七年级数学下册浙教版 5.5《分式方程》小节复习题（含答案）

5.5《分式方程》小节复习题
题型一 分式方程的定义
1．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是分式方程的有 （填序号）．
①；②；③；④．
4．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号）
5．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ．
题型二 解分式方程
6．解方程：
7．解方程：．
8．解方程：．
9．解方程
(1) (2)
10．解方程：
(1) (2)
题型三 根据分式方程解的情况求值
11．已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（ ）
A． B． C． D．
12．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
13．已知方程的根为，那么a的值是 ．
14．若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ．
15．已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围
题型四 分式方程的增根问题
16．若分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．
17．关于x的方程有增根，那么m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
18．关于的分式方程有增根，则的值是 ．
19．当 时，解关于的方程会产生增根．
20．已知关于x的方程，若方程有增根，求m的值．
题型五 分式方程的无解问题
21．若关于x的分式方程，无解，则m的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
22．若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
23．若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
24．已知分式方程无解，那么常数 ．
25．已知，关于的方程：．
(1)若方程无解，求的取值；
(2)若方程的解为整数，求整数的值．
题型六 列分式方程
26．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成此项工作．设甲志愿者计划完成此项工作需用x天，用方程表示问题中的数量关系为（ ）．
A． B． C． D．
27．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费较去年上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年3月的水费则是30元．已知小丽家今年3月的用水量比去年12月的用水量多．求该市去年居民用水的价格？设去年居民用水价格为x元/，根据题意列方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．甲、乙两人加工某种零件，甲每小时加工x个，乙每小时比甲多加工5个，且甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等．根据题意，可列方程 ．
29．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，设A款吉祥物的单价为元，根据题意可列方程为 ．
30．2024年12月8日，东方爱情马拉松在重庆市江津区盛大举行，吸引了来自世界各地的万名马拉松运动员和爱好者积极参与，小李和小杨也在其中．比赛伊始，小李的速度比小杨每分钟慢75米，当小李跑至1000米处时，小杨已抵达1600米处．（全程两人各阶段均保持匀速运动）
(1)求小李和小杨最初的速度分别是多少？
(2)两人同向行进，小李跑完1000米后，开始发力，速度提升了．同时，小杨因战术调整，放慢了速度，变速30分钟后两人相遇．求小杨的速度每分钟下降了多少米？
题型七 分式方程的行程问题
31．杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？
32．如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时．
(1)求小牧上山的平均速度；
(2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？
33．甲、乙两组学生从学校出发，去距学校的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的倍，结果两组学生同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？
34．某旅行社组织游客从甲地到乙地的博物馆参观，已知甲地到乙地的路程为210千米，乘坐型车比乘坐型车少用1小时，型车的平均速度是型车的平均速度的倍，求型车的平均速度．
35．乙巳年正月初一，南南到离家1200米的电影院看电影《哪吒之魔童闹海》，到电影院时发现电影票落在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿电影票用了2分钟，然后骑自行车（匀速）原路返回电影院，已知南南骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，南南骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．求南南步行的速度是每分钟多少米
题型八 分式方程的工程问题
36．某市正在修建地铁线路，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机进行挖掘．在挖掘某段长240米的特殊路段时，盾构机的工作效率仅能达到挖掘正常路段的，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天．若挖掘正常路段，盾构机每天能掘进多少米？
37．一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该工程师的一段对话：
如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积．
38．因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？
39．充电时间长是制约新能源汽车发展的重要因素，通过换电站换电池相比用充电桩充电可以极大地缩短充电时间，提高使用效率．已知某款油电混合型新能源汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次完成换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
40．新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？
题型九 分式方程的经济问题
41．清明节期间，某旅行社与社区物业联合，推出优惠活动，将“扬州一日游”项目在原来门市报价的基础上每人降价元，这样某家庭原定元的旅游费用，降价后只需花费元（旅游人数不变）．求该旅行社此项目原来门市报价是每人多少元？
42．为切实落实初中信息技术新课程标准，某校准备购买两种型号的配套器材．已知型器材的单价比型器材的单价多500元，用8000元购买型器材和用6000元购买型器材的数量相同．求两种型号器材的单价．
43．春节期间，电影“哪吒之魔童闹海”火出了圈，某商家看到商机，果断购进哪吒和敖丙两款玩具．
(1)商家花费元一次性购买了两款玩具共个，已知哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是元、元，求购买了哪吒玩具和敖丙各多少个？
(2)由于电影热度的下降和价格波动，现该商家第二次分别花费元、元购买哪吒玩具和敖丙玩具，已知购买哪吒玩具的数量是敖丙玩具数量的倍，每个敖丙玩具比每个哪吒玩具的价格少3元，求该商家第二次买多少个敖丙玩具？
44．某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动．
(1)第一周，该食品加工厂花费7650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是60元、90元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？
(2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费2000元、4200元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？
45．某公司对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：元/千瓦时
