1.1.直线的相交教学设计2025--2026学年浙教版七年级下册数学

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 春季
课题 1.1直线的相交
教学目标
1.核心目标： 在实物折叠椅模型中，抽象出同一平面内直线位置关系的两种分类——相交与平行，经历观察、实验、猜想、说理等活动探索并掌握邻补角及对顶角的性质，发展空间观念与推理能力。 2.表现性目标： (1)会辨认对顶角：能根据位置特征辨认对顶角。 (2)理解对顶角的性质：在实验过程中提出猜想，在说理过程中理解得到性质结论的推理逻辑； (3)会利用余角、邻补角、对顶角性质进行简单的推理和计算：在例2，练习2及变式2中，会相关性质转化问题，求得结果。
教学内容
教学重点： 邻补角、对顶角的概念、位置特征及数量性质的理解和应用； 教学难点： 利用余角、补角和对顶角的性质进行简单的推理和计算.
教学过程
（一）问题驱动 激活思维 这是一张便携式折叠椅，观察折叠椅的支架部分，两条支架是如何交叉的？在椅子的展开过程中，随着支架下面的夹角逐渐变大，支架上面的夹角怎么变化？当椅子完全展开时，椅面边沿和支架底端连线具有怎样的位置关系？ 我们可以通过研究同一平面内两条直线的位置关系对以上问题展开探究。 问题：那么在同一平面内，两直线具有哪些位置关系呢？ 探究新知 明晰概念 问题1：什么叫作直线的相交呢？请同学们结合两条支架交叉的示意图概括。 追问1：如果两条直线有2个公共点，那么这两条直线相交吗？ 预设：答案是否定的。因为根据“基本事实：两点确定一条直线”，有2个公共点的两条直线是重合的。 相交概念：如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线相交。这个公共点就叫作这两条直线的交点。如图，直线AB与直线CD相交，它们的交点是点O，∠1，∠2，∠AOD和∠COB是直线AB与CD相交所成的角。 探索关系 发展素养 问题2：如图，两条直线相交所成的4个角，两两之间会具有怎样的位置关系和数量关系呢？ 任务2：请同学们在任务单上，任意画两条相交的直线。观察4个角两两之间的位置关系，用量角器分别度量这4个角的度数，提出猜想，并用所学知识说明理由。 结果预设：∠1与∠AOD，∠1与∠COB，∠2与∠AOD，∠2与∠COB，每对角都共用一个顶点，且有一边射线重合，另一边射线反向延长。∠1与∠2，∠AOD与∠COB，每对角也共用一个顶点，但它们的两边射线都互为反向延长线。 关于4个角的数量关系，有这样的猜想：共用一个顶点，有一边重合，另一边反向延长的两个角互补；共用一个顶点，两边都互为反向延长线的两个角相等。 问题3：你能说明理由吗？ 理由预设：以∠1与∠AOD为例，因为它们有一边OA重合，另一边在同一直线上，所以∠1与∠AOD组成了一个平角，所以∠1＋∠AOD=180°。同理，可解释说明剩余3对角互补。 邻补角概念：在数学中，我们把像∠1与∠AOD这样位置关系的角，称为邻补角。同理，剩余3对角也互为邻补角。它们都具有这样的位置关系：顶点都相同，一边重合，另一边反向延长。在数量上，是互补关系。 理由预设：根据以上说理，由“同角的补角相等”可得∠AOD=∠COB。同理，∠1=∠2. 对顶角概念：在数学中，两直线相交所成的4个角，我们把其中相对的任何一对角，如∠AOD与∠COB，∠1与∠2叫作对顶角。互为对顶角的两个角，在位置关系上，它们的顶点相同，角的两边互为反向延长线；在数量关系上，它们相等。 追问3：现在，你能解释为什么在折叠椅的展开过程中，随着支架下面夹角的变大，上面夹角也随之变大吗？（点击视频开关） 应用新知 深化思维 问题4：你能运用所学判一判下列情况中的一对角是否为对顶角吗？请按暂停键思考。 如图①，O，P是直线AB上的两点。∠1与∠2是对顶角吗？请说明理由。 