3.5《整式的化简 》小节复习题
题型01 整式的化简求值
1.先化简后求值:,其中,.
2.先化简,再求值:,其中.
3.先化简,再求值:,其中
4.先化简,再求值,其中.
5.先化简再求值:,其中.
题型02 利用整体代入方法化简求值
6.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛,如:已知,,则的值为 .
7.阅读材料:
我们知道,,类似地,我们把看成一个整体,则.
“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用:
(1)把看成一个整体,合并______;
(2)已知,求的值;
(3)探索:已知,,求的值.
8.阅读材料:我们知道,,类似地,我们把看成一个整体,则.“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛,尝试应用整体思想解决下列问题:
(1)把看成一个整体,合并;
(2)已知,求的值;
(3)已知,,,求的值.
9.阅读下列材料:已知实数m,n满足,试求的值.
解:设,则原方程变为,
整理得,即,
.
,
.
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
(1)已知实数x,y满足,求的值.
(2)在(1)的条件下,若,求和的值.
10.阅读材料:
我们知道,类似地,若把看成一个整体,则.
“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)把看成一个整体,合并__________.
(2)已知,求代数式的值.
(3)已知:,,,求代数式的值.
题型03 通过对完全平方公式变形求值
11.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
12.已知,,则的值为 .
13.若,则的值是 .
14.已知,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3).
15.已知,则 .
题型04 完全平方公式中的整体思维
16.已知,则的值为( )
A.25 B.24 C.23 D.22
17.已知,则代数式的值是 .
18.已知满足,求的值.
19.已知,则的值为 .
20.已知,则的值是( )
A.4 B.18 C.12 D.16
题型05 x+型化简求值问题
21.若,则的值为( )
A. B. C. D.
22.已知,则的值是( )
A.27 B.25 C.23 D.7
23.阅读理解:如果,我们可以先将等式两边同时平方得到,再根据完全平方公式计算得:,即,所以.请运用上面的方法解决下面问题:如果,则的值为 .
24.已知,则的值为 .
25.已知,求下列各式的值:
(1);(2);(3).
题型06 根据完全平方公式求最值
26.已知代数式,当= 时,代数式的值最小,最小值是 .
27.阅读材料:求代数式的最小值?总结出如下解答方法:
解:
∵,
∴当时,的值最小,最小值是,
∴的最小值是.
根据阅读材料解决下列问题:
(1)填空:_________________;
(2)求代数式最小值.
28.王老师提出问题:求代数式的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答.
同学们经过探索、交流和讨论,最后总结出如下解答方法;
解:,
∵,∴.
当时,的值最小,最小值是1.
∴的最小值是1.
请你根据上述方法,解答下列各题:
(1)直接写出的最小值为 .
(2)求代数式的最小值.
(3)你认为代数式有最大值还是有最小值?求出该最大值或最小值.
29.阅读理解题:在学完乘法公式后,王老师向同学们提出了这样一个问题:你能求代数式的最小值吗?
【初步思考】同学们经过合作、交流、讨论,总结出如下方法:
解:
因为,
所以当时,的值最小,最小值是0.
所以.
所以当时,的值最小,最小值是2.
所以当时,的值最小,最小值是2.
请你根据上述方法,解答下列问题:代数式有最大值还是最小值?这个值是多少?并求此时的值.
30.数学课时,老师在讲完乘法公式的多种运用后,要求同学们运用所学知识解答:求代数式的最小值?同学们经过交流、讨论,最后总结出如下解答方法:
解:
,
当时,的值最小,最小值是0,
当时,的值最小,最小值是1,
的最小值是1.
请你根据上述方法,解答下列各题:
(1)知识再现:求为何值时,代数式有最小值,并求出这个值;
(2)知识运用:若,当______时,有最______值(填“大”或“小”),这个值是______.
题型07 整式的混合运算
31.计算的结果是( )
A. B. C. D.
32.先化简,再求值:
(1),其中;
(2),其中.
33.计算:
(1)(用乘法公式简便运算);
(2).
34.先化简,再求值:,其中.
35.化简
(1)
(2);
(3)
(4);
参考答案
题型01 整式的化简求值
1.解:
;
当,时,
原式
.
2.解:
,
把代入得:原式.
3.解:
,
,
当时,
原式.
4.解∶原式
当时,原式.
5.解:
;
当时,原式
.
题型02 利用整体代入方法化简求值
6.
【分析】本题考查的是积的乘方运算,单项式的乘法运算,求解代数式的值,熟练利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键.
【详解】解:∵,
∴
;
故答案为:
7.(1)解:
,
故答案为:.
(2)解:,
∵,
∴原式.
