浙教版数学七年级下册 2.3 解二元一次方程组 培优卷
一、选择题
1．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是( )
A． B． C． D．
2．（2025七下·杭州期中）已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
3．（2024七下·临平期中）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024七下·金华月考）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．关于x，y的方程组的解为
则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·瓯海期中）已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
7．（2022七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②
8．（2025七下·台州期中） 对x、у定义一种新运算T，规定：T（x，y）=axy+bx-4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：T（0，1）=a×0×1+b×0-4=-4，若T（2，1）=2，T（-1，2）=-8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1） a=1，b=2；（2） 若T（m，n）=0，（n≠-2），则m=；（3）若T（m，n）=0，则m、n有且仅有3组整数解；（4） 若T（kx，y）=T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k=1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2025七下·绍兴期末） 已知方程组的解是，则方程组的解是 .
10．（2024七下·杭州期中）关于x，y的方程组的解为，则①a2+b2＝ ．
②关于x，y的方程组的解为 ．
11． 已知方程组 甲解对了， 得 乙看错了 ， 得 则
12． 已知关于 的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无论 取何值， 的值都不可能互为相反数；③ 当 时， 方程组的解也是方程 的解； ④ 都为自然数的解有 4 对．其中正确的有
13．（2025七下·杭州月考）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）
（1）x+y= （用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程qx+3y=1（q为整数，且q不等于0或-6）的解，p也是整数，则q的最小值为 .
三、解答题
14．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
15．（2024七下·长兴月考）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
（1）设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：把 代入方程 7x-4y=★，
得
设●为a，把 代入方程 ax-2y=5，
得-9a-2×(-16)=5，
解得 a=3.
∴原方程组是
由①×2-②，得 -x=-1，
解得 x=1.
把 x=1代入①，得3×1-2y=5，
解得 y=-1.
∴原方程组的解是
故选：C.
【分析】解题思路：“将错就错”，即看错方程组中某个系数时，可将所得的“错解”代入另外一个不含此系数的方程，进而得到新的方程或方程组求解.
2．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入原方程组得，
解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，由得：，当，解得：，故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误，
综上所述：①②正确.
故答案为：A.
【分析】将a=1代入原方程组求解得出x、y的值，再根据二元一次方程解的定义，将x、y的值代入x-y=2a-1算出a的值即可判断①正确；将原方程组的两个方程相加得到5x+y=6+3a，再结合5x+y=3可得关于字母a的方程求出a的值，即可判定②正确；设令x+y=0，并将x+y=0代入原方程组求出a的值，进而再算出此时x、y的值，即可判断③错误；将a作为字母参数解出原方程组的解进而求出该方程组的自然数解，即可判断④错误.
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ① 当时， 方程组为，
解得：，故①正确；
②当时，方程组为，
两式相减得：4x+8y=-1，
即 ，故 ② 错误；
③∵x=3-a-2ay，代入-ax-2y=1中，
得-a(3-a-2ay)-2y=1，
即，
当时，，
又∵，所以该方程组无解，故 ③ 正确
故答案为：C.
【分析】 ① 将a=2代入方程组，求解方程组即可得到答案；
② 将a=3代入方程组，求解方程组即可得到答案；
③ 首先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一次项系数和常数项判断方程是否有解。
5．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知关于x，y的方程组 的解为，
即；
那么将关于x，y的方程组 整理得，
故5x=4045，5y=1，
解得：x=809，，
故该方程组的解为：；
故答案为：A.
【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
【分析】解二元一次方程组，用含K的代数式表示出x，y的值.
①代入k=2，可得出3x+y=5；
②将x，y值相加，可得出当k=-3时，x+y=0；
③将x，y的值代入3x + 4y，可得出3x + 4y=2；
④结合2x +3y=3，可得出关于的一元一次方程，解之可得出k=-8.
7．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当k=0时，方程组为，
由①×2-②得：y=1，
∴x+2×1=0，
∴x=-2，
将x=-2和y=1代入方程x-2y=4，等式成立，
∴①说法符合题意；
②∵x+y=0，
∴x=-y，
∴方程组变形为，
∴k=3k-1，
∴k=0.5，
∴②说法符合题意；
③∵方程组为，
∴由①×3-②得：x+3y=1，
∴无论k取什么实数，x+3y=1，
∴③说法符合题意；
④∵方程组为，
由①×2-②得：y=-k+1，
∴x+2（-k+1）=k
∴x=3k-2，
又∵3x+2y=6，
∴3（3k-2）+2（-k+1）=6，
整理，解得：k=，
∴④说法不符合题意，
∴正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】①把k=0代入方程组，再利用加减消元法二元一次方程组，把解代入方程x-2y=4验证解满足方程；②由x+y=0变形得x=-y，原方程组变形为，解之求得k值，即存在k使得x+y=0成立；③方程组为，由①×3-②得：x+3y=1，即无论k取什么实数，x+3y=1为定值；④由①×2-②得：y=-k+1，从而得x=3k-2，代入到方程3x+2y=6，整理解得k=，即可判断④说法不符合题意. 据此即可得到正确答案.
