浙教版七（下）数学第二章 二元一次方程组 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．（2025七下·滨江期末） 若是二元一次方程的一个解，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025七下·瑞安期中）如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（ ）。
A． B．
C． D．
3．（2025七下·麦积期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（2025七下·柯桥月考）劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料28张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）已知 是方程组 的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
6．（2025七下·安州期末）《九章算术》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有漆三得油四，油四和漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆．问出漆、得油、和漆各几何？”题目译文是：若有三份漆可换得4份油，用4份油可调5份漆．今有漆3斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆．问拿出换油的漆、换得的油、留下用于调和用的漆各是多少？若设拿出换油的漆为x，换得的油为y，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019七下·海安期中）若关于 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·长宁期中）如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
9．（2025七下·余姚期中） 已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（2024七下·金华月考）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025七下·安州期末）已知方程是二元一次方程，则m+n= ．
12．（2021七下·淮阴期末）已知 是二元一次方程组 的解，则代数式 的值为 .
13．（2025七下·慈溪期中） 已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 .
14．（2024七下·玉州期末）如右上图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一个果冻的质量是 g．
15．（2025七下·竞赛）七夕节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”。三种花束的每一束成本分别为a元、b元和C元。已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为 .
16．（2024七下·沙坪坝开学考）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），，若为整数，此时的最大值为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2025七下·长宁期中）解方程（组）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2023七下·黄梅期末）若方程组与有相同的解，求a与b的值．
19．（2024七下·新野月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，原方程组可变为，解得，即，解得
（1）模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：
（2）已知关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
20．（2024七下·新昌期中）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：
里程数（千米） 时间（分钟） 车费（元）
小聪 3 10 9
小明 6 18 17.4
（1）求x，y的值；
（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从家打车到郊区，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．
21．小明从家到学校的路程为 3.3 千米， 其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路平均每小时行 3 千米， 平路平均每小时行 4 千米，下坡路平均每小时行 5 千米， 那么小明从家到学校要 1 小时， 从学校到家要 44 分钟．求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路的路程．
22．（2023七下·汝南期末）定义：把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当时，“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当时，“优美二元一次方程”化为，解得：，故其“优美值”为4．
（1）求“优美二元一次方程”的“优美值”；
（2）若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求的值；
（3）是否存在，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由．
23．（2025七下·义乌月考）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
24．（2024七下·渝中期末）五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．
（1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了 张B型优惠券．
（2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
（3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把 代入二元一次方程 中，得
解得
故答案为： D.
【分析】把x，y的值代入二元一次方程 中即可求出a的值.
2．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设苹果的质量为，每个梨的质量为，
则根据题意得：
故答案为：D.
【分析】 根据图中天平平衡建立方程组，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由，
①+②，得：，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：D．
【分析】将方程组中的两个方程相加，得，得到，将代入，得到关于k的方程求解．
4．【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 用x张制作盒身，y张制作盒底 ， 有材料28张铁皮 ，
∴x+y=28；
∵ 每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒 ，
∴2×4x=6y，
即
故答案为：C .
【分析】本题考查二元一次方程的实际运用。
首先根据条件“用x张制作盒身，y张制作盒底 ， 有材料28张铁皮”，因此可以列出方程x+y=28；再根据条件“每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒”，因此可以列出方程2×4x=6y，最后综合即可列出方程组。
5．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程得
，
①+②+③得4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3，
故答案为：A.