(1)设两款车的续航里程均为千米，请用含的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元．请分别求出这两款车的每千米行驶费用．
题型十 分式方程的和差倍分问题
46．文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在天猫某店定制A，B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同．求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润．
47．某校八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款225元．已知八年级（1）班的人均捐款额是八年级（2）班的1.2倍，且八年级（1）班的人数比八年级（2）班多5人．两个班各有多少人？
48．太原市某校教务处主任让采购员小李查询最近学校购买篮球和足球的单价，却发现订货单已被墨水污染，下面是被墨水污染了的订货单及采购员小李和保管员小康的对话．
商品 进价/（元/个） 数量 总金额/元
足球 5000
篮球 4000
请根据表格及他俩的对话求出篮球和足球的单价．
49．为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？
50．学校广播站要招聘一名播音员，擅长诵读的小龙想去应聘，但是不知道是否符合应聘条件，于是在微信上向好朋友亮亮倾诉，下图是他们的部分对话内容．面对小龙的问题，亮亮也犯了难．聪明的你用所学方程知识帮小龙准确计算一下，他平均每分钟读多少个字？他是否符合学校广播站应聘条件
题型十一 分式方程的新定义问题
51．定义一种新运算（且）．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
52．定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
53．对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ．
54．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ．
55．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
(1)已知分式判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
(2)已知分式，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
(3)已知分式（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值．
题型十二 分式方程的综合
56．已知正整数，，，且，，则满足题意的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
57．已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
58．解方程：的解为 ．
59．观察下列方程及其解的特征
第1个方程：的解为
第2个方程：的解为
第3个方程的解为
解答下列问题：
(1)猜想，第5个方程，方程的解为________．
(2)关于的第个方程为________，它的解为________；
(3)利用上述规律解关于的分式方程：
60．观察下面的变化规律，解答下列问题：
，将以上三个等式两边分别相加得：
．
(1)＝
(2)利用上述规律计算：．
(3)灵活利用规律解方程：．
参考答案
题型一 分式方程的定义
1．D
【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意；
C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意；
D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案．
【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程，
故选：A．
3．②③
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断．
【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意；
是分式方程，故②符合题意；
是分式方程，故③符合题意；
是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意；
综上所述，是分式方程的有②③．
故答案为：②③．
4．②④
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【详解】解：依题意，②，④是分式方程；
①，③是一元一次方程；
∴是分式方程的是②④，
故答案为：②④
5．
【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程．
【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：，
即，
故答案为：．
题型二 解分式方程
6．解：两边同时乘以得，
当时，，
所以原方程的解为．
7．解：
两边乘，得，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化成1得，，
经检验，是原分式方程的解．
8．解：
检验：把代入，，
∴是原方程的解．
9．（1）解：，
方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解为；
（2）解：方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，即是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
10．（1）解：，
，
，
，
，
检验，当时，，
所以该分式方程的解为：；
（2）解：，
，
，
检验，当时，，
所以该分式方程无解．
题型三 根据分式方程解的情况求值
11．A
【分析】本题主要考查了解分式方程．解分式方程，得，因为分式方程的解是正数，所以且，进而推断出且．进一步可得出结论．
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
解得：，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴且，
∴且，
∴符合条件的非正整数为0，，
和为．
故选：A．
12．B
【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件，熟练解分式方程是解题的关键．根据题意，解分式方程，得到，结合条件，得到，结合分式有意义的条件，得，从而得到结果．
【详解】解：关于的分式方程，
去分母得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
分式方程的解是正数，
，
，
时，分式方程无意义，
，
，
，
综上所述，且，
故选：．
13．
【分析】题目主要考查分式方程的解，理解题意是解题关键．
根据题意，将分式方程的解代入求解即可．
【详解】解：将代入得：，
去分母得：
解得：，
经检验：为原方程的解，
∴，
故答案为：．
14．3，4，0
【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值．
【详解】解：方程两边乘以，得：，
整理得：；
由于方程有解，则，即，
∴；
由于方程有整数解，则，
解得：或或或，
当时，，此时方程无解；
综上，整数m的值为3，4，0．
15．解：整理得：
去分母得： 解之得：
∵该分式方程的解是正数，即,
∴
∴
又∵ 即 ，
∴∴
∴m的取值范围是：
题型四 分式方程的增根问题
16．D
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根问题，解分式方程得出，再由分式方程有增根得出，求解即可．
【详解】解：解分式方程得：，
∵分式方程有增根，
∴，
∴，即，
解得：，
故选：D．
17．B
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：分式方程去分母得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故选：B．
18．或6
【分析】本题考查了解分式方程、分式方程的增根，首先解分式方程可得：，根据分式方程有增根，可得：或，继续解关于的分式方程即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项：，
系数化为得：，
分式方程有增根，
或，
当时，，
经检验是分式方程的解，
当时，，
经检验是分式方程的解．
综上所述，的值是或 ．
故答案为：或 ．
19．
【分析】此题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的计算方法是解题的关键；增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【详解】解 ：去分母得：
