浙教版七（下）数学第一章 相交线与平行线 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·温州期中）沙燕风筝是传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意。图1是一沙燕风筝的示意图，在下列四个选项中，能由图1经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解： 根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下：
故答案为：D.
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．
2．（2024七下·牡丹期中）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
【答案】A
【知识点】角的运算；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作平行于，则，
，，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作平行于，得到，得出和，结合，进而得到与的关系，得出答案.
3．如图， 分别过点 画直线 的垂线 ， 则直线 与直线 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵垂直同一条直线的两条直线互相平行，
∴直线a与直线b的位置关系是平行，
故答案为：B.
【分析】利用“垂直同一条直线的两条直线互相平行”分析求解即可.
4．（2024七下·路桥期末）如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1与∠4是同旁内角，且∠1+∠4不一定等于180°，∴不能判断a//b，∴A不符合题意；
B、∵∠2与∠3是邻补角，无法判断a//b，∴B不符合题意；
C、∵∠2与∠5是对顶角，无法判断a//b，∴C不符合题意；
D、∵∠4与∠5是内错角，且∠4=∠5，∴a//b，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
5．（2025七下·嵊州期中）如图，直线a//b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a//b，
∴∠3=∠1=55°.
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=35°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可计算出∠2的度数.
6．（2024七下·天津市月考）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( )
A．60° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： PD∥OB， PC⊥OB
∠CPD=90°
∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°， ∠OPC＝35°
∠APD=180°-90°-35°=55°
故选B.
【分析】根据平行线的性质得出∠PCO＝∠DPC =90°，然后利用三角形的内角和定理解答即可.
7．如图，若AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是( )
A．∠α+∠β+∠γ=180° B．∠α-∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=180° D．∠α+∠β+∠γ=270°
【答案】C
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∵ AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠α+∠AEF=180°， ∠γ =∠DEF
∴ ∠β=180°-∠α+∠γ，
即： ∠α+∠β-∠γ=180°
故选：C.
【分析】过点E作EF∥AB，由平行公理可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠AEF=180°， ∠γ =∠DEF，即可得到∠α，∠β，∠γ之间的关系.
8．（2024七下·越秀期末）如图所示，，点E为线段上一点，平分，平分，要求的度数，只需要知道下列哪个式子的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
，
，，
即
平分，平分，
，，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】过点E作，先利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得，再利用角平分线的定义可得，，再结合，利用角的运算和等量代换可得.
9．（2024七下·海珠期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
设，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质证出，从而可判断出①是否正确；再利用等量代换可证出，从而可得平分，再判断出②是否正确；再利用角的运算和等量代换求出，从而可判断出③是否正确；再结合，可得，再求出，从而可判断出④是否正确，从而得解.
10．（2024七下·广州期中）如图5，点在延长线上，交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴AE∥BD，
∴，
∵，
∴，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，结论②正确；
∵，
∴，
∵比的余角小，
∴，
∵，，
∴，结论③正确；
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，结论④正确；
故正确的结论是①②③④；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的判定与性质、余角和补角的性质，角平分线的性质等准确分析计算，逐一判断即可.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共18分。
11．（2025七下·越秀期末） 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是 ．
【答案】3
【知识点】两点之间线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】
解：根据点到直线的距离可知： 点P到直线l的距离是PB，
∵PB=3
∴点P到直线l的距离是PB=3
故答案为：3 .
【分析】点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离；由题知：PB⊥l，根据点到直线的距离的定义可知：PB的长度就是点P到直线l的距离，代入数据即可得出答案.
12．（2025七下·永康期末）如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是 °。
【答案】116
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，且∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠ABC=32°.
∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°.
故答案为：116.
【分析】根据平行性质（两直线平行，同位角相等）得到∠1与∠2的度数，然后由于∠1、∠2与∠EDF度数之和为180°，因此即可求得∠EDF度数.
13．（2025七下·义乌月考）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为 度.
【答案】210
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台，
∴l//支撑平台//工作篮底部
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°
∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°
∵∠4+∠5=∠2，
∴∠2+∠3=210°
故答案为：210.
【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解.
14．（2025七下·温州期中）光线在不同介质中传播会发生折射。由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行。若∠1+∠2=α°，则∠4-∠3= °（用含α的代数式表示）。
【答案】(180-α)
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵空气中的光线平行，
∵水面与玻璃杯的底面平行，
故答案为：
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2+∠4=180°，然后利用角的和差和等量代换解答即可.
