浙教版数学七年级下册1.5 平行线的性质 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·莲都期末） 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·诸暨期中）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD=60°，∠BAC=50°，当∠MAC为（ ）度时，AM与BC平行．
A．50° B．60° C．70° D．130°
3．（2024七下·杭州期中） 如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
4． 如图， 平分 的反向延长线交 的平分线于点 ， 则 与 的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·上虞期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
6．如图，AB∥CD，将一副直角三角尺按如图摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°。有下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN。其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
8．（2022七下·杭州期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
二、填空题
9．（2025七下·德清期末） 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为 ．
10．（2025七下·鄞州竞赛）如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为 .
11．（2025七下·宁波期中）如图已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点，在上，连结，，，平分，平分，若，求的度数为
12．（2024七下·鄞州期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行．
13．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
三、解答题
14．（2025七下·永康期末）如图1，AB//CD，点E在线段CD上，AE与BC相交于点F，连结DF，BD。
（1）若∠AEC=54°，∠ABD=126°，试判段AE与BD是否平行，并说明理由。
（2）若∠A=a，∠C=β，请用a和B表示∠AFC的度数，并说明你的理由。
（3）如图2，已知∠DBF和∠BDF的角平分线相交于点G。求∠BGD与∠BFD的数量关系。
15．（2025七下·上城期中）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME.
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交
CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β.
①当点G在点F的右侧时，若∠BEG=70°，求∠MEH的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
【分析】由平行线的性质可表示出 结合对顶角相等可表示出 ，再利用外角的性质可求得 的度数.
2．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
当时，
∴
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行同旁内角互补得到结合角之间的数量关系求出∠ACB的度数，最后即可求解.
3．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
∵CE平分∠DCF，
∴∠DCF=2∠DCE。
∵∠1=∠ABF，
∴∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE=∠1+∠DCE。
∴∠ABE+∠EBF+∠F+∠ECF+∠DCE=360°，
∴∠1+2∠1+∠3+2∠DCE=360°。
∴∠1+∠3+2（∠1+∠DCE）=360°，
∴∠1+∠3+2∠2=360°.
故答案选：A.
【分析】通过AB∥CD，可以得到：∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE。由CE平分∠DCF，可以得到：∠DCF=2∠DCE。由∠1=∠ABF，可以得到∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.所以∠ABF+∠F+∠DCF=360°，转化为∠ABE+2∠ABE+∠F+2∠DCE=360°，再由∠ABE=∠1，∠E=∠2，∠F=∠3，逐步转化即可得到结论：∠1+2∠2+∠3=360°.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解： 平分 平分 ，
过 作 ， 过 作 ， 则
即 ．
即 ．
故答案为：D
【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得进而推出，根据，即可求得.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】①由题意得∠G=∠MPN=90°，∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，FH∥CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故③正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠PMN=45°，
∴∠AEG=∠PMN，故④正确。综上所述，正确的有4个.
故答案为D.
【分析】①利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③利用平行公理可得FH∥CD，从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④∠AEG、∠GEF和∠BEF，加起来为平角，可求出∠AEG，从而可判断．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
8．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PHAB，
∵ABCD，
∴CDPH，
故①正确；
∴ABCDPH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP-∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-（∠FPH+∠GPH）
＝∠A+∠PHG，
∵ABPH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°.
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：B.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行，得HP∥AB，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥HP，据此判断①；由二直线平行，内错角相等，得∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，进而根据角的和差及及角平分线的定义可得∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，据此可判断②；∠GPH与∠FPH不一定相等，所以∠FPH＝∠GPH不一定成立，据此判断③；根据角的和差、平行线的性质及三角形外角系数可得∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠PHG，由平行线的性质得∠A+∠PHG＝180°，从而推出∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°，据此可判断④.
9．【答案】
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AM∥DE，
∵FG∥DE，
∴AM∥FG∥DE，
∵AM∥DE，
∴∠MAD+∠ADE = 180°，
∵∠ADE = 100°，
∴∠MAD =180°-∠ADE =80°，
∵AM∥FG，
∴∠GAM=∠G，
∵∠FAG=40°，
∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAC=80°，
∴∠GAD=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵∠GAD=∠GAM+∠MAD，
∴∠GAM=∠G=∠GAD-∠MAD=20°.
