浙教版七（下）数学第二章 二元一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．（2024七下·余姚期中）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·无为月考）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·余姚期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
5．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·越秀期末） 《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·望城期末）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则，的值为( )
A． B． C． D．
8．（2025七下·金华期末） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七下·余姚期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64。用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36。用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．50
10．（2025七下·浙江期中）已知关于x，y的二元一次方程组给出下列结论中，正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共18分。
11．（2024七下·重庆市期末）已知是二元一次方程的一组解，则 ．
12．（2024七下·荣成期中）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 ．
13．（2024七下·岳阳期中）请你写出一个以为解的一个二元一次方程组：
14．（2025七下·龙港期中）已知关于 x， y 的二元一次方程组 的解为 ，则关于x， y的二元一次方程组 的解为 ．
15． 若则x-y的值为 .
16．（2025七下·潮安月考）若关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则a的值是 .
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2025七下·望城期末）解下列方程或方程组：
（1）；
（2）．
18．解三元一次方程组
19．已知二元一次方程
（1）用含x的代数式表示y.
（2）用含y的代数式表示x.
（3）用适当的数填空： 是该方程的一个解.
20．已知关于x，y的方程组 与方程3x-y=8的解相同，求 的值.
21．（2024七下·红花岗期中）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①，得．③…（第一步）
②③，得，解得，…（第二步）
将代入①，得…（第三步）
所以原方程组的解为…（第四步）
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
22．（2024七下·金州期中）某体育用品商店用1975元购进A、B两种型号足球共40个，这两种型号足球的进价、售价如表所示．
A型 B型
进价（元/个） 40 65
售价（元/个） 60 100
（1）这两种型号的足球各购进多少个？
（2）该体育用品商店将这40个足球销售完能获得多少利润？
23．（2025七下·金华期末） 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大. 某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成. 若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
24．（2024七下·港南期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
B．符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意；
C．，不是整式方程，故不合题意；
D．中，x的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义“方程中只含有2个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程”逐项判断解题．
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、符合定义；
B、含有三个未知数，不符合定义；
C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
D、含有分式方程，故不符合定义.
故答案为：A.
【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 二元一次方程组，
∴将①式代入②式，得，
整理得：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了代入消元法，将①式代入②式中进行化简，即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得， .
故答案为：C .
【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得.
5．【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵选项A中，x2+y=7的次数是二次；选项B中，是分式方程；选项C中，xyz=1的次数是三次。
∴选项只有选项D是正确的。
故正确答案选：D.
【分析】根据三元一次方程组的定义：每个方程组含有3个方程，每个方程都是一次方程，都是整式方程。可以进行判断可得.
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】
解：由题意得：
故答案为：C .
【分析】根据题意：房间有x个，若每个房间住7人，那么x个房间一共能住7x人，还多出7位客人，则客人的总数y=x个房间住的人数加上多出来的7人，即y=7x+7；再根据房间有x个，多出1个房间，说明实际用来住客人的房间是x-1个；每个房间住9人，那么客人总数y就等于(x-1)个房间住的人数，即y=9(x-1)；联立两个二元一次方程可得方程组，由此可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：由题意，将代入得a+b=1；将代入得a-2b=7，即
①-②得3b=-6，b=-2，
将b=-2代入①得a-2=1，a=3
a、b的值为
故答案为：C.
【分析】分别将甲、乙的解代入对应方程可得关于a、b的二元一次方程组，求解方程组即可.
8．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1得，(a+b)2-4ab=(a-b)2=64，
即：a-b=8；
由图2得，(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=36，
即：a-2b=6；
则，
解得：a=10，b=2，
由图3得，(a+3b)2-12ab=(a-3b)2=16，
即阴影部分的面积为16，
故答案为：B.
【分析】通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设长方形的长为a，宽为b，由图1图2得出a、b的值，再根据图3求出(a+3b)2-12ab的值，即求出(a-3b)2的值即可.
10．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：4y=8-4a，
解得：y=2-a，
将y=8-4a代入②式得：x-(2-a)=3a，
解得：x=2a+2，
故方程组的解为：；
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，
x+y=2a+2+2-a=0，
解得：a=-4，
故①正确；
②当a=1时，方程组的解为 ，
将代入 中得：
4+1=4+2a，
解得：≠1，
则方程组的解也不是方程的解，
故②错误；
③x+2y=2a+2+（2-a）=4，
则无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④将变形得，
将代入得： ，
故④正确；
综上所述，正确的有：①③④；
故答案为：D.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，可得出x，y的值，再根据各项一 一代入即可判断，得出答案.
