浙教版数学七年级下册 2.2 二元一次方程组和它的解 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·兰溪期末）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子.设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套.则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·永康期末） 《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·东阳月考）已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·博罗期末）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022七下·桐城期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤-3
7．（2021七下·昭通期末）已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021七下·硚口期末）某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2025七下·浏阳期末） 若关于x，y的方程组有无数组解，则＝ ．
10．（2024七下·浙江期中）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于n，y的二元一次方程组 的解为 ．
11．若关于x，y的二元一次方程组 的解是则关于x，y的二元一次方程组 的解是
12．（2022七下·通州期中）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：
①当时，x，y的值互为相反数；
②是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式；
④若，则．
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
13．（2019七下·仁寿期中）已知关于x，y的方程组 ，下列结论：
①当a=3时，方程组的解是 ；②无论a取何值，x与y的和都不可能为1；③如果x-y=0，则a=2；④如果x为正数，y为非负数，则-5
三、解答题
14．（2017七下·静宁期中）两位同学在解方程组 时，甲正确地解出方程组为 ，乙因为把c写错了而解得的解为 ，已知乙没有再发生其他错误，请确定a，b，c的值．
15．（2023七下·惠安期末）已知关于的二元一次方程，其中为常数，且．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为－1的值时，都可得到一个方程，且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，．若，求整数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由题意得，铁皮总数为190张，可得.
可做的盒身数量为，盒底数量为.
因为正好配套，则盒身和盒底数量比为1：2.
即
得到方程组
故答案为：A.
【分析】本题考查列二元一次方程组，抓住铁皮总数，盒身盒底的数量关系是解决本题的关键.
2．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件“ 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50 ”可得方程；根据条件“ 甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50 ”可得方程.综合可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意直接列出方程组并选择即可.
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解是，
∴ 关于x，y的方程组的解满足
解得
故答案为：D.
【分析】由整体换元的思想可得，进而求解即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】A、方程组② 式的各项都乘3，得3x-2y=3a+5 ③ ， ①-③得4y=-4a-6，解得y=-a-32；①+③得6x=2a+4 ，解得x=a3+23；x≥y 代入含a的表达式，解得a≥-138 ，A符合题意；
B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】解二元一次方程组，消元思想贯穿解题整个过程。用含有a的式子分别表达出x和y，然后解含有a的不等式即可。
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：①当时，方程组的解为：，
也是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组的解为：，
当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】 ①时，求方程组的解，然后验证是否为方程 的解；
②用含a的式子表示方程组的解，然后根据 解不等式可求出a的范围；
③结合②用含a的式子表示方程组的解后，计算 即可判断；
④ 当时求方程组的解，即可验证是否成立。
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可知：
甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，则甲种零件有 ，乙种零件有 ，
3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，则 ，即
故答案为：B.
【分析】 设甲种零件生产x天，乙种零件生产y天， 根据总时间为27天， 3个甲种零件与2个乙种零件配成一套， 列出二元一次方程组求解即可.
9．【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求算术平方根；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
，
①×b ②，得（ab＋2）y＝1 b，
∵原方程组有无数组解，
∴ab＋2＝0，1 b＝0，
∴a＝ 2，b＝1，
∴，
故答案为：2．
【分析】先解方程组，然后根据方程组有无数组解即可得出ab＋2＝0，1 b＝0，即可求出a、b的值．
10．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：关于x、y的方程组 可化为，
与关于x、y的方程组为同解方程组，
根据整体换元可知
解得.
故答案为：.
【分析】整体法观察两个方程为同解方程，整体换元即可求解x、y的值.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：设x+1=X，y-2=Y，则可化为，
因为关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
所以X=2，Y=3，
所以x+1=2，y-2=3，解得x=1，y=5.
故答案为：.
【分析】设x+1=X，y-2=Y，将待求方程组，转化为求解.
12．【答案】③④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组，
得，
①当时，
，，
故结论①不符合题意；
②把代入，
得，
解得，
∵，
∴此时不符合题意，故结论②不符合题意；
③由原方程组的解可知，
，故结论③符合题意；
④∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论④符合题意．
故答案为：③④．
【分析】解方程组得，①当时，分别求出x、y的值，即可判断；②把代入中求出a值，根据检验即可；③将方程组的解相加，可求出x+y=2，即可判断；④由，即得，可求，由可得，即得，继而得出3≤1-a≤4，由y=1-a可得y的范围，即可判断.
13．【答案】②④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组得
①把a=3分别代入，得，故①错误；
② x+y=，故②正确；
③如果x-y=0，则解得a=-2，故③错误；
④根据题意得：，解这个不等式组得-5∴其中正确的有 ②，④.
【分析】先求出方程组的解，然后根据每个选项给出的条件求解，即可意义作出判断。
14．【答案】解：由题意可知： 是cx﹣7y=8的解，
∴3c+14=8，
∴c=﹣2
由题意可知： 和 是ax+by=2的解，
∴
解得：
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】根据题意可知 和 是ax+by=2的解，从而可求出a与b的值，由因为 是cx﹣7y=8的解，所以可求出c的值．
15．【答案】（1）解：依题意，得，解得
（2）解：依题意，不妨取的两个不同数值，如，，
则有
解得
故这个公共解是
（3）解：根据题意，得，解得
∵，∴，解得
又是整数，∴．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）将x，y的值代入即可得到一个关于k的方程，解出方程即得到k值；
（2）首先先随便取两个不为-1的值，代入方程中，联立方程组，解方程组即可得到这两个方差的公共解；
（3）将题目所给的两组x，y的值代入方程，得到关于a，b，k的方程组，解出k，又因为 k满足，将解出的k代入即可得到一组关于b的一元一次不等式方程组，解出解集，又b是整数，所以b=7.
