浙教版（2024）七下3.4乘法公式进阶 题型分类练习（含解析）

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浙教版（2024）七下3.4乘法公式进阶 题型分类练习
一．平方差公式（共7小题）
1．化简求值：（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）（﹣2x﹣y），其中x＝2，y＝﹣2．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣3b2
B．（﹣a+3b）（a﹣3b）＝﹣a2﹣9b2
C．（a﹣3b）（a﹣3b）＝a2﹣9b2
D．（﹣a﹣3b）（﹣a+3b）＝a2﹣9b2
3．计算：
（1）（b+2a）（2a﹣b）．
（2）（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）．
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）．
4．计算（a+2b+1）（a+2b﹣1）．
5．计算：．
6．计算6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1的值．
7．先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m．
二．完全平方公式的应用（共4小题）
8．先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝﹣2，．
9．若（y﹣5a）2＝y2﹣10y+25b，则b的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
10．运用完全平方公式计算
①2012
②99.82
③（3α﹣4b）2﹣（3α+4b）2
④（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）
11．先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2．
三．知二求二（共3小题）
12．若（2004﹣k）2+（k﹣2005）2＝2，求（2004﹣k）（k﹣2005）的值．
13．若x5（x＞1），求：（1）x2；（2）x的值．
14．已知x2﹣3x+1＝0，求下列各式的值．
（1）x2；
（2）x4．
四．应用题（共1小题）
15．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b＝2，ab＝1求a2+b2的值．
解：∵a+b＝2，
∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4．
又ab＝1，
∴a2+2×1+b2＝4，
得a2+b2＝2．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若a﹣b＝6，a2+b2＝33，则ab＝　 　 ；
（2）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，（AB＞AG）它们面积和为232m2，边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．
五．日历（共3小题）
16．观察下列各式：
①60×60＝602﹣02＝3600；
②59×61＝（60﹣1）×（60+1）＝602﹣12＝3599；
③58×62＝（60﹣2）×（60+2）＝602﹣22＝3596；
④57×63＝（60﹣3）×（60+3）＝602﹣32＝3591
……
【探究】（1）上面的式子表示的规律是：（60+m）（60﹣m）＝　 　 ；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数 　 　 时，乘积最大．
【应用】（2）根据上面的规律思考，若a+b＝400，则ab的最大值是 　 　 ；
【拓展】（3）将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为x厘米，面积为S，写出S与x之间的等量关系？当x为何值时，S取得最大值？
17．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2024年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：9×15﹣8×16＝7，19×25﹣18×26＝7，不难发现，结果都是7．
（1）将每个方框的左上角数字设为n．请用含n的式子表示你发现的规律：　 　 ；
（2）请利用整式的运算对以上规律进行证明．
2024年1月
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
18．如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作m，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n，若m﹣n＝30，则m+n的值为 　 　 ．
浙教版（2024）七下3.4乘法公式进阶 题型分类练习
一．选择题（共2小题）
题号 2 9
答案 D C
一．平方差公式（共7小题）
1．化简求值：（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）（﹣2x﹣y），其中x＝2，y＝﹣2．
【思路点拔】原式利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣y2+4x2＝5x2﹣5y2，
当x＝2，y＝﹣2时，原式＝0．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣3b2
B．（﹣a+3b）（a﹣3b）＝﹣a2﹣9b2
C．（a﹣3b）（a﹣3b）＝a2﹣9b2
D．（﹣a﹣3b）（﹣a+3b）＝a2﹣9b2
【思路点拔】各项式子利用平方差公式的结构特征作出判断即可．
【解答】解：A、原式＝a2﹣9b2，不符合题意；
B、原式＝﹣（a﹣3b）2＝﹣a2+6ab﹣9b2，不符合题意；
C、原式＝a2﹣6ab+9b2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣9b2，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
3．计算：
（1）（b+2a）（2a﹣b）．
（2）（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）．
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）．
【思路点拔】利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4a2﹣b2；
（2）原式＝x2﹣4y2；
（3）原式＝（x2﹣9）（x2+9）
＝x4﹣81．
【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．
4．计算（a+2b+1）（a+2b﹣1）．
【思路点拔】先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】解：（a+2b+1）（a+2b﹣1）