11．【答案】2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由题可知，是二元一次方程的一组解 ，故把代入二元一次方程有，
，解得：，
故答案为：．
【分析】此题考查了二元一次方程的解。因为是方程的一组解，故是满足方程 ，故将代入二元一次方程，再解方程即可.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：图2所示的算筹图所表示的方程组为
，解得：；
故答案：．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图1的算筹图得到图2所示的算筹图，得到二元一次方程组，根据二元一次方程组的解法，求得方程组的将诶，即可得到答案.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，满足题意得方程组可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
由二元一次方程组的解的概念，只需要写出两个解为的二元一次方程即可．
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由已知可得：
x-1=2，y+1=-1.
∴.
故答案为：.
【分析】根据已知方程组的模型可以知道：x-1=2，y+1=-1.进而求出x、y的值即可.
15．【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴x-y=1-2=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可求出x、y的值，然后代入x-y计算即可求解.
16．【答案】1
【知识点】解二元一次方程组；相反数的意义与性质；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①②得：，
即，
由题意得：，
即，
解得：．
故答案为：1．
【分析】两方程相加可得，结合题意建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
得：，
得：，
，
把代入得：，
．
．
【知识点】解二元一次方程组；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】(1)去括号后再移项，即可求解方程；
(2)后y的系数相反，相加消去y可得x的值，再求出y的值即可.
18．【答案】解：将③分别代入①②，消去x，得
解这个二元一次方程组，得
将 代入③，得x=-2，
所以原方程组的解是
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】观察已知方程组，将③分别代入①、②，消去x，将方程组变形为二元一次方程组，接着求解二元一次方程组，即可得到y、z的值；接下来，再将y、z的值代入③中进行计算，即可完成解答.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴x+6y=4，
∴x=4-6y.
（3）解：当x=-2时，=1，
∴是 该方程的一个解.
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质用x表示y即可；
（2）根据等式的基本性质用y表示x即可；
（3）根据方程的解的定义代入方程计算即可.
20．【答案】解：解方程组
得
把 代入3x-y=8，
得 解得a=3，
所以
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】用含a的式子表示x和y的值，然后代入 3x-y=8 求出a的值，然后代入 计算即可.
21．【答案】（1）解：根据解二元一次方程组的过程，可知这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，马小虎同学从第二步开始出现错误，
故答案为：加减消元，二；
（2）解：
①，得……③ ，
②③，得 ，
解得：，
将代入①，得．
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据解二元一次方程组的过程，可判断使用加减消元法，观察步骤可知第二步合并同类项时出错；
（2）按照用”加减消元法“解二元一次方程组的步骤进行求解即可.
（1）解：根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第二步合并同类项出错，
故答案为：加减消元法，第二步．
（2）解：方程组：
解：①，得……③ ，
②③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
22．【答案】（1）解：设购进型号足球个，购进型号足球个，
根据题意得，
解得．
答：种型号足球购进25个，种型号足球购进15个；
（2）解：元，
答：该体育用品商店将这40个足球销售完能获得1025元的利润．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进型号足球个，购进型号足球个，根据“ 某体育用品商店用1975元购进A、B两种型号足球共40个 ”列出方程组求解即可；
（2）利用“ 总利润=每个A型足球的销售利润×购进A型足球的数量+每个B型足球的销售利润×购进B型足球的数量 ”列出算式求解即可.
23．【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，
根据题意得，
解得.
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：方案一费用：甲车间共30人，每人每天平均生产15组电池，因此甲车间一天生产30×15=450（组）电池
乙车间共50人，每人每天平均生产20×（1+55%）=31（组）电池，因此乙车间一天生产50×31=1550（组）电池
共有58000组电池，需要58000÷（450+1550）=29（天）完成任务
新增费用为1200×29+1400=36200（元）
方案二费用：设方案二调整到甲车间x人，
∵方案一比方案二多用了4天时间完成 ∴方案二需要29-4=25（天）
根据题意得
解得.
新增费用为（元）
∴选方案一更节省
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的应用，根据数量关系“人数×工作效率=工作总量”列出方程组，选择适当的方法求解方程组即可。
（2）根据表格信息分别计算方案一与方案二新增的总费用，可以先计算使用方案一所需的总天数（），再求出方案一因租用设备产生的费用；由于方案一比方案二多4天，从而得到方案二的工作天数，便可以列方程求出方案二中甲车间新增的人数，从而算出新增的费用。
24．【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依愿意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：，
解得：．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，
方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；
方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；
方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
（3）解：方案一获得利润：（元）；
方案二获得利润：（元）；
方案三获得利润：（元）．
∵，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总利润=每台车的利润×数量，求出三种购车方案获得的利润，比较后可得答案．
1 / 1浙教版七（下）数学第二章 二元一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．（2024七下·余姚期中）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
B．符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意；
C．，不是整式方程，故不合题意；
D．中，x的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义“方程中只含有2个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程”逐项判断解题．
2．（2022七下·华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、符合定义；
B、含有三个未知数，不符合定义；
C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
D、含有分式方程，故不符合定义.