8．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件T(2，1)=2，T(-1，2)=-8，列式为
， 解得，
故结论（1）正确。
由T(m，n)=0，得mn+2m-4=0，整理得m(n+2)=4，解得m =，
故结论（2）正确。
由mn+2m =4，当n=-2时方程无解，故n≠2。令m=，m和n均为整数，则n+2是4的因数。4的因数为1，2，4，因此：
n+2=1有 n=-1，m=4；
n+2=-1有 n=-3，m=-4；
n+2=2 有 n=0，m=2；
n+2=-2有 n=-4，m=-2；
n+2=4有 n=2，m=1；
n+2=-4 有 n=-6，m=-1。
共有6组整数解，故结论（3）错误。
由T(kx，y)=T(ky，x)，得：a ( k x ) y + b ( k x ) 4 = a ( k y ) x + b ( k y ) 4
代入a=1，b=2，得： kxy+2kx=kxy+2ky
化简得2k(x - y)=0。
因对任意x，y成立，故k=0。但题目要求k为常数，而k=0与b非零无关，但结论（4）中k=1不成立，
故结论（4）错误。
因此正确的是（1）（2）
故答案为：B.
【分析】（1）（2）可以直接根据新运算 T（x，y）=axy+bx-4 代入计算即可判断正误；（3）可以根据（2）的结论，先确定4的因数有1，2，4，然后分6种情况分别计算出m和n的值，即可判断正误；（4）将a=1，b=2代入并变形，得到2k(x - y)=0，此时即可判断出k =1不成立。
9．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：所求方程组化为
∴，
∴x=3，y=9
∴该方程组的解为
故答案为： .
【分析】本题先将所求方程组变形，使其在形式上与条件相近，再根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可.
10．【答案】；
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①把代入得：
①+②得：
∴
故答案为：；
②方程整理得：
仿照已知方程组得：，
∴
故答案为：.
【分析】①把方程组的解代入方程后将两个方程相加即可求解；
②仿照已知方程组的解得到：，解此方程组即可求解.
11．【答案】-40
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：把甲的正确解代入原方程，得，
由②式解得正确的c=-2.
把乙的错误解代入原方程组中的①方程，得.
联立①、③得，
①+③解得a=4.
把a=4代入①解得b=5.
∴abc=-2×4×5=-40.
故答案为：-40.
【分析】根据方程组的解的定义，将甲的解代入原方程组中的每一个方程可得两个关于字母a、b、c的方程；将乙的解代入原方程组中的第一个方程可得关于字母a、b的一个方程，联立三个新方程可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，求解得出a、b、c的值，再求积即可.
12．【答案】②③④
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】
A、①-②得：8y=4-4a
解得：③，再把③代入②得：，当a=5时，x=5，但y=-2，故A错误
B、由（1）知：，因此x+y=，故B正确
C、由（1）知：当a=1时，x=3，y=0，正是的解，故C正确
D、由题意知：
又∵x，y都是自然数
∴a为整数，故a取-5，-4，-3，-2，-1，0，1
∵当a取-4，-2，0时，不满足条件
∴a取-5，-3，-1，1.
故D正确.
故答案为②③④.
【分析】先解出方程组的解，再依次根据ABCD四个选项依次判定即可，而对于D答案，x，y都是自然数，从找到a的取值，再意义验证即可.
13．【答案】（1）
（2）-22
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1），将①+②得，即.
故答案为：；
（2）解方程组 得.
代入，有.
∴.
∵为整数，且不等于或，
∴或.
令（为整数，且），则.
∴必为的因数.
∴.
当时，取得最小值.
∴.
【分析】（1）用上式加下式，然后等号两边同时除以3即可；
（2）先求出方程组的解，代入到，得到关于、的关系式，然后整理，即用表示出，最后根据整理后的关系式、结合条件及题目所求，最终可计算出值.
14．【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
15．【答案】（1）；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．
（3）解：方程组可化为，
关于x，y的二元一次方程组的解为，
，．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，
【分析】（1）设，，利用换元法求出，得出关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（2）利用换元法将原方程组变形，求出，得到关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（3）方程组中的两个方程两边同时除以5，将方程组变形，然后利用换元法得出，再进一步解方程组即可．
1 / 1浙教版数学七年级下册 2.3 解二元一次方程组 培优卷
一、选择题
1．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：把 代入方程 7x-4y=★，
得
设●为a，把 代入方程 ax-2y=5，
得-9a-2×(-16)=5，
解得 a=3.
