七年级数学下册浙教版 5.4《分式的加减》小节复习题（含答案）

5.4《分式的加减》小节复习题
题型一 同分母分式加减法
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果为（　　）
A．1 B． C．-1 D．
3．计算： ．
4．计算：
(1)； (2)．
5．计算：
(1)； (2)； (3)；(4)．
题型二 异分母分式加减法
6．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．某学生化简分式出现了错误，解答过程如下：
原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
(1)该学生解答过程是从第________步开始出错的；
(2)请写出此题正确的解答过程．
8．计算的结果等于（ ）
A． B．1 C． D．
9．计算的结果是 ．
10．计算：
(1) (2)
题型三 整式与分式相加减
11．计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
12．若 ，则 （ ）
A． B．2 C．0 D．无法计算
13．计算的结果是 ．
14．阅读下列材料：
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：．
解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ．
15．在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算．
参考小智的方法，完成下面的问题：
(1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值；
(2)求分式的最大值．
题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母
16．对于任意的值都有，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
17．若的值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．．
18．已知，则 ．
19．已知，则的值是 ．
20．已知，求的值．
题型五 分式加减混合运算
21．计算：下面是某同学的解答过程：
解：原式…第一步
…第二步
(1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________；
分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则．
(2)计算：．
22．计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
23．计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
24．计算：
(1)； (2)； (3)．
25．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：分式，所以分式与互为“3阶分式”．
(1)分式与_______互为“4阶分式”；
(2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”；
(3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值．
题型六 分式加减的实际应用
26．（1）先化简：，再从中任选一个数，求式子的值．
（2）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示：
①此人从甲地到乙地需要走______小时；
②如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时．
27．某商场文具专柜以每支（为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为元，你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗？每支钢笔的进价是多少元？
28．小明的妈妈有甲、乙两筐水果，甲筐水果重千克，乙筐水果重千克（其中），若两筐水果都卖了50元．
(1)哪筐水果的单价卖的低？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
29．小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说：“师傅，给我加200元油．”（油箱未加满）而爸爸每次加油都说：“师傅，给我加30升油!”（油箱未加满）小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油时的油价为元/升，第二次加油时的油价为元/升．
(1)求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格；（用含的式子表示）
(2)爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？
30．福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
题型七 分式化简求值
31．先化简，再从3，，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
32．先化简再求值：其中．
33．先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值．
34．已知，求代数式的值．
35．已知，求代数式的值．
题型八 分式的四则混合运算
36．化简．
37．化简：
(1)： (2)：
(3)先化简，再求值：，其中．
38．化简：
39．化简：．
40．计算：
(1)； (2)．
题型九 分式最值
41．请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
如：.
材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
（2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值.
42．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
43．如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以．
(1)填空：写出8的一种倒分解：______；
(2)计算的值；
(3)若的最大倒分解为，且，求的值．
44．【探究思考】
（1）探究一：观察分式的变形过程和结果，．
填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大．
（2）探究二：观察分式的变形过程和结果，
．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果．
【问题解决】（3）当时，求分式的最小值．
45．一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，那么当矩形周长为16时，其面积最大值是 ；再发现“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，进而推导出“式子”的最小值，则这个最小值是 ．
题型十 分式的规律计算问题
46．观察下面的等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按上面的规律归纳出一个一般的结论 （用含n的等式表示，n为正整数）．
47．已知，，，，……，，根据规律，请计算 （用含x的式子表示）
48．已知，，，，，…，按此规律，请用含的代数式表示 ．
49．对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算： ．
