七年级数学下册浙教版 4.3《用乘法公式分解因式》小节复习题（含答案）

4.3《用乘法公式分解因式》小节复习题
题型01 判断能否用公式法分解因式
1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中能用公式法分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A． B． C． D．
5．下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．2 B．3 C．4 D．5
题型02 平方差公式分解因式
6．在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．计算（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．当整数为 时（只写一个），多项式能用平方差公式分解因式．
10．观察下列等式：
①，②，③，④，…
(1)请按以上规律写出第⑥个等式：________：
(2)猜想并写出第n个等式：________；并证明猜想的正确性．
题型03 完全平方公式分解因式
11．小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ）
A．4xy B．2xy C． D．
12．在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，请同学们将进行因式分解结果是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ．
14．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
15．已知满足，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
题型04 综合运用公式法分解因式
16．分解因式： ．
17．因式分解： ．
18．分解因式： ．
19．把下列各式分解因式：
(1)； (2)．
20．对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解：
(1)； (2)； (3)．
题型05 综合提公因式和公式法分解因式
21．把多项式分解因式，下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．如果，那么的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
23．分解因式： ．
24．分解因式 ；若a是整数，则一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值是 ．
25．因式分解
(1)． (2)．
题型06 因式分解在有理数简算中的应用
26．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
27．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
28．设，，则数a，b，c的大小关系是 ．
29．小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ．
30．用简便方法计算：
(1)； (2)．
题型07 十字相乘法
31．若因式分解得：，则、的值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
32．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ．
33．将如图1所示的一张边长为a的正方形纸片剪去2个长为a，宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有a、b的等式表示从图1到图2的变化过程 ．

34．在实数范围内分解因式： ．
35．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务．
2024年12月12日 阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示．
任务：
(1)因式分解： ．
(2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值．
题型08 分组分解法
36．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
37．因式分解： ．
38．分解因式 ．
39．把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)．
40．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等
①分组分解法：例如：
．
②拆项法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当，，满足时，求，，的值．
题型09 因式分解的应用
41．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．4
42．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．
43．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用含a、b的代数式表示）
44．已知，，，那么的值为 ．
45．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
(2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积．
题型10 配方法
46．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
47．请阅读以下因式分解的过程：
．
这种因式分解的方法叫做配方法．
请用配方法分解因式： ．
48．阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．根据阅读材料，解决下列问题：
(1)若多项式是一个完全平方式，则常数 ；
(2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
49．阅读材料：
已知，求m，n的值．
解：等式可变形为,
即．
因为，
所以．
所以．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请你利用配方法，解决下列问题：
已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，试求长方形的面积．
50．阅读材料：
分解因式：
解：原式
，
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”.此题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点，然后用“配方法”分解因式
题型11 利用因式分解求最值
51．发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数．
验证：
(1)的结果是8的______倍；
(2)设三个连续的奇数中间的一个为（n为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是8的倍数．
52．代数式中x，y取何值时代数式值最小？最小值是多少？
53．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：的最小值．
解：原式
∴当时，的值最小，原式最小值为1984．
例如：分解因式：
解：原式
(1)分解因式：___________；
(2)利用配方法求代数式的最大值；
(3)试说明：m、n取任何实数时，代数式的值总大于8．
54．（1）分解因式：
①_________；
②_________．
（2）根据以上两式，试求x、y各取何值时，的值最小？并求此最小值．
55．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
当时， 的值最小，最小值是0，
当 时，的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
(2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是