解得：；
因为关于的方程会产生增根，则增根为，
故，
解得：；
故答案为：
20．解：
分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，
即或，
把代入整式方程得：，即；
把代入整式方程得：，无解，
综上，m的值为0．
题型五 分式方程的无解问题
21．A
【分析】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：，
去分母得，
解得，
∵原分式方程无解，
∴，即，
∴，
解得，
故选：A．
22．D
【分析】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系．
找出方程中的最简公分母：，然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，然后根据分式有无意义即可得出结果．
【详解】解：
根据题意，原分式方程无解，
①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意；
②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意，
此时，，
解得；
∴的值是1或2，
故选：D．
23．0或
【分析】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，建立关于a的方程，求解即可．
【详解】解：方程去分母得，，
．
如果原分式方程无解，那么分两种情况：
①当时，方程无解，所以分式方程无解；
②，解方程，得，
当分母即时原分式方程无解．
由，得．
经检验，符合题意，
故当或时，分式方程无解．
故答案为：0或．
24．
【分析】本题考查分式方程的无解问题．根据题意分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，故此可以得到本题答案．
【详解】解：，
去分母得：，
∵当时，分母为0，方程无解，
∴，
解得．
故答案为：．
25．（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
当时，得，
解得；
当时，得，
解得，
∴若方程有增根，的取值为或；
∵，
∴当时原分式方程无解，
∴，
∵当或时方程有增根，
∴若方程无解，的取值为或或；
（2）解：∵，
∴，
∵方程的解为整数，
∴，，
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，；
∴或．
题型六 列分式方程
26．A
【分析】本题考查了分式方程的应用，关键根据工程问题常用的等量关系“工效×时间=工作总量”列方程求解．
由题意可得甲的工作时间为天，乙是第三个工作日起加入，所以乙的工作时间为天，甲工作量+乙工作量=1，列出方程即可．
【详解】由已知甲志愿者计划完成此项工作需x天，因为提前3天完成此项工作，所以甲的工作时间为天，乙是第三个工作日起加入，所以乙的工作时间为天，甲和乙的工作效率相同，每天都做，则，
故选A．
27．A
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设去年居民用水价格为x元/，则今年居民用水价格为元/，根据小丽家今年3月的用水量比去年12月的用水量多，即可列出方程．
【详解】解：设去年居民用水价格为x元/，则今年居民用水价格为元/，
根据题意得，
故选：A．
28．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等，即可列出方程．
【详解】解：根据题意，甲每小时加工x个，乙每小时加工个，
可列方程，
故答案为：．
29．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设A款吉祥物的单价为x元，则B款吉祥物的单价为元，
根据题意得：．
故答案为：．
30．（1）解：设小李最初的速度是x米/分钟，则小杨最初的速度是米/分钟，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（米/分钟）．
答：小李最初的速度是125米/分钟，小杨最初的速度是200米/分钟；
（2）解：设小杨的速度每分钟下降了y米，
根据题意得：，
解得：．
答：小杨的速度每分钟下降了45米．
题型七 分式方程的行程问题
31．解：设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∵，
∴在大桥的现有条件下还可以再提高限速．
32．（1）解：设小牧上山的平均速度是x千米/时，根据题意，得
．
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：小牧上山的平均速度是4千米/时．
（2）设C处离山顶A为a千米．
根据题意，得．
解得．
答：C处离山顶A 4.8千米．
33．解：设步行速度为，则自行车的速度为，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴步行速度为，
∴，
∴自行车的速度为．
34．解：设型车的平均速度为千米每小时，根据题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并符合题意，
所以，型车的平均速度为70千米每小时．
35．解：设南南步行的速度是x米/分钟，则南南骑自行车的速度是米/分钟，根据题意，得：
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：南南步行的速度是每分钟80米．
题型八 分式方程的工程问题
36．解：设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米，
则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米．
由题意得，
则，
得，
即．
∴．
经检验，是原分式方程的解，且符合题目要求．
答：挖掘正常路段，盾构机每天能掘进12米．
37．解：设每人每小时的绿化面积为x平方米．
根据题意，得，
方程两边乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
答：每人每小时的绿化面积为平方米．
38．解：设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为．
由题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为．
39．解：设该车每次完成换电池服务的时间为分钟，则每次完成加油服务的时间为分钟，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
（分钟）．
答：该车每次换电池服务的时间为分钟，完成加油服务的时间为3分钟．
40．解：设乙队每天开采锰矿石的量为吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨，
根据题意，得：，
解得：（吨），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（吨），
答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为吨、吨．
题型九 分式方程的经济问题
41．解：设该旅行社此项目原来门市报价是每人x元，则降价后此项目的报价是每人元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该旅行社此项目原来门市报价是每人元．
42．解：设型器材的单价为元，则型器材的单价为元．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：型器材的单价为2000元，型器材的单价为1500元．
43．（1）解：设买了哪吒玩具x个，得解得
（个）
答：买哪吒玩具和敖丙玩具分别为个、个．
（2）解：设商家第二次购买敖丙玩具y个，得解得
经检验：既是所列方程的解，又符合问题实际．
答：商家第二次购买敖丙玩具个．
44．（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，
，
解得：，
答∶食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件．
（2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
答：食品加工厂第二周采购A种食材40件．
45．（1）解：由题意得，燃油车每千米行驶费用为（元），
纯电新能源车每千米行驶费用为（元），
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
（2）解；解：由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴ （元），（元），
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元.
