浙教版数学七年级下册2.1 二元一次方程 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·慈溪期中） 已知是二元一次方程 的解，则 4a - 6b - 2 的值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
2．（2025七下·越城期中）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．（2025七下·金华月考）方程的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4．（2021七下·潜江期末）小明带着20元钱到超市购买笔和练习本，每支笔3元，每个练习本2元，若两种物品都要购买且把20元钱花完，则共有几种不同的购买方案 （ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．（2025七下·长沙期中）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
6．（2025七下·嘉兴月考）已知三个不同的质数a，b，c，满足，则数①；②；③，仍是质数的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2023七下·杭州月考）如图，将7张相同的长方形纸片不重叠的放在长方形ABCD内，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b，若未被覆盖的两个长方形周长相等，则（ ）
A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
8．（2023七下·武昌期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
二、填空题
9．下列各式是二元一次方程的是 。
①x2+y=0； ②x=+1； ③-2y=0； ④y+ x。
10．（2019七下·桂林期末）二元一次方程x+2y=2019的正整数解有 组。
11．（2025七下·浙江期中）小张计划花20元购买了铅笔和记号笔，铅笔每支3元，记号笔每支2元，并且购买的记号笔数量超过了铅笔的数量，若剩余3元，则小张购买的铅笔可能有 支。
12．（2025七下·临平月考）某校体育器材室中有排球、篮球和足球三种球类，篮球的数量是足球数量的3倍还多6个，该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个，则排球与足球的数量之差为 。
13．二元一次方程x+2y=3的所有自然数解为 .
14．（2024七下·沙坪坝开学考）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），，若为整数，此时的最大值为 ．
15．（2022七下·万州期末）某食品加工厂在端午节期间制作红枣粽、腊肉粽、咸蛋粽进行销售，去年端午节期间销售的这三种粽子的数量之比为2∶3∶1，今年端午节期间销售这三种粽子不光保持了去年的销量，而且都还有所增加，其中腊肉粽增加的销量占今年总增加销量的．今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，则去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为 ．
三、解答题
16．（2024七下·芙蓉期中）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对．
（1）若，则 ， ；（用含m的式子表示）
（2）已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由．
17．（2024七下·长兴期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元．
任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：代入到，有.
∴
故答案为：D.
【分析】通过代入解得到方程关系式，再通过系数的倍数关系简化目标代数式.
2．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程，得到：
2×3 ×( 2a) = 5
化简得： 6+a=5
移项得：a=5 6
a= 1，
故答案为： A.
【分析】 通过代入法将方程组的解代入原方程，建立关于参数a的一元一次方程，解方程求出a的值。
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：对于方程：
y=0时，x=5；y=1时，x=3；y=2时，x=1；y=3时，x=-1不符合题意.
故只有三组分负整数解.
故答案为：C.
【分析】利用赋值法，分别求出方程x+2y=5的非负整数解，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买笔和练习本分别为 ，由题意可知 ，
又∵ 为正整数
∴ 的取值可为
， ，
共有三组解，
故答案为B.
【分析】设购买笔和练习本分别为 ，由题意列关于x、y的方程，求出方程的正整数解即可.
5．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴2m+3n=7，
∴4m+6n=14，
∴4m+6n-3=14-3=11.
故答案为：B.
【分析】使方程左右两边相等的一对未知数的值就是二元一次方程的解，据此将x=2与y=3代入mx+ny=7可得2m+3n=7，根据等式性质可得4m+6n=14，进而整体代入待求式子计算可得答案.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解∵ 225=152=32×52 ，
∴，
∴，
∵c是质数，
∴或5，代入c值，
当c=3时，，即
∵，c是质数，
∴是偶数，
∴，b中有一个为2，
∴当，时，
∴
解得，不符合题意；
∴当，时，
∴
∴，不符合题意；
∴当，时，
∴
解得，符合题意
∴，，
∴①②仍是质数，③不是质数；
∴当，时，
∴
∴，不符合题意；
故选：A．
【分析】理解质数是大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除； 观察等式右侧根据， 考虑到225的因数分解，因为225能被3和5整除，得到或5，代入c值，质数的性质任意两个质数的和或积都不是质数，判断，b中有一个为2，然后分情况求解即可．
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设长方形ABC得的长AD=x，
则左上角未被覆盖的长方形的长为x-a，宽为4b，
右下角未被覆盖的长方形的长为x-3b，宽为a，
由题意得2（x-a+4b）=2（x-3b+a），
解得.
故答案为：C.