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一、选择题
1．（2025七下·兰溪期末）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子.设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套.则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由题意得，铁皮总数为190张，可得.
可做的盒身数量为，盒底数量为.
因为正好配套，则盒身和盒底数量比为1：2.
即
得到方程组
故答案为：A.
【分析】本题考查列二元一次方程组，抓住铁皮总数，盒身盒底的数量关系是解决本题的关键.
2．（2025七下·永康期末） 《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件“ 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50 ”可得方程；根据条件“ 甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50 ”可得方程.综合可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意直接列出方程组并选择即可.
3．（2024七下·东阳月考）已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解是，
∴ 关于x，y的方程组的解满足
解得
故答案为：D.
【分析】由整体换元的思想可得，进而求解即可得出答案.
4．（2023七下·博罗期末）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
5．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
6．（2022七下·桐城期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤-3
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】A、方程组② 式的各项都乘3，得3x-2y=3a+5 ③ ， ①-③得4y=-4a-6，解得y=-a-32；①+③得6x=2a+4 ，解得x=a3+23；x≥y 代入含a的表达式，解得a≥-138 ，A符合题意；
B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】解二元一次方程组，消元思想贯穿解题整个过程。用含有a的式子分别表达出x和y，然后解含有a的不等式即可。
7．（2021七下·昭通期末）已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：①当时，方程组的解为：，
也是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组的解为：，
当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】 ①时，求方程组的解，然后验证是否为方程 的解；
②用含a的式子表示方程组的解，然后根据 解不等式可求出a的范围；
③结合②用含a的式子表示方程组的解后，计算 即可判断；
④ 当时求方程组的解，即可验证是否成立。
8．（2021七下·硚口期末）某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可知：
甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，则甲种零件有 ，乙种零件有 ，
3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，则 ，即
故答案为：B.
【分析】 设甲种零件生产x天，乙种零件生产y天， 根据总时间为27天， 3个甲种零件与2个乙种零件配成一套， 列出二元一次方程组求解即可.
二、填空题
9．（2025七下·浏阳期末） 若关于x，y的方程组有无数组解，则＝ ．
【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求算术平方根；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
，
①×b ②，得（ab＋2）y＝1 b，
∵原方程组有无数组解，
∴ab＋2＝0，1 b＝0，
∴a＝ 2，b＝1，
∴，
故答案为：2．
【分析】先解方程组，然后根据方程组有无数组解即可得出ab＋2＝0，1 b＝0，即可求出a、b的值．
10．（2024七下·浙江期中）已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于n，y的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：关于x、y的方程组 可化为，
与关于x、y的方程组为同解方程组，
根据整体换元可知
解得.
故答案为：.
【分析】整体法观察两个方程为同解方程，整体换元即可求解x、y的值.
11．若关于x，y的二元一次方程组 的解是则关于x，y的二元一次方程组 的解是
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：设x+1=X，y-2=Y，则可化为，
因为关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
所以X=2，Y=3，
所以x+1=2，y-2=3，解得x=1，y=5.
故答案为：.
【分析】设x+1=X，y-2=Y，将待求方程组，转化为求解.
12．（2022七下·通州期中）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：
①当时，x，y的值互为相反数；
②是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式；
④若，则．
其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】③④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组，
得，
①当时，
，，
故结论①不符合题意；
②把代入，
得，
解得，
∵，
∴此时不符合题意，故结论②不符合题意；
③由原方程组的解可知，
，故结论③符合题意；
④∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论④符合题意．
故答案为：③④．
【分析】解方程组得，①当时，分别求出x、y的值，即可判断；②把代入中求出a值，根据检验即可；③将方程组的解相加，可求出x+y=2，即可判断；④由，即得，可求，由可得，即得，继而得出3≤1-a≤4，由y=1-a可得y的范围，即可判断.
13．（2019七下·仁寿期中）已知关于x，y的方程组 ，下列结论：
①当a=3时，方程组的解是 ；②无论a取何值，x与y的和都不可能为1；③如果x-y=0，则a=2；④如果x为正数，y为非负数，则-5【答案】②④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组得
①把a=3分别代入，得，故①错误；
② x+y=，故②正确；
③如果x-y=0，则解得a=-2，故③错误；
④根据题意得：，解这个不等式组得-5∴其中正确的有 ②，④.
【分析】先求出方程组的解，然后根据每个选项给出的条件求解，即可意义作出判断。
三、解答题
14．（2017七下·静宁期中）两位同学在解方程组 时，甲正确地解出方程组为 ，乙因为把c写错了而解得的解为 ，已知乙没有再发生其他错误，请确定a，b，c的值．
【答案】解：由题意可知： 是cx﹣7y=8的解，
∴3c+14=8，
∴c=﹣2
由题意可知： 和 是ax+by=2的解，
∴
解得：
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】根据题意可知 和 是ax+by=2的解，从而可求出a与b的值，由因为 是cx﹣7y=8的解，所以可求出c的值．
15．（2023七下·惠安期末）已知关于的二元一次方程，其中为常数，且．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为－1的值时，都可得到一个方程，且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，．若，求整数．
【答案】（1）解：依题意，得，解得
（2）解：依题意，不妨取的两个不同数值，如，，
则有
解得
故这个公共解是
（3）解：根据题意，得，解得
∵，∴，解得
又是整数，∴．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）将x，y的值代入即可得到一个关于k的方程，解出方程即得到k值；
（2）首先先随便取两个不为-1的值，代入方程中，联立方程组，解方程组即可得到这两个方差的公共解；
（3）将题目所给的两组x，y的值代入方程，得到关于a，b，k的方程组，解出k，又因为 k满足，将解出的k代入即可得到一组关于b的一元一次不等式方程组，解出解集，又b是整数，所以b=7.
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