七年级数学下册浙教版 5.2 《分式的基本性质》小节复习题（含答案）

5.2 《分式的基本性质》小节复习题
题型一 判断分式变形是否正确
1．下列分式变形中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．填空：
（1）； ①
（2）； ②
（3）； ③
（4）． ④
5．下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③ ④，错误的是 ．（填序号）
题型二 求使分式变形成立的条件
6．把分式方程变形为的形式，其依据为（ ）
A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则
7．若，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．或
8．用分式的基本性质填空：
（1）；括号内应填入：
（2）；括号内应填入：
（3）．括号内应填入：
9．．第一个括号内填写： ，第二个括号内填写：
10．下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)； (2)．
题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化
11．如果把分式中的x与y的值都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大4倍
12．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．无法确定
13．不改变分式的值，在括号内填空：；括号内应依次填入： 、
14．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ．
15．不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号．
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数
16．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　）
A． B．
C． D．
17．下列分式中与的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
18．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ．
19．若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝ ．
20．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．
(1)； (2)．
题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数
21．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（ ）
A． B．
C． D．
22．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A． B． C． D．
23．不改变分式的值，使的分子与分母中各项系数都为整数，化简的结果为 ．
24．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
25．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数．
(1)； (2)．
题型六 最简分式
26．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
27．分式中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．分式，，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ．
30．下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有 个．
题型七 约分
31．约分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
32．约分：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．
33．约分：
(1)； (2)； (3)．
34．约分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
35．约分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型八 最简公分母
36．分式和的最简公分母是（ ）．
A． B． C． D．
37．分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
38．分式，，的最简公分母是 ．
39．、的最简公分母是 ；与的最简公分母是 ．
40．分式与的最简公分母是 ．
题型九 通分
41．通分：
(1)； (2)．
42．通分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
43．通分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
44．通分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
45．通分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型十 分式基本性质的新定义问题
46．阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
(1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”）
(2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______；
(3)将假分式化为带分式．
47．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
，
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______．
(3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值．
48．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题：
(1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．
49．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如，
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
①；②；③；④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______．
(3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数．
50．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）；
(2)若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________；
(3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________．
；；．
参考答案
题型一 判断分式变形是否正确
1．D
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，直接由分式性质逐项验证即可得到答案，熟记分式基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、若同号时，才有，当异号时，分式变形错误，不符合题意；
B、由分式基本性质可知变形错误，不符合题意；
C、由分式基本性质可知变形错误，不符合题意；
D、由分式基本性质可知变形正确，符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，特别要注意同乘或同除的数或整式是否为0．
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案．
【详解】解：选项A、D是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误；
b有可能为0，故选项B错误；
分式的分子和分母同乘，且，符合分式的基本性质，故选项C正确．
故选C．
4．
【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或者除以不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
由分式的基本性质即可求解各小问．
【详解】解：（1）分子分母同乘以，则；
（2）分子分母同乘以5，则；
（3）分子分母同除以，则；
（4）分子分母同除以，则，
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）．
5．③④
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：③原式= ，故③错误；
④原式= ，故④错误；
故答案为③④．
题型二 求使分式变形成立的条件
6．B
【分析】本题考查解分式方程，根据等式的性质，分式的性质，逐一判断即可．
【详解】分式方程等式两边同时乘以得到
∴A、等式性质：等式两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍成立，不符合题意；
B、等式性质：等式两边同时乘同一个式子，等式仍成立，符合题意；
C、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为的整式，分式值不变，不符合题意；
D、分式的乘法法则：分式的分子和分母分别相乘，即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘，不符合题意；
故选：B．
7．C
【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即，
，
又分式的分母不能为0，
，
x应满足的条件是且，
故选C．
8．
【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键．
（1）由分子可知，进而得到分母，从而得到答案；
（2）由分母可知，进而得到分子，从而得到答案；
（3）由分子可知，进而得到分母为，从而得到答案．
【详解】解：（1），
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
故答案为：；
（3），
，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的性质，由分式的性质求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：，．
10．（1）解： ；
（2）解：．
题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化
11．A
【分析】本题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n．
解答此题时，可将分式中的x，y用代替，然后计算即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
∴把分式中的与都扩大2倍，那么分式的值不变，
故选：A．
12．A
【分析】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和，用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：，
∴将x，y的值都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了分式的基本性质，正确运算基本性质进行变形是解题的关键．
将分式的分子与分母都乘以即可；因为，所以．
【详解】
故答案为：；．
14．16
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案．
【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为：
，
若分式的值为8，则所得分式的值是．
故答案为：16．
15．（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数
16．C
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得：
，
故选：C．
17．B
【分析】根据分式的基本性质即可得出结论．
【详解】解：===
故选B．
18．
【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
19．
【分析】根据分式的基本性质解答．
【详解】原式＝．
20．（1）解：；
（2）解：．
题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数
21．C
【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可.
