即
当 时，分式 即 解得
故答案为：B.
【分析】根据分式无意义求出b的值，根据当 时分式的值是0求出a的值，再把 代入计算即可.
7．（四川省眉山市仁寿县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
8．（2025八下·深圳期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
姓名：李明班级：八(2)班得分：____
判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：①代数式不是分式，答对
②当时，分式有意义，答对
③若分式的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错
④式子从左到右变形错误，答错
⑤分式是最简分式，答对
∴答对三道，得分为20×3=60
故答案为：B
【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题
9．（四川省成都市树德中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】完全平方式
10．（2025七下·诸暨期中）已知3a+1+3a=108，3b+1-3b=54，则a+b的值为 .
【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：化简第一个方程$$3^{a+1} + 3^a = 108$$得：$$3 \cdot 3^a + 3^a = (3 + 1) \cdot 3^a = 4 \cdot 3^a = 108$$，解得$$3^a = 27$$，即$$a = 3$$，
化简第二个方程$$3^{b+1} - 3^b = 54$$得：$$3 \cdot 3^b - 3^b = (3 - 1) \cdot 3^b = 2 \cdot 3^b = 54$$，解得$$3^b = 27$$，即$$b = 3$$，
∴
故答案为：6.
【分析】 通过提取公因数将方程转化为关于$$3^a$$和$$3^b$$的方程，进而求出$$a$$和$$b$$的值，再相加得到答案.
11．（2025七下·温州期中）已知，则代数式 .
【答案】21
【知识点】因式分解﹣提公因式法；多项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
=
=
将 代入上式得：
原式=2×5+11=21；
故答案为：21.
【分析】通过多项式除以单项式及因式分解将代数式化简，再将已知条件代入计算即可得出答案.
12．（2024八下·邛崃期末）已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ．
【答案】28和26
【知识点】因式分解﹣公式法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
可以被28和26两个数整除，
故答案为：28和26．
【分析】将由幂的乘方的逆运算和平方差公式进行因式分解得到，结合题意即可求解．
13．（四川省眉山市仁寿县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）如果，则 ， ．
【答案】4；
【知识点】分式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
三、解答题
14．（2025八下·龙岗期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式；
解：将“”看成一个整体，令；
原式；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解．
（2）计算： ．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）1
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的加减法
15．（2025八下·深圳期中）阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如： ①用配方法因式分解：a2+6a+8 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2) ②求2x2+12x+22的最小值. 解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值 x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2； 由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 进而2x2+12x+22的最小值为4.
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+
（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；
（3）求2x2-4x+10的最小值.
（4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.
【答案】（1）4
（2）解：
（3）解：
最小值为8。
（4）解：，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到
x+2（x2-5x+3）=，
当取得最小值，即
此时，将代入，得：，
解得：。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： a2+4a+4=（a+2）2
故答案为：（1）4.
【分析】完全平方公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2，
（1）题利用完全平方公式对应为4a=2ab，即b=2，因此b2=4，因此得出答案。
（2）先将12a看做2ab，对应的b就是6，b2就是36，继续凑数并利用平方差公式进行进一步计算即可。
（3）先提取公因数2，然后利用完全平方公式将x2-2x进行变形，最后变为2（x-1）2+8，∵2（x-1）2≥0，所以该式的最小值即可得出；
（4）先将原式用x来表示y，并带入x+2y中，结合完全平方公式进行变形，即可得出时对应的x+2y的最小值，最后代入计算即可求出y的值。
16．（四川省达州市渠县三汇中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学测试题）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等．
①分组分解法：例如：；
②十字相乘法：例如：由图可得：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知a，b，c为的三边长，且，求的周长．
【答案】（1）①；②
（2）7
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
17．（2025八下·长春期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k．
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”．
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为________．
【答案】（1）A与B是互为“和整分式”，“和整值”
（2）①；②或
【知识点】分式的加减法；一元一次方程的其他应用；解分式方程
