(共29张PPT)
二元一次方程组
解法复习课
一、二元一次方程组复习
有两个未知数且含未知数项的次数是一次的方程叫做二元一次方程。
1、什么是二元一次方程？
适合一个二元一次方程的一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
一般地，在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解（公共解），叫做这个二元一次方程组的解。
2、什么是二元一次方程组？
有两个一次方程组成，并且含有 两个未知数的方程组 叫做二元一次方程组。
3、用代入法解二元一次方程组时，关键要确定先消哪一个未知数。
当方程组的两个方程中某一方程的未知数系数是1的绝对值时，则优先选择此方程,用含另一个未知数的代数式来表示它，再代入另一个方程求解。
在求出一个未知数的值后，再求另一个未知数的值，一般选择相对比较简单的一个方程来代，这样会使计算简便。
4、当方程组中两个方程的某个未知数
的系数相等或互为相反数时，
把方程的两边分别相减或相加来消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
当方程组中两个未知数系数的绝对值均不相等，可以把两个方程的两边各自乘以一个适当的数，使某一个未知数的绝对值相等。
1、方程x+2y=7在正整数范围内的解有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 无数个
C
解后语：二元一次方程一般有无数个解，但它的解若受到限制往往是有限个解。
2、若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，
则m= ，n= ，
1
1
解后语：二元一次方程要求含有未知数项的次数都是1，同时未知数项的系数不能为零。
1、 -1=3y 是不是二元一次方程？答：
（“是”或“不是”）
2、方程3x – y =1有 个解。
3、方程3x + 2y =1中，当x =1时，y = 。
4、若 是方程3x + y – k =1的一个解，则k = 。
5、已知方程①2x + y =0，②x + 2y =3，那么 能满足的
方程是 （用数字①、②填空）
练习：
不是
无数
-1
2
①、②
6、已知方程组 和
有相同的解，求a，b的值。
2x-y=7
ax+y=b
3x+y=8
x+ b y=a
解：根据题意：得
2x-y=7
3x+y=8
解得：
X=3
Y=-1
则：
3a-1=b
3-b=a
解得：
a=1
b=2
2x+1=5（y+2）
5（3x+2）-2（y+7x）=16
（1）
用适当的方法解下列方程组
3x-2y=16
（2）
已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数
求：m+n的值
解：根据题意：得
3m+2n-16=0
3m-n-1=0
解得：
m=2
n=5
即：m+n=7
果品批发市场,苹果每千克k元,每位来采购的批发商需要另交市场管理费b元.若某批发商买苹果x千克,怎样计算买苹果的总价？
y=kx+b
已知x=80,y=200,能否确定k？需确定k,还需要知道什么
若把x=80,y=200代入y=kx+b,得200=80k+b
有多少个未知数？
知道b,则可知k,若题目中不准给出b的值,则需要知道什么可求出k
多给一对x、y的值.
要求两个未知数,就要知两个相等关系.
待定系数法
1.如果在y=kx+b中,已知x=80,y=195,再给出x=50时,y=123,能否确定k 试求出k.
k=2.4
2.如果在y=kx+b中,已知x=80,y=200,再给出k与b的比为4:5,能否确定k 试求出k.
①②
由②,得
③
把③代入①,得
3. 一般地,问题中未知数的个数与相等关系的个数之间的关系怎样？
相等.
4.已知x=m+1,y=m-1满足方程3x-y+m=0.由此你可以知道什么？
答:知道m.把x=m+1,y=m-1代入方程3x-y+m=0,得3(m+1)-(m-1)+m=0.
5.已知|x+2y+5|+(x-y+1)2=0,求(x+y)2的值.
解： 两个非负数的和为0时,这两个有理数只可能都为0,所以由题意,得
(x+y)2=
二、方程的应用题复习
1.根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程．
（1）甲、乙两数的和是10．
（2）甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70．
（3）买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元．
2.甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？
X+Y=10。
X=2Y+70
4X+3Y=1.6
解：设甲、乙每人每天可各制作X,Y件。
y=x+2
x +y=12
3.A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
解：设甲的速度为X 千米/小时, 乙的速度为X 千米/小时
4X+4Y=36
36-6X=2(36-6Y)
4、某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽y人，列方程组为（ ）
A B、
C、 D、
c
例1. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工后上市销售,该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或者粗加工16吨,现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天粗加工,几天精加工,才能按期完成任务 如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元,精加工后2000元,那么照此安排,该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元
解：设粗加工x天，精加工y天.
X + y =15
16x+6y =140
解得：
X=5
y=10
答：粗加工5天，精加工10天.
