2025-2026学年浙教版数学七年级下册 第四章 因式分解 复习教学设计（表格式）

课题 因式分解复习
教学目标
1.经历从多项式中识别出公因式、平方差、完全平方等数学结构的过程，理解因式分解与整式乘法是互逆变形的关系，体会其“和化积”的恒等变形思想。2.经历梳理因式分解（提取公因式法、公式法等）的过程，能根据多项式的具体特征，灵活、合理地选择恰当的因式分解方法，并确保最终结果分解到不能再分为止。3.在因式分解的过程中，能运用逻辑推理确保每一步变形的正确性，在面对形式复杂的多项式时，能进行策略性的思考，发展代数推理能力。
教学重点：1.理解因式分解与整式乘法是互逆变形的关系，建立观察（项数、次数、结构）、选择方法的思维框架，体会因式分解作为“桥梁”和“工具”在数学知识体系中的重要作用。2.感悟“化归与转化”的数学思想，能根据多项式的具体特征，灵活、合理地选择恰当的因式分解方法，简化和解决较复杂的数学问题。
教学难点：1.识别隐藏的数学结构，应用整体思想，灵活地选择与组合因式分解方法。
2.规范表达，能够熟练运用因式分解这一工具，自觉、准确地应用于其他数学情境。
教学过程
知识梳理1.因式分解和整式的乘法具有怎样的关系？因式分解与整式乘法是运算过程相反的两种变形。因式分解是将一个多项式表示成几个整式乘积的形式，而整式乘法是将几个整式的乘积形式化成一个多项式。比如x(x+1)=x2+x是整式乘法，而x2+x=x(x+1)是因式分解。2.因式分解常用的方法有哪几种？因式分解常用的方法有提取公因式法和公式法。提取公因式法适用于多项式的各项有公因式的情况，通过提取公因式，将多项式分解为整式乘积的形式。公式法包括平方差公式和完全平方公式，用于分解形如a2-b2和a2±2ab+b2的多项式。3.在本章的学习中，我们还获得了哪些解决问题的方法和经验？（1）学会用类比的思想方法解决问题 类比小学所学的因数分解，得出因式分解的概念。（2）学会用互逆变形的思想方法解决问题 通过整式乘法的互逆变形引出因式分解的概念，学会代数式变形的互逆转换。（3）学会用数形结合的思想方法解决问题 如书本中设计题《图说因式分解》，通过观察、操作、猜想和验证的学习过程，建立几何模型，验证因式分解的正确性，在数形结合中尝试几何推理。（4）学会用整体的思想方法解决问题 如公因式为多项式时，可以把相同的多项式看成一个整体，相同多项式的最低次幂是公因式的一个因式。例题解析1.讲解例1.下列等式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？（1）(m-2)(m+2)=m2-4； （2）4x2-4x+1=(2x-1)2；（3）a2+2ab+b2-1=a(a+2b)+(b+1)(b-1)；（4）(p+q)(p-q)+(q-p)=(p-q)(p+q-1)。分析：因式分解是将一个多项式表示成几个整式乘积的形式，所以（2）（4）是因式分解。2.讲解例2．检验下列因式分解是否正确。（1）y2+y-12=(y+6)(y-2)； （2）2a2+ab-b2=(2a-b)(a+b)。分析：因为因式分解与整式乘法是运算过程相反的两种变形，要检验因式分解是否正确，可以计算等式右边的整式乘法，观察计算结果是否等于等式左边。因为(y+6)(y-2)=y2+4y-12，所以（1）不正确；因为(2a-b)(a+b)=2a2+ab-b2，所以（2）正确。3.讲解例3．分解因式（1）8a3b2-12ab3c； （2）-24x3-12x2+28x； （3）m(a-3)+2(3-a)； （4）(2a+b)2-(a-2b)2； （5）x3-2x2+x； （6）x2(x-y)+y2(y-x)。分析：（1）8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc)；*分解因式的结果必须是整式相乘的形式。数字和字母应放在括号前面，把相同的多项式写成幂的形式。（2）-24x3-12x2+28x=-4x(6x2+3x-7)；*分解因式时，如果多项式第一项的系数为负数，应先把负因数提取出来，此时需要添加括号，括号内的各项都要变号。（3）m(a-3)+2(3-a)=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2)；*在用提公因式法分解因式时，公因式可能是单项式，也可能是多项式，要注意运用整体的思想进行因式分解。（4）(2a+b)2-(a-2b)2=(2a+b+a-2b)(2a+b-a+2b)=(3a-b)(a+3b)；*在用公式法分解因式时，公式中的字母可以表示一个数、一个单项式或一个多项式。（5）x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2；*因式分解时如果各项有公因式应先提公因式，再考虑能否运用公式法。因式分解要进行到不能再分解为止。（6）x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)2(x+y)。*在确定公因式时，若存在相同多项式，应取相同多项式的最低次幂。运用公式法时，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式的逆向运用。4.讲解例4.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，求k的值。分析：∵ 9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2， ∴ ±kxy=2·3x·6y=36xy，∴ k=±36。5.把偶数按从小到大的顺序排列，相邻两个偶数的平方差（较大的减去较小的）一定 4的倍数吗？为什么？分析：设两个偶数分别为2n+2和2n，根据题意，得(2n+2)2-(2n)2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=4(2n+1)。所以把偶数按从小到大的顺序排列，相邻两个偶数的平方差（较大的减去较小的）一定 4的倍数。三、练习巩固1.分解因式（1）6ab2+18a2b2-12a3b2c； （2）-2x3y+12x2-6xy； （3）4(q-1)3+2(1-q)2； （4）9(a-b)2-6(a-b)+1； （5）18a2c-8b2c； （6）4a2-3b(4a-3b)。答案：（1）6ab2+18a2b2-12a3b2c=6ab2(1+3a-2a2c)；（2）-2x3y+12x2-6xy=-2x(x2y-6x+3y)；（3）4(q-1)3+2(1-q)2=2(q-1)2(2q-2+2)=4q(q-1)2；（4）9(a-b)2-6(a-b)+1=3(a-b-1)2；（5）18a2c-8b2c=2c(9a2-4b2)=2c(3a+2b)(3a-2b)；（6）4a2-3b(4a-3b)=4a2-12ab+9b2=(2a-3b)2。2.在分解因式x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x-3)(x+2)，乙看错了b的值，分解的结果是(x-2)(x-3)，求a+b的值。答案：∵ 分解因式x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x-3)(x+2)，且(x-3)(x+2)=x2-x-6，∴ b=-3×2=-6，∵ 乙看错了b的值，分解的结果是(x-2)(x-3)，且(x-2)(x-3)=x2-5x+6，∴ a=-2+(-3)=-5，∴ a+b=-11。3.运用因式分解说明32026-4×32025+10×32024的值能被7整除。 答案：∵ 32026-4×32025+10×32024=32024×(32-4×3+10)=32024×7，∴ 32026-4×32025+10×32024的值能被7整除。四、小结1．因式分解与整式乘法是互逆的两种变形，因式分解在解方程、化简表达式以及求最值等方面有着广泛的应用。2．常用的因式分解方法有提取公因式法和公式法。类比、逆向思考是常用的思想方法。3．本章学习流程和知识结构如下：
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。