初中数学浙教版（2024）七年级下册 第4章《因式分解》章节检测卷 （含解析）

第4章《因式分解》章节检测卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式中，与相乘的结果为的多项式是（　　）
A． B． C． D．
4．若，则代数式的值为（ ）
A．11 B．7 C．1 D．
5．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ）
A．勤奋健美 B．健美励志 C．励志勤奋 D．勤奋励志
6．若k为任意整数，且能被k整除，则k不可能是（ ）
A．50 B．97 C．98 D．100
7．若，都是有理数，且，则( )
A． B． C． D．
8．已知，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
9．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
10．生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当取，时，各个因式的值是:,，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取,时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（ ）
A．102030 B．103020 C．101030 D．102010
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
12．若，则代数式的值等于 ．
13．先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
14．对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ．
15．正整数p，q（）分别是正整数n的最小质因数和最大质因数，并且，则n＝ ．
16．如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 ．
三、解答题（8小题，共66分）
17．因式分解：
(1)； (2)．
18．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．请阅读下面材料，并解答问题：
阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解．
例如：．
利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．
(1)因式分解：
①．
②．
(2)利用因式分解求方程的解．
20．请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解．
(1)；
(2)．
21．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如：
．
拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如：
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
（分组分解法）；
（拆项法）；
(2)已知：，，为 ABC的三条边，，求 ABC的周长．
22．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似的，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
(1)在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为______；
(2)将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似的，长方体②的体积为______，长方体③的体积为______；（结果不需要化简）
(3)将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为______；
(4)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______．
(5)已知，，求的值．
23．对于任意的正整数n，记，当n等于1，2，…k，…n时，记的值分别为，…，…．
(1)的值为______；与2000最接近的的值为______；
(2)对于任意的n，的值是否一定为正整数？若是，请说明理由；若不是，请举例说明；
(3)①求的值；
②已知m为小于100的正整数，存在正整数k使得，求出所有可能的m的值．（需写出过程）
24．配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：（1）①29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式___________；
②若可配方成（m、n为常数），则___________；
探究问题：（2）①已知，则___________；
②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值___________
拓展结论：（3）已知实数x、y满足，求的最值，并求出此时x的值．
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A. 从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B.从左至右的变形不属于因式分解且计算错误，故本选项不符合题意；
C. 从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：Ａ．
2．（C
【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．
【详解】解：单项式与的公因式是．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
根据题意，利用平方差公式的性质，得到答案．
【详解】解：根据题意得：
故选：．
4．D
【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，把化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
；
故选D
5．A
【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解即可．
【详解】解：
，
根据题意可得对应的密码文字为：“健”，“奋”，“勤”，“美”，
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了分解因式，把因式分解成是解题的关键．
【详解】解：
，
∴能被50，98，100整除，不能被97整除，
故选B．
7．B
【分析】首先利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出与的值，然后代入所求式子进行计算即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
解得：，
∴
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
故选：．
9．B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可．
【详解】解：由图可知：，
正方形边长为a，正方形边长为b，
，
，
，
，
，
将，代入得：
，
故选：B．
10．C
【分析】根据用“因式分解”法产生的密码的原理，先将因式分解，再模仿例子方法可得六位数密码．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴这个密码可以101030，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查整式的化简求值，先根据平方差公式化简原式，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
∴原式，
故答案为：4．
13．
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了因式分解的另一种方法—用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可．
【详解】解：
．
15．20
【分析】利用因式分解变形等式，讨论求值即可．
【详解】解：∵正整数p，q（）分别是正整数n的最小质因数和最大质因数，
∴可以设，
∵，
∴，
当时，有，
∵，
∴，
∵，p为质因数，
∴，
∴，
∴；
故答案为：20．
16． 165 1088
【分析】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键．
（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得；
（2）设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，
，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被11整除，分别求出、的值，由此即可得．
【详解】解：（1）∵自然数A的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数A的个位数字不为0，
∴，
解得：，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴，
∴为5或者4 ，
，即的分子是奇数，
当时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被11整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有3，
，
即，
故答案为：1088．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
19．（1）解：①，
②；
（2），
，
或，
或，
方程的解是或．
20．（1）解：
；
（2）解：
．
21．（1）
（2），
．
．
，，．
．
的周长为．
22．（1）解：由大的正方体的体积为，截去的小正方体的体积为，
所以截去后得到的几何体的体积为：
故答案为：
（2）∵，，
由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为，
∵，，所以长方体③的体积为
故答案为：，
（3）由题意得：
故答案为：
（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：
故答案为：
（5）∵，，
∴
∴，
23．（1）解：的值为；
，
，即，
，，，
，
，
，
故答案为：10，2024；
（2）是正整数，证明如下：
，由于2和3为质数，
故需证明既能被2整除，也能被3整除即可．
当n为偶数时，为两个偶数与一个奇数的积，积也为偶数，能被2整除，
当n为奇数时，为两个奇数与一个偶数的积，积也为偶数，能被2整除；
当n是3的倍数时，能被3整除，
当n除3余1时，则能被3整除，故能被3整除，
当n除3余2时，则能被3整除，故能被3整除，
综上所述，的值是正整数；
（3）①，，
，
，
；
②
，
整理可得：，
由于k是正整数，所以可取1，2，3，4，5，6，7，
故m可能的值为11，19，29，41，55，71，89．
24．解：（1）①根据题意得：；
②根据题意得：，
，，
∴；
（2）①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
②当时，为“完美数”，理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
（3）∵，
∴，即，
∴
，
∵，
∴，
∴
∴当时，最大，最大值为．