获利 : 1000X16X5+2000X6X10=80000+120000=200000元
例2. 某中学组织初一同学春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;如果租用同样数量的60座客车,则多出一辆,且其余客车恰好全满.已知45座客车用租金为每辆220元,60座客车用租金为每辆300元,试问: (1)初一年级人数是多少 原计划租用45座客车多少辆 (2)要使每个同学都有座位,怎样租用车辆更合算
解: (1) 设45座客车x辆，学生y 人。
45x+15=y
60(x-1)=y
解得：
x=5
y=240
(2)因为，220/45< 300/60，所以因尽可能租用45座的车 45+15=60，所以只需将原计划中的一辆45座车换成一辆60座的车即可共需:220X4+300=1180元.
课堂小结
1.解二元一次方程组的基本思路:
2.解二元一次方程组
消元转化
(代入消元、加减消元)
解一元一次方程
3.数学解题中,问题中未知数的个数＿＿相等关系的个数
等于
4.列方程解应用题的步骤：
审题；设；列；解；检；答。
1、作业本复习题
2、课后目标与评定
作业：
1. 小冬和小华为了响应学校假期里”要多读书”活动,各自购买了图书若干册,如果小冬借给小华5册,那么两人的书相等;如果小华借给小冬20册,那么小冬的书比小华的书多5倍,问小冬,小华各自购买了书多少册
解：设小冬x册,小华y册。
x-5=y+5
x+20=6(y-20)
2. 化妆晚会上,男生脸上涂蓝色油彩,女生脸上涂红色油彩,游戏时,每个男生都看见涂红色的人数是蓝色人数的2倍,而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色人数的3/5,那么,参加晚会的男生,女生各有多少人
解：设男生x人，女生y人。
y=2(x-1)
x= (y-1)
3
5
3. 某工厂现有库存某种原料1200吨,可以用来生产A,B两种产品,每生产一吨A种产品需这种原料2.5吨,生产费用900元,每生产一吨B种产品需原料2吨,生产费用1000元,可用来生产这两种产品的资金为53万,问A,B两种产品各生产多少吨,才能使库存原料和资金恰好用完
解：设A种产品x吨，B种产品y吨。
2.5x+2y=1200
900x+1000y=530000
4.小芳在玩具厂上班,做3只小狗,5只小猫用3小时30分;做4只小狗,7只小猫用4小时50分,求平均做1只小狗与1只小猫各用多少时间
解：设做一只小狗x分，做一只小猫y分。
3x+5y=210
4x+7y=290
5. 甲,乙两人做同样的零件,如果甲先做1天, 乙再开始做,5天后两人做的零件就同样多;如果甲先做30个, 乙再开始做,4天后乙反而比甲多做10个,问两人每天各做多少个
解：设甲每天做x个，乙每天做y个.
6x=5y
4x+30=4y-10
6. 张师傅预定计划生产一批零件,若按原计划每天生产30个,则只能完成任务的4/5,现在每天生产40个,结果比预定期限提前1天,还多完成25个,问预期多少天完成 这批零件有多少个
解：设预期x天，共有y个零件。
30x=
4
5
y
40(x-1)=y+25
7. 学校分配学生住宿,如果每室内8人,还少12个床位;如果每室住9人,却又空出2个房间,问学生多少人 宿舍有几间
解：设学生x人，宿舍y间。
8y+12=x
9(y-2)=x
实际问题
分析
抽象
方程
（组）
求解
检验
问题解决
列方程解应用题的总思路：(共21张PPT)
方程组的应用
1.
3x2a+b+2
+5y3a-b+1=8
是关于x、y的二元一次方程
求a、b
解：根据题意：得
2a+b+2=1
3a-b+1=1
得：
a=
b=
1
5
-
3
5
-
2.已知3a3xb2x-y和-7a8-yb7是同类项，
求x·y的值。
解：根据题意：得
3x=8-y
2x-y=7
转化为
3x+y=8
2x-y=7
x=3
y=-1
∴
即xy=-3
合作学习：游泳池中的数学问题。
游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
思考下面几个问题：
1.问题中的未知数有几个？
2.有哪些等量关系？
3.怎样设未知数？可以列几个方程？
4.本题能列一元一次方程吗？用列二元一次方程组的方法求解，有什么优点？
男孩人数－１＝女孩人数；
男孩人数＝２（女孩人数－１）
想一想: 上面整个求解过程中,你经历了哪些问题解决的基本步骤
列二元一次方程组求解应用题的优点：
当问题中所求的未知数有两个时,
用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程.
要注意的是必须寻找两个等量关系,列出两个不同的方程,组成二元一次方程组.
