七年级数学下册浙教版 3.1《同底数幂的乘法 》小节复习题（含答案）

3.1《同底数幂的乘法 》小节复习题
题型01 同底数幂相乘
1．化简多项式的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若、均为正整数，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
3．计算： ．
4．计算： ；
5．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型02 同底数幂乘法的逆用
6．可以改写成（ ）
A． B． C． D．
7．如果，，则的值为（ ）
A．3 B．7 C．10 D．25
8．已知，则的值为 ．
9．已知，则 ．
10．（1）已知，求的值；
（2）已知，试用含的式子表示．
题型03 用科学记数法表示数的乘法
11．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米．
A． B． C．1.4 × 10 D．1.4× 10
12．“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
13．世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）．
14．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米．
15．光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米．
题型04 幂的乘方运算
16．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列算式可以用“幂的乘方法则”运算的是（ ）
A． B． C． D．
18．如果，则等于 ．
19．已知，则的值为 ．
20．已知，求的值
题型05 幂的乘方运算逆用
21．若，，
(1)求代数式的值；
(2)求的值．
22．若，，用含的代数式表示．
23．分别求出下列式子的值
(1)已知：，求：
①；
②．
(2)如果，求x的值．
24．已知，，求的值．
25．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
题型06 积的乘方运算
26．用简便方法计算．
(1)； (2)．
27．若，，求的值．
28．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
29．计算：
(1)； (2)．
30．已知：，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
题型07 积的乘方运算逆用
31．已知，，求的值．
32．计算
(1)若，求的值．
(2)若，求x的值．
33．（1）已知，求的值．
（2）已知，求x的值．
（3）计算．
34．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)如果，求的值．
35．（1）已知，求的值．
（2）若，求的值．
（3）已知，用含、的式子表示．
题型08 利用幂的运算比较大小
36．比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴
(1)比较，的大小．
(2)比较，，的大小．
37．请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系；
解：，，且
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______．
A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方
(2)已知，，试比较a，b的大小．
38．在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题：
(1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”）
(2)已知，，，试比较，，的大小．
39．阅读下列材料，回答问题．
下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．
①比较和的大小．
当时，，即当底数相同时，指数越大值越大．
②比较和的大小．
解：，，，，．
即指数相同时，底数越大值越大．
(1)比较和的大小；
(2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”）
40．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．
（i）阅读和学习下面的材料：
比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ．
（ii）阅读和学习下面的材料：
已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ．
学习以上解题思路和方法，然后完成下题：
(1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）．
(2)计算：．
题型09 幂的混合运算
41．计算；
(1)； (2)；
(3)； (4)．
42．计算
(1)； (2)．
43．计算：
(1)； (2)．
44．计算：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
45．计算：
(1)； (2)．
题型10 由幂的运算确定字母的关系
46．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（ ）
A． B．
C． D．
47．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　）
A． B． C． D．
48．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ．
49．已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程．
50．（1）已知，，求的值．
（2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由．
题型11 幂的运算实际应用
51．已知一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
52．一个棱长为的正方体，在某种物体的作用下，其棱长以每秒扩大到原来的倍的速度增长，则后该正方体的棱长为 ．
53．《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与宽之比为，有五种通用尺度（尺寸规格）．若一种尺度的国旗的宽为，则这种尺度的国旗旗面的面积为 ．
54．一个正方体的棱长为，求它的体积．
55．已知木星的半径大约是，将它近似看成一个球，求出它的体积．（取）
题型12 同底数幂乘法的新定义运算
56．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．
例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，
故，
则 ，
即．
(1)根据上述规定，填空： ； ； ．
(2)计算 ，并说明理由．
(3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立．
57．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______；
(2)若，，求的值；
(3)计算：．
58．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，．
(1)解方程：， ________；
(2)求值：________；
(3)计算：________；
(4)计算：．
59．设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，．
(1)若，则 ；若，则 ；
(2)若且，求x、y的值．
60．阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．
(1)计算以下各对数的值： ， ， ．
(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？
(3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论．
参考答案
题型01 同底数幂相乘
1．A
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂相乘法则、合并同类项法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查同底数幂相除法则，根据同底数幂相乘由可得，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D
3．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是关键．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