15．（2024七下·常德期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．
【答案】14或63.6或134
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：设射线PB旋转的时间为t秒，
∵射线QC绕Q点每秒旋转，射线QC先转42秒，射线PB才开始转动，
∴射线QC还需旋转138秒到达QD，
∴．
①如图，当，
，，
∵，
，
∵，
，
，
解得．
②如图，当时，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
解得．
③如图，当时，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒．
故答案为：14或63.6或134．
【分析】设射线PB旋转的时间为t秒，由题意得0＜t≤138，分三种情况：
①当时，根据路程、速度、时间三者的关系得，，由二直线平行同位角相等得， 由二直线平行，内错角相等得，则∠CQC'=∠BPB'，据此建立方程求解可得t的值；
②当时，由路程、速度、时间三者的关系得，， 由二直线平行，内错角相等得，有二直线平行，同旁内角互补得， 从而代入计算可得t的值；
③当时，根据路程、速度、时间三者的关系得， 由二直线平行，内错角相等得， 由二直线平行同位角相等得，据此建立方程，可求出t的值，综上即可得出答案.
16．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2023七下·金乡县月考）如图，在的正方形网格中有，点均在格点上．
（1）画出点B到直线的最短路径；
（2）过C点画出的平行线，交于点E；
（3）将向左平移格，再向下平移格后得到，画出．
（4）判断和的数量关系 ．
【答案】（1）解：点B到直线的最短路径，即过点B作直线的垂线，
如图所示，过点B作延长线，交于点D，
∴垂线段是点B到直线的最短路径．
（2）解：如图所示，，
∴是所求直线．
（3）解：如图所示，
∴即为所求图形．
（4）
【知识点】点到直线的距离；作图﹣平移；作图-平行线
【解析】【解答】解：（4），理由如下，
如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1） 过点B作延长线，交于点D， 则垂线段的长是点B到直线的最短路径；
（2）如图，取格点E，画直线CE，则CE即为所求；
（3）根据平移的性质分别确定点A、B、C向左平移格，再向下平移格后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可.
18． 如图， 在 中， ， 将 沿 方向平移得到 ， 且 ．
（1）求线段 的长；
（2） 求四边形 的周长．
【答案】（1）解：∵△ABC沿BA 方向平移得到△DEF，
∴DE=AB.∵AE=2，DB=14，∴DE=AB==6.
∴AD=AE+DE=8.
（2）解：∵△ABC沿BA 方向平移得到△DEF，∴DF=AC=5，CF=AD=8.
∴四边形 DBCF 的周长=DB+BC+CF-DF=14+4+8+5=31.
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】（1）因为AE=2，DB=14，所以可知AB+DE的和为12，根据平移的性质对应边相等得到AB=DE=6，进而可得AD为AE与DE的和.
（2）因为AC与DF为对应边相等，所以DF=5，又因为平移时图形上所有点平移的方向距离一样，所以CF=AD=8，最后四条边相加可求得周长.
本题解题的关键是掌握平称的性质及线段之间的关系.
19．（2025七下·封开期末） 如图，已知，AC平分，若，求的度数.
【答案】解：，
，
，，
平分，
，
.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】先根据同旁内角互补证明，则，，再根据角平分线的定义得到∠BAD的度数，进而即可得到∠B的度数。
20．（2025七下·绍兴期末）如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ， 求 的度数.
【答案】（1）证明：∵∠2=∠3
∴
∴∠C=∠DGF
∵∠C=∠1
∴∠DGF=∠1
∴
（2）解：∵与是对顶角
∴
在中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵与是对顶角
∴
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）首先根据内错角相等推出两直线，再利用平行线的性质进一步得到同位角∠C=∠DGF，然后等量代换出∠DGF=∠1，再一次利用内错角相等得到两直线；
（2）先根据对顶角相等将∠3放入中，然后利用三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，，最后再利用对顶角相等即可求出
21．（2025七下·余姚期中）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）说明AD∥EF的理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
【答案】（1）证明.
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行)
（2）解：
【知识点】角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】 (1)先根据AB//DG，得到，再根据，得到，故可证明；
(2) 先由题意求出，得到，根据平行线的性质即可得到的度数.
22．（2024七下·花垣月考）如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设．
①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）解：如图1，，
理由如下：
平分，
，
，
，
．
（2）①如图2，平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
②和之间的数量关系为或．
理由如下：
当点G在点F的右侧时，由①得，
当点G在点F的左侧时，如图，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
综上得，和之间的数量关系为或．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平分，得到，根据，得到
，结合内错角相等，两直线平行，即可证得；
①由平分，平分，得到，再由，得到，，得到；
②当点G在点F的左侧时，由平分，且平分，求得，再由，得到和，得到，进而得到答案.
23．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数.
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求.
（1） 按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案)
（2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
（3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系.
【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110.
（3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β，
即；
如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α，
即，
综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可；
（3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可.