题型十 分式方程的和差倍分问题
46．解：设每件B款帆布包的利润为x元，则每件A款帆布包的利润为元．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
（元）．
答：每件A款帆布包的利润为20元，每件B款帆布包的利润为12元．
47．解：设八年级（2）班有x人，八年级（1）班有人，根据题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴，
答：八年级（1）班有50人，八年级（2）班有45人．
48．解：设购买篮球的数量为个，则购买足球的数量为个．根据题意可得：
，
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
篮球的单价（元），
足球的单价（元）．
答：篮球的单价为80元，足球的单价为50元．
49．解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为元．
根据题意得：，
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合实际，
∴．
答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元．
50．解：设小龙每分钟读个字，小龙奶奶每分钟读个字．
根据题意，得：．
解得：．
经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．
学校广播站招聘条件是每分钟250－270字，
小龙符合学校广播站应聘条件．
题型十一 分式方程的新定义问题
51．B
【分析】本题考查新定义运算，分式方程，解题的关键是掌握新定义运算，根据题意，，则，进行计算，即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
经检验，是原方程方解，
∴的值为．
故选：B．
52．B
【分析】本题考查了定义新运算、解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．根据定义新运算得到方程，再解分式方程求出的值即可．
【详解】解：由题意得，，
去分母，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故选：B．
53．
【分析】本题考查了新定义、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
去分母得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
54．
【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义得到，解分式方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
55．（1）解：C不是D的“雅中式”，理由如下：
不是的“雅中式”．
（2）解：关于的“雅中值”是，
，
，
，
为整数，且“雅中式”的值也为整数，
是的因数，
可能是：
的值为：
的值为：
（3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，
整理得：
由上式恒成立：
消去可得：
、、为整数
为整数，
当时，
此时：
当时，
此时：
当时，
此时：
当时，
此时：
综上：的值为：或或或
题型十二 分式方程的综合
56．A
【分析】本题主要考查分数方程的整数解问题，需结合不等式约束条件进行分析，通过逐步缩小变量范围并验证可能的取值．根据整数，，，且，，通过分析的取值范围来确定满足条件的解．
【详解】解：∵正整数，，，，
，
，
，
，
，
即或，
当时，，
，
，
，
，
，
，
可能的值为，，，，
当时，，不满足为正整数，舍去；
当时，，不满足为正整数，舍去；
当时，，则，满足条件；
当时，，则，不满足为正整数，舍去；
当时，，
，
，
，
，
，
为正整数，
为或，
，
的值无解；
满足题意的解是，，．
故选：A．
57．D
【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程转化为，再根据已知得，，再由，解得，由，解得，据此即可得出答案．
【详解】解：将方程转化为：，
方程的两根分别为m，，
，，
由，解得：，
由，解得：，
方程的根是：，，
故选：．
58．
【分析】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键． 先将原方程变形，再进一步化简转化为整式方程求解即可．
【详解】解：原方程可变形为，
，
化简得，，
∴，
即，
∴，
解得：，
检验，把代入，
∴原方程的解为．
故答案为：
59．（1）解：，即，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：可猜想第n个方程为：的解为，，
故答案为：，；
（3）解：方程两边乘2得，，
移项，得，
∴或，
解得：，，
经检验得，，是原方程的解．
60．（1）解：，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
经检验，是原方程的解．