故答案为：A.
【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断.
3．（2024七下·无为月考）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 二元一次方程组，
∴将①式代入②式，得，
整理得：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了代入消元法，将①式代入②式中进行化简，即可得到答案．
4．（2025七下·余姚期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得， .
故答案为：C .
【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得.
5．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵选项A中，x2+y=7的次数是二次；选项B中，是分式方程；选项C中，xyz=1的次数是三次。
∴选项只有选项D是正确的。
故正确答案选：D.
【分析】根据三元一次方程组的定义：每个方程组含有3个方程，每个方程都是一次方程，都是整式方程。可以进行判断可得.
6．（2025七下·越秀期末） 《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】
解：由题意得：
故答案为：C .
【分析】根据题意：房间有x个，若每个房间住7人，那么x个房间一共能住7x人，还多出7位客人，则客人的总数y=x个房间住的人数加上多出来的7人，即y=7x+7；再根据房间有x个，多出1个房间，说明实际用来住客人的房间是x-1个；每个房间住9人，那么客人总数y就等于(x-1)个房间住的人数，即y=9(x-1)；联立两个二元一次方程可得方程组，由此可得出答案.
7．（2025七下·望城期末）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则，的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：由题意，将代入得a+b=1；将代入得a-2b=7，即
①-②得3b=-6，b=-2，
将b=-2代入①得a-2=1，a=3
a、b的值为
故答案为：C.
【分析】分别将甲、乙的解代入对应方程可得关于a、b的二元一次方程组，求解方程组即可.
8．（2025七下·金华期末） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
9．（2025七下·余姚期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64。用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36。用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．50
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1得，(a+b)2-4ab=(a-b)2=64，
即：a-b=8；
由图2得，(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=36，
即：a-2b=6；
则，
解得：a=10，b=2，
由图3得，(a+3b)2-12ab=(a-3b)2=16，
即阴影部分的面积为16，
故答案为：B.
【分析】通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设长方形的长为a，宽为b，由图1图2得出a、b的值，再根据图3求出(a+3b)2-12ab的值，即求出(a-3b)2的值即可.
10．（2025七下·浙江期中）已知关于x，y的二元一次方程组给出下列结论中，正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：4y=8-4a，
解得：y=2-a，
将y=8-4a代入②式得：x-(2-a)=3a，
解得：x=2a+2，
故方程组的解为：；
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，
x+y=2a+2+2-a=0，
解得：a=-4，
故①正确；
②当a=1时，方程组的解为 ，
将代入 中得：
4+1=4+2a，
解得：≠1，
则方程组的解也不是方程的解，
故②错误；
③x+2y=2a+2+（2-a）=4，
则无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④将变形得，
将代入得： ，
故④正确；
综上所述，正确的有：①③④；
故答案为：D.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，可得出x，y的值，再根据各项一 一代入即可判断，得出答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共18分。
11．（2024七下·重庆市期末）已知是二元一次方程的一组解，则 ．
【答案】2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由题可知，是二元一次方程的一组解 ，故把代入二元一次方程有，
，解得：，
故答案为：．
【分析】此题考查了二元一次方程的解。因为是方程的一组解，故是满足方程 ，故将代入二元一次方程，再解方程即可.
12．（2024七下·荣成期中）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：图2所示的算筹图所表示的方程组为
，解得：；
故答案：．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图1的算筹图得到图2所示的算筹图，得到二元一次方程组，根据二元一次方程组的解法，求得方程组的将诶，即可得到答案.
13．（2024七下·岳阳期中）请你写出一个以为解的一个二元一次方程组：
【答案】（答案不唯一）
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，满足题意得方程组可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
由二元一次方程组的解的概念，只需要写出两个解为的二元一次方程即可．
14．（2025七下·龙港期中）已知关于 x， y 的二元一次方程组 的解为 ，则关于x， y的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由已知可得：
x-1=2，y+1=-1.
∴.
故答案为：.
【分析】根据已知方程组的模型可以知道：x-1=2，y+1=-1.进而求出x、y的值即可.
15． 若则x-y的值为 .
【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴x-y=1-2=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可求出x、y的值，然后代入x-y计算即可求解.
16．（2025七下·潮安月考）若关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则a的值是 .