审、设、列、解、检
合作学习：游泳池中的数学问题。
游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
解：设男孩x人，女孩y人，则由题意得：
X-1=y
X=2(y-1)
整理得
X-y=1
X-2y=-2
解得
X=4
y=3
答：男孩有４人，女孩有３人．
图一
图二
做一个竖式盒子要用几张长方形纸板和几张正方形纸板？
里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
竖式纸盒展开图
横式纸盒展开图
例1. 用如图一
中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，
做成如图二
中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库
分析：
正方形纸板张数
长方形纸板张数
x只竖式纸盒中
1000
2000
y只横式纸盒中
合计
x
2y
4x
3y
上题中如果改为库存正方形纸板500，长方形纸板1001张，那么，能否做成若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后，恰好把库存纸板用完？
练习
正方形纸板张数
长方形纸板张数
x只竖式纸盒中
500
1001
y只横式纸盒中
合计
x
2y
4x
3y
竖式纸盒展开图
横式纸盒展开图
图一
图二
课本Ｐ９４课内练习１
解：设做竖式纸盒x个，做横式纸盒y个，根据题意，得
y不是自然数，不合题意，所以不可能做成若干个纸盒，恰好不库存的纸板用完．
（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）
（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）
（列出方程组并求解，得到答案）
（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）
理解问题
制定计划
执行计划
回 顾
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤有哪些？
想一想
例2 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行。如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？
36千米
甲先行2时走的路程
乙出发后甲、乙2.5时共走路程
甲
乙
甲
乙
相遇
相遇
36千米
甲出发后甲、乙3时共走路程
乙先行2时走的路程
1、某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽y人，列方程组为（ ）
A B、
C、 D、
c
练一练:
2.小芳在玩具厂上班,做3只小狗,5只小猫用3小时30分;做4只小狗,7只小猫用4小时50分,求平均做1只小狗与1只小猫各用多少时间
解：设做一只小狗x分，做一只小猫y分。
3x+5y=210
4x+7y=290
练一练:
3. 班上有一位同学生病了,小明和小亮相约去看望他,小明买了2.5斤苹果和2斤桔子共花8.6元,小亮买了2斤苹果和1.5斤桔子共花6.7元,求苹果和桔子的单价
解：设苹果每斤x元，橘子每斤y元。
2.5x+2y=8.6
2x+1.5y=6.7
练一练:
4.甲,乙两人各有书若干本,若甲给乙一本,则乙的书的本数是甲的本数的2倍,若乙给甲一本,则甲,乙两人的本数相等,问甲,乙各有几本书
解：设甲有x 本，乙有y本。
y+1=2(x-1)
x+1=y-1
练一练:
小结
谈谈你对用二元一次方程组解决问题的感悟与体验．
1．应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。
2．借助列表、画线段图等分析题意，找出题中的等量关系。
在解决实际问题时,我们一般可以通过分析实际问题, 抽象出数学问题, 然后运用数学思想方法解决问题.用列表、画线段图分析数量关系是常用的方法.
1、作业本4.4
二元一次方程 组应用（1）
2、课内作业
作业：
1.已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数
求：m+n的值
解：根据题意：得
3m+2n-16=0
3m-n-1=0
解得：
m=2
n=5
即：m+n=7
思维挑战
2.关于x、y的二元一次方程组
的解与
的解相同，求a、b的值
解：根据题意，只要将方程组 的解代入方程组
，就可求出a，b的值
解方程组
得
将
代入方程组
得
解得
∴a= ， b=
思维挑战
3、小明和小强非常喜欢遥控汽车，放学后,去超市购买, 最后决定在A、B、C三款中选择两款,其中A款每辆48元; B款每辆78元; C款每辆98元.
问题二:若他们选择A款和C款共5辆,用了
340元，你知道他分别买了几辆A款和C款
的遥控车吗？
问题三:小明和小强有可能选择的是A款和B款的遥控车吗？请说明理由。
问题一：请列出他们所有的选择可能性.
思维挑战(共22张PPT)
x
+
=
68
y
y=2x-1
2x-1
1、若方程
是二元一次方程，则m＝____n= ____
2、如果方程 是关于x，y的二元一次方程。则有理数m，n的取值范围是_____________
0
-2
m 不等于0，n不等于1
4、尝试利用列表法解方程组
6
7
8
0
1
2
2 x＋3y
y
x
3
2
1
3、写出一个解为 方程组______
1、用含x的代数式表示y：
2x+y=2
2、用含y的代数式表示x：
2x-7y=8
一个苹果和一个梨的质量合计２００g，这个苹果的质量加上一个１０g的砝码恰好与这个梨的质量相等，问苹果和梨的质量各为多少g？
解:设苹果的质量为x g,梨的质量为y g,
由题意可列得方程组:
10
y
= x+
200
x
+y =
你知道怎样求出它的解吗？
100g
100g
y
x
10g
10g
（二元）
（一元）
消元
代入
x+y=200
y=x+10
由于方程组中相同的字母表示同一个未知数，
①
②
x+（x+10）=200 ③
所以方程①中的y也等于（x+10）,可以用（x+10）代替方程②中的y ．这样有
注意：代入时要加括号．
哈哈，二元化一元了!
