浙教版（2025）数学七年级下册教材习题1.1直线的相交
1．如图，三条直线相交于一点O，请说出图中的对顶角。
2．如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余。若∠COE=62°，求∠AOB的度数。
3．
（1） 如图①，O，P是直线AB上的两点，∠1=∠2。∠1与∠2是对顶角吗 请说明理由。
（2） 如图②，已知∠3=∠4。∠3与∠4是对顶角吗 请说明理由。
4．如图，直线AB与CD相交于点O．已知∠BOC=60°，说出下列各个角的度数．
（1）∠BOD．
（2）∠AOD．
5．说出图中的对顶角．
6． 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠COB。已知∠COE=60°，求∠AOD和∠BOD的度数。
7．如图，点O在直线AB上，且∠AOC=∠BOD，则∠BOD与∠BOC互为补角．请说明理由．
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠COB-30°，求∠AOE的度数。
9．如图，在正方形网格图中，A，B，C，D，E，F，G，H八棵树都在正方形的顶点上。
（1）小亮用绳子连结EF，DE，量得∠FEG=∠BED=45°，你能说明D，E，F三点在同一条直线上吗
（2）请设计一个方法，说明A，B，C三点在同一条直线上，并说明理由。
10．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。
11．如图，CD⊥EF，∠1=∠2，则AB⊥EF。请说明理由(补全解答过程)。
解： 因为CD⊥EF，
根据 ▲ ，
所以∠1= ▲ 。
因为∠2=∠1= ▲ ，
根据 ▲ ，
所以AB ▲ EF。
12．工人师傅常用角尺来画工件边缘的垂线(如图)．你能说明其中的理由吗？
13．如图，P是∠AOB内的一点．画出点P到∠AOB两边的垂线段，并量出点P到∠AOB两边的距离(精确到1mm)．
14．如图，已知直线a，b，点P在直线a上．过点P分别画直线a，b的垂线．
15．体育课上，老师是怎样测量跳远成绩的 请在图中画出表示测量成绩的线段。
16．
（1）如图，点D在线段AB上，∠ACD与∠BCD互余，∠CDA与∠CDB相等。找出图中互相垂直的直线，并用符号“⊥”表示。
（2）在题图中，点A到BC的距离是线段 ▲ 的长；点B到AC的距离是线段 ▲ 的长；点C到AB的距离是线段 ▲ 的长。
17．如图，P是直线AB上一点，DP⊥PC，∠APC=140°．求∠BPD的度数．
18．如图，直线l表示一段河道，点A表示集镇，图上距离与实际距离之比为1：2000000。现要从河道l向集镇A引水，问：沿怎样的路线开挖水渠，才能使水渠的长最短 请画出水渠的开挖路线，算出水渠的最小长度，并用量角器量出水渠的开挖方向。
答案解析部分
1．【答案】解：对顶角分别是：
∠FOA与∠EOB；∠FOC与∠EOD；
∠AOC与∠BOD；∠AOE与∠BOF；
∠COE与∠DOF；∠COB与∠DOA.
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角判断即可.
2．【答案】解：已知∠DOE与∠COE互余，根据两个角互余的意义，
知∠DOE+∠COE=90°，
所以∠DOE=90°-∠COE=90°-62°=28°。
又因为∠AOB与∠DOE是对顶角，
所以∠AOB=∠DOE (为什么 )，
所以∠AOB=28°。
【知识点】对顶角及其性质；余角
【解析】【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可.
3．【答案】（1）不是，因为顶点不相同。
（2）不是，因为与的两边不是互为反向延长线。
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角判断即可.
4．【答案】（1）解：∵直线AB与CD相交于点O，
即∠BOD与∠BOC是邻补角，
∴∠BOD+∠BOC=180°，
∵∠BOC=60°，
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-60°=120°.
（2）解：∵直线AB与CD相交于点O，
即∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；邻补角互补，即和为180°；即可求解.
（2）根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；对顶角相等；即可求解.
5．【答案】解：图中的对顶角有：
∠IOM与∠JOP，
∠MOJ与∠IOP，
∠KPO与∠LPN，
∠KPN与∠OPL.
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【分析】根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角即可求解.