【答案】1
【知识点】解二元一次方程组；相反数的意义与性质；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①②得：，
即，
由题意得：，
即，
解得：．
故答案为：1．
【分析】两方程相加可得，结合题意建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2025七下·望城期末）解下列方程或方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
得：，
得：，
，
把代入得：，
．
．
【知识点】解二元一次方程组；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】(1)去括号后再移项，即可求解方程；
(2)后y的系数相反，相加消去y可得x的值，再求出y的值即可.
18．解三元一次方程组
【答案】解：将③分别代入①②，消去x，得
解这个二元一次方程组，得
将 代入③，得x=-2，
所以原方程组的解是
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】观察已知方程组，将③分别代入①、②，消去x，将方程组变形为二元一次方程组，接着求解二元一次方程组，即可得到y、z的值；接下来，再将y、z的值代入③中进行计算，即可完成解答.
19．已知二元一次方程
（1）用含x的代数式表示y.
（2）用含y的代数式表示x.
（3）用适当的数填空： 是该方程的一个解.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴x+6y=4，
∴x=4-6y.
（3）解：当x=-2时，=1，
∴是 该方程的一个解.
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质用x表示y即可；
（2）根据等式的基本性质用y表示x即可；
（3）根据方程的解的定义代入方程计算即可.
20．已知关于x，y的方程组 与方程3x-y=8的解相同，求 的值.
【答案】解：解方程组
得
把 代入3x-y=8，
得 解得a=3，
所以
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】用含a的式子表示x和y的值，然后代入 3x-y=8 求出a的值，然后代入 计算即可.
21．（2024七下·红花岗期中）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①，得．③…（第一步）
②③，得，解得，…（第二步）
将代入①，得…（第三步）
所以原方程组的解为…（第四步）
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）解：根据解二元一次方程组的过程，可知这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，马小虎同学从第二步开始出现错误，
故答案为：加减消元，二；
（2）解：
①，得……③ ，
②③，得 ，
解得：，
将代入①，得．
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据解二元一次方程组的过程，可判断使用加减消元法，观察步骤可知第二步合并同类项时出错；
（2）按照用”加减消元法“解二元一次方程组的步骤进行求解即可.
（1）解：根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第二步合并同类项出错，
故答案为：加减消元法，第二步．
（2）解：方程组：
解：①，得……③ ，
②③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
22．（2024七下·金州期中）某体育用品商店用1975元购进A、B两种型号足球共40个，这两种型号足球的进价、售价如表所示．
A型 B型
进价（元/个） 40 65
售价（元/个） 60 100
（1）这两种型号的足球各购进多少个？
（2）该体育用品商店将这40个足球销售完能获得多少利润？
【答案】（1）解：设购进型号足球个，购进型号足球个，
根据题意得，
解得．
答：种型号足球购进25个，种型号足球购进15个；
（2）解：元，
答：该体育用品商店将这40个足球销售完能获得1025元的利润．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进型号足球个，购进型号足球个，根据“ 某体育用品商店用1975元购进A、B两种型号足球共40个 ”列出方程组求解即可；
（2）利用“ 总利润=每个A型足球的销售利润×购进A型足球的数量+每个B型足球的销售利润×购进B型足球的数量 ”列出算式求解即可.
23．（2025七下·金华期末） 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大. 某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成. 若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，
根据题意得，
解得.
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：方案一费用：甲车间共30人，每人每天平均生产15组电池，因此甲车间一天生产30×15=450（组）电池
乙车间共50人，每人每天平均生产20×（1+55%）=31（组）电池，因此乙车间一天生产50×31=1550（组）电池
共有58000组电池，需要58000÷（450+1550）=29（天）完成任务
新增费用为1200×29+1400=36200（元）
方案二费用：设方案二调整到甲车间x人，
∵方案一比方案二多用了4天时间完成 ∴方案二需要29-4=25（天）
根据题意得
解得.
新增费用为（元）
∴选方案一更节省
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的应用，根据数量关系“人数×工作效率=工作总量”列出方程组，选择适当的方法求解方程组即可。
（2）根据表格信息分别计算方案一与方案二新增的总费用，可以先计算使用方案一所需的总天数（），再求出方案一因租用设备产生的费用；由于方案一比方案二多4天，从而得到方案二的工作天数，便可以列方程求出方案二中甲车间新增的人数，从而算出新增的费用。
24．（2024七下·港南期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依愿意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：，
解得：．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，
方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；
方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；
方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
（3）解：方案一获得利润：（元）；
方案二获得利润：（元）；
方案三获得利润：（元）．
∵，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总利润=每台车的利润×数量，求出三种购车方案获得的利润，比较后可得答案．
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