故答案为： 20°.
【分析】过点A作AM∥DE，由平行公理得AM∥FG∥DE，根据平行线的性质得∠MAD+∠ADE=180°，∠GAM =∠G， 由角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC， 由∠GAD=∠GAM+∠MAD， 即可求解.
10．【答案】82°
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过F作FH//AB，
∵AB//CD.
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E-∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E-33°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E-33°)=180°
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作EH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABE=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E-∠F=33°，即可得到∠E的度数.
11．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∴∠ABF=∠GBF ，
设∠DBE=m， ∠ABF=n，
则∠ABE=m，∠ABD=2m=∠CBG，∠GBF=n=∠AFB，∠BFC=4∠DBE=4m。
∴∠AFC=4m+n，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=4m+n.
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，
∴（2m+n）+4m+（4m+n）=180°，①
∵AB⊥BC，
∴n+n+2m=90°，②
由①、②联立方程组，得：
解得：m=°， n=°。
∴∠ABE=°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=°+90°=°.
故答案为：.
【分析】过点B作BH∥AM(点G在点B的右侧)， 设∠EBD=α， ∠ABF =β， 根据角平分线性质得∠EBA=∠EBD=α，∠ABD=2α，∠FBC=∠FBD=2α+β， 再根据三角形内角和定理及平行线性质求出∠CBH =2α，∠AFB =∠FBH =β， 根据AB⊥BC可得β=45°-α， 进而得到∠AFC=4α+β，证明∠FCB=∠AFC=4α+β， 由三角形内角和定理可得β+5α=90°， 由此得出 的度数，然后根据∠EBC =∠EBA+∠ABC即可得出答案.
12．【答案】36s或108s
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行．
分四种情况：
①如图，当时，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得；
②当时，，，
∴，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得，此时，
（舍去）；
③如图，当时，，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得（舍去）；
④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置：
∵，
∴，
即，
∴，
解得：，
综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36s或．
故答案为：36s或108s．
【分析】本题分四种情况讨论，利用平行线的判定与性质，即两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，然后利用角的和差关系，列出等量关系式求解即可。
13．【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
14．【答案】（1）解：如图 1，AE // BD。
∵AB //CD，
∴∠A=∠AEC=54°。
∵∠ABD=126°，
∴∠A+∠ABD=180°。
∴AE //BD
（2）解：∵AB//CD，
∴∠CBA=∠C=β，∠EAB=a，
∴∠AFC=∠EAB+∠CBA=α+β
（3）解：如图2，
设，，由上题可得。
和 的角平分线相交于点 G，
，。
。
。
，
，即.
∴.
【知识点】角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据题干线平行条件得到（两直线平行，内错角相等），然后通过（同旁内角互补，两直线平行）可判断 AE与BD平行；
（2）可视为的一个外角，根据外角和定理，其等于∠EAB与∠CBA之和，然后根据平行条件可得∠EAB与∠CBA之和实际为α+β，从而得到∠AFC=α+β；
（3）设，，运用（2）的结论得到，然后由图可知∠BGD的构成（），由可得到以x、y表达出，从而将 ∠BGD与∠BFD通过等量关系连接起来，最终得到答案.
15．【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM=∠MEF，
∵∠FEM=∠FME.
∴∠AEM=∠FME，
∴AB∥CD
（2）解：∵∠BEG=70°，
∴∠AEH=180°-∠BEG=180°-70°=110°，
∵ EM平分∠AEF， EH平分∠FEG，
∴，，
∴∠CEH=∠MEF+∠HEF=；
②猜想： 或
理由：当点G在F的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGH=β，
∴∠AEG=180°-β，
∵∠AEM =∠EMF， ∠HEF =∠HEG，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE= 90°，
∴ α=∠EHN=90°-∠HEN=.
当点G在F的左侧时，
∵AB∥CD，
，
综上所述， 或
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质及等量代换证明 即可.
(2)①根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线的定义得到 利用平角的定义求出. 的度数，根据平行线的性质求 即可解决问题；
②分为当点G在F的右侧时及当点G在F的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求 ，利用平角的定义表示. 的度数，根据角平分线的定义表示. 即可解决问题.
