七年级数学下册浙教版 3.4 《乘法公式》小节复习题（含答案）

3.4 《乘法公式》小节复习题
题型01 运用平方差公式进行运算
1．的计算结果是（　　）
A． B． C．2 D．4
2．在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（ ）．
4．计算的结果为 ．
5．用平方差公式计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型02 平方差公式与几何图形
6．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A． B．
C． D．
7．从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，且以a、b、c为长拼成如图正方形，则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)

9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是 ．
10．仔细观察图①、图②，回答下列问题：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；
(2)若将阴影部分剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），则它的宽是_______，长是_______，面积是_______；
(3)比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是_________（用含的等式表示）．
题型03 运用完全平方公式进行运算
11．利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（ ）
A． B． C． D．
12．若，则的最小值是（ ）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
13．化简的值是 ．
14．根据完全平方公式填空：
（1） ；
（2）( )．
15．计算：
(1)； (2)； (3)．
题型04 完全平方公式在几何图形中的应用
16．两个边长为的大正方形与两个边长为的小正方形按如图所示放置，如果，阴影部分的面积是60，那么（ ）
A．44 B．46 C．50 D．53
17．如图，小明同学在一次数学活动课上做了如下的一次拼图操作：用两种大小不同的正方形各两个，拼接成一个中间是长方形的图案．若，且这四个正方形的面积和为50，则长方形的面积是（　　）
A．5 B． C．6 D．
18．如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
根据这样的等积法，我们可以得出结论：．
请你根据等积法，利用图2写出的计算结果 ．
19．一个正方形的边长增加到原来的3倍还多，它的面积就增加到原来的9倍还多，则这个正方形原来的边长是 ．
20．综合与实践
主题：制作“回形”正方形．
素材：一张长方形纸板（长为，宽为）．
步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开；
步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板．
（1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为__________．（用含，的式子表示）
（2）根据图2，请直接写出，，之间的等量关系．
（3）若，，求的值．
拓展与应用
（4）若，求的值．
题型05 乘法公式的知二求三问题
21．已知，求下列代数式的值：
(1)； (2)．
22．已知，求：
(1)的值； (2)的值．
23．已知，，求的值．
24．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
25．（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值．
题型06 乘法公式中的整体带入方法
26．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
27．已知，那么的值为（ ）
A．4051 B．2025 C．4046 D．4053
28．已知，则的值 ．
29．若，则 ．
30．阅读：若满足，求的值．
解：设，，
则_____，_____，
所以_____．
请仿照上例解决下面的问题：
(1)补全题目中横线处；
(2)若满足，求的值．
题型07 运用乘法公式解决规律性问题
31．根据等式：，，，的规律，则可以得出的结果为（　　）
A． B． C． D．
32．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，揭示了（为非负整数）展开式各项系数的有关规律：
……………………
请你猜想的展开式中所有系数的和是（ ）
A．2022 B．512 C．128 D．64
33．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，