6．【答案】解：因为平分，
所以，
所以。
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据对顶角相等求出∠AOD，根据邻补角的定义求出∠BOD即可.
7．【答案】解：∵AB为直线。
∴∠AOC+∠BOC=180°，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD+∠BOC=180°，
即∠BOD与∠BOC互为补角.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；邻补角互补，即和为180°；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；对顶角相等可推得∠BOD+∠BOC=180°；根据若两角之和满足180°，那么这两个角互为补角即可求解.
8．【答案】解：因为，
所以。
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以。
因为OE平分，
所以。
因为，
所以.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】结合图形可知∠AOC+∠COB=180°，由 ∠AOC=∠COB-30°， 即可求出∠AOC、∠COB的度数，再根据对顶角相等和角平分线的定义可求出∠BOD、∠DOE的度数，最后根据j即可求解.
9．【答案】（1）由题图知，三点在同一直线上，所以。
因为，所以，
所以三点在同一直线上。
（2）连结，量的度数，即可得到。理由：因为，所以三点在同一直线上（平角的意义）。
【知识点】邻补角
【解析】【分析】（1）观察图形结合邻补角的定义可得出，再根据 ∠FEG=∠BED=45° ，可得出，即可得出结论.
（2）通过测量∠ABE、∠CBE得度数，根据平角的概念和性质：180°的角，两边在一条直线上即可得出结论.
10．【答案】解： 因为 OE⊥AB，所以∠AOE=90°。
又因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据“对顶角相等”，得∠AOC=∠BOD=45°，
所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°
=135°。
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据OE⊥AB可得出∠AOE=90°，再根据对顶角相等可求出∠AOC的度数，进而即可求出∠COE的度数.
11．【答案】垂直的定义； ； ；垂直的定义；
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解： 因为CD⊥EF，
根据垂直的定义，
所以∠1=90°。
因为∠2=∠1=90°，
根据 垂直的定义，
所以AB⊥EF。
【分析】根据垂直定义求出∠1=90°，再根据等量代换可知∠2=∠1=90°，最后根据垂直定义即可证明.
12．【答案】解：∵角尺的两支尺成直角，
∴∠DCB、∠FEB、···这些角都是直角，
∴DC⊥AB，FE⊥AB.
【知识点】垂线的概念
【解析】【分析】根据角尺的两支尺成直角即可得出结论．
13．【答案】解：作PM⊥OB于点M，作ON⊥OA于点N，如图：
线段PM和PN即为所求.
点P到OA、OB的距离分别是10mm、5mm.
【知识点】点到直线的距离；尺规作图-垂线
【解析】【分析】根据题意，作PM⊥OB于点M，作ON⊥OA于点N，线段PM和PN即为所求.
14．【答案】解：如图：
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【分析】根据过一点作已知直线的垂线的作法作出图形即可.
15．【答案】解：过脚后跟作起跳线的垂线段，如图所示。
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【分析】根据体育的测量方法，以最近的脚后跟为准，再根据垂线段最短，过最近的脚后跟作起跳线的垂线段进行测量即可.
16．【答案】（1）解：。
（2）
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACD ∠BCD互余，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵∠CDA与∠CDB相等，且 ∠CDA+∠CDB=180°，
∴ ∠CDA=∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；
（2）根据点到直线的距离是直线外一点到该直线的最短距离， 也就是这个点到这条直线的垂线段的长度，结合（1）可知，点A到BC的距离是线段AC的长，点B到AC的距离是线段BC的长，点C到AB的距离是线段CD的长.
【分析】（1）根据互余的两个角的和等于90°，两条直线相交构成的角是90°时，两直线互相垂直进行判断即可；
（2）根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度进行判断即可.
17．【答案】解：∵DP⊥PC，
∴∠DPC=90°，
∵∠APC=140°，
∴∠BPC=180°-140°=40°，
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC=40°+90°=130°.
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据题意可得∠DPC=90°，求得∠BPC=40°，即可求解.
18．【答案】解：沿过点且垂直于河道的路线开挖水渠，水渠的长度最短，最短长度约为22km，方向为北偏西约，如图所示：
【知识点】垂线段最短及其应用；方位角
【解析】【分析】根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，过点A作直线l的垂线段，再根据比例尺算得水渠的最小长度，再量出水渠的开挖方向即可.