24．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
1 / 1浙教版七（下）数学第一章 相交线与平行线 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·温州期中）沙燕风筝是传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意。图1是一沙燕风筝的示意图，在下列四个选项中，能由图1经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·牡丹期中）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
3．如图， 分别过点 画直线 的垂线 ， 则直线 与直线 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定
4．（2024七下·路桥期末）如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·嵊州期中）如图，直线a//b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（2024七下·天津市月考）如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( )
A．60° B．55° C．45° D．35°
7．如图，若AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是( )
A．∠α+∠β+∠γ=180° B．∠α-∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=180° D．∠α+∠β+∠γ=270°
8．（2024七下·越秀期末）如图所示，，点E为线段上一点，平分，平分，要求的度数，只需要知道下列哪个式子的值（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七下·海珠期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④
10．（2024七下·广州期中）如图5，点在延长线上，交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共18分。
11．（2025七下·越秀期末） 如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是 ．
12．（2025七下·永康期末）如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是 °。
13．（2025七下·义乌月考）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为 度.
14．（2025七下·温州期中）光线在不同介质中传播会发生折射。由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行。若∠1+∠2=α°，则∠4-∠3= °（用含α的代数式表示）。
15．（2024七下·常德期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．
16．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2023七下·金乡县月考）如图，在的正方形网格中有，点均在格点上．
（1）画出点B到直线的最短路径；
（2）过C点画出的平行线，交于点E；
（3）将向左平移格，再向下平移格后得到，画出．
（4）判断和的数量关系 ．
18． 如图， 在 中， ， 将 沿 方向平移得到 ， 且 ．
（1）求线段 的长；
（2） 求四边形 的周长．
19．（2025七下·封开期末） 如图，已知，AC平分，若，求的度数.
20．（2025七下·绍兴期末）如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ， 求 的度数.
21．（2025七下·余姚期中）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）说明AD∥EF的理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
22．（2024七下·花垣月考）如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设．
①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
23．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数.
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求.
（1） 按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案)
（2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
（3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系.
24．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解： 根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下：
故答案为：D.
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．
2．【答案】A
【知识点】角的运算；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作平行于，则，
，，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作平行于，得到，得出和，结合，进而得到与的关系，得出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵垂直同一条直线的两条直线互相平行，
∴直线a与直线b的位置关系是平行，
故答案为：B.
【分析】利用“垂直同一条直线的两条直线互相平行”分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1与∠4是同旁内角，且∠1+∠4不一定等于180°，∴不能判断a//b，∴A不符合题意；
B、∵∠2与∠3是邻补角，无法判断a//b，∴B不符合题意；
C、∵∠2与∠5是对顶角，无法判断a//b，∴C不符合题意；
D、∵∠4与∠5是内错角，且∠4=∠5，∴a//b，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
5．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a//b，
∴∠3=∠1=55°.
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=35°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可计算出∠2的度数.
6．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： PD∥OB， PC⊥OB
∠CPD=90°
∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°， ∠OPC＝35°
∠APD=180°-90°-35°=55°
故选B.
【分析】根据平行线的性质得出∠PCO＝∠DPC =90°，然后利用三角形的内角和定理解答即可.
7．【答案】C
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∵ AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠α+∠AEF=180°， ∠γ =∠DEF
∴ ∠β=180°-∠α+∠γ，
即： ∠α+∠β-∠γ=180°
故选：C.
【分析】过点E作EF∥AB，由平行公理可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质可得∠α+∠AEF=180°， ∠γ =∠DEF，即可得到∠α，∠β，∠γ之间的关系.
8．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
，
，，
即
平分，平分，
，，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】过点E作，先利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得，再利用角平分线的定义可得，，再结合，利用角的运算和等量代换可得.
9．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
设，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质证出，从而可判断出①是否正确；再利用等量代换可证出，从而可得平分，再判断出②是否正确；再利用角的运算和等量代换求出，从而可判断出③是否正确；再结合，可得，再求出，从而可判断出④是否正确，从而得解.
10．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴AE∥BD，
∴，
∵，
∴，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，结论②正确；
∵，
∴，
∵比的余角小，
∴，
∵，，
∴，结论③正确；
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，结论④正确；
故正确的结论是①②③④；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的判定与性质、余角和补角的性质，角平分线的性质等准确分析计算，逐一判断即可.
11．【答案】3
【知识点】两点之间线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】
解：根据点到直线的距离可知： 点P到直线l的距离是PB，
∵PB=3
∴点P到直线l的距离是PB=3
故答案为：3 .
【分析】点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离；由题知：PB⊥l，根据点到直线的距离的定义可知：PB的长度就是点P到直线l的距离，代入数据即可得出答案.
12．【答案】116
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，且∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠ABC=32°.
∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°.
故答案为：116.