50．已知（a不取0和-1），，… 按此规律，请用含a的代数式表示 ．
题型十一 分式的混合运算综合
51．若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数）
(1)当时，，求此时的值；
(2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示）
(3)当为整数时，求此时的值．
52．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
53．（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值．
（二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”．
（）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）；
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________；
（3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？
54．（1）已知，求的值．
（2）已知，先化简再求值：．
55．已知，求证：
(1)三个数中必有两数之和为零；
(2)对于任意奇数，均有．
参考答案
题型一 同分母分式加减法
1．B
【分析】本题考查了同分母的分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
直接运用同分母的分式的减法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
2．B
【分析】此题主要考查了分式的加减运算．首先进行通分运算，进而计算得出答案．
【详解】解：
．
故选：B．
3．
【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键．按照计算方法计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
4．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
5．（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
．
题型二 异分母分式加减法
6．B
【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的性质，分式的加减运算法则是关键．
根据分式的混合运算计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：B ．
7．（1）解：该学生解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是分式的基本性质用错．通分是将两个或多个分式的分母化为相同的形式，依据分式的基本性质，分子分母要同时乘以同一个不为零的整式．在本题中，对通分，需要给分子分母同时乘以，应得到，而该学生只对分母进行了变形，分子未做相应变化．
故答案为：一；
（2）解：原式
．
8．A
【分析】本题考查分式的加法运算，先通分，化为同分母，再进行计算即可．注意最终结果要化为最简分式或者整式．
【详解】解：原式；
故选A．
9．
【分析】此题考查了分式的减法．通分化为同分母分式减法计算即可．
【详解】解：
故答案为：
10．（1）解：
（2）
=
题型三 整式与分式相加减
11．D
【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：D．
12．A
【分析】本题考查了分式的减法运算，整体代入求值，对等式合理的变形是解题的关键；先计算分式的减法，再整体代入求值即可；
【详解】解：，
，
，
∴ 原式 ，
故选：．
13．
【分析】本题主要考查分式的运算，通分是解答的关键．首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14． 真分式
【分析】本题考查分式的加减运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解“假分式”“带分式”的意义和转化方法是解决问题的关键．根据“真分式”的意义判断即可，根据“假分式”化成“带分式”的方法转化即可
【详解】解：分式的分子的次数是0，分母的次数是1，故是真分式；
．
故答案为：真分式；．
15．（1）解：
，
，；
（2）解：
，
，
，
，
，
原分式的最大值为．
题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母
16．B
【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故选：B．
17．D
【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可．
【详解】由题意可得，，则，
∴，
故选：D．
18．5
【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：5．
19．4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
20．解：，
由题意可知：，
解得：，．
题型五 分式加减混合运算
21．（1）解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分，
故答案为：；；
（2）解：
．
22．（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
23．（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
．
24．（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
25．（1）解：设另一个分式为M，
则，
解得，
故答案为：；
（2）解：∵
，
又∵正数x，y互为倒数，
∴，
∴分式与互为“2阶分式”；
（3）解：∵与互为“1阶分式”，
∴，
∴，
∴，其中a，b为正数，
∴．
题型六 分式加减的实际应用
26．（1）解：
∴取时，原式（或取，原式）
（2）解：① （小时）
故答案为：．
②（小时）
（小时）
故答案为：，．
27．设文具专柜共购进了支钢笔，可得，再结合，且为整数，为正整数，可得或，即可求解．
解：设文具专柜共购进了支钢笔，则
．
因为，且为整数，为正整数，
所以是7的约数，
所以或．
所以或（不符合题意．舍去）．
当时．．
答：文具专柜共购进了400支钢笔，每支的进价是5元．
28．（1）解：根据题意得
∵，，
∴，
∴，
∴乙筐水果的单价低；
（2）解：根据题意得
．
即高的单价是低的单价的倍．
29．（1）解：妈妈两次加油的总量是升，
妈妈两次加油的平均价格是元；
（2）爸爸两次加油的总量是升，
爸爸两次加油的平均价格是元，
∵，
∴当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式花费一样；当时，妈妈的加油方式更省钱．
30．解：“飘香1号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是；
“飘香2号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是，
∵，即，
∴，
∴，
又由可得，，
∴，
∴“飘香2号”小麦的单位面积产量高．
题型七 分式化简求值
31．解：
．
∵，，
∴，，
当时，原式；当时，原式．
32．解：
，
当时，原式．
33．解：
，
当，，1时，分式无意义，
故，则原式
34．解：
，
，
，
，
原式．
35．解：
∵
，
原式
题型八 分式的四则混合运算
36．解：
．
37．（1）解：
（2）
（3）
当时，原式．
38．解：
．
39．解：
．
40．（1）解：
；
（2）解：
．
题型九 分式最值
41．（1）原式= ；
（2）原式=，
∵(x 1)2 0,即(x 1)2+2 2，
则原式最小值为4 .