如图②，已知∠3=∠4。∠3与∠4是对顶角吗？请说明理由。 结果预设：两种情况中的各对角，均不是对顶角。因为图1中，∠1与∠2没有公共顶点。图2中，虽然∠3与∠4有公共顶点O，且∠3=∠4，但角的两边不具有互为反向延长线的特点。 经验小结：不能仅从数量关系上判断两个角是否为对顶角，还要结合位置关系分析。 问题5：你能快速地回答下图中有几组对顶角吗？ 结果预设：答案是6组。两条直线相交，能构成2对对顶角，那么图中3条直线两两相交就有以下3种情况（如图），每种情况有2组对顶角，那么一共就有6组对顶角。 例1.如图，三条直线相交于一点O，请说出图中的对顶角。 结果预设：根据前面的经验，图中3条直线两两相交会有以下3种情况（如图），每种情况所成对顶角分别是：∠AOF与∠BOE，∠AOE与∠BOF；∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC；∠EOC与∠FOD，∠EOD与∠COF. 例2 如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余。若∠COE=62°，求∠AOB的度数。 结果预设：已知∠DOE与∠COE互余，根据两个角互余的意义，可知∠DOE+∠COE=90°。因为∠COE=62°，所以∠DOE=90°-∠COE=90°-62°=28°。由直线AD与BE相交于点O，可知∠AOB与∠DOE是对顶角，根据对顶角相等，所以∠AOB=∠DOE=28°。这是由条件往结果思考的方式。 也可以从问题结果出发思考，要求出∠AOB的度数，可以转化为求其对顶角∠DOE的度数，或者求其补角∠BOD或∠AOE的度数。这样我们就有3种转化策略。3种策略中，最简便的还是求其对顶角∠DOE的度数。加上互余及∠COE度数的条件，就能通过度数相减获得∠DOE度数。这就是执果索因的思维方式。 解答过程: 已知∠DOE与∠COE互余， 根据互余的意义，可得∠DOE+∠COE=90°. 又因为∠COE=62°， 所以∠DOE=90°-∠COE=90°-62°=28° 根据对顶角相等，可得∠AOB=∠DOE=28°. 练习2.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠COB。已知∠COE=60°，求∠AOD和∠BOD的度数。 结果预设：要想求∠AOD度数，可以转化为求其对顶角∠COB的度数，而∠COB刚好又是∠BOD的补角。所以，要想求出∠AOD和∠BOD的度数，均可转化为求∠COB的度数。 解答过程: 已知OE平分∠COB,∠COE=60° 根据角平分线的意义， 可得∠COB=2∠COE=2×60°=120° 根据对顶角相等，可得∠AOD=∠COB=120° 又因为AB为直线，根据邻补角的意义， 可得∠BOD=180°-∠COB=180°-120°=60° 经验小结：对顶角和补角关系，是角的位置和数量转化的常用途径。 变式2：如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠COB。若∠COE=∠DOE-60°，求∠AOD和∠BOD的度数。 结果预设：观察∠COE与∠DOE的位置关系可发现，∠COE与∠DOE有公共顶点，有一边重合，另一边互为反向延长线，所以它们互补。又因为∠COE=∠DOE-60°，所以可以将∠COE用∠DOE-60°代替，就可得∠DOE+∠DOE-60°=180°，解得∠DOE=120°，则∠COE=∠DOE-60°=120°-60°=60°。那么后续就可转化为练习2思考过程了。 梳理小结 构建知识 通过这节课的探究学习，你收获了哪些新的概念？积累了哪些经验？你觉得接下来还要学习哪些知识？ 课堂留疑：那么对于两相交直线，还有什么特殊位置关系可进一步研究呢？后续的平行又该怎样探究学习呢？