(3)解:已知,,
∴,,
∵
,
∴
.
8.(1)解:.
(2)解:,
把代入得,原式.
(3)解:
把,,代入得,
原式.
9.(1)解:设,则,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∴;
(2)解:∵,,
∴;
,
∴.
10.(1)解:
;
(2)解:;
(3)解:
.
题型03 通过对完全平方公式变形求值
11.B
【分析】本题考查了完全平方公式,利用完全平方公式变形求解即可.
【详解】解:∵,
∴
故选:B.
12.
【分析】本题考查了完全平方公式.根据完全平方公式得到,然后把,整体代入计算即可.
【详解】解:
,
当,时,
,
∴,
故答案为:.
13.12
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式的计算,用完全平方公式将展开,然后再代入计算即可.
【详解】解:因为,
所以.
故答案为:12.
14.(1)解:∵,
即,
∴;
(2)解:∵,
∴;
(3)解:∵,又,
∴或,
解得或,
∴当时,;
当时,;
∴.
15.80
【分析】本题考查了完全平方公式变形运算,由完全平方公式得,即可求解;掌握、、三者之间的关系是解题的关键.
【详解】解:∵,
∴
,
故答案为:80.
题型04 完全平方公式中的整体思维
16.C
【分析】本题考查了完全平方公式,熟练运用完全平方公式是解题的关键.
设,根据完全平方公式解答即可.
【详解】解:设,
,
,
,
,
,
即,
故选:C .
17.
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.根据完全平方公式将题目中的式子变形,然后整理化简,即可得到所求式子的值.
【详解】解:,
故答案为:.
18.解:设,,
∴,,
∴,
∴,
把代入上式,
得,
∴ .
19.17
【分析】本题考查完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式,运用整体代入思想是解题的关键.
根据完全平方公式对原式进行变形,再整体代入求值即可.
【详解】解:∵
∴
.
故答案为:17
20.B
【分析】本题考查了换元法,完全平方公式以及平方差公式,先整理得,再令,则,,解出,即可作答.
【详解】解:∵,
∴,
令,
∴,
则,
即,
∴,
∴,
则,
故选:B.
题型05 x+型化简求值问题
21.B
【分析】本题考查了代数式求值,完全平方公式.解题的关键在于对完全平方公式的灵活运用.根据题意可知,利用完全平方公式将代数式进行化简,,将已知条件代入求值即可.
【详解】解:
故选:B.
22.A
【分析】本题考查分式求值、完全平方公式,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.将两边平方得,利用完全平方公式转化成,即可求解.
【详解】解:将两边平方得:,
即,
则.
故选:A.
23.6
【分析】本题考查了完全平方公式变形运算,可得,两边平方得,即可求解;掌握、、三者之间的关系是解题的关键.
【详解】解:∵,
∴,
即,
∴,
∴,
故答案为:6.
24.
【分析】本题考查了完全平方公式,根据完全平方公式把所求的式子变形,把已知等式变形,代入计算得到答案,掌握完全平方公式的应用是解题的关键.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
25.(1),
,
,
,
;
(2),
,
,
,
;
(3),
,
,
,
.
题型06 根据完全平方公式求最值
26. 1
【分析】利用完全平方公式的最小值为0求出代数式的最小值,以及此时的值即可.
【详解】解:当,即时,的值最小,最小值为1,
故答案为:;1
27.(1)∵,
∴,
故答案为:,.
(2)∵,
∴,
∴当时,的值最小,最小值是,
∴的最小值是.
28.(1)解:,
∵,
∴.
当时,的值最小,最小值是3,
故答案为:3;
(2),
∵,
∴.
当时,的值最小,最小值是7,
∴的最小值是7;
(3)
,
∵,
∴,
∴,
∴当时,有最大值,最大值是8.
29.解:
,
,
当时,的值最大,最大值是0.
当时,的值最大,最大值为14,
当时,的值最大,最大值是14,
代数式有最大值,最大值为14,此时的值为2.
30.(1)解:
,
∵,
∴当时,的值最小,最小值为2,
∴当时,的值最小,最小值为2;
(2)解:
,
∵,
当时,的值最大,最大值为9,
∴当时,的值最大,最大值为9;
故答案为:2,大,9.
题型07 整式的混合运算
31.B
【分析】本题考查整式的混合运算,完全平方公式.先计算完全平方式,再去括号、合并同类项即可.
【详解】解:原式
,
故选B.
32.(1)解:原式.
当,即时,原式.
(2)解:原式
.
当时,
原式
.
33.(1)解:
;
(2)解:
34.解:
,
当时,原式.
35.(1)
(2)
(3)
(4)