【分析】将x、y、z的值代入方程组中，再观察方程组中各未知数的系数特点：相同字母的系数之和都为4，因此由（①+②+③）÷4，就可求得a+b+c的值。
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 若设拿出换油的漆为x，换得的油为y， 根据已知条件列方程得，
∴
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，找到等量关系为若有三份漆可换得4份油，用4份油可调5份漆．今有漆3斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆， 若设拿出换油的漆为x，换得的油为y ，列二元一次方程组.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组
得：x=7k，y=-2k，
把x，y代入二元一次方程2x+3y=6，
得：2×7k+3×（-2k）=6，
解得：k= 。
故答案为：A。
【分析】将k作为常数，利用加减消元法求出方程组的解，根据二元一次方程解的定义，将x，y的值代入2x+3y=6，即可得出一个关于未知数k的方程，求解即可。
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：方程组和有相同的解，
则有，
①×5+②×3，得29x=58，
解得x=2，
把x=2代入①，解得y=1，
把x=2，y=1，代入，
得，
③+④×2，得5b=10，
解得b=2，
把b=2代入④，解得a=-2，
当a=-2，b=2时，a+b=-2+2=0．
故答案为：B．
【分析】将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得x、y的值，联立含有a、b的两个方程，把x、y的值代入，求得a、b的值，即可求得答案．
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解： ① 当a=1时，方程组化为：
，对该方程组进行求解，得x=-3与y=-2，可知x与y不互为相反数，因此结论① 不成立，故 ①不符合题意；
② 若方程组的解也是方程 y = x 的解，即x与y相等。将此条件代入原方程组，
得，解得a=2，因此结论② 不成立，故② 不符合题意；
③ 将 代入原方程组，得，可知这两个方程求出的a的值不相等，结论③不成立，故③不符合题意；
④ 将原方程组的两个方程相加，即第二个方程x2+第一个方程，可得x-2y=2，
即无论a为何值，代数式 x 2 y 的值都为定值0。
故答案为：D.
【分析】 ① 当a=1时，方程组化为：， 对上述方程组进行求解，可以得到x与y的值，然后判断x与y是否互为相反数；
② 若方程组的解也是方程 y = x 的解，即x与y相等。将此条件代入原方程组，可以解出a的值，然后判断其是否等于1；
③ 将 代入原方程组，可以得到关于a的两个方程。如果根据这两个方程求出的a的值相等，那么结论③成立；反之，则结论③不成立；
④ 将原方程组的两个方程相加，可以得到一个新的方程，其中x和y的系数分别为1和-2。如果这个新方程中的a的系数为0，那么无论a为何值，代数式 x 2 y 的值都为定值 .
10．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ① 当时， 方程组为，
解得：，故①正确；
②当时，方程组为，
两式相减得：4x+8y=-1，
即 ，故 ② 错误；
③∵x=3-a-2ay，代入-ax-2y=1中，
得-a(3-a-2ay)-2y=1，
即，
当时，，
又∵，所以该方程组无解，故 ③ 正确
故答案为：C.
【分析】 ① 将a=2代入方程组，求解方程组即可得到答案；
② 将a=3代入方程组，求解方程组即可得到答案；
③ 首先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一次项系数和常数项判断方程是否有解。
11．【答案】5或-5或1或-1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】∵ 方程是二元一次方程，
∴
整理①得m=±2，
整理②得n=±3，
∴m+n=5或-5或1或-1.
故答案为：5或-5或1或-1.
【分析】
根据二元一次方程的特点，未知数的次数都为1，可判断出，整理①和②分别计算出m和n的值，即可计算出m+n的值.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：已知 是二元一次方程组 的解，
∴ ，
②-①得： ，
故答案为： .
【分析】由方程组解的概念可得m-2n=3，2m+4n=5，然后用第二个方程减去第一个方程进而求得m+6n的值.
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将方程组变形为，
∵方程组的解是，
∴，
设则新方程组的解应与原方程组解相同，即
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】将方程组变形为，结合已知条件得到，设则新方程组的解应与原方程组解相同，即，即可得到关于x和y的方程组，解此方程组即可求解.
14．【答案】30
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：设巧克力的质量为x克，果冻的质量为y克，则
，
解得，
答：一个果冻的质量为克．
故答案为：．
【分析】根据题意可知本题存在两个等量关系式，即三块巧克力的质量等于两个果冻的质量，一个巧克力和一个果冻的质量之和等于50克．根据这两个等量关系式列出二元一次方程组即可．
15．【答案】1：2：3
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组：
解得
∴a：b：c=a：2a：3a=1：2：3.