＝（a+2b）2﹣1
＝a2+4ab+4b2﹣1．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式和完全平方公式，能灵活运用乘法公式进行计算是解题的关键．
5．计算：．
【思路点拔】把2014×2016写成（2015﹣1）（2015+1），再运用平方差公式计算即可．
【解答】解：
＝1．
【点评】本题考查了平方差公式；熟记平方差公式，把2014×2016写成（2015﹣1）（2015+1）运用平方差公式计算是解决问题的关键．
6．计算6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1的值．
【思路点拔】在本题中可把6看成是（7﹣1），再根据平方差公式一步步得出结果．
【解答】解：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1，
＝（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1，
＝（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）+1，
＝（74﹣1）（74+1）（78+1）+1，
＝（78﹣1）（78+1）+1，
＝（716﹣1）+1，
＝716．
【点评】本题中把6看成（7﹣1），再根据平方差公式一步步计算得出结果，难度适中．
7．先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m．
【思路点拔】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3）
＝2m﹣m2+2m+m2﹣9
＝4m﹣9，
当m时，原式＝49＝10﹣9＝1．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二．完全平方公式的应用（共4小题）
8．先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝﹣2，．
【思路点拔】先用公式化简，后代入求值即可．
【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2
＝6xy，
当x＝﹣2，时，
．
【点评】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，整式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．若（y﹣5a）2＝y2﹣10y+25b，则b的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【思路点拔】先对原等式的左边进行乘法运算，再根据多项式的概念即可解答．
【解答】解：∵（y﹣5a）2＝y2﹣10ay+25a2＝y2﹣10y+25b，
∴﹣10a＝﹣10，25a2＝25b，
∴a＝1，b＝1，
故选：C．
【点评】此题考查的是完全平方公式，掌握其公式结构是解决此题的关键．
10．运用完全平方公式计算
①2012
②99.82
③（3α﹣4b）2﹣（3α+4b）2
④（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）
【思路点拔】①先将原式变形为（200+1）2，再根据完全平方公式展开即可；
②先将原式变形为（10﹣0.2）2，再根据完全平方公式展开即可；
③根据完全平方公式展开，再合并同类项即可；
④根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可．
【解答】解：①原式＝（200+1）2
＝40000+400+1
＝40401．
②原式＝（10﹣0.2）2
＝100﹣4+0.04
＝95.96．
③（3a﹣4b）2﹣（3a+4b）2
＝9a2﹣24ab+16b2﹣9a2﹣24ab﹣16b2
＝﹣48ab．
④（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）
＝4x2﹣12xy+9y2﹣16y2+9x2
＝13x2﹣12xy﹣7y2．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力．
11．先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2．
【思路点拔】先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可．
【解答】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y）
原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy
＝4x2+3y2，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝4×（﹣1）2+3×22
＝4+12
＝16．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键．
三．知二求二（共3小题）
12．若（2004﹣k）2+（k﹣2005）2＝2，求（2004﹣k）（k﹣2005）的值．
【思路点拔】已知等式左边利用完全平方公式展开，
【解答】解：（2004﹣k）2+（k﹣2005）2＝k2﹣4008k+20042+k2﹣4010k+20052＝2，
整理得：k2﹣4009k＝1，
则原式＝﹣（k2﹣4009k）﹣2004×20051﹣2004×200511．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．若x5（x＞1），求：（1）x2；（2）x的值．
【思路点拔】（1）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求式子的值；
（2）由x大于1，判断得到所求式子大于0，利用完全平方公式化简（x）2，将各自的值代入，开方即可求出值．
【解答】解：（1）把x5两边平方得：（x）2＝x22＝25，
则x223；
（2）∵x＞1，∴x0，
∵（x）2＝x22＝21，
∴x．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．已知x2﹣3x+1＝0，求下列各式的值．
（1）x2；
（2）x4．
【思路点拔】（1）先根据题意得出x2＝3x﹣1，再根据分式的运算法则把原式进行化简，再把x2的值代入进行计算即可；
（2）根据完全平方根式得x4（x2）2﹣2，再把（1）中的结果代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2＝3x﹣1，
∴x2
＝7；
（2）x4
＝（x2）2﹣2
＝72﹣2
＝47．
【点评】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练运用完全平方公式和整体代换是解答此题的关键．
四．应用题（共1小题）
15．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b＝2，ab＝1求a2+b2的值．
解：∵a+b＝2，
∴（a+b）2＝4，即a2+2ab+b2＝4．
又ab＝1，
∴a2+2×1+b2＝4，