【分析】设长方形ABC得的长AD=x，结合图形分别表示出左上角与右下角未被覆盖的矩形的长与宽，根据矩形的周长等于长与宽和的2倍并结合未被覆盖的两个长方形周长相等，建立方程，求解即可.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴m的最大值为24
故本题应选：B
【分析】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。根据题目的意思明确计算规则，列出相应的二元一次方程，求出满足条件的m的最值。
9．【答案】③
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：①未知数x的次数为2，不符合二元一次方程的定义，故不是二元一次方程；
②未知数y的次数为-1，不符合二元一次方程的定义，故不是二元一次方程；
③含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1，符合二元一次方程的定义，故属于二元一次方程；
④含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，缺少等号是算式不是方程，不符合二元一次方程的定义，故不属于二元一次方程；
故答案为：③.
【分析】根据二元一次方程的概念判断. 含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，叫作二元一次方程.
10．【答案】1009
【知识点】二元一次方程的解；自然数及整数的概念
【解析】【解答】解： x+2y=2019 ，
，
要使y为正整数，x为0∴x的解有(2019-1)÷2=1009个，
则y的解相应也有1009个；
∴正整数解有1009组；
故答案为：1009.
【分析】由已知方程，通过移项，系数化为1，把y用含x的代数式表示，再根据x、y为正整数，确定x的取值范围，得出x的解的个数，则y也有相应的解的个数，从而得出正整数解的组数。
11．【答案】1或3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设铅笔购买x支，记号笔购买y支，根据题意得：
3x+2y=17，且y>x，
通过枚举法验证：
当x=1时，y=7，满足条件；
当x=3时，y=4，满足条件.
故答案为：1或3.
【分析】根据总花费建立方程，明确铅笔和记号笔的单价及数量关系，结合记号笔数量超过铅笔数量的条件，限定解的范围，通过枚举法寻找满足条件的正整数解.
12．【答案】10
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】设足球的数量为x个，排球的数量为y个，
∵篮球的数量是足球数量的3倍还多6个，
∴篮球的数量是3x-6个，
∵该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个，
∴2x+y-(3x-6)=4，
∴y-x=10，
∴排球与足球的数量之差为10个，
故答案为：10.
【分析】设足球的数量为x个，排球的数量为y个，先用x表示出篮球的数量，再根据“该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个”列出方程求解.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；自然数及整数的概念
【解析】【解答】解：∵
∴
当时，
当时，
当时，x不为自然数，
∴原方程的自然数解为：，
故答案为：.
【分析】由原方程得到：再根据自然数的定义：从0开始的每一个整数则为自然数，选择合适的y值，代入计算即可.
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：若数p、q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，设p、q的百位数字分别为a、b，则数p、q的千位数字分别为
数p、q的十位数字分别为6、2，
，
是整数，则 或
时， 存在最大值，
满足条件的a、 b有
当 时，
当 时，
当 时，
而 的最大值为 故答案为：
故答案为：.
【分析】先确定数p、q各位上的数字，再根据题意列出方程，最后分类计算，求解即可。
15．【答案】2∶3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设去年端午节期间销售的红枣粽、腊肉粽、咸蛋的数量分别为2a，3a和a只，今年三种粽子销售总数量为x只，
∵今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，
∴，
，
∴今年红枣粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，今年咸蛋粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，
∵腊肉粽增加的销量占今年总增加量的，
∴
解得，，
∴去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为：
，
故答案为：2∶3．
【分析】设去年端午节期间销售的红枣粽、腊肉粽、咸蛋的数量分别为2a，3a和a只，今年三种粽子销售总数量为x只，根据“今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍”求出今年红枣粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，今年咸蛋粽销售的数量占三种粽子销售总数量的；再根据腊肉粽增加的销量占今年总增加量的，列出关于x和a的方程，可求出去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比.
16．【答案】（1）3，
（2）解：存在，，理由如下：根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案；
（2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可．
（1）解：根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
（2）解：存在，，理由如下：
根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件．
17．【答案】任务一：6；880；
任务二：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为(张)，
由题意可得：，
解得：．
∴x－1=2，9－2x=3，
型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，
∵ 小明一家4人各领到了一套消费券，
∴，，，
①只使用A、B型消费券：．
，
∴，
，都是正整数，，，
方程无解；
②只使用B、C型消费券：，
，
∴，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
③只使用A、C型消费券，
，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
∴使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元.
【知识点】二元一次方程的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：任务一：∵ 小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，
∴用B型消费券的数量为：，
实际消费最少为：（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则先计算出用B型消费券的数量，再用满减前的消费数量－420，即可得到最少的实际消费数量；
任务一：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解；
任务一：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，根据题意得，，，再分情况讨论，列二元一次方程求出整数解即可.