解二元一次方程组的基本思路是“消元”：二元化一元。 “消元” 的方法是“代入” ．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
上面解方程组的基本思路是什么？
例1：解方程组
和
2y－3x=1 ①
1、典例讲解：例1，解方程组
x＝y－1 ②
①
②
运用新知，形成方法
解:把 代入 得:
②
①
2y-3(y-1)=1
2y-3y+3=1
∴y=2
②
把 y=2代入 得,x=2-1=1
∴方程组的解为
｛
X=1
y=2
2y-3x=1
X=y-1
把求出的解代入原方程组，可以知道你解得对不对。
例1 解方程 组变形
解方程组：
①
②
解：由 得，
②
③
①
②
=1
( )
变形一：
变形二：
2y-3x=1
y-x=1
x = 2y
2x + y = 10
(1)
2x + y = 2
3x + 2y－5 = 0
(2)
练习1: 用代入法解下列方程组
X=4
y=2
x=-1
y=4
解:
2x = 8+7y
即
③
把③代入②，得
∴
∴
把
代入③，得
例2:
解方程组
∴ 方程组的解是
2x – 7y = 8
3x - 8y – 10 = 0
①
②
2
3×(
8+7y
)－8y－10 = 0
由①，得
X =
8＋7×(－－)
4
5
2
对了!可由方程①用一个未知数的代数式表示另一未知数，再代入另一方程！
用代入法解方程组:
(2)
(1)
练习2: 用代入法解下列方程组
x=1/7
y=4/7
x=2
y=-1
你能说说用代入法解二元一次方程组的一般步骤吗
②用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
③把这个未知数的值代入代数式(回代) ，求得另一个未知数的值；
①将方程组中一个方程变形，使得一个未知数能含有另一个未知数的代数式表示；
④写出方程组的解。
即: 变形
代替
回代
写出解
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
若设鸡有x只，兔有y只,你能列出方程组吗？
x＋y＝35
2x＋4y＝94
1.消元实质
2.代入法的一般步骤
3.学会检验，能灵活运用适当方法解二元一次方程组。
二元一次方程组
消 元
代入法
一元一次方程
即:
变形
代替
回代
写解
这节课你有什么收获呢？
作业:
1、作业本4.3(1)
2、课后作业题
探究活动
已知二元一次方程 的
两个解为 和
求 a , b的值
2. 甲、乙两人同时解方程组
甲正确的解是 ，乙因抄错c，
而解得 ，求a , b , c 的值.
x+1=2(y-1)
3(x+1)=5(y-1)+4
思考题：解下列二元一次方程组
（2）
方程组的应用
1.
3x2a+b+2
+5y3a-b+1=8
是关于x、y的二元一次方程
求a、b
解：根据题意：得
2a+b+2=1
3a-b+1=1
得：
a=
b=
1
5
-
3
5
-
2.已知3a3xb2x-y和-7a8-yb7是同类项，
求x·y的值。
解：根据题意：得
3x=8-y
2x-y=7
转化为
3x+y=8
2x-y=7
x=3
y=-1
∴
即xy=-3(共23张PPT)
4.1二元一次方程
1.找出下面式子中的一元一次方程：
2.判断下列x的值是不是方程2x+1=7-x的解：
（1）x=-2
（2）x=2
你寄过信吗
你知道怎么寄挂号信吗
小红到邮局寄挂号信,需要邮资3元8角.小红有票额为6角和8角的邮票若干张,问各需多少张这两种面额的邮票
分析1:这个问题中有几个未知数
分析2:能列一元一次方程求解吗
分析3:如果设需要票额为6角的邮票x张,8角
的邮票y张,你可以列出怎样的方程
0.6x＋0.8y=3.8
在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米。如果设轿车的速度是a千米/时，卡车的速度是b千米/时，你能列出怎样的方程呢？
嘿 根据题意你能再列方程吗？
2a－3b=20
思考一:上面3个方程与你学过的一元一次方程比较有什么相同点和不同点
思考二:你能给它取名吗
一元一次方程：
0.6x＋0.8y=3.8
2a－3b=20
？ :
3X+4y=10
含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是 一次的方程叫做二元一次方程.
等式两边都是整式.
注意:
判断下列式子是否是二元一次方程？
不是
不是
不是
是
不是
不是
是
根据题意列方程：
（2）七年级三班男生人数的2倍比女生人数的 多7人，求男生、女生的人数。设男生人数为x人，女生人数为 y人;
1
3
（1） 买5kg苹果和3kg梨共需23.6元,分别求苹果和梨的单价.设苹果的单价为x元/kg,梨的单价为y元/kg.