1 / 1浙教版数学七年级下册1.5 平行线的性质 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·莲都期末） 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
【分析】由平行线的性质可表示出 结合对顶角相等可表示出 ，再利用外角的性质可求得 的度数.
2．（2025七下·诸暨期中）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD=60°，∠BAC=50°，当∠MAC为（ ）度时，AM与BC平行．
A．50° B．60° C．70° D．130°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
当时，
∴
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行同旁内角互补得到结合角之间的数量关系求出∠ACB的度数，最后即可求解.
3．（2024七下·杭州期中） 如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
∵CE平分∠DCF，
∴∠DCF=2∠DCE。
∵∠1=∠ABF，
∴∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE=∠1+∠DCE。
∴∠ABE+∠EBF+∠F+∠ECF+∠DCE=360°，
∴∠1+2∠1+∠3+2∠DCE=360°。
∴∠1+∠3+2（∠1+∠DCE）=360°，
∴∠1+∠3+2∠2=360°.
故答案选：A.
【分析】通过AB∥CD，可以得到：∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE。由CE平分∠DCF，可以得到：∠DCF=2∠DCE。由∠1=∠ABF，可以得到∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.所以∠ABF+∠F+∠DCF=360°，转化为∠ABE+2∠ABE+∠F+2∠DCE=360°，再由∠ABE=∠1，∠E=∠2，∠F=∠3，逐步转化即可得到结论：∠1+2∠2+∠3=360°.
4． 如图， 平分 的反向延长线交 的平分线于点 ， 则 与 的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解： 平分 平分 ，
过 作 ， 过 作 ， 则
即 ．
即 ．
故答案为：D
【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得进而推出，根据，即可求得.
5．（2023七下·上虞期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
6．如图，AB∥CD，将一副直角三角尺按如图摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°。有下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN。其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】①由题意得∠G=∠MPN=90°，∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，FH∥CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故③正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠PMN=45°，
∴∠AEG=∠PMN，故④正确。综上所述，正确的有4个.
故答案为D.
【分析】①利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③利用平行公理可得FH∥CD，从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④∠AEG、∠GEF和∠BEF，加起来为平角，可求出∠AEG，从而可判断．
7．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
8．（2022七下·杭州期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PHAB，
∵ABCD，
∴CDPH，
故①正确；
∴ABCDPH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP-∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-（∠FPH+∠GPH）
＝∠A+∠PHG，
∵ABPH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°.
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：B.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行，得HP∥AB，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥HP，据此判断①；由二直线平行，内错角相等，得∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，进而根据角的和差及及角平分线的定义可得∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，据此可判断②；∠GPH与∠FPH不一定相等，所以∠FPH＝∠GPH不一定成立，据此判断③；根据角的和差、平行线的性质及三角形外角系数可得∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠PHG，由平行线的性质得∠A+∠PHG＝180°，从而推出∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°，据此可判断④.
二、填空题
9．（2025七下·德清期末） 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AM∥DE，
∵FG∥DE，
∴AM∥FG∥DE，
∵AM∥DE，
∴∠MAD+∠ADE = 180°，
∵∠ADE = 100°，
∴∠MAD =180°-∠ADE =80°，
∵AM∥FG，
∴∠GAM=∠G，
∵∠FAG=40°，
∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAC=80°，
∴∠GAD=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵∠GAD=∠GAM+∠MAD，
∴∠GAM=∠G=∠GAD-∠MAD=20°.
故答案为： 20°.
【分析】过点A作AM∥DE，由平行公理得AM∥FG∥DE，根据平行线的性质得∠MAD+∠ADE=180°，∠GAM =∠G， 由角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC， 由∠GAD=∠GAM+∠MAD， 即可求解.
10．（2025七下·鄞州竞赛）如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为 .
【答案】82°
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过F作FH//AB，
∵AB//CD.
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E-∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E-33°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E-33°)=180°
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作EH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABE=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E-∠F=33°，即可得到∠E的度数.
11．（2025七下·宁波期中）如图已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点，在上，连结，，，平分，平分，若，求的度数为
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∴∠ABF=∠GBF ，
设∠DBE=m， ∠ABF=n，
则∠ABE=m，∠ABD=2m=∠CBG，∠GBF=n=∠AFB，∠BFC=4∠DBE=4m。
∴∠AFC=4m+n，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=4m+n.