1 / 1浙教版数学七年级下册2.1 二元一次方程 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·慈溪期中） 已知是二元一次方程 的解，则 4a - 6b - 2 的值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：代入到，有.
∴
故答案为：D.
【分析】通过代入解得到方程关系式，再通过系数的倍数关系简化目标代数式.
2．（2025七下·越城期中）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程，得到：
2×3 ×( 2a) = 5
化简得： 6+a=5
移项得：a=5 6
a= 1，
故答案为： A.
【分析】 通过代入法将方程组的解代入原方程，建立关于参数a的一元一次方程，解方程求出a的值。
3．（2025七下·金华月考）方程的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：对于方程：
y=0时，x=5；y=1时，x=3；y=2时，x=1；y=3时，x=-1不符合题意.
故只有三组分负整数解.
故答案为：C.
【分析】利用赋值法，分别求出方程x+2y=5的非负整数解，即可得到答案.
4．（2021七下·潜江期末）小明带着20元钱到超市购买笔和练习本，每支笔3元，每个练习本2元，若两种物品都要购买且把20元钱花完，则共有几种不同的购买方案 （ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买笔和练习本分别为 ，由题意可知 ，
又∵ 为正整数
∴ 的取值可为
， ，
共有三组解，
故答案为B.
【分析】设购买笔和练习本分别为 ，由题意列关于x、y的方程，求出方程的正整数解即可.
5．（2025七下·长沙期中）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴2m+3n=7，
∴4m+6n=14，
∴4m+6n-3=14-3=11.
故答案为：B.
【分析】使方程左右两边相等的一对未知数的值就是二元一次方程的解，据此将x=2与y=3代入mx+ny=7可得2m+3n=7，根据等式性质可得4m+6n=14，进而整体代入待求式子计算可得答案.
6．（2025七下·嘉兴月考）已知三个不同的质数a，b，c，满足，则数①；②；③，仍是质数的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解∵ 225=152=32×52 ，
∴，
∴，
∵c是质数，
∴或5，代入c值，
当c=3时，，即
∵，c是质数，
∴是偶数，
∴，b中有一个为2，
∴当，时，
∴
解得，不符合题意；
∴当，时，
∴
∴，不符合题意；
∴当，时，
∴
解得，符合题意
∴，，
∴①②仍是质数，③不是质数；
∴当，时，
∴
∴，不符合题意；
故选：A．
【分析】理解质数是大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除； 观察等式右侧根据， 考虑到225的因数分解，因为225能被3和5整除，得到或5，代入c值，质数的性质任意两个质数的和或积都不是质数，判断，b中有一个为2，然后分情况求解即可．
7．（2023七下·杭州月考）如图，将7张相同的长方形纸片不重叠的放在长方形ABCD内，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b，若未被覆盖的两个长方形周长相等，则（ ）
A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设长方形ABC得的长AD=x，
则左上角未被覆盖的长方形的长为x-a，宽为4b，
右下角未被覆盖的长方形的长为x-3b，宽为a，
由题意得2（x-a+4b）=2（x-3b+a），
解得.
故答案为：C.
【分析】设长方形ABC得的长AD=x，结合图形分别表示出左上角与右下角未被覆盖的矩形的长与宽，根据矩形的周长等于长与宽和的2倍并结合未被覆盖的两个长方形周长相等，建立方程，求解即可.
8．（2023七下·武昌期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴m的最大值为24
故本题应选：B
【分析】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。根据题目的意思明确计算规则，列出相应的二元一次方程，求出满足条件的m的最值。
二、填空题
9．下列各式是二元一次方程的是 。
①x2+y=0； ②x=+1； ③-2y=0； ④y+ x。
【答案】③
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：①未知数x的次数为2，不符合二元一次方程的定义，故不是二元一次方程；
②未知数y的次数为-1，不符合二元一次方程的定义，故不是二元一次方程；
③含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1，符合二元一次方程的定义，故属于二元一次方程；
④含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，缺少等号是算式不是方程，不符合二元一次方程的定义，故不属于二元一次方程；
故答案为：③.
【分析】根据二元一次方程的概念判断. 含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，叫作二元一次方程.
10．（2019七下·桂林期末）二元一次方程x+2y=2019的正整数解有 组。
【答案】1009
【知识点】二元一次方程的解；自然数及整数的概念
【解析】【解答】解： x+2y=2019 ，
，
要使y为正整数，x为0∴x的解有(2019-1)÷2=1009个，
则y的解相应也有1009个；
∴正整数解有1009组；
故答案为：1009.