做 一 做
小红到邮局寄挂号信。需要邮资3元8角。小红有票额为6角和8角的邮票若干张。问各需多少张这两种面额的邮票？
设6角的邮票为x张，8角的邮票为y张。
方程为：6x+8y=38
请设计小红贴邮票的方案
方案一：6角的邮票 张，8角的邮票 张。
方案二：6角的邮票 张，8角的邮票 张。
5
1
1
4
探究活动
方案一：6角的邮票5张，8角的邮票1张。
方案二：6角的邮票 1 张，8角的邮票 4 张。
6x+8y=38
(2) 请设计小红贴邮票的方案
X=5，y=1；
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解
记作：{
X=5
y=1
x=1，y=4
左边=6×5+8×1=38=右边
X=1
y=4
{
检验下列各组数是不是方程
2a=3b+20的解
a=4
b=3
a=10
b=1
a=100
b=60
①
②
③
不是
是
不是
A、B
B、D
已知方程3x+2y=10
（1）用关于x的代数式表示y 。
（2）求当x＝-2，0，3时对应的y的值，
并写出方程3x+2y=10的三个解。
解：(1)移项，得
2y=10-3x
∴
(2)当x=-2时，
当x=0时，
当x=3时，
方程的三个解：
一般地：一个二元一次方程有无数个解.
（2）它的正整数解呢？
（1）方程
的解有多少个？
一元一次方程的解和二元一次方程的解有什么区别？
(1)已知方程
是二元一次方程,则a= b=
(2)如果
{
X=3
y=1
是二元一次方程
kx+y=7的解,则k=
3
-3
2
1.已知二元一次方程 .
（１）用含y的代数式表示x .
（２）根据给出的y值，求出对应的x的值，填入表内：
（３） 请写出方程的5个解.
…
y 0 2 -2 1
x
2
3
1
-2
4
0
…
7
3
2
3
2
14
本节课你学到了什么知识？
含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是 一次的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程有无数个解．
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解.
1、作业本4.1二元一次方程
2、课内作业
作业：(共23张PPT)
主要步骤：
基本思路:
4.写解
3. 解
2. 代
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
1. 变
用一个未知数的代数式
表示另一个未知数
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、用代入法解方程的步骤是什么？
消去一个元
消元: 二元
一元
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
若设鸡有x只，兔有y只,你能列出方程组吗？
x＋y＝35
2x＋4y＝94
把②变形得：
代入①，不就消去
了！
小明
把②变形得
可以直接代入①呀！
小彬
和
互为相反数……
小丽
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
（3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21 + (－11)
分析：
①
②
3X+5y +2x － 5y＝10
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
5x ＝10
x=2
所以原方程组的解是
①
②
解:由①+②得: 5x=10
把x＝2代入①，得
x＝2
y＝3
参考小丽的思路，
怎样解下面的二元一次方程组呢？
2x-5y=7 ①
2x+3y=-1 ②
观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，都是2。把两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程。
分析:
2x-5y=7 ①
2x+3y=-1 ②
解：把 ②－①得:8y＝－8
y＝－1
把y ＝－1代入①，得
2x－5×（－1）＝7
解得:x＝1
所以原方程组的解是
x＝1
y＝－1
例1. 解方程组:
指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：
7x－4y＝4
5x－4y＝－4
解:①－②，得
2x＝4－4，
x＝0
①
②
①
②
3x－4y＝14
5x＋4y＝2
解 ①－②，得
－2x＝12
x ＝－6
解: ①－②，得
2x＝4＋4，
x＝4
解: ①＋②，得
8x＝16
x ＝2
上面这些方程组的特点是什么
解这类方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
特 点:
基本思路:
主要步骤：
同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减消元:
二元
一元
加减
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
结论： 这种解二元一次方程的方法叫做
加减消 元法，简称加减法。
一、填空题：
1、已知方程组 ，两个方程只要两
边_____ 就可消去未知数___,得__________
2、解方程组：
分别相加
y
两个方程只要两边 ，就可消去未知
数 ，得 。
分别相减
x
-13y=26或13y=-26
试一试
二、选择题：
用加减法解方程组 具体解法
如下: (1) ① －②得x=1 (2)把x=1代入①得y=－1
(3) 其中最早出现错误的一步( )
②
①
A. (1) B. (2) C. (3)
A
所以原方程组的解是
①
②
解:由①+②得: 5x=10
把x＝2代入①，得
x＝2
y＝3
做一做
解方程组
1、本题与上面刚刚所做的二道题有什
么区别？
2、本题能否用加减法？
3、如何使x或y的系数变为相等或相反？
例2：解方程组
3x 2y 11
2x 3y 16
- =
+ =
①
②
解：①×3，得，9x－6y＝33 ③
②×2，得，4x＋6y＝32 ④
③＋④，得，13x＝65
x＝5
把x＝5代入①，得3×5－2y＝11
解得y＝2
本题如果消去x，那么如何将方程变形？
用加减消元法解下列方程组.