18．（四川省资阳市安岳中学2024—2025学年下学期八年级数学期中测试卷 ）如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
（1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程）
；
；
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
（3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值．
【答案】（1）不是，是
（2）
（3）或
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
19．（安徽省池州市青阳县2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）今年3至8月份期间，根据、、三种品牌空调的销售情况制作统计图如下，根据统计图，回答下列问题：
（1）3至8月份期间，_____品牌空调销售量最多（填“、或”）；8月份品牌空调销售量有_____台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是_____；
（2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台
（3）小明打算选购一台空调，你建议小明购买哪种品牌的空调？请你写出一条理由．
【答案】（1），
（2）解：8月，品牌电脑销售量为270台，品牌电脑占27%，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
其它品牌的电脑有：（台）．
（3）解：答案不唯一．
如，建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大．
或：建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快．
或：建议买产品．因为产品3至8月的总的销售量最多．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】
（1）
3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是品牌；
8月份，品牌的销售量为台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是
故答案为：，
【分析】
（1）观察条形统计图、折线统计图即可求解；
（2）根据品牌电脑销售量及品牌电脑所占百分比即可求出8月份电脑的总的销售量，再减去、、品牌的销售量即可求解；
（3）从所占的百分比、每月销售量增长比等方面提出建议即可（答案不唯一，只要符合题意即可）．
（1）3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是品牌；
8月份，品牌的销售量为台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是
故答案为：，
（2）8月，品牌电脑销售量为270台，品牌电脑占27%，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
其它品牌的电脑有：（台）．
（3）答案不唯一．
如，建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大．
或：建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快．
或：建议买产品．因为产品3至8月的总的销售量最多．
20．（2025八下·深圳期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断方程6-4(1-x)=2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
【答案】（1）解：方程6－4（1-x）与方程是＂相似方程＂，理由如下：
解方程6－4（1-x）＝2x得：，
解方程得：，
检验：是该分式方程得解．
两个方程是＂相似方程＂；
（2）由条件可知，
均为整数，
，
，
又为正整数，
或．
【知识点】解分式方程；分式方程-同解问题
【解析】【分析】（1）需要分别求解两个方程，然后对比它们的解，若解相同，则这两个方程是“相似方程”；
（2）先通过联立两个二元一次方程求出x关于m的表达式，再根据“相伴方程”的定义，即x为整数解，分析m-1可能的取值，从而求出m的值。
21．（2025七下·深圳期中）【知识回顾】借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略。用4个完全相同的小长方形拼成如图①的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为。
（1）观察图①，写出之间的等是关系式： ▲ ；
（2）【深入探究】小深在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若满足，求的值”，小深的解题过程如下：
令，则。
因为，
所以。
请你类比上述方法解决以下问题：
若满足，
① ▲ ；
②求的值；
（3）【应用迁移】图②是某校的花园规划用地示意图：在正方形ABCD空地中开发一个长方形区域EDGF种花，经测量种花区域的面积为，分别以ED，DG为边开发正方形区域MQDE，DHNG种草，开发长方形区域QPHD为休憩区，则整个花园MPNF的面积为 ▲ 。
【答案】（1）(a +b)2 ＝ (a-b)2 + 4ab
（2）①61
②(2025- x) (x -2024) = -30，
(2025- x) + (x- 2024) = 1，
令2025-x=a，x-2024=b，
即ab=-30，a+b=1，
(4049- 2x)2
= [(2025 - x) + (2024 - x)]2 = (a - b)2
= (a +b)2 - 4ab
=12-4×(-30)
= 121；
（3）1425
【知识点】完全平方公式的几何背景；完全平方式
【解析】【解答】解：(1) · (a + b)2 = a2 + 2ab + 62，
(a-b)2 = a2 — 2ab + b2，
.. (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab，
故答案为： (a +b)2 ＝ (a-b)2 + 4ab；
(2) (2025- x) (x -2024) = -30，
(2025- x) + (x- 2024) = 1，
令2025-x=a，x-2024=b，
即ab=-30，a+b=1，
①(2025 - x)2 + (x- 2024)2
= a2 + b2
= (a + b)2 - 2ab
=12-2x（-30)
= 61
故答案为：61；
(3)设ED=a， DG=b，
∵AE=15，GC=30，
∴AD=AE+ED=a+15，
∴CD=DG+GC=b+30，
∵四边形ABCD是正方形，
∴a+15=b+30，
∴a-b=15，
∵S矩形EFGD=300，
∴ab=300，
∴S正方形MPNF = (a + b)2
= (a-b)2 +4ab
=225+ 1200
=1425.
故答案为：1425.
【分析】(1)根据完全平方公式，把(a+b)2和(a-b)2展开，即可得到结果；
(2)①仿照示例，令2025-x=a，x-2024=b，得到ab=-30，a+b=1，即可得到结果；
②参照示例，可得到结果；
(3)根据题意，设ED= a，DG=b，a-b=15，ab=300，即可解答。
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