【分析】由已知方程，通过移项，系数化为1，把y用含x的代数式表示，再根据x、y为正整数，确定x的取值范围，得出x的解的个数，则y也有相应的解的个数，从而得出正整数解的组数。
11．（2025七下·浙江期中）小张计划花20元购买了铅笔和记号笔，铅笔每支3元，记号笔每支2元，并且购买的记号笔数量超过了铅笔的数量，若剩余3元，则小张购买的铅笔可能有 支。
【答案】1或3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设铅笔购买x支，记号笔购买y支，根据题意得：
3x+2y=17，且y>x，
通过枚举法验证：
当x=1时，y=7，满足条件；
当x=3时，y=4，满足条件.
故答案为：1或3.
【分析】根据总花费建立方程，明确铅笔和记号笔的单价及数量关系，结合记号笔数量超过铅笔数量的条件，限定解的范围，通过枚举法寻找满足条件的正整数解.
12．（2025七下·临平月考）某校体育器材室中有排球、篮球和足球三种球类，篮球的数量是足球数量的3倍还多6个，该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个，则排球与足球的数量之差为 。
【答案】10
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】设足球的数量为x个，排球的数量为y个，
∵篮球的数量是足球数量的3倍还多6个，
∴篮球的数量是3x-6个，
∵该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个，
∴2x+y-(3x-6)=4，
∴y-x=10，
∴排球与足球的数量之差为10个，
故答案为：10.
【分析】设足球的数量为x个，排球的数量为y个，先用x表示出篮球的数量，再根据“该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个”列出方程求解.
13．二元一次方程x+2y=3的所有自然数解为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；自然数及整数的概念
【解析】【解答】解：∵
∴
当时，
当时，
当时，x不为自然数，
∴原方程的自然数解为：，
故答案为：.
【分析】由原方程得到：再根据自然数的定义：从0开始的每一个整数则为自然数，选择合适的y值，代入计算即可.
14．（2024七下·沙坪坝开学考）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，∵5﹣3＝4﹣2＝2，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为G（p）和G（q），，若为整数，此时的最大值为 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：若数p、q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，设p、q的百位数字分别为a、b，则数p、q的千位数字分别为
数p、q的十位数字分别为6、2，
，
是整数，则 或
时， 存在最大值，
满足条件的a、 b有
当 时，
当 时，
当 时，
而 的最大值为 故答案为：
故答案为：.
【分析】先确定数p、q各位上的数字，再根据题意列出方程，最后分类计算，求解即可。
15．（2022七下·万州期末）某食品加工厂在端午节期间制作红枣粽、腊肉粽、咸蛋粽进行销售，去年端午节期间销售的这三种粽子的数量之比为2∶3∶1，今年端午节期间销售这三种粽子不光保持了去年的销量，而且都还有所增加，其中腊肉粽增加的销量占今年总增加销量的．今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，则去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为 ．
【答案】2∶3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设去年端午节期间销售的红枣粽、腊肉粽、咸蛋的数量分别为2a，3a和a只，今年三种粽子销售总数量为x只，
∵今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，
∴，
，
∴今年红枣粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，今年咸蛋粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，
∵腊肉粽增加的销量占今年总增加量的，
∴
解得，，
∴去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为：
，
故答案为：2∶3．
【分析】设去年端午节期间销售的红枣粽、腊肉粽、咸蛋的数量分别为2a，3a和a只，今年三种粽子销售总数量为x只，根据“今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍”求出今年红枣粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，今年咸蛋粽销售的数量占三种粽子销售总数量的；再根据腊肉粽增加的销量占今年总增加量的，列出关于x和a的方程，可求出去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比.
三、解答题
16．（2024七下·芙蓉期中）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对．
（1）若，则 ， ；（用含m的式子表示）
（2）已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3，
（2）解：存在，，理由如下：根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案；
（2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可．
（1）解：根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
（2）解：存在，，理由如下：
根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件．
17．（2024七下·长兴期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元．
任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额．
【答案】任务一：6；880；
任务二：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为(张)，
由题意可得：，
解得：．
∴x－1=2，9－2x=3，
型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，
∵ 小明一家4人各领到了一套消费券，
∴，，，
①只使用A、B型消费券：．
，
∴，
，都是正整数，，，
方程无解；
②只使用B、C型消费券：，
，
∴，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
③只使用A、C型消费券，
，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
∴使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元.
【知识点】二元一次方程的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：任务一：∵ 小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，
∴用B型消费券的数量为：，
实际消费最少为：（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则先计算出用B型消费券的数量，再用满减前的消费数量－420，即可得到最少的实际消费数量；
任务一：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解；
任务一：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，根据题意得，，，再分情况讨论，列二元一次方程求出整数解即可.
1 / 1