【详解】解：．
故选：C
22．A
【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可．
【详解】解：，
故选：A．
23．
【分析】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握其性质．
根据分式的基本性质把分子分母都乘以2即可；
【详解】解：，
故答案为：．
24．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案．
【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
25．（1）解：
．
（2）解：
．
题型六 最简分式
26．B
【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可．本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A、，选项不是最简分式，故不符合题意；
B、是最简分式，故符合题意；
C、，选项不是最简分式，故不符合题意；
D、，选项不是最简分式，故不符合题意．
故选：B．
27．A
【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键．
直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【详解】解：∵，∴不是最简分式；
∵，∴是最简分式；
∵，∴不是最简分式；
∵，∴不是最简分式．
∴最简分式有1个．
故选：Ａ．
28．C
【分析】本题考查了分式的性质，约分的计算，掌握分式的性质是关键．
如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，结合分式的性质即可求解．
【详解】解：是最简分式，
，原分式不是最简分式，
是最简分式，
是最简分式，
∴最简分式的有3个，
故选：C ．
29．（答案不唯一）
【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，
∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
30．2
【分析】本题主要考查了最简分式的判断，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可．
【详解】解：①是最简分式，符合题意；
②不是最简分式，不符合题意；
③不是最简分式，不符合题意；
④是最简分式，符合题意；
∴最简分式有2个，
故答案为：2．
题型七 约分
31．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
32．（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
（5）解：．
33．（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
34．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
35．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
题型八 最简公分母
36．C
【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键．
最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解．
【详解】解：分式和的最简公分母是，
故选：C ．
37．B
【分析】本题主要考查了最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，根据最简公分母的定义解答即可．
【详解】解：分式与的最简公分母是，
故选：．
38．
【分析】本题主要考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题的关键；因此此题可根据最简公分母：系数取最小公倍数，相同字母的取指数最高的作为公分母的一部分，不同部分照抄，然后问题可求解．
【详解】解：分式，，的最简公分母是；
故答案为．
39．
【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答即可．
【详解】解：，，的最简公分母是，
，
与的最简公分母是，
故答案为：；．
40．
【分析】本题考查了最简公分母，根据平方差和完全平方公式先把分母因式分解，再确定最简公分母即可，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴最简公分母是，
故答案为：．
题型九 通分
41．（1）解：，，；
（2）解：，，．
42．（1）解：，；
（2）解：，；
（3）解：，；
（4）解：，．
43．（1）解：
，；
（2）解：
，，；
（3）解：
，；
（4）解：
，．
44．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
45．（1）解：分式的最简公分母是，
则，
．
（2）解：分式的最简公分母是，
则，
，
．
（3）解：分式的最简公分母是，
则，
，
．
（4）解：，
分式的最简公分母是，
则，
．
题型十 分式基本性质的新定义问题
46．（1）解：由题意得，分式是真分式；
（2）解：；
∵的值是整数，
∴是整数，
∴是整数，
∴或，
∴或或或；
（3）解：
．
47．（1）解：①，故是和谐分式；
②，故不是和谐分式；
③，故是和谐分式；
④，故是和谐分式；
故答案为：①③④；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：解方程组，得，
∵方程组有正整数解，
∴且能被整除，
解得或．
48．（1）解：，是整式，
①是“巧分式”；
，不是整式，
②不是“巧分式”；
，是整式，
③是“巧分式”；
（2）解：分式的“巧整式”为．
，
；
，
又是整式，
是“巧分式”．
49．（1）解：①，②；③，④，
∴①③④的分式是“和谐分式”，
故答案为：①③④；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：∵的值为整数，
∴当x为整数时，的值为整数
当或或时，分式的值为整数，
∴或或或或或．
50．（1）解：①，分子分母不可因式分解，不是“和谐分式”；
②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”；③分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”；
④分子与分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”．
综上所述，是“和谐分式”的是②，
故答案为：②．
（2）解：a为整数，且为“和谐分式”，
可因式分解，
则可以为：
，但其作为分母时，分式可约分，不是“和谐分式”，
，
，
，
当或或时，分解后，分式不可约分，是“和谐分式”，
故答案为：4，，；
（3）解：由题知；；
“和谐分式”不可约分，
构造的分式是“和谐分式”的有或，
故答案为：或．