42．（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，且为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，
∴，
此时， ，
∴，
答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；
（4）解：
，
，
，
当且当x-1=时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
43．（1）解： 8的倒数为，，
8的一种倒分解为．
（2）解：的倒分解为：或或或
其中最大的倒分解，
（3）的最大倒分解为：
① 当时，，
解得：经检验，是原方程的根，
当时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去；
② 当时，，
解得经检验，是原方程的根，且符合题意，综上可得，的值为0．
44．解：（1）∵x为小于10的正整数，
∴当时，
∵，
∴当时，最小，分式的值最大；
故答案为：9．
（2）；
（3）当时，，
∴当时，原分式有最小值为；
当时，原式，
∴当时，原分式有最小值为；
∴当时，分式的最小值为．
45．解：∵在周长一定的矩形中，正方形面积最大，
∴当矩形周长为16时，其面积最大值，
在面积为9的矩形中，设一边长为x，则另一边长为，
∵在面积一定的矩形中，正方形的周长最短，
∴面积为9的矩形中，周长最小值为，
∴，
故答案为：16，6．
题型十 分式的规律计算问题
46．解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
第个等式为
，
故答案为：．
47．解：根据题意，，
，
，
，
，
……，
发现结果以、、为一组循环出现，
∵，
∴，
故答案为：．
48．
【分析】此题主要考查代数式的规律探索，分式的运算，解题的关键是求出各数值，发现规律求解．先求出，，，，，发现规律即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∴3次一循环
∵
∴
故答案为：．
49．
【分析】根据，得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，，
∴
，
故答案为：；
50．a+1
【分析】根据题意可得，，，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得的值．
【详解】解：∵（a不取0和-1），
∴，
，
，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3=673…1，
∴．
故答案为：a+1．
题型十一 分式的混合运算综合
51．（1）已知，，
将代入可得，，
把代入得．
∵，
∴，
解得．
（2），
，
，
.....，
，
∴，
∵，
∴．
将代入得
．
故答案为：，，；
（3）由（2）知，
，
．
．
∵为整数，
∴能整除，即或．
∴或或或
∵，
∴．
52．（1）解：∵，
，
∴，
∴分式是分式的“友好分式”；
故答案为：不是．
（2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
．
②∵，
∵整数x使得分式A的值是正整数，
∴，，2，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知：A的值为1或3或4．
（3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则：
，
∴
，
∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，
∴，
整理得：，
解得：，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
即的最小值为．
53．解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”，
故答案为：②；
（）∵为“和谐分式”，
∴或或，，
∴或或或，
∵a为正整数，
∴或，
当时，为“和谐分式”，
当时，为“和谐分式”，
∴的值为或；
（二）（）①，是和谐分式；
②是和谐分式；
③，是和谐分式．
故答案为：①②③．
（），
故答案为∶，．
（）
，
∴当或时，分式的值为整数，
此时或或或，
又∵分式有意义时、、、，
∴．
54．解：，
移项得：，
把两边同时除以可得：，
，
；
解：，
两边同时乘以可得：，
整理得：，
．
55．（1）证明：，.
.
.
，
∴，
或或，
∴三个数中必有两数之和为0；
（2）证明：中必有一个为0，
不妨设，则.
∵n为奇数，
，
，
，
，
，
∴．