七年级数学下册浙教版 5.1《分式的意义》小节复习题（含答案）

5.1《分式的意义》小节复习题
题型一 分式的判断
1．下列代数式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在式子，，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有 个
4．在，，，，中，属于分式的有 个．
5．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个．
题型二 分式的规律性问题
6．按一定规律排列的数：则第个数为（ ）
A． B． C． D．
7．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（ ）
A． B． C． D．
8．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）．
9．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ．
10．观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明；
(3)运用规律计算：．
题型三 按要求构造分式
11．某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（ ）
A． B． C． D．
12．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
13．一辆汽车行驶了，则它的平均速度为 ；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为 ．
14．已知公式，其中．用，，表示，那么 ．
15．下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）．
题型四 分式有意义的条件
16．要使分式有意义，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．若有意义，则x满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
18．要使得有意义，则x的取值范围是 ．
19．当x 时，分式有意义．
20．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型五 分式无意义的条件
21．若分式无意义，则（ ）
A． B． C． D．
22．当时，分式无意义，则□可以是（ ）
A． B． C． D．
23．当x 时，分式有意义；当x 时，分式无意义．
24．已知分式的值不存在，则 ．
25．当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？
题型六 分式值为零的条件
26．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
27．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
28．分式的值为0，则 ．
29．当 时，分式有意义；当 时，分式的值为零．
30．当x取什么值时，下列分式的值等于0？
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型七 分式的求值
31．已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
32．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
33．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
34．当时，分式的值是 ．
35．（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值
题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
36．若分式的值为正数，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
37．若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意数 B． C． D．
38．分式的值为负数，求的取值范围 ．
39．若分式的值为正，则的取值范围为 ．
40．若代数式的值是正数，求x的取值范围．
题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值
41．若取整数，则使分式的值为整数的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
42．已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
43．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
44．使得为整数的自然数的个数为 个．
45．阅读下列材料，解决问题：
在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式．
例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加．
(1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式．
(2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值．
题型十 倒数法求分式的值
46．阅读理解：
例题：已知实数满足，求分式的值．
解：．
的倒数
∴
(1)已知实数满足，求分式的值．
(2)已知实数满足，求分式的值．
47．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程．
已知，求的值．
解：由，知，
，即，
，
的值为．
【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题
已知，求的值；
【拓展延伸】已知，，，求的值．
48．阅读下列解题过程：
已知，求的值.
解：由，知，，即.
，.
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，，，求的值；
(2)已知，求的值．
49．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的．
【问题解决】已知，求下列代数式的值．
(1)求的值．
(2)求的值．
50．阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
题型十一 分式的新定义问题
51．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（ ）
A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2
52．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ．
53．定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ．
54．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，，，，这样的分式就是假分式；
再如：，，，这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；，
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是________分式（填“真”或“假”）；
(2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程）
(3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值．
55．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）．
如：．
解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
(3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______．
参考答案
题型一 分式的判断
1．B
【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是整式，不符合题意；
、是分式，符合题意；
、是整式，不符合题意；
、是整式，不符合题意．
故选：．
2．A
【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可．
【详解】解：在式子，，，，，，中，分式为、、，共3个，
故选：A．
3．4
【分析】本题考查了分式的定义：式子（A、B是整式，B中含有字母）叫分式．根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：分式有；；，，共4个，
故答案为：4．
4．2
【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关．
本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键．
【详解】解：根据题意，得是分式的是，共有2个，
故答案为：2．
5．2
【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义判断即可．
【详解】解：分式有：，，共2个，
故答案为：2．
题型二 分式的规律性问题
6．C
【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数．
【详解】解：一组数为
∴这组数据第1个数为：，
第2个数为：，
第3个数为：，
∴第个数为：，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案．
【详解】解：第一个分式为：，
第二个分式为：，
第三个分式为：，
第四个分式为：，
第五个分式为：，
，
按此规律，那么这列分式中的第n个分式为，
故选：C．
8．
【分析】本题主要考查代数式的规律，分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的2倍，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第n个式子是，即可求得第7个式子．
【详解】解∶ ；
；
；
；
；
则第n个式子为
这列分式中的第7个式子是，
故答案为：；．
9．
【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出至，可知从开始，的值每6个一循环，结合，可知，找出规律是解题的关键．
【详解】解：由题意知：，
，
，
，
，
，
，
……
以此类推，可知从开始，的值每6个一循环，
，
，
故答案为：．