(你可以选择你喜欢的一题解答)
练一练
2x-3y=1
3x-2y=-2
3x- 2y = 9
x- y = 7
X=-5
y=-12
X=4/5
y=1/5
加减消元法：
方程组中，同一个未知数的系数相同或互为相反数
系数相同用
加法
系数互为相反数用
减法
3x ＋ 5y = 5 11x－6y＝5
3x －4y = 23 13x－6y ＝21
6x＋7y＝5 0.5X－3y＝5
6x－7y＝15 －0.5x－5y＝3
想一想
基本思路:
主要步骤：
加减消元:
二元
一元
加减
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
小结 ：
变形
同一个未知数的系
数相同或互为相反数
2. 二元一次方程组解法有:
代入法、加减法
写解
写出方程组的解
系数
成倍数关系
绝对值相等
不成倍数关系
转化
转化
加减消元法
系数相同用
系数互为相反数用
减法
加法
1、作业本4.3
解二元一次方程 组（2）
2、课内作业
作业：
1.
3x2a+b+2
+5y3a-b+1=8
是关于x、y的二元一次方程
求a、b
解：根据题意：得
2a+b+2=1
3a-b+1=1
得：
a=
b=
1
5
-
3
5
-
拓展应用
2. 已知3a3xb2x-y和-7a8-yb7是同类项，
求x·y的值。
解：根据题意：得
3x=8-y
2x-y=7
转化为
3x+y=8
2x-y=7
x=3
y=-1
∴
即xy=-3
拓展应用
3. 已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数
求：m+n的值
解：根据题意：得
3m+2n-16=0
3m-n-1=0
解得：
m=2
n=5
即：m+n=7
拓展应用(共26张PPT)
动手算一算
2. 已知二元一次方程 ax + by =10 的两个解为
x = -1 x = 1
y = 0 y = 5
则a = ______, b = _______.
1.
a =7
- 10
4
制定计划
执行计划
回顾反思
理解问题
应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤:
基本步骤即就是：
1.审题
2.设未知数,寻找等量关系
3.列方程组
4.解方程组
5.检验,答。
例2:
一根金属棒在0℃时的长度是q(m),温度每升高1 ℃,它就伸长p(m).当温度为t(℃)时,金属棒的长度L可用公式L=pt+q计算.已测得当t=100 ℃时, L=2.002m;当t=500 ℃时,L=2.01m.
(1)求p,q的值;
(2)若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m,
问这时金属棒的温度是多少
一根金属棒在0℃时的长度是q(m),温度每升高1 ℃,它就伸长p(m).当温度为t(℃)时,金属棒的长度L可用公式L=pt+q计算.已测得当t=100 ℃时, L=2.002m;当t=500 ℃时,L=2.01m.
(1)求p,q的值;
解:根据题意得:
100p+q=2.002, ①
500p+q=2.01 ,②
② -①, 400p=0.008,
解得:p=0.00002.
把P=0.00002代入①,得 0.002+q=2.002,解得 q=2
p=0.00002
q=2 答：p=0.00002,q=2
(2) 由(1),得 L=0.00002t+2
金属棒加热后,长度伸长到2.016m,即当L=2.016时, 2.016=0.00002t+2
解得这个一元一次方程,得t=800℃
即
答:此时金属棒的温度是800℃
待定系数法
例2:
声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家已测得一定的温度下声音传播的速度如左表.若用v表示声音在空气中的传播速度,t表示温度,则满足公式:v=at+b(a,b为已知数),求a,b的值,并求当t=15℃时,v的值.
气 温(℃) 声音的传播速度(米/秒)
-20 318
-10 324
0 330
10 336
20 342
30 348
声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家已测得一定的温度下声音传播的速度如左表.若用v表示声音在空气中的传播速度,t表示温度,则满足公式:v=at+b(a,b为已知数),求a,b的值,并求当t=15℃时,v的值.
气 温
(℃) 声音的传播速度(米/秒)
-20 318
-10 324
0 330
10 336
20 342
30 348
解:由题意得,当t=o℃时,v=330米/秒;当t=10℃时,v=336米/秒,代入v=at+b,得
0×a+b=330
10a+b=336
a=0.6
b=330
解得
即:v=0.6t+330
当t=15℃时,v=0.6×15+330
=339(米/秒)
例3通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
(1)快餐总质量为300g；
(2)快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
(3)蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%.
根据上述数据回答下面的问题：
(1)分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比；
(2)根据计算结果制作扇形统计图表示营养成分的信息。
快餐总质量为300克
蛋白质＋碳水化合物＋脂肪＋矿物质＝３００g
蛋白质和脂肪含量占50%
蛋白质＋脂肪＝３００ g × 50%
矿物质含量是脂肪含量的2倍
蛋白质和碳水化合物含量占85%
蛋白质＋碳水化合物＝ ３００g × 85%
矿物质＝２×脂肪
快餐的成分:蛋白质,碳水化合物,脂肪,矿物质
x
y
（300×85%－x）
2y
蛋白质＋脂肪＝３００ × 50%
矿物质+碳水化合物= ３００ × 50%
解 ⑴ 设一份营养快餐中含蛋白质xg，脂肪yg，则矿物质为2yg，碳水化合物为（300×85%－x）g.由题意，得
①+②，得 3y=45,
解得 y＝15(g).