得a2+b2＝2．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若a﹣b＝6，a2+b2＝33，则ab＝　﹣1.5　 ；
（2）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，（AB＞AG）它们面积和为232m2，边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．
【思路点拔】（1）根据a﹣b＝6得a2﹣2ab+b2＝36，再将a2+b2＝33代入即可得出ab的值；
（2）设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，依题意得a2+b2＝232，a+b＝20，其中a＞b，由a+b＝20得a2+2ab+b2＝400，由此得出2ab＝168，进而得a2+b2﹣2ab＝64，则（a﹣b）2＝64，由此得a﹣b＝8，结合a+b＝20得a＝14，b＝6，再根据图形得DE＝a﹣b＝8，AB＝a＝14，进而根据三角形的面积公式可求出摆放花卉场地的面积．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，
∴（a﹣b）2＝62，即a2﹣2ab+b2＝36，
∴2ab＝a2+b2﹣36
∵a2+b2＝33，
∴2ab＝33﹣36＝﹣3．
∴ab＝﹣1.5；
故答案为：﹣1.5．
（2）设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，
依题意得：a2+b2＝232，a+b＝20，其中a＞b，
∵a+b＝20，
∴（a+b）2＝202，即a2+2ab+b2＝400，
∴2ab＝400﹣（a2+b2）＝400﹣232＝168，
∴a2+b2﹣2ab＝232﹣168＝64，
∴（a﹣b）2＝64，
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴a﹣b＝8，
又∵a+b＝20，
∴a＝14，b＝6，
∵DE＝a﹣b＝14﹣6＝8，AB＝a＝14，
∴S阴影DE AB8×14＝56（m2）．
答：摆放花卉场地的面积56m2．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
五．日历（共3小题）
16．观察下列各式：
①60×60＝602﹣02＝3600；
②59×61＝（60﹣1）×（60+1）＝602﹣12＝3599；
③58×62＝（60﹣2）×（60+2）＝602﹣22＝3596；
④57×63＝（60﹣3）×（60+3）＝602﹣32＝3591
……
【探究】（1）上面的式子表示的规律是：（60+m）（60﹣m）＝　602﹣m2　 ；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数 　相等　 时，乘积最大．
【应用】（2）根据上面的规律思考，若a+b＝400，则ab的最大值是 　40000　 ；
【拓展】（3）将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为x厘米，面积为S，写出S与x之间的等量关系？当x为何值时，S取得最大值？
【思路点拔】（1）由所列式子所呈现的规律可得答案；
（2）根据（1）中的规律和结论进行解答即可；
（3）根据长方形的面积公式可得S与x的函数关系式，再根据（1）的结论得出答案即可．
【解答】解：（1）由规律可知，
（60+m）（60﹣m）＝602﹣m2，
当两个因数相等时，这两个因数的积最大，
故答案为：602﹣m2，相等；
（2）由（1）得，
a+b＝400，当a＝b＝200时，ab的值最大，
即ab的最大值为200×200＝40000，
故答案为：40000；
（3）周长为40cm，一条边的长为x cm，则另一条边的长为（20﹣x）cm，由长方形的面积公式可得，
S＝x（20﹣x），
长方形的长与宽的和为x+（20﹣m）＝20，
当x＝20﹣x，即x＝10时，x（20﹣x）最大，即面积S最大，
答：S与x之间的等量关系为S＝x（20﹣x），当x＝10时，S有最大值．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
17．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2024年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：9×15﹣8×16＝7，19×25﹣18×26＝7，不难发现，结果都是7．
（1）将每个方框的左上角数字设为n．请用含n的式子表示你发现的规律：　（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7　 ；
（2）请利用整式的运算对以上规律进行证明．
2024年1月
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
【思路点拔】（1）先设出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角﹣左上角×右下角＝7”写出规律；
（2）利用多项式乘多项式法则，证明结论．
【解答】解：（1）设左上角的数字为n，则右上角的数字为（n+1），
左下角的数字为（n+7），右下角的数字为（n+8）．
发现的规律是（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7．
故答案为：（n+1）（n+7）﹣n（n+8）＝7．
（2）（n+1）（n+7）﹣n（n+8）
＝n2+8n+7﹣n2﹣8n
＝7．
【点评】本题主要考查了整式的运算，看懂题意，掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式法则是解决本题的关键．
18．如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作m，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n，若m﹣n＝30，则m+n的值为 　900　 ．
【思路点拔】设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为a，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为b，则m＝a2﹣64，n＝b2﹣49，根据m﹣n＝30，可得出（a+b）（a﹣b）＝45，结合a≥9，b≥8，可得出a+b＝45，a﹣b＝1，解之可得出a，b的值，再将其代入m+n＝（a2﹣64）+（b2﹣49）中，即可求出结论．
【解答】解：设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为a，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为b，则m＝a2﹣64，n＝b2﹣49，
根据题意得：（a2﹣64）﹣（b2﹣49）＝30，
∴a2﹣b2＝45，
∴（a+b）（a﹣b）＝45，
∵a≥9，b≥8，
∴a+b＝45，a﹣b＝1，
∴a＝23，b＝22，
∴m+n＝（a2﹣64）+（b2﹣49）＝（232﹣64）+（222﹣49）＝465+435＝900．
故答案为：900．
【点评】本题考查了有理数的混合运算、因数和倍数以及代数式求值，通过分解45，求出a，b的值是解题的关键．