故答案为：1：2：3.
【分析】先根据两种不同销售比例下的总利润率列出关于成本a、b、c的方程，再通过解方程组求出a、b、c的比例关系.
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：若数p、q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，设p、q的百位数字分别为a、b，则数p、q的千位数字分别为
数p、q的十位数字分别为6、2，
，
是整数，则 或
时， 存在最大值，
满足条件的a、 b有
当 时，
当 时，
当 时，
而 的最大值为 故答案为：
故答案为：.
【分析】先确定数p、q各位上的数字，再根据题意列出方程，最后分类计算，求解即可。
17．【答案】（1）解：x-1=2x+2
x-2x=2+1
-x=3
x=-3
（2）解：
2（x+2）-3（2x-1）=6
2x+4-6x+3=6
-4x=-1
（3）解：
由①得，y=3-2x③
把③代入②，得，3（3-2x）+1=4x，
解得，x=1
把x=1代入③，得y=3-2×1=1
故原方程的解为：
（4）解：
①+②，得2x+z=5④
①+③，得3x+2z=11⑤
⑤-④×2，得-x=1，解得：x=-1
把x=-1代入②，得y=0，
把x=-1代入④，得z=7，
故原方程的解为．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；代入消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后把x的系数化为1即可；
（2）先方程两边同时乘以6去分母得到2（x+2）-3（2x-1）=6，然后再去括号、移项、合并同类项，最后把的系数化为1即可；
（3）利用代入消元法，由①得y=3-2x，把③代入②，解得，再把x代入③，解得y即可；
（4）利用加减消元法，①+②得2x+z=5④ ，得3x+2z=11，再由⑤-④×2，得到x，进而代入解出y，即可．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
由①得，，
把③代入②，得，
解得，
把代入③，得，
故原方程的解为．
（4）解：
，得，
，得，
，得，解得：，
把代入②，得，
把代入④，得，
故原方程的解为．
18．【答案】解：由题意得方程组，
解得：，
把代入方程组，
得，
解得，
∴，．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】联立组并解之，再将方程组的解代入ax-3by=12和2ax+by=10中，可得关于a、b的方程组并解之即可.
19．【答案】（1）解：设，原方程组化为：，
得：，即③
把③代入①得：，即，
把代入③得：，
∴ ，
解得：；
（2）解：设，，原方程组化为：，
∴，
解得：.
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先设，把原方程组换元为：，求解，进而得出在解方程组即可。
（2）首先设，，原方程组化为：，根据方程组的解的意义即可得出，再解方程组即可.
20．【答案】解：（1）由题意得解得
∴的值为2，的值为0.3．
（2）
（元）
答：小强需支付64元车费
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）观察表格知，打车费用=里程费×里程+耗时费×耗时，可联立方程组并求解即可；
（2）依据新规，里程费用分为两部分，一部分是8公里以内包括8公里的费用，另一部分是超出8公里的部分，按要求列式计算即可．
21．【答案】解：设小明家到学校的上坡路为x千米，平路y千米，下坡路z千米，
根据题意可知，
整理得到，
得到，
得到8x-8z=16，即，
得到2x=4.5，即x=2.25，
将x=2.25代入中，得到z=0.25，
将x=2.25，z=0.25代入中，得到y=0.8，
∴小明家到学校的上坡路为2.25千米，平路0.8千米，下坡路0.25千米.
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【分析】设小明家到学校的上坡路为x千米，平路y千米，下坡路z千米，根据“ 从家到学校的路程为3.3千米 ”列出方程x+y+z=3.3；根据“ 小明从家到学校要1小时”可列出方程；根据“ 从学校到家要44分钟 ”可列出方程，联立三个方程组成方程组，求解即可得到答案.