【分析】根据平行性质（两直线平行，同位角相等）得到∠1与∠2的度数，然后由于∠1、∠2与∠EDF度数之和为180°，因此即可求得∠EDF度数.
13．【答案】210
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台，
∴l//支撑平台//工作篮底部
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°
∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°
∵∠4+∠5=∠2，
∴∠2+∠3=210°
故答案为：210.
【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解.
14．【答案】(180-α)
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵空气中的光线平行，
∵水面与玻璃杯的底面平行，
故答案为：
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2+∠4=180°，然后利用角的和差和等量代换解答即可.
15．【答案】14或63.6或134
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：设射线PB旋转的时间为t秒，
∵射线QC绕Q点每秒旋转，射线QC先转42秒，射线PB才开始转动，
∴射线QC还需旋转138秒到达QD，
∴．
①如图，当，
，，
∵，
，
∵，
，
，
解得．
②如图，当时，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
解得．
③如图，当时，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒．
故答案为：14或63.6或134．
【分析】设射线PB旋转的时间为t秒，由题意得0＜t≤138，分三种情况：
①当时，根据路程、速度、时间三者的关系得，，由二直线平行同位角相等得， 由二直线平行，内错角相等得，则∠CQC'=∠BPB'，据此建立方程求解可得t的值；
②当时，由路程、速度、时间三者的关系得，， 由二直线平行，内错角相等得，有二直线平行，同旁内角互补得， 从而代入计算可得t的值；
③当时，根据路程、速度、时间三者的关系得， 由二直线平行，内错角相等得， 由二直线平行同位角相等得，据此建立方程，可求出t的值，综上即可得出答案.
16．【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
17．【答案】（1）解：点B到直线的最短路径，即过点B作直线的垂线，
如图所示，过点B作延长线，交于点D，
∴垂线段是点B到直线的最短路径．
（2）解：如图所示，，
∴是所求直线．
（3）解：如图所示，
∴即为所求图形．
（4）
【知识点】点到直线的距离；作图﹣平移；作图-平行线
【解析】【解答】解：（4），理由如下，
如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1） 过点B作延长线，交于点D， 则垂线段的长是点B到直线的最短路径；
（2）如图，取格点E，画直线CE，则CE即为所求；
（3）根据平移的性质分别确定点A、B、C向左平移格，再向下平移格后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可.
18．【答案】（1）解：∵△ABC沿BA 方向平移得到△DEF，
∴DE=AB.∵AE=2，DB=14，∴DE=AB==6.
∴AD=AE+DE=8.
（2）解：∵△ABC沿BA 方向平移得到△DEF，∴DF=AC=5，CF=AD=8.
∴四边形 DBCF 的周长=DB+BC+CF-DF=14+4+8+5=31.
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】（1）因为AE=2，DB=14，所以可知AB+DE的和为12，根据平移的性质对应边相等得到AB=DE=6，进而可得AD为AE与DE的和.
（2）因为AC与DF为对应边相等，所以DF=5，又因为平移时图形上所有点平移的方向距离一样，所以CF=AD=8，最后四条边相加可求得周长.
本题解题的关键是掌握平称的性质及线段之间的关系.
19．【答案】解：，
，
，，
平分，
，
.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】先根据同旁内角互补证明，则，，再根据角平分线的定义得到∠BAD的度数，进而即可得到∠B的度数。
20．【答案】（1）证明：∵∠2=∠3
∴
∴∠C=∠DGF
∵∠C=∠1
∴∠DGF=∠1
∴
（2）解：∵与是对顶角
∴
在中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵与是对顶角
∴
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）首先根据内错角相等推出两直线，再利用平行线的性质进一步得到同位角∠C=∠DGF，然后等量代换出∠DGF=∠1，再一次利用内错角相等得到两直线；
（2）先根据对顶角相等将∠3放入中，然后利用三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，，最后再利用对顶角相等即可求出
21．【答案】（1）证明.
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行)
（2）解：
【知识点】角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】 (1)先根据AB//DG，得到，再根据，得到，故可证明；
(2) 先由题意求出，得到，根据平行线的性质即可得到的度数.
22．【答案】（1）解：如图1，，
理由如下：
平分，
，
，
，
．
（2）①如图2，平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
②和之间的数量关系为或．
理由如下：
当点G在点F的右侧时，由①得，
当点G在点F的左侧时，如图，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
综上得，和之间的数量关系为或．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平分，得到，根据，得到
，结合内错角相等，两直线平行，即可证得；
①由平分，平分，得到，再由，得到，，得到；
②当点G在点F的左侧时，由平分，且平分，求得，再由，得到和，得到，进而得到答案.
23．【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110.
（3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β，
即；
如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α，
即，
综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可；
（3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可.
24．【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
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