4．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，先进行同底数幂的乘法运算，再化简结果，即可求解；掌握是解题的关键．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
5．（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
题型02 同底数幂乘法的逆用
6．D
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故选D．
7．C
【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆运算．根据同底数幂乘法法则的逆运算解答．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
8．12
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，根据题意，把变形为，即可得出答案．
【详解】解：解：∵，
∴=6×2 =12．
故答案为：12．
9．54
【分析】本题考查了幂的乘法的逆用，根据进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：54．
10．解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴．
题型03 用科学记数法表示数的乘法
11．A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：依题意，．
故选：A．
12．A
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：万．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法及科学记数法．根据总重量大理石块数每块大理石的重量列出代数式，再计算求值即可．
【详解】解：．
故答案为：
14．
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可．
【详解】解：米；
故答案为：
题型04 幂的乘方运算
16．D
【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘法则、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
17．B
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方进行判定即可．
【详解】解：A、，运用同底数幂的乘法计算，不符合题意；
B、，运用幂的乘方计算，符合题意；
C、，运用积的乘方计算，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
故选：B ．
18．
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则计算已知等式的左边，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
19．225
【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：
=
=225．
故答案为：225．
20．解：∵，
∴，
∴
．
题型05 幂的乘方运算逆用
21．（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
22．解：∵，，
∴，
∴．
23．（1）解：①
②
（2）
24．解：，，
原式，
，
，
．
25．（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴.
题型06 积的乘方运算
26．（1）解：原式；
（2）解：原式
．
27．解：
，
∵，，
∴原式
．
28．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
29．（1）解：原式．
（2）解：原式
30．（1）解：∵，，
∴；
（2），
∴．
题型07 积的乘方运算逆用
31．解：∵，，
∴
．
32．（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵．
∴，
解得
33．解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴解得．
（3）
．
34．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴．
35．解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
解得：；
（3）∵，
∴．
题型08 利用幂的运算比较大小
36．（1）解：，，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，
又∵，，，
∴，
∴．
37．（1）解：和利用的是幂的乘方的逆用，
故选：C．
（2）解：∵，，
∴，，且，
∴，
∴．
38．（1）解：∵若，，则，，
∴；
（2）解：∵，，，且，
∴，
∴，即．
39．（1）解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
又，
∴，
即
∴，
故答案为：．
40．（1）解：依题意，，，，
而，
；
（2）解：
．
题型09 幂的混合运算
41．（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
42．（1）解：
；
（2）解：
．
43．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
44．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
45．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型10 由幂的运算确定字母的关系
46．A
【分析】本题考查同底数幂的乘法的应用，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此对已知进行恒等变换即可．
【详解】解：∵，，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
47．D
【分析】根据幂的运算法则，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
B、，，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
C、，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
D、由B可得，，故D不成立，符合题意；
故选：D．
48．
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论．
【详解】解：，
∴、、之间满足的等量关系是；
故答案为：．
49．解：a，b，c之间满足的等量关系为：，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，即．
50．解：（1）∵，，
∴；
（2），理由如下：
∵，且，，，
∴．
题型11 幂的运算实际应用
51．D
【分析】本题主要考查积的乘方，科学记数法，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．正方体的体积等于棱长的立方，据此进行运算，再把结果用科学记数法的形式表示即可．
【详解】解：正方体的体积为：
．
故选：D．
52．
【分析】本题考查了同底数幂相乘的应用，根据题意列出式子，计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：后该正方体的棱长为，
故答案为：．
53．
【分析】此题考查长方形面积和按比例分配，解答此题的关键是根据长与宽之比为，分别求出长和宽．
【详解】解：∵长与宽之比为，
∴长是宽的，
又∵国旗的宽为，
∴长为，
∴这种尺度的国旗旗面的面积为，
故答案为：．
54．解：正方体的棱长为，
它的体积为．
55．解：（立方千米），
答：木星的体积大约是立方千米．
题型12 同底数幂乘法的新定义运算
56．（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：2，0，3；
（2）解：设，，
则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：，于是得到，即，
∴，即，
∴．
57．（1）解：，
，
，
又，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
原式；
（3）解：
．
58．（1）解：∵，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
（4）解：
．
59．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：6；；
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
60．（1）解：，
，
，
，
，
，
故答案为：2，4，6；
（2）解：，
；
（3）解：设，那么有，又设，那么有，
故而，
根据对数的定义化成对数式为，
．