1 / 1浙教版（2025）数学七年级下册教材习题1.1直线的相交
1．如图，三条直线相交于一点O，请说出图中的对顶角。
【答案】解：对顶角分别是：
∠FOA与∠EOB；∠FOC与∠EOD；
∠AOC与∠BOD；∠AOE与∠BOF；
∠COE与∠DOF；∠COB与∠DOA.
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角判断即可.
2．如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余。若∠COE=62°，求∠AOB的度数。
【答案】解：已知∠DOE与∠COE互余，根据两个角互余的意义，
知∠DOE+∠COE=90°，
所以∠DOE=90°-∠COE=90°-62°=28°。
又因为∠AOB与∠DOE是对顶角，
所以∠AOB=∠DOE (为什么 )，
所以∠AOB=28°。
【知识点】对顶角及其性质；余角
【解析】【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可.
3．
（1） 如图①，O，P是直线AB上的两点，∠1=∠2。∠1与∠2是对顶角吗 请说明理由。
（2） 如图②，已知∠3=∠4。∠3与∠4是对顶角吗 请说明理由。
【答案】（1）不是，因为顶点不相同。
（2）不是，因为与的两边不是互为反向延长线。
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角判断即可.
4．如图，直线AB与CD相交于点O．已知∠BOC=60°，说出下列各个角的度数．
（1）∠BOD．
（2）∠AOD．
【答案】（1）解：∵直线AB与CD相交于点O，
即∠BOD与∠BOC是邻补角，
∴∠BOD+∠BOC=180°，
∵∠BOC=60°，
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-60°=120°.
（2）解：∵直线AB与CD相交于点O，
即∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；邻补角互补，即和为180°；即可求解.
（2）根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；对顶角相等；即可求解.
5．说出图中的对顶角．
【答案】解：图中的对顶角有：
∠IOM与∠JOP，
∠MOJ与∠IOP，
∠KPO与∠LPN，
∠KPN与∠OPL.
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【分析】根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角即可求解.
6． 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠COB。已知∠COE=60°，求∠AOD和∠BOD的度数。
【答案】解：因为平分，
所以，
所以。
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据对顶角相等求出∠AOD，根据邻补角的定义求出∠BOD即可.
7．如图，点O在直线AB上，且∠AOC=∠BOD，则∠BOD与∠BOC互为补角．请说明理由．
【答案】解：∵AB为直线。
∴∠AOC+∠BOC=180°，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD+∠BOC=180°，
即∠BOD与∠BOC互为补角.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；邻补角互补，即和为180°；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；对顶角相等可推得∠BOD+∠BOC=180°；根据若两角之和满足180°，那么这两个角互为补角即可求解.
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠COB-30°，求∠AOE的度数。
【答案】解：因为，
所以。
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以。
因为OE平分，
所以。
因为，
所以.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】结合图形可知∠AOC+∠COB=180°，由 ∠AOC=∠COB-30°， 即可求出∠AOC、∠COB的度数，再根据对顶角相等和角平分线的定义可求出∠BOD、∠DOE的度数，最后根据j即可求解.
9．如图，在正方形网格图中，A，B，C，D，E，F，G，H八棵树都在正方形的顶点上。
（1）小亮用绳子连结EF，DE，量得∠FEG=∠BED=45°，你能说明D，E，F三点在同一条直线上吗
（2）请设计一个方法，说明A，B，C三点在同一条直线上，并说明理由。
【答案】（1）由题图知，三点在同一直线上，所以。
因为，所以，
所以三点在同一直线上。
（2）连结，量的度数，即可得到。理由：因为，所以三点在同一直线上（平角的意义）。
【知识点】邻补角
【解析】【分析】（1）观察图形结合邻补角的定义可得出，再根据 ∠FEG=∠BED=45° ，可得出，即可得出结论.
（2）通过测量∠ABE、∠CBE得度数，根据平角的概念和性质：180°的角，两边在一条直线上即可得出结论.
10．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。
【答案】解： 因为 OE⊥AB，所以∠AOE=90°。
又因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据“对顶角相等”，得∠AOC=∠BOD=45°，
所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°
=135°。
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据OE⊥AB可得出∠AOE=90°，再根据对顶角相等可求出∠AOC的度数，进而即可求出∠COE的度数.