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，
∴（2m+n）+4m+（4m+n）=180°，①
∵AB⊥BC，
∴n+n+2m=90°，②
由①、②联立方程组，得：
解得：m=°， n=°。
∴∠ABE=°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=°+90°=°.
故答案为：.
【分析】过点B作BH∥AM(点G在点B的右侧)， 设∠EBD=α， ∠ABF =β， 根据角平分线性质得∠EBA=∠EBD=α，∠ABD=2α，∠FBC=∠FBD=2α+β， 再根据三角形内角和定理及平行线性质求出∠CBH =2α，∠AFB =∠FBH =β， 根据AB⊥BC可得β=45°-α， 进而得到∠AFC=4α+β，证明∠FCB=∠AFC=4α+β， 由三角形内角和定理可得β+5α=90°， 由此得出 的度数，然后根据∠EBC =∠EBA+∠ABC即可得出答案.
12．（2024七下·鄞州期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行．
【答案】36s或108s
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行．
分四种情况：
①如图，当时，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得；
②当时，，，
∴，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得，此时，
（舍去）；
③如图，当时，，，，
，，
，
，
，，
当时，，
此时，，
解得（舍去）；
④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置：
∵，
∴，
即，
∴，
解得：，
综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36s或．
故答案为：36s或108s．
【分析】本题分四种情况讨论，利用平行线的判定与性质，即两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，然后利用角的和差关系，列出等量关系式求解即可。
13．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
三、解答题
14．（2025七下·永康期末）如图1，AB//CD，点E在线段CD上，AE与BC相交于点F，连结DF，BD。
（1）若∠AEC=54°，∠ABD=126°，试判段AE与BD是否平行，并说明理由。
（2）若∠A=a，∠C=β，请用a和B表示∠AFC的度数，并说明你的理由。
（3）如图2，已知∠DBF和∠BDF的角平分线相交于点G。求∠BGD与∠BFD的数量关系。
【答案】（1）解：如图 1，AE // BD。
∵AB //CD，
∴∠A=∠AEC=54°。
∵∠ABD=126°，
∴∠A+∠ABD=180°。
∴AE //BD
（2）解：∵AB//CD，
∴∠CBA=∠C=β，∠EAB=a，
∴∠AFC=∠EAB+∠CBA=α+β
（3）解：如图2，
设，，由上题可得。
和 的角平分线相交于点 G，
，。
。
。
，
，即.
∴.
【知识点】角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据题干线平行条件得到（两直线平行，内错角相等），然后通过（同旁内角互补，两直线平行）可判断 AE与BD平行；
（2）可视为的一个外角，根据外角和定理，其等于∠EAB与∠CBA之和，然后根据平行条件可得∠EAB与∠CBA之和实际为α+β，从而得到∠AFC=α+β；
（3）设，，运用（2）的结论得到，然后由图可知∠BGD的构成（），由可得到以x、y表达出，从而将 ∠BGD与∠BFD通过等量关系连接起来，最终得到答案.
15．（2025七下·上城期中）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME.
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交
CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β.
①当点G在点F的右侧时，若∠BEG=70°，求∠MEH的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。
【答案】（1）解：AB∥CD.理由如下：
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM=∠MEF，
∵∠FEM=∠FME.
∴∠AEM=∠FME，
∴AB∥CD
（2）解：∵∠BEG=70°，
∴∠AEH=180°-∠BEG=180°-70°=110°，
∵ EM平分∠AEF， EH平分∠FEG，
∴，，
∴∠CEH=∠MEF+∠HEF=；
②猜想： 或
理由：当点G在F的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGH=β，
∴∠AEG=180°-β，
∵∠AEM =∠EMF， ∠HEF =∠HEG，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE= 90°，
∴ α=∠EHN=90°-∠HEN=.
当点G在F的左侧时，
∵AB∥CD，
，
综上所述， 或
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质及等量代换证明 即可.
(2)①根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线的定义得到 利用平角的定义求出. 的度数，根据平行线的性质求 即可解决问题；
②分为当点G在F的右侧时及当点G在F的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求 ，利用平角的定义表示. 的度数，根据角平分线的定义表示. 即可解决问题.
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