∴ x=150－y=135(g),
2y=2×15=30(g),
300×85%－x＝255－135=120(g)
各种成分所占百分比
各种成分的质量(g)
合计
碳水化合物
矿物质
脂肪
蛋白质
中学生营养快餐成分统计表
135
15
30
120
300
45%
5%
10%
40%
100%
1. 下表是小红在2003年下旬制作的一份统计表,其中空格处的字迹已模糊不清,但小红还记得7:50~8:00时段内的摩托车辆数与8:00~8:10时段内的货车辆数之比是5:4.根据这些数据,你能把这分统计表填完整吗
2003年6月23日东胜路7:50~8:10经过车辆统计表
单位:辆
摩托车 公交车 货车 小汽车 合计
7:50~8:00 7 12 44
8:00~8:10 7 8 40
合 计 30 20 20
84
14
x
30-x
y
20-y
课内练习:
2003年6月23日东胜路程 7：50-8 ：10经过车辆统计表
摩托车 公交车 货车 小汽车 合计
7：50-
8 ：00 7 12 44
8：00-
8 ：10 7 8 40
合计 30 20 20
x
y
30-x
84
20-y
14
x ： y=5 ： 4
4x =5y
摩托车+公交车+货车+小汽车=合计
X+7+(20-y)+12=44或
(30-X)+7+y+8=40
4X=5y，
X+7+(20-y)+12=44。
2. 已知一个两位数，十位数字比
个位数字大3 ，将十位数字与个位
数字对调所得的新数比原数小27，
求这个两位数。
十位 个位 两位数的代数式
原数
新数
若设十位数字为x，个位数字为y，则
x
y
10x+y
y
x
10y+x
3、甲乙两人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行。如果甲比乙早出发 30 分钟，那么在乙出发后 2 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11 千米。求甲、乙每小时各走多少千米？
2y千米
甲2.5小时走的路程
乙2小时走的路程
0.5x千米
2x千米
(1)
A
B
11千米
x千米
y千米
(2)
A
B
小结：解信息量大，关系复杂的实际问题时，要仔细分析题意，找出等量关系，利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题。
谈谈你的收获
1、如何求一些公式中的字母系数（待定系数法）它的一般步骤是怎样的？
2、怎样解决一些信息量大，关系比较复杂的实际问题？
实际问题
分析
转化
方程（组）
求解
检验
问题解决
生活问题数学化，数学问题生活化
1、作业本4.4
二元一次方程 组应用（2）
2、课内作业
作业：
小明骑摩托车在公路上高速行驶，12:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13:00时看里程碑上的两位数与12:00时看到的个位数和十位数颠倒了；14:00时看到里程碑上的数比12:00时看到的两位数中间多了个零，小明在12:00时看到里程碑上的数字是多少？
解:设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位的数字是y，那么
x+y=7
(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x)
答:小明在12:00时看到的数字是16.
x=1
y=6
解之:
1、已知y=kx+m，当x=1时，y=2；当x=2时，y= - 1；
则k= ，m= 。
2、小明有5元和2元的人民币共50张，合计180元，
若设5元人民币有x张，2元人民币有y 张，则可列方程组
，
3、两个数字，甲数比乙数的4倍少5，乙数比甲数的3倍多4，设甲数为x，乙数为y,则可列方程组
-3
5
x+y=50
5x +2y =180
x=4y-5
y=3x+4
方程组的应用
4、某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种商品,根据下图提供的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少
共计145元
共计280元
x+2y=145
2x+3y=280
解得：x=125
y=10
5.已知代数式x2+bx+c,当x=1时，它的值是2；当x=-1时，它的值是8，则b，c的值分别是（ ）
(A) b=3,c=-4. (B) b=-3,c=4.
(C) b=2,c=-5. (D) b=-2,c=5.
B
6.一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示.已知 B，C两车站之间相距520千米.火车从B站出发，向C站方向匀速行驶，经过30分，距A站150千米；经过2时，距A站345千米.问火车从B站开出，多少时间后可到达C站？
150千米
520千米
设火车的速度为x千米A，B两站之间的路程为y千米.
345千米
A
B
C
Y千米
0.5x
2x(共22张PPT)
若2x3m+1+3y2n-1=0是二元一次方程,则 m= ,n= .
若(k-1)xlkl+2y=0是二元一次方程,则k= .
二元一次方程 3x+2y=12的解有 个,正整数解有 个,分别是 .
若 是二元一次方程2x-3my=1的解,则
m= .