22．【答案】（1）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，．其“优美值”为．
（2）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，把代入，得．
（3）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，，其“优美值”为．
令，则“优美二元一次方程”化为：，，
其“优美值”为．
假设“优美值”相同，
∴，∴．
∴即“优美值”为．
【知识点】二元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据 优美二元一次方程 的优美值的定义，令，代入原方程，进行求解即可；
（2）首先根据优美值的定义，令，代入原方程，得到，然后再把代入中，即可求得m的值；
（3）首先分别解原方程，求出它们的优美值（用含n的式子表示），然后令两个方程的优美值相等，得出关于n的方程，解方程，即可得出n的值，进一步代入求值，即可得出优美值；
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
（1）
解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）
解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
【分析】
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解；
（2）根据共轭二元一次方程组的定义可得关于a、b的方程，解方程组即可求解；
（3）根据拓展的解法即可求解．
（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：
得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
24．【答案】（1）5
（2）解：设顾客乙用了x张A型，y张B型优惠券．根据题意列方程组，得：
解得：
答：顾客乙用了4张A型，2张B型优惠券．
（3）解：设小丽使用A型a张，B型b张，C型c张．
①若小丽使用A型，B型优惠券，
100a+68b=708．
化简，得，25a+17b=177．
∵a，b都为整数，且，，
∴a=3，b=6
②若小丽使用B型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵b，c都为整数，且，，
∴，．
③若小丽使用A型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵a，c都为整数，且，，
∴无解．
答：小丽可能用了两种优惠券组合方法，
方法1：A型3张，B型6张；
方法2：B型6张，C型15张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）（640-2×100-5×20）÷68=5，
∴还用了5张B型优惠券，
故答案为：5；
【分析】（1）用优惠的总额减去使用A、C优惠券的金额，再除以68，据此求解；
（2）基本关系：A型数量+B型数量=6，A型 优惠 金额+B型 优惠金额=536，据此列方程组求解即可；
（3）分①若小丽使用A型，B型优惠券；②若小丽使用B型，C型优惠券；③若小丽使用A型，C型优惠券三种情况讨论即可．
1 / 1浙教版七（下）数学第二章 二元一次方程组 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．（2025七下·滨江期末） 若是二元一次方程的一个解，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把 代入二元一次方程 中，得
解得
故答案为： D.
【分析】把x，y的值代入二元一次方程 中即可求出a的值.
2．（2025七下·瑞安期中）如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设苹果的质量为，每个梨的质量为，
则根据题意得：
故答案为：D.
【分析】 根据图中天平平衡建立方程组，即可得出答案.
3．（2025七下·麦积期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由，
①+②，得：，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：D．
【分析】将方程组中的两个方程相加，得，得到，将代入，得到关于k的方程求解．
4．（2025七下·柯桥月考）劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料28张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 用x张制作盒身，y张制作盒底 ， 有材料28张铁皮 ，
∴x+y=28；
∵ 每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒 ，
∴2×4x=6y，
即
故答案为：C .
【分析】本题考查二元一次方程的实际运用。
首先根据条件“用x张制作盒身，y张制作盒底 ， 有材料28张铁皮”，因此可以列出方程x+y=28；再根据条件“每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒”，因此可以列出方程2×4x=6y，最后综合即可列出方程组。
5．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 同步练习）已知 是方程组 的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程得
，
①+②+③得4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3，
故答案为：A.
【分析】将x、y、z的值代入方程组中，再观察方程组中各未知数的系数特点：相同字母的系数之和都为4，因此由（①+②+③）÷4，就可求得a+b+c的值。
6．（2025七下·安州期末）《九章算术》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有漆三得油四，油四和漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆．问出漆、得油、和漆各几何？”题目译文是：若有三份漆可换得4份油，用4份油可调5份漆．今有漆3斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆．问拿出换油的漆、换得的油、留下用于调和用的漆各是多少？若设拿出换油的漆为x，换得的油为y，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 若设拿出换油的漆为x，换得的油为y， 根据已知条件列方程得，
∴
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，找到等量关系为若有三份漆可换得4份油，用4份油可调5份漆．今有漆3斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆， 若设拿出换油的漆为x，换得的油为y ，列二元一次方程组.
