七年级数学下册浙教版 2.5《三元一次方程组及其解法》小节复习题（含答案）

2.5《三元一次方程组及其解法》小节复习题
题型01 三元一次方程组的定义
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ．
5．含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做 ．
概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
三元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个三元一次方程组的解．
题型02 三元一次方程组的解
6．解方程组：．
7．解方程组：
8．解方程组：
9．解方程组：
10．解方程组
题型03 构造三元一次方程组解题
11．已知等式，且当时，；当时，；当时，；
(1)求 a、b、c 的值；
(2)当 时，y 的值又是多少？
12．关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35；
(1)求a，b，c的值
(2)当时，求代数式的值．
13．若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值
14．在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题．
(1)=_______；
(2)求的值．
15．关于的二元一次方程组
(1)是否存在的值，使方程组的解为．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
(2)当的值互为相反数时，求的值．
(3)当取不同的值时，代数式的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，请说明理由．
题型04 根据三元一次方程组解的情况求参数
16．在等式中，当时，；当时，；当与时，y的值相等，求的值．
17．已知多项式，当时，它的值是，当时，它的值是，试求的值．
18．探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
19．在等式中，当时，；当时，；当时，．
(1)求，，的值；
(2)求当时，的值．
20．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
题型05 三元一次方程组的应用
21．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
22．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车．
23．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数．
24．【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：得：③
得：，所以，的值为．
【类比迁移】（1）已知求的值；
【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？
25．某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？
题型06 三元一次方程组的新定义运算
26．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b，c均为常数，且已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
27．若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ．
28．若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△5＝15，7△3＝﹣5，求5△4的值 ．
29．【阅读理解】已知实数满足…①，……②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组则___________，___________.
(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元；
(3)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
30．新定义 对有理数x，y定义新运算x△y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2＝9，(－3)△3＝6，0△1＝2，求(－2)△5的值．
参考答案
题型01 三元一次方程组的定义
1．D
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解．
【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意；
B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意；
C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意；
D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意；
C、是三元一次方程，符合题意；
D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
故选C．
3．D
【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键．
【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选：D．
4．
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：且，
解得：，
故答案为：．
5． 三元一次方程组 公共解
题型02 三元一次方程组的解
6．解：，
①②得：④，
③④得：
解得：，
把代入③得：，
把，代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：．
7．解：
得：
得：
得：
解得：
把代入④得：
把，代入①得：
故方程组的解为：
8．解：
①③得，④
①②得，⑤
④⑤得，
解得：，
将代入④得
解得：
将代入②得，
解得：
∴方程组的解为：
9．解：
得，
得，
∴，
把代入②，得，
∴，
把，代入①，得，
解得，
所以方程组的解为.
10．解：，
得：，
由③，代入得：，
解得：，
将代入③得：，
将，代入①得：，
则方程组的解为．
题型03 构造三元一次方程组解题
11．（1）由已知得
解得
即.
（2）由(1)得.
当时，.
即y 的值是15．
12．（1）解：由题意得：，
得：，
得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：，
（2）当时，，
∴的值为16．
13．解：，互为相反数，
，即，
将代入原方程组，
，
整理可得，
，
得，，即，
将代入②得，．
14．（1）∵当，1，3时的值分别是，0，，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）∵，
∴．
15．（1）不存在
理由：把代入方程①，得：，
解得的值，
把代入方程②，得：，
解得的值，
因为，所以不存在的值，使方程组的解为．
（2）存在，的值为8，理由如下：
由题得，
则可得解得
所以的值为8．
（3）代数式的值为定值．
理由：由②①得
整理得：．
题型04 根据三元一次方程组解的情况求参数
16．解：∵当与时，y的值相等，
∴，即，
把当时，；当时，代入等式得
，
①-②得：，即，
将代入③得：，
将代入①得：，
∴，
∴．
17．解∶由题意得，
②①，得，
∴．
18．解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：，
①+②+③得，
得：，
得：，
得：，
∴，
解得：．
19．（1）根据题意得：，
①＋②得：④
③＋②×2得：⑤，
⑤－④得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
方程组的解为：；
（2）根据题意得：，
把代入得：，
即的值为．
20．（1）解：当y＝0时，x＝5；
当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；
当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，
所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或；
（2）解：有．
，
②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，
①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，
∵x、y、k为非负整数，
∴6﹣2y≥0，解得y≤3，
∴y＝0、1、2，3，
当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，
∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或．
题型05 三元一次方程组的应用
21．C
【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．
设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数，
根据题意得，，
整理得，，
①当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
②当时，，
∴
∵，且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：C．
22．180
【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，设甲、乙、丙速度分别为，甲车出发后分钟追上乙，根据乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲、乙、丙速度分别为，甲车出发后分钟追上乙，根据题意：
则，
由得，
由得，
，
，
由得，
∴，
∴甲车出发后180分钟追上乙，
故答案为：180．
23．解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，
由题意，得，
解得，
答：原来的三位数为287．
24．解：（1）依题意，，
∴得：，
∴；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，
根据题意得：，
∴得，
∴（元），
∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元．
25．解：设、、三种贺卡售出的张数分别为，，，
则由题意得组得：，
由①②得，，即，
②①得，，即，
由，得，
由，得，
，
答：该商店3月份出售种贺卡至少20张．
题型06 三元一次方程组的新定义运算
26．A
【分析】根据新定义运算得出，求出，即可求解．
【详解】，
，
由①×2-②，得，
，
故选：A．
27．6
【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键．
根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解．
【详解】解：∵，
，可得：，
，
，
故答案为：6．
28．5
【分析】根据定义列出三元一次方程组，得出a、b、c的关系，再整体求值即可．
【详解】解：∵3△5＝15，7△3＝﹣5，
∴，
①+②，可得：10a+8b+2c＝10，
∴5a+4b+c＝5，
∴5△4＝5a+4b+c＝5，
故答案为：5．
29．（1）解：，
得：，
得，则，
∴，
故答案为：，25；
（2）解：设一支铅笔x元，一块橡皮y元，一本日记本z元，
根据题意，得，
得，
∴，
答：购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需36元．
（3）解：∵，，，
∴，
得，
∴
30．由题意得解得
所以此新运算为x△y＝2x＋5y－3.
故(－2)△5＝2×(－2)＋5×5－3＝18.