∴原方程组是
由①×2-②，得 -x=-1，
解得 x=1.
把 x=1代入①，得3×1-2y=5，
解得 y=-1.
∴原方程组的解是
故选：C.
【分析】解题思路：“将错就错”，即看错方程组中某个系数时，可将所得的“错解”代入另外一个不含此系数的方程，进而得到新的方程或方程组求解.
2．（2025七下·杭州期中）已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入原方程组得，
解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，由得：，当，解得：，故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误，
综上所述：①②正确.
故答案为：A.
【分析】将a=1代入原方程组求解得出x、y的值，再根据二元一次方程解的定义，将x、y的值代入x-y=2a-1算出a的值即可判断①正确；将原方程组的两个方程相加得到5x+y=6+3a，再结合5x+y=3可得关于字母a的方程求出a的值，即可判定②正确；设令x+y=0，并将x+y=0代入原方程组求出a的值，进而再算出此时x、y的值，即可判断③错误；将a作为字母参数解出原方程组的解进而求出该方程组的自然数解，即可判断④错误.
3．（2024七下·临平期中）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
4．（2024七下·金华月考）关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ① 当时， 方程组为，
解得：，故①正确；
②当时，方程组为，
两式相减得：4x+8y=-1，
即 ，故 ② 错误；
③∵x=3-a-2ay，代入-ax-2y=1中，
得-a(3-a-2ay)-2y=1，
即，
当时，，
又∵，所以该方程组无解，故 ③ 正确
故答案为：C.
【分析】 ① 将a=2代入方程组，求解方程组即可得到答案；
② 将a=3代入方程组，求解方程组即可得到答案；
③ 首先消去x，得到关于y的一元一次方程，再根据一次项系数和常数项判断方程是否有解。
5．关于x，y的方程组的解为
则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知关于x，y的方程组 的解为，
即；
那么将关于x，y的方程组 整理得，
故5x=4045，5y=1，
解得：x=809，，
故该方程组的解为：；
故答案为：A.
【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案.
6．（2023七下·瓯海期中）已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
【分析】解二元一次方程组，用含K的代数式表示出x，y的值.
①代入k=2，可得出3x+y=5；
②将x，y值相加，可得出当k=-3时，x+y=0；
③将x，y的值代入3x + 4y，可得出3x + 4y=2；
④结合2x +3y=3，可得出关于的一元一次方程，解之可得出k=-8.
7．（2022七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当k=0时，方程组为，
由①×2-②得：y=1，
∴x+2×1=0，
∴x=-2，
将x=-2和y=1代入方程x-2y=4，等式成立，
∴①说法符合题意；
②∵x+y=0，
∴x=-y，
∴方程组变形为，
∴k=3k-1，
∴k=0.5，
∴②说法符合题意；
③∵方程组为，
∴由①×3-②得：x+3y=1，
∴无论k取什么实数，x+3y=1，
∴③说法符合题意；
④∵方程组为，
由①×2-②得：y=-k+1，
∴x+2（-k+1）=k
∴x=3k-2，
又∵3x+2y=6，
∴3（3k-2）+2（-k+1）=6，
整理，解得：k=，
∴④说法不符合题意，
∴正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】①把k=0代入方程组，再利用加减消元法二元一次方程组，把解代入方程x-2y=4验证解满足方程；②由x+y=0变形得x=-y，原方程组变形为，解之求得k值，即存在k使得x+y=0成立；③方程组为，由①×3-②得：x+3y=1，即无论k取什么实数，x+3y=1为定值；④由①×2-②得：y=-k+1，从而得x=3k-2，代入到方程3x+2y=6，整理解得k=，即可判断④说法不符合题意. 据此即可得到正确答案.