7．（2019七下·海安期中）若关于 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组
得：x=7k，y=-2k，
把x，y代入二元一次方程2x+3y=6，
得：2×7k+3×（-2k）=6，
解得：k= 。
故答案为：A。
【分析】将k作为常数，利用加减消元法求出方程组的解，根据二元一次方程解的定义，将x，y的值代入2x+3y=6，即可得出一个关于未知数k的方程，求解即可。
8．（2025七下·长宁期中）如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【答案】B
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：方程组和有相同的解，
则有，
①×5+②×3，得29x=58，
解得x=2，
把x=2代入①，解得y=1，
把x=2，y=1，代入，
得，
③+④×2，得5b=10，
解得b=2，
把b=2代入④，解得a=-2，
当a=-2，b=2时，a+b=-2+2=0．
故答案为：B．
【分析】将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得x、y的值，联立含有a、b的两个方程，把x、y的值代入，求得a、b的值，即可求得答案．
9．（2025七下·余姚期中） 已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解： ① 当a=1时，方程组化为：
，对该方程组进行求解，得x=-3与y=-2，可知x与y不互为相反数，因此结论① 不成立，故 ①不符合题意；
② 若方程组的解也是方程 y = x 的解，即x与y相等。将此条件代入原方程组，
得，解得a=2，因此结论② 不成立，故② 不符合题意；
③ 将 代入原方程组，得，可知这两个方程求出的a的值不相等，结论③不成立，故③不符合题意；
④ 将原方程组的两个方程相加，即第二个方程x2+第一个方程，可得x-2y=2，
即无论a为何值，代数式 x 2 y 的值都为定值0。
故答案为：D.
【分析】 ① 当a=1时，方程组化为：， 对上述方程组进行求解，可以得到x与y的值，然后判断x与y是否互为相反数；
② 若方程组的解也是方程 y = x 的解，即x与y相等。将此条件代入原方程组，可以解出a的值，然后判断其是否等于1；
③ 将 代入原方程组，可以得到关于a的两个方程。如果根据这两个方程求出的a的值相等，那么结论③成立；反之，则结论③不成立；
④ 将原方程组的两个方程相加，可以得到一个新的方程，其中x和y的系数分别为1和-2。如果这个新方程中的a的系数为0，那么无论a为何值，代数式 x 2 y 的值都为定值 .
10．（2024七下·金华月考）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ① 当时， 方程组为，
解得：，故①正确；
②当时，方程组为，
两式相减得：4x+8y=-1，
即 ，故 ② 错误；
③∵x=3-a-2ay，代入-ax-2y=1中，
得-a(3-a-2ay)-2y=1，
即，
当时，，
又∵，所以该方程组无解，故 ③ 正确
故答案为：C.
【分析】 ① 将a=2代入方程组，求解方程组即可得到答案；
② 将a=3代入方程组，求解方程组即可得到答案；
③ 首先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一次项系数和常数项判断方程是否有解。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025七下·安州期末）已知方程是二元一次方程，则m+n= ．
【答案】5或-5或1或-1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】∵ 方程是二元一次方程，
∴
整理①得m=±2，
整理②得n=±3，
∴m+n=5或-5或1或-1.
故答案为：5或-5或1或-1.
【分析】
根据二元一次方程的特点，未知数的次数都为1，可判断出，整理①和②分别计算出m和n的值，即可计算出m+n的值.
12．（2021七下·淮阴期末）已知 是二元一次方程组 的解，则代数式 的值为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：已知 是二元一次方程组 的解，
∴ ，
②-①得： ，
故答案为： .
【分析】由方程组解的概念可得m-2n=3，2m+4n=5，然后用第二个方程减去第一个方程进而求得m+6n的值.
13．（2025七下·慈溪期中） 已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 .