(3)知识拓展：若，求的最小值．
题型12 因式分解中的新定义问题
56．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是 ．
57．设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
①；②；③；④．
其中正确推断的序号是 ．
58．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
59．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．
(1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______；
(2)试说明“和谐数”一定能被11整除．
60．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
(1)若，，则，的“和积数”_____；
(2)若，，求，的“和积数”；
(3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）．
参考答案
题型01 判断能否用公式法分解因式
1．C
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；
B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意；
C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意；
D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可．
【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意；
B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意；
C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意；
D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意；
故选：A．
3．C
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的特征，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，不是完全平方公式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，是完全平方公式，故该选项正确，符合题意；
D. ，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】根据完全平方式的结构逐项分析判断即可
【详解】解：A. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，能用完全平方公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行判断即可．
【详解】解：①不能用公式法分解因式，不符合题意；
②，可以用平方差公式分解因式，符合题意；
③不能用公式法分解因式，不符合题意；
④不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑤不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑥，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；
故选A．
题型02 平方差公式分解因式
6．D
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式．根据平方差公式的特征，即可求解．
【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
C 、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
D、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意；
故选：D．
7．D
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，利用可得答案．
【详解】解：∵，
∴；
故选：D
8．B
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，把分子利用平方差公式分解因式，然后约分化简．
【详解】解：
．
故选：B．
9．
【分析】此题主要考查了公式法分解因式．直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：当时，．
故答案为：（答案不唯一）．
10．（1）解：第⑥个式子为：；
故答案为：；
（2）解：猜想第个等式为：，
证明：左边右边，
故答案为：．
题型03 完全平方公式分解因式
11．A
【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：，
墨迹覆盖的这一项是4xy，
故选：A．
12．A
【分析】本题考查因式分解．把看成整体，将多项式展开，再运用完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】解：
，
故选：A．
13．
【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．根据题意可得：拼成的大正方形的面积，即可解答．
【详解】解：由题意得：拼成的大正方形的面积，
∴拼成的大正方形的边长是，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查因式分解—公式法，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．解题的关键是掌握完全平方公式：．
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
故答案为：或．
15．A
【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式、非负数的性质．根据题意可得，由非负数的性质即可得出，的值，以此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，，
解得：，，
．
故选：A．
题型04 综合运用公式法分解因式
16．
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
综合利用公式法分解因式即可．
【详解】
．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
19．（1）解：
．
（2）解：
．
20．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题型05 综合提公因式和公式法分解因式
21．C
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
．
故选：C．
22．D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选D．
23．
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
24． 6
【分析】此题考查了因式分解以及应用，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，然后得到，，是三个连续的整数，进而求解即可．
【详解】解：
；
∵a是整数，
∴，，是三个连续的整数
∴能被，，，整除
∴整数k的最大值是6．
故答案为：，6．
25．（1）解：原式；
（2）原式．
题型06 因式分解在有理数简算中的应用
26．D
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
27．C
【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
【详解】原式
，
故选：C．
28．
【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴；
故答案为：．
29．
【分析】根据完全平方公式可得，再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：展开可得：