10．（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：；
（2）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
第n个等式：；
左边，
右边
，
∴左边右边；
（3）解：
．
题型三 按要求构造分式
11．A
【分析】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键，先计算出所有旅游车坐满的人数，即可列数代数式．
【详解】解：∵人刚好坐满，
∴租用的旅游车的辆数为：，
故选：A．
12．C
【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式．
先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间．
【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，
则该汽车在其它路段行驶的平均速度为，
汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时，
该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时．
故选：．
13．
【分析】本题主要考查了列代数式：分式的应用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据平均速度等于行驶的路程除以行驶的时间可得到汽车的平均速度；再表示出火车行驶的时间为，然后再根据平均速度的计算方法表示出火车的平均速度．
【详解】一辆汽车行驶了，则它的平均速度为，一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为，
故答案为：，
14．
【分析】根据等式的性质，等式的两边同时乘2，再除以，据此即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（答案不唯一）
【分析】根据分式的定义求解即可．
【详解】解：根据分式定义，可以组成分式的有，，等，
故答案为：（答案不唯一）．
题型四 分式有意义的条件
16．B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解．
【详解】解：当，即时，分式有意义，
故选：B．
17．A
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得，
故选：A．
18．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：要使得有意义，
，
解得：，
x的取值范围是．
故答案为：．
19．且
【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；根据分母，解不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：且；
故答案为：且．
20．（1）解：∵分式有意义，
∴，
∴；
（2）解：∵分式有意义，
∴，
∴；
（3）解：∵分式有意义，
∴，
∴；
（4）解：∵分式有意义，
∴，
∴．
题型五 分式无意义的条件
21．C
【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选：C．
22．B
【分析】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．根据分式无意义的条件解答即可．
【详解】解：∵时，分式无意义，
∴当时，分式的分母等于0，
∵当时，，
∴B选项符合．
故选：B．
23．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解．
【详解】解：当，即时，分式有意义，
当，即时，分式无意义，
故答案为：；．
24．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．由分式的值不存在可知分式无意义，据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式的值不存在，
∴分式无意义，
∴，
∴．
故答案为：．
25．解：当有意义时：，
∴x≠-3且；
当无意义时：，
∴或．
题型六 分式值为零的条件
26．D
【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为0的条件是同时满足：（1）分子为0；（2）分母不为0．据此解答即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得．
故选：D．
27．D
【分析】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式值为0的条件即可解答．
【详解】解：分式的值为0，
且，
且，
．
故选：D．
28．
【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为，
∴，
解得，
故答案为：．
29．
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，分式的值为零的计算，理解以上知识，正确列式求解是关键．
分式有意义是指分式的分母不为零，分式的值为零是指分式的分子为零，分母不为零，由此列式求解即可．
【详解】解：分式有意义，则，
解得，，
分式的值为零，则，且，
解得，，
故答案为：①；②．
30．（1）解：且，解得：；
（2）且，解得：；
（3）且，解得：；
（4）且，解得：．
题型七 分式的求值
31．C
【分析】本题考查分式的求值，将两边分别除以，进行求解即可．
【详解】解：∵，当时，等式不成立，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
32．D
【分析】此题考查了分式的求值，根据题意确定到是解题关键．根据题意得到，把代入，再约分即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
33．C
【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式求值的方法是解题的关键．
首先将变形为，然后将代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
34．
【分析】本题考查了求分式的值，把代入计算即可．
【详解】解：把代入，得
．
故答案为：．
35．解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
36．C
【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键．
根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴，解得：．
故选C．
37．B
【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出．
【详解】解：的值为负数，
，．
故答案为：B
38．且
【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．
根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可．
【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0，
∴，
∴
∴
∵分式的值为负数，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
39．且
【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：分式的值为正，
，，
解得，且
故答案为：且．
40．解：代数式的值是正数，
，
，
．
题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值
41．B
【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案．
【详解】解：，
由题意可知，是6的整数约数，
∴，，，，1，2，3，6，
解得，，，0，1，，2，，
其中的值为整数为，0，1，2，共4个．
故选：B．
42．C
【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
∵为整数，且为正整数，
∴或或，
解得：或或，
∴则满足条件的的值有个，
故选：C．
43．4
【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴，2，3，6，，，，，
解得：，，1，，，，，，
其中x的值为整数有：，1，，共4个．
故答案为：4．
44．6
【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可．
【详解】解：
，
∵分式的值为整数且x为自然数，
∴或2或3或4或6或12，
∴或1或2或3或5或11，
共6个，
故答案为：6．
45．（1）解：；
（2）解：；
∵的值为整数，
∴是13的所有整数因数，
即，
∴或或或；
即x的值为2或4或16或．
题型十 倒数法求分式的值
46．（1）解：∵，
∴
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
，
∴．
47．解：类比探究：由，知，
，即，
，
，
．
拓展延伸：∵，，，
，且，
．
，
．
48．（1）∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵取倒数得：，
∴．
（2）∵，知，
，
即．
∴，
∴．
49．（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
50．（1）由，知，
∴，即．
∴．
∴的值为2的倒数，即．
（2）由，
∴，即，
则 ；
题型十一 分式的新定义问题
51．C
【分析】①已知两对值代入T中计算求出a与b的值； ②根据题中新定义解已知不等式组，再求不等式组的整数解；
【详解】依题意得
，即：b=3
,即a=1
所以
整理得
解得
所以整数解是0，1
故选：C
52．
【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是结合新运算法则转化为分式运算．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
53．
【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
即
∴，
故答案为：．
54．（1）解：由题意可得，分式是真分式；
故答案为：真；
（2）解：，
的值为整数，且为整数，
的值为或或或，
的值为或或或；
（3）解：
，
当时，这两个式子的和有最小值．最小值为，
则的最小值为．
55．（1）解：由题意可得，分式是真分式，
，
故答案为：真分式；；
（2）解：∵，
∴或或，
∴当或5或4或2或1或时，的值为整数；
（3）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
故答案为：．