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将方程组变形为，
∵方程组的解是，
∴，
设则新方程组的解应与原方程组解相同，即
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】将方程组变形为，结合已知条件得到，设则新方程组的解应与原方程组解相同，即，即可得到关于x和y的方程组，解此方程组即可求解.
14．（2024七下·玉州期末）如右上图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一个果冻的质量是 g．
【答案】30
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：设巧克力的质量为x克，果冻的质量为y克，则
，
解得，
答：一个果冻的质量为克．
故答案为：．
【分析】根据题意可知本题存在两个等量关系式，即三块巧克力的质量等于两个果冻的质量，一个巧克力和一个果冻的质量之和等于50克．根据这两个等量关系式列出二元一次方程组即可．
15．（2025七下·竞赛）七夕节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”。三种花束的每一束成本分别为a元、b元和C元。已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为 .
【答案】1：2：3
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组：
解得
∴a：b：c=a：2a：3a=1：2：3.
故答案为：1：2：3.
【分析】先根据两种不同销售比例下的总利润率列出关于成本a、b、c的方程，再通过解方程组求出a、b、c的比例关系.
16．（2024七下·沙坪坝开学考）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），，若为整数，此时的最大值为 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：若数p、q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，设p、q的百位数字分别为a、b，则数p、q的千位数字分别为
数p、q的十位数字分别为6、2，
，
是整数，则 或
时， 存在最大值，
满足条件的a、 b有
当 时，
当 时，
当 时，
而 的最大值为 故答案为：
故答案为：.
【分析】先确定数p、q各位上的数字，再根据题意列出方程，最后分类计算，求解即可。
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2025七下·长宁期中）解方程（组）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：x-1=2x+2
x-2x=2+1
-x=3
x=-3
（2）解：
2（x+2）-3（2x-1）=6
2x+4-6x+3=6
-4x=-1
（3）解：
由①得，y=3-2x③
把③代入②，得，3（3-2x）+1=4x，
解得，x=1
把x=1代入③，得y=3-2×1=1
故原方程的解为：
（4）解：
①+②，得2x+z=5④
①+③，得3x+2z=11⑤
⑤-④×2，得-x=1，解得：x=-1
把x=-1代入②，得y=0，
把x=-1代入④，得z=7，
故原方程的解为．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；代入消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后把x的系数化为1即可；
（2）先方程两边同时乘以6去分母得到2（x+2）-3（2x-1）=6，然后再去括号、移项、合并同类项，最后把的系数化为1即可；
（3）利用代入消元法，由①得y=3-2x，把③代入②，解得，再把x代入③，解得y即可；
（4）利用加减消元法，①+②得2x+z=5④ ，得3x+2z=11，再由⑤-④×2，得到x，进而代入解出y，即可．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
由①得，，
把③代入②，得，
解得，
把代入③，得，
故原方程的解为．
（4）解：
，得，
，得，
，得，解得：，
把代入②，得，
把代入④，得，
故原方程的解为．
18．（2023七下·黄梅期末）若方程组与有相同的解，求a与b的值．
【答案】解：由题意得方程组，
解得：，
把代入方程组，
得，
解得，
∴，．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】联立组并解之，再将方程组的解代入ax-3by=12和2ax+by=10中，可得关于a、b的方程组并解之即可.
19．（2024七下·新野月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，原方程组可变为，解得，即，解得
（1）模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组：
（2）已知关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
【答案】（1）解：设，原方程组化为：，
得：，即③
把③代入①得：，即，
把代入③得：，
∴ ，
解得：；
（2）解：设，，原方程组化为：，
∴，
解得：.
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先设，把原方程组换元为：，求解，进而得出在解方程组即可。
（2）首先设，，原方程组化为：，根据方程组的解的意义即可得出，再解方程组即可.