11．如图，CD⊥EF，∠1=∠2，则AB⊥EF。请说明理由(补全解答过程)。
解： 因为CD⊥EF，
根据 ▲ ，
所以∠1= ▲ 。
因为∠2=∠1= ▲ ，
根据 ▲ ，
所以AB ▲ EF。
【答案】垂直的定义； ； ；垂直的定义；
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解： 因为CD⊥EF，
根据垂直的定义，
所以∠1=90°。
因为∠2=∠1=90°，
根据 垂直的定义，
所以AB⊥EF。
【分析】根据垂直定义求出∠1=90°，再根据等量代换可知∠2=∠1=90°，最后根据垂直定义即可证明.
12．工人师傅常用角尺来画工件边缘的垂线(如图)．你能说明其中的理由吗？
【答案】解：∵角尺的两支尺成直角，
∴∠DCB、∠FEB、···这些角都是直角，
∴DC⊥AB，FE⊥AB.
【知识点】垂线的概念
【解析】【分析】根据角尺的两支尺成直角即可得出结论．
13．如图，P是∠AOB内的一点．画出点P到∠AOB两边的垂线段，并量出点P到∠AOB两边的距离(精确到1mm)．
【答案】解：作PM⊥OB于点M，作ON⊥OA于点N，如图：
线段PM和PN即为所求.
点P到OA、OB的距离分别是10mm、5mm.
【知识点】点到直线的距离；尺规作图-垂线
【解析】【分析】根据题意，作PM⊥OB于点M，作ON⊥OA于点N，线段PM和PN即为所求.
14．如图，已知直线a，b，点P在直线a上．过点P分别画直线a，b的垂线．
【答案】解：如图：
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【分析】根据过一点作已知直线的垂线的作法作出图形即可.
15．体育课上，老师是怎样测量跳远成绩的 请在图中画出表示测量成绩的线段。
【答案】解：过脚后跟作起跳线的垂线段，如图所示。
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【分析】根据体育的测量方法，以最近的脚后跟为准，再根据垂线段最短，过最近的脚后跟作起跳线的垂线段进行测量即可.
16．
（1）如图，点D在线段AB上，∠ACD与∠BCD互余，∠CDA与∠CDB相等。找出图中互相垂直的直线，并用符号“⊥”表示。
（2）在题图中，点A到BC的距离是线段 ▲ 的长；点B到AC的距离是线段 ▲ 的长；点C到AB的距离是线段 ▲ 的长。
【答案】（1）解：。
（2）
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACD ∠BCD互余，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵∠CDA与∠CDB相等，且 ∠CDA+∠CDB=180°，
∴ ∠CDA=∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；
（2）根据点到直线的距离是直线外一点到该直线的最短距离， 也就是这个点到这条直线的垂线段的长度，结合（1）可知，点A到BC的距离是线段AC的长，点B到AC的距离是线段BC的长，点C到AB的距离是线段CD的长.
【分析】（1）根据互余的两个角的和等于90°，两条直线相交构成的角是90°时，两直线互相垂直进行判断即可；
（2）根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度进行判断即可.
17．如图，P是直线AB上一点，DP⊥PC，∠APC=140°．求∠BPD的度数．
【答案】解：∵DP⊥PC，
∴∠DPC=90°，
∵∠APC=140°，
∴∠BPC=180°-140°=40°，
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC=40°+90°=130°.
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据题意可得∠DPC=90°，求得∠BPC=40°，即可求解.
18．如图，直线l表示一段河道，点A表示集镇，图上距离与实际距离之比为1：2000000。现要从河道l向集镇A引水，问：沿怎样的路线开挖水渠，才能使水渠的长最短 请画出水渠的开挖路线，算出水渠的最小长度，并用量角器量出水渠的开挖方向。
【答案】解：沿过点且垂直于河道的路线开挖水渠，水渠的长度最短，最短长度约为22km，方向为北偏西约，如图所示：
【知识点】垂线段最短及其应用；方位角
【解析】【分析】根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，过点A作直线l的垂线段，再根据比例尺算得水渠的最小长度，再量出水渠的开挖方向即可.
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