展开可得：
∴
故答案为：．
30．（1）解：
（2）解：
题型07 十字相乘法
31．A
【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法，掌握以上知识点是解题的关键．根据，即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A
32．5
【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵多项式进行因式分解得到，
∴，
∴，
故答案为：5．
33．
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积．利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答．
【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
34．
【分析】本题考查了因式分解；利用十字相乘法求解即可．
【详解】
故答案为：．
35．（1）解：一次项为：，则常数项为，
则；
（2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是：
；；；，
即整数的所有可能的值是：，．
题型08 分组分解法
36．C
【分析】此题主要考查分组分解法分解因式，分组后都可运用公式，熟练掌握分组分解法分解因式是解答本题的关键．
将分为一组，再观察剩下的式子，即．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
37．
【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可．
【详解】解∶原式
，
故答案为∶ ．
38．
【分析】本题考查了用分组分解和十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法．
先将因式分组分解，再通过十字相乘法，即可得出结果．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
39．（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
40．（1）解：①
；
②
；
（2）解：，
，
，
，，，
，，，
，，．
题型09 因式分解的应用
41．C
【分析】本题考查了因式分解和代数式求值．将分解因式得，再将，代入计算即可．
【详解】解：因为，，
∴
，
故选：C．
42．（答案不唯一）
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
根据或或或或或，把代入即可得到答案．
【详解】解：或或或或或，
当时，，，
六位数密码为或或或或或，
故答案为：（或或或或或）．
43．
【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式及因式分解．根据题意表示出长方形的面积，利用因式分解转化为多项式与多项式的积，即可确定长方形的长和宽，继而得到长方形的周长．
【详解】根据题意，长方形的面积为
∴边长为和，
∴周长为；
故答案为：
44．7
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．设，根据因式分解，先求的值，再求．
【详解】解：∵，，
，
∴，
，
，
设，
则
，
．
的值为7．
故答案为：7．
45．（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：，
长方形的长是，宽是，
由此可得：，
故答案为：；
（2）解：根据长方形的周长为，可得：
，
，
，
，
空白部分的面积为，
∵阴影部分的面积为，
且阴影部分的面积表示为，
故，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：空白部分的面积为．
题型10 配方法
46．D
【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．
【详解】a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-4b2
=(a-3b)2-(2b)2
=(a-3b+2b)(a-3b-2b)
=(a-b)(a-5b)；
故选：D．
47．解：
=
=
=[（x+1）+2][（x+1）-2]
=（x+3）（x-1）．
故答案为：（x+3）（x-1）．
48．（1）解： ，
，
故答案为：9；
（2），
∴这个代数式的值总是正数，
当时，的最小值是．
49．
∵，，
∴，，
解得：，，
∵a，b分别是长方形的长、宽，
∴长方形的面积为：．
50．解：
．
题型11 利用因式分解求最值
51．（1）解：∵，，
∴的结果是8的7倍；
（2）解：设三个连续的奇数中间的一个为，则最小奇数为，最大奇数为，
∴最大奇数与最小奇数的平方差为：，
∵，
∵n为整数，即为整数，
∴最大奇数与最小奇数的平方差是8的倍数．
52．原式 ，
，
∵，，
∴
∴当，，即，时，
有最小值是8．
53．（1）；
故答案为：；
（2）
∵
∴
∴
当时，值最大，最大值为58；
（3）∵
又∵，，
∴，
∴m、n取任何实数时，代数式的值总大于8．
54．解：（1）①；
②，
故答案为①；②；
（2）
，
∵，，
∴当，时，即，时，有最小值5．
55．（1）解：；
而
当时， 的值最小，最小值是0，
；
∴当时，有最小值3；
（2）解：，
而，
当时， 的值最大，最大值是0，
；
∴当时有最大值；
（3）解：∵，
，
，
∴当 时， 的最小值为．
题型12 因式分解中的新定义问题
56．12
【分析】本题考查数字类规律探究、因式分解的应用，理解题意，利用平方差公式求解是解答的关键．先根据已知
【详解】解：∵两个正整数m，n满足，
∴或或或或，……，
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为8，12，16，……；
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为15，21，27，……；
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为24，32，……；
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为35，45，……；
当时，则，
∴，
得到的智慧优数为48，60，……；
……，
把这些智慧优数从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，……，
故第2个智慧优数是12，
故答案为：12．
57．①②
【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：，
∴；故①正确；
；
∴；故②正确；
，
∴，故③错误；
∴；故④错误；
故答案为：①②．
58．
【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可．
【详解】解：由题意得，当，时，
，
，
，
故答案为：．
59．（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c，
由题意，得，
要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1，
b最小是，
此时c最小是0，
所以最小的“和谐数”时110；
最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9，
十位上b最大是9，
此时，
所以最大的“和谐数”是990．
由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990；
故答案为：110；990；
（2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），
由题意，得，
∴“和谐数”为，则有：
，
∵a，b是整数，
∴是整数，
∴任意“和谐数”一定能被11整除．
60．（1）解：由题意得：，
∴的“和积数”c为；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
∵，，，
∴，
∴或，
当时，，
当时，，
综上所述，c的值为或；
（3）解：由题意得：，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
∴．