8．（2025七下·台州期中） 对x、у定义一种新运算T，规定：T（x，y）=axy+bx-4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：T（0，1）=a×0×1+b×0-4=-4，若T（2，1）=2，T（-1，2）=-8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1） a=1，b=2；（2） 若T（m，n）=0，（n≠-2），则m=；（3）若T（m，n）=0，则m、n有且仅有3组整数解；（4） 若T（kx，y）=T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k=1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件T(2，1)=2，T(-1，2)=-8，列式为
， 解得，
故结论（1）正确。
由T(m，n)=0，得mn+2m-4=0，整理得m(n+2)=4，解得m =，
故结论（2）正确。
由mn+2m =4，当n=-2时方程无解，故n≠2。令m=，m和n均为整数，则n+2是4的因数。4的因数为1，2，4，因此：
n+2=1有 n=-1，m=4；
n+2=-1有 n=-3，m=-4；
n+2=2 有 n=0，m=2；
n+2=-2有 n=-4，m=-2；
n+2=4有 n=2，m=1；
n+2=-4 有 n=-6，m=-1。
共有6组整数解，故结论（3）错误。
由T(kx，y)=T(ky，x)，得：a ( k x ) y + b ( k x ) 4 = a ( k y ) x + b ( k y ) 4
代入a=1，b=2，得： kxy+2kx=kxy+2ky
化简得2k(x - y)=0。
因对任意x，y成立，故k=0。但题目要求k为常数，而k=0与b非零无关，但结论（4）中k=1不成立，
故结论（4）错误。
因此正确的是（1）（2）
故答案为：B.
【分析】（1）（2）可以直接根据新运算 T（x，y）=axy+bx-4 代入计算即可判断正误；（3）可以根据（2）的结论，先确定4的因数有1，2，4，然后分6种情况分别计算出m和n的值，即可判断正误；（4）将a=1，b=2代入并变形，得到2k(x - y)=0，此时即可判断出k =1不成立。
二、填空题
9．（2025七下·绍兴期末） 已知方程组的解是，则方程组的解是 .
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：所求方程组化为
∴，
∴x=3，y=9
∴该方程组的解为
故答案为： .
【分析】本题先将所求方程组变形，使其在形式上与条件相近，再根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可.
10．（2024七下·杭州期中）关于x，y的方程组的解为，则①a2+b2＝ ．
②关于x，y的方程组的解为 ．
【答案】；
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①把代入得：
①+②得：
∴
故答案为：；
②方程整理得：
仿照已知方程组得：，
∴
故答案为：.
【分析】①把方程组的解代入方程后将两个方程相加即可求解；
②仿照已知方程组的解得到：，解此方程组即可求解.
11． 已知方程组 甲解对了， 得 乙看错了 ， 得 则
【答案】-40
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：把甲的正确解代入原方程，得，
由②式解得正确的c=-2.
把乙的错误解代入原方程组中的①方程，得.
联立①、③得，
①+③解得a=4.
把a=4代入①解得b=5.
∴abc=-2×4×5=-40.
故答案为：-40.
【分析】根据方程组的解的定义，将甲的解代入原方程组中的每一个方程可得两个关于字母a、b、c的方程；将乙的解代入原方程组中的第一个方程可得关于字母a、b的一个方程，联立三个新方程可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，求解得出a、b、c的值，再求积即可.
12． 已知关于 的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无论 取何值， 的值都不可能互为相反数；③ 当 时， 方程组的解也是方程 的解； ④ 都为自然数的解有 4 对．其中正确的有
【答案】②③④
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】
A、①-②得：8y=4-4a
解得：③，再把③代入②得：，当a=5时，x=5，但y=-2，故A错误
B、由（1）知：，因此x+y=，故B正确
C、由（1）知：当a=1时，x=3，y=0，正是的解，故C正确
D、由题意知：
又∵x，y都是自然数
∴a为整数，故a取-5，-4，-3，-2，-1，0，1
∵当a取-4，-2，0时，不满足条件
∴a取-5，-3，-1，1.
故D正确.
故答案为②③④.
【分析】先解出方程组的解，再依次根据ABCD四个选项依次判定即可，而对于D答案，x，y都是自然数，从找到a的取值，再意义验证即可.
13．（2025七下·杭州月考）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）
（1）x+y= （用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程qx+3y=1（q为整数，且q不等于0或-6）的解，p也是整数，则q的最小值为 .
【答案】（1）
（2）-22
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1），将①+②得，即.
故答案为：；
（2）解方程组 得.
代入，有.
∴.
∵为整数，且不等于或，
∴或.
令（为整数，且），则.
∴必为的因数.
∴.
当时，取得最小值.
∴.
【分析】（1）用上式加下式，然后等号两边同时除以3即可；
（2）先求出方程组的解，代入到，得到关于、的关系式，然后整理，即用表示出，最后根据整理后的关系式、结合条件及题目所求，最终可计算出值.
三、解答题
14．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
15．（2024七下·长兴月考）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
（1）设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．
（3）解：方程组可化为，
关于x，y的二元一次方程组的解为，
，．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，
【分析】（1）设，，利用换元法求出，得出关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（2）利用换元法将原方程组变形，求出，得到关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（3）方程组中的两个方程两边同时除以5，将方程组变形，然后利用换元法得出，再进一步解方程组即可．
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