X=1
y=2
0
1
-1
无数
1
x=2
y=3
1
－
6
一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g
10
200
解:设苹果的质量是xg,
你还有其他解法吗
那么梨的质量是(200-x)g,
根据题意,得
X+10=200-x
开动脑筋
如果设苹果和梨的质量分别为x g和yg，你能列出几个方程呢？
y
10
x
y
200
x
x+y=200
y=x+10
请把它们列出来。
两个
方程x+y=200和 y=x+10中,x、y都分别表示同一个未知数，也就是说x，y的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把两个方程合起来，写成：
观察上述两个方程有什么特点
两个方程共含有两个未知数
由两个一次方程组成
像这样由两个一次方程组成,并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组
判断下列各方程组是不是二元一次方程组:
2．
4．
1．
3．
是
是
不是
不是
是
5．
y+z=1
x+y=10
x+y=5
2x+y=6
x+y=-5
2X=3
做一做
1.(1)已知方程x+y=200,填写下表:
x … 85 90 95 100 105 …
y … …
115
110
105
100
95
(2)已知方程y=x+10,填写下表:
x … 85 90 95 100 105 …
y … …
95
100
105
110
115
问题:有没有这样的解,它既是方程x+y=200的一个解,又是
方程y=x+10的一个解
x=95
y=105
有
同时满足二元一次方程组的各个方程的解,
叫做这个二元一次方程组的解
2.。 把下列各组数的题序号填入图中适当的位置：
④
①
②
③
④
②
①
③
②
②
同时满足二元一次方程组中各个方程的解叫作二元一次方程组的解。
因此方程组
的解是
的解是
将下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来:
课内练习
例.小聪全家外出旅游,估计需要胶卷底片120张.商店里有两种型号的胶卷:A型每卷36张底片,B型每卷12张底片.小聪一共买了4卷胶卷,刚好有120张底片.如果设两种胶卷分别买x卷和y卷,请根据问题中的条件列出关于的方程组,并用列表尝试的方法求两种胶卷的数量
解:根据条件可列出关于x,y的方程组
x+y=4
36x+12y=120
因为x,y必须取正整数,所以列表尝试如下:
x 1 2 3
y 3 2 1
36x+12y
72
96
120
显然,只有x=3,y=1符合这个方程组,所以方程组的解是
x=3
y=1
答:小聪买了A型胶卷3卷,B型胶卷1卷
1.下列各组方程组中是二元一次方程组的是 ( )
x+y=-5
2x=3
A
B
x=3
2x-5=6
C
D
A
练一练
2、若 是方程3x + y – k =1的一个解，
则k = 。
3、已知方程①2x + y =0，②x + 2y =3，那么 能满足的
方程是 （用数字①、②填空）
则 是二元一次方程组 的解
练习：
2
①、②
2x+y=0 x+2y=3
x= -1
y=2
3.看谁做得又对又快：
下列四组数值中， ———是方程7x-3y=2的解， ———
是方程2x+y=8的解， 方程组 的解是——— 。
7x-3y=2 2x+y=8
A
x=-1
y=-3
B
x=2
y=4
C
x=4
y=2
D
x=1
y=6
A，B
B，D
B
变式：
如果 是方程组 的解，
则a= ———， b= ———。
x=2
y=-0.5
X－b=y
5x+2a=2y
-5.5
2.5
设计一个关于使用5角和1元的硬币的问题情境，使该问题可应用二元一次方程组来解决．
盒子里有5角和1元的硬币共10枚．
若５角的硬币比１元的硬币多２枚．
问：盒子里有５角硬币和１元硬币各多 少枚？
4.
(2)二元一次方程组的解
这节课你学到了什么知识？
(3) 用列表尝试法求二元一次方程组的解
(1)
由两个一次方程组成
二元一次
方程组
﹛
两个方程共含有两个未知数
作业:
1、作业本4.2。
2、课本作业。
昨天，我们去邮局寄包裹，买了面值为０．８元和１．５元的邮票共７张
刚好花了７元钱。我们到底买了这两种面值的邮票各多少张？设面值为０．８元的邮票x张，面值为１．５元的邮票y张
请根据问题中的条件列出关于X,Y的方程组，并用列表尝试的方法求出解。
用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，每个小长方形的长宽如图，请列出关于x、y的方程组，
你能求出所拼成的矩形的面积吗？
思维挑战
已知 是方程组 的解,求a,b的值
x=2
y=-1
ax+by=-5
a(x-1)=2y
解：
把 代入方程组得：
x=2
y=-1
2a - b= -5
a(2-1)= -2
解得 a=-2, b=1
7
有无数种取法，比如增加条件“长是宽的2倍”可列出方程组是
X=2y
X+y=0.6
你能找到一组x,y值同时适合方程x=2y 和 x+y=0.6 吗
3、利用相似图形设计一幅美丽的图案。
作业:
1、作业本2.5。
2 、课本作业2.5 。