20．（2024七下·新昌期中）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：
里程数（千米） 时间（分钟） 车费（元）
小聪 3 10 9
小明 6 18 17.4
（1）求x，y的值；
（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从家打车到郊区，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．
【答案】解：（1）由题意得解得
∴的值为2，的值为0.3．
（2）
（元）
答：小强需支付64元车费
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）观察表格知，打车费用=里程费×里程+耗时费×耗时，可联立方程组并求解即可；
（2）依据新规，里程费用分为两部分，一部分是8公里以内包括8公里的费用，另一部分是超出8公里的部分，按要求列式计算即可．
21．小明从家到学校的路程为 3.3 千米， 其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路平均每小时行 3 千米， 平路平均每小时行 4 千米，下坡路平均每小时行 5 千米， 那么小明从家到学校要 1 小时， 从学校到家要 44 分钟．求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路的路程．
【答案】解：设小明家到学校的上坡路为x千米，平路y千米，下坡路z千米，
根据题意可知，
整理得到，
得到，
得到8x-8z=16，即，
得到2x=4.5，即x=2.25，
将x=2.25代入中，得到z=0.25，
将x=2.25，z=0.25代入中，得到y=0.8，
∴小明家到学校的上坡路为2.25千米，平路0.8千米，下坡路0.25千米.
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【分析】设小明家到学校的上坡路为x千米，平路y千米，下坡路z千米，根据“ 从家到学校的路程为3.3千米 ”列出方程x+y+z=3.3；根据“ 小明从家到学校要1小时”可列出方程；根据“ 从学校到家要44分钟 ”可列出方程，联立三个方程组成方程组，求解即可得到答案.
22．（2023七下·汝南期末）定义：把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当时，“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当时，“优美二元一次方程”化为，解得：，故其“优美值”为4．
（1）求“优美二元一次方程”的“优美值”；
（2）若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求的值；
（3）是否存在，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，．其“优美值”为．
（2）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，把代入，得．
（3）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，，其“优美值”为．
令，则“优美二元一次方程”化为：，，
其“优美值”为．
假设“优美值”相同，
∴，∴．
∴即“优美值”为．
【知识点】二元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据 优美二元一次方程 的优美值的定义，令，代入原方程，进行求解即可；
（2）首先根据优美值的定义，令，代入原方程，得到，然后再把代入中，即可求得m的值；
（3）首先分别解原方程，求出它们的优美值（用含n的式子表示），然后令两个方程的优美值相等，得出关于n的方程，解方程，即可得出n的值，进一步代入求值，即可得出优美值；
23．（2025七下·义乌月考）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
【答案】（1）
（2）
（3）解：得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
（1）
解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）
解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
【分析】
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解；
（2）根据共轭二元一次方程组的定义可得关于a、b的方程，解方程组即可求解；
（3）根据拓展的解法即可求解．
（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：
得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
24．（2024七下·渝中期末）五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．
（1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了 张B型优惠券．
（2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
（3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）
【答案】（1）5
（2）解：设顾客乙用了x张A型，y张B型优惠券．根据题意列方程组，得：
解得：
答：顾客乙用了4张A型，2张B型优惠券．
（3）解：设小丽使用A型a张，B型b张，C型c张．
①若小丽使用A型，B型优惠券，
100a+68b=708．
化简，得，25a+17b=177．
∵a，b都为整数，且，，
∴a=3，b=6
②若小丽使用B型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵b，c都为整数，且，，
∴，．
③若小丽使用A型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵a，c都为整数，且，，
∴无解．
答：小丽可能用了两种优惠券组合方法，
方法1：A型3张，B型6张；
方法2：B型6张，C型15张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）（640-2×100-5×20）÷68=5，
∴还用了5张B型优惠券，
故答案为：5；
【分析】（1）用优惠的总额减去使用A、C优惠券的金额，再除以68，据此求解；
（2）基本关系：A型数量+B型数量=6，A型 优惠 金额+B型 优惠金额=536，据此列方程组求解即可；
（3）分①若小丽使用A型，B型优惠券；②若小丽使用B型，C型优惠券；③若小丽使用A型，C型优惠券三种情况讨论即可．
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