利用上述规律计算： ．
34．观察以下等式：
第1个：
第2个：
第3个：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
35．观察下列各式
···
①根据以上规律，则 ，
②由此归纳出一般性规律： ；
③根据②直接写出： ．
题型08 乘法公式的新定义问题
36．定义，，给出下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
37．对于任意有理数A，B，现用“☆”定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（　　）
A． B． C． D．
38．定义新运算“”，对于任意实数都有．例如：．若，则 ．
39．已知对任意实数x，y，定义运算：，则的值为
40．在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”．
(1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）；
(2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
题型01 运用平方差公式进行运算
1．D
【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可．
【详解】解：
；
故选D．
2．B
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．平方差公式的形式是，平方差公式的特点是两个数的和乘以两个数的差，逐一判断四个选项，即可求解．
【详解】解：A，，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
B，，可以用平方差公式计算，符合题意；
C，，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
D，，不可以用平方差公式计算，不符合题意．
故选：B．
3．
【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式变形，即可作答．
【详解】解：．
故答案为：．
4．
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
根据平方差公式进行计算即可
【详解】解：，
故答案为：．
5．（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
题型02 平方差公式与几何图形
6．C
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出两个图形阴影部分的面积，即可得到答案．
【详解】图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，
∴可以验证成立的公式为．
故选：D．
8．
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用分割法表示出阴影部分的面积，再根据，结合平方差公式，将面积转化为含x、y、z的代数式即可．
【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为：
∵，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
9．15
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知识进行求解．设大正方形和小正方形的边长各为a，b，由题意可得，再运用三角形面积公式进行求解．
【详解】解：设大正方形和小正方形的边长各为，，
由题意可得，
阴影部分的面积为：
=
=
故答案为：15．
10．(1)
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了平方差公式的几何形式：（1）阴影部分的面积为大正方形减去小正方形的面积，用面积公式求即可；（2）观察图形，阴影部分的宽是小长方形的宽，阴影部分的长是两个小长方形的长之和，再根据长方形的面积公式即可求；（3）利用面积相等即可得到等式．
【详解】（1）阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积
面积
（2）观察图形，阴影部分的宽是小长方形的宽：
阴影部分的长是两个小长方形的长之和：
所以阴影部分的面积为长方形的面积：
（3）两个阴影部分的面积相同，即．
题型03 运用完全平方公式进行运算
11．A
【分析】本题考查了完全平方公式，选择最简单的计算方式是解题的关键．
选择最简单的计算方式即可．
【详解】解：利用完全平方公式计算，变形最恰当的是，
故选：A．
12．A
【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将转化为，再根据即可得到的最小值是2014．
【详解】解：
，
∵，
∴M的最小值是2014．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减，先根据完全平方公式化简，再去括号合并同类项．
【详解】解：
．
故答案为：．
14． 16 4
【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式进行解答即可；
（2）根据完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
故答案为：16；4；
15．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题型04 完全平方公式在几何图形中的应用
16．A
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．
由图可得阴影部分面积为个直角三角形面积的和，用含、的式子表示出阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∴，
，
∴，
解得：．
故选：A ．
17．B
【分析】本题主要考查了完全平方式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
由题意可得，则，再由可得，则，那么，从而求得答案．
【详解】解：由题意可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即长方形的面积是，
故选：B．
18．
【分析】用代数式分别表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
【详解】解：整体上是边长为的正方形，
因此面积为，
拼成大正方形的9个部分的面积和为，
∴，
故答案为：．
19．4
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设这个正方形原来的边长为，则原来的面积就是，边长增加后的面积就是．根据“边长增加后的面积原来面积的9倍”即可列方程解答．
【详解】解：设正方形原来边长为，根据题意得：
，
，
，
解得，
即这个正方形原来的边长为．
故答案为：4．
20．解：（1）由图2可得小正方形（阴影部分）的边长为，
故答案为：；
（2）可得阴影部分面积为：，而阴影部分面积又可表示为，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴；
（4）∵，
∴，
∴．
题型05 乘法公式的知二求三问题
21．（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
22．（1），
；
（2），
．
23．解：因为，
所以，即．
因为，
所以，
所以．
24．（1）解：因为，，
所以，
所以，
所以；
（2）解：因为由（1）知，
又因为，，
所以
．
25．解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴．
题型06 乘法公式中的整体带入方法
26．B
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造，再利用完全平方公式展开，合并同类项后即可得到答案．
【详解】解：已知，
则，
那么，
整理得：，
则，
故选：B．
27．A
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，再将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴原式，
故选：A．
28．36
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示阴影部分的面积是解决问题的关键．设a=x-2021，b=x-2023，进而得出则，再进行计算即可．
【详解】解：设，则，
所以，
即，
所以，
即．
故答案为：36
29．0或
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．当时和时，分别代入化简计算，即可作答．
【详解】解：，
或．
当时，；
当时，即，
，
，
，
，
故答案为：或．
30．（1）解：设，，
则，，
所以．
故答案为：30，20，340；
（2）解：设，，
则，，
，
，
，即
．
题型07 运用乘法公式解决规律性问题
31．D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字类规律问题．先将变形为，根据求出的结果得出规律，即可解答．
【详解】解：
，
．
故选：D．
32．B
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察已知给出的各式中的所有系数的和可得：（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数和是2n，问题即得解决.
【详解】解：（a+b）0的展开式的各项系数和为：1=20；
（a+b）1的展开式的各项系数和为：1+1=2=21；
（a+b）2的展开式的各项系数和为：1+2+1=4=22；
（a+b）3的展开式的各项系数和为：1+3+3+1=8=23；
（a+b）4的展开式的各项系数和为：1+4+6+4+1=16=24；
……
∴（a+b）n（n为非负整数）的展开式的各项系数和为：2n．
∴（a+b）9的展开式中所有系数的和是：29＝512.
故选：B．
33．
【分析】根据前面的变化规律，计算后解答即可．
【详解】∵
∴．
故答案为：．
34．（1）解：第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为：，
证明：左边，
右边，
左边右边，
等式成立．
35．解：①；
②；
③
．
题型08 乘法公式的新定义问题
36．A
【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是读懂题意，掌握运算法则．根据完全平方公式，得，，再逐项判断即可．
【详解】解：由完全平方公式，得，，
若，则，，则；
若，则，，
∴和不一定相等，故A错误，B正确；
若，则，
又∵，，
∴，
∴；故C正确，不符合题意；
若，则或，则，故D正确，不符合题意．
故选A．
37．C
【分析】本题考查了整式的混合运算，根据题目中给出的定义利用完全平方公式化简计算即可．
【详解】解：，
，
故选：C．
38．5
【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于x的等式．根据新运算的定义列出等式，然后再形求解即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
．
故答案为：5．
39．
【分析】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解题意；由题意可先求出的值，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为．
40．（1）解：，
∴20是“妙数”；
故答案为：是；
（2）解：，理由如下：
．
为“妙数”，
，