中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年七年级下数学第2章 二元一次方程组 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．属于二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．已知有理数，满足方程组，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3． 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（ ）
A． B． C． D．
4．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是( )
A． B． C． D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6． 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
7．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．若方程组 有正整数解，则的正整数值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
9．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10． 已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知方程 ，用含的代数式表示，则 ．
12． 已知，则的值为 .
13． 某年级学生共有 246 人， 男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人， 问男、女生各多少人？ 若设女生人数为 ， 男生人数为 ， 则可列方程组
14． 若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为 ．
15． 已知：x， y满足，我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体
的值，则a：b的值是 .
16．若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数有 个．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程组：
（1） （2）
18．已知关于x，y的方程组．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）若方程组的解也是方程的解，求m的值．
19．已知关于x，y的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求k的值；
（2）朵拉发现：不论取何值，都是关于x，y的方程的解．请你求a，b的值。
20．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
21．为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。
（1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。
（2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下：
设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个，
①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）.
②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系.
22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
23．根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共168元.
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
24．对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组.
（1）下列方程组是“开心”方程组的是 （只填写序号)
①②③
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年七年级下数学第2章 二元一次方程组 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．属于二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A.，A正确；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D错误.
故答案为：A .
2．已知有理数，满足方程组，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】
由①+②得
．
故答案为：A．
3． 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由①移项得：y=2x-4
故答案为：D .
4．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把 代入方程 7x-4y=★，
得
设●为a，把 代入方程 ax-2y=5，
得-9a-2×(-16)=5，
解得 a=3.
∴原方程组是
由①×2-②，得 -x=-1，
解得 x=1.
把 x=1代入①，得3×1-2y=5，
解得 y=-1.
∴原方程组的解是
故选：C.
5．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据题意得：。
故答案为：D。
6． 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
【答案】C
【解析】
①×2，得2x＋4y＝2k③，
③ ②得，y＝1 k，
将y＝1 k代入①得，x＝3k 2，
A：当时，，故A错；
B：当时，，故B错；
C：不论k取什么实数，的值始终不变，故C对；
D：当时，方程组的解不满足方程的解，故D错.
故答案为：C .
7．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】
得：10x-4y=8，
得：-10x-15y=-45，
∴得-19y=-37即可消去x，
故答案为：C.
8．若方程组 有正整数解，则的正整数值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
【答案】B
【解析】∵由可得，由可得.
∴，即。
∵y有正整数解，
∴必须是6的正约数.
∴的取值可能为1，2，3，6.
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（满足条件）
验证：原方程组为，解得，是正整数解.
故答案为：B.
9．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将方程组变形为：，
∵关于x．y的方程组的解为，
∴，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴方程组的解是，
故答案为：B．
10． 已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①将代入原方程组，得解得
将，，代入方程的左右两边，左边=3，右边=3，
当时，方程组的解也是的解；
② 解原方程组，得
∴x+y=3，
无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y=2a+1+2-2a=3
为自然数的解有，，，.
④∵2x+y=8， ∴2（2a+l）+2-2a=8，解得a=2.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知方程 ，用含的代数式表示，则 ．
【答案】
【解析】∵3x+2y=4，
∴2y=4-3x，
∴y=.
故答案为：.
12． 已知，则的值为 .
【答案】-2022
【解析】
由①+②得：5x+5y=15
∴x+y=3
∴=-2022
故答案为：-2022 .
13． 某年级学生共有 246 人， 男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人， 问男、女生各多少人？ 若设女生人数为 ， 男生人数为 ， 则可列方程组
【答案】
【解析】 设女生人数为x人， 男生人数为 y人，依题意列方程组得：
.
14． 若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为 ．
【答案】3或4
【解析】解关于x，y的方程组得，，
∵关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，
∴m-2=2（5-m）或5-m=2（m-2），
解得m=4或m=3，
故答案为：4或3．
15． 已知：x， y满足，我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体
的值，则a：b的值是 .
【答案】
【解析】∵用①×a+②×b整体求的值，
∴a(2x-3y)+b(3x-2y)=k(x+11y)，
∴k=2a+3b，11k=-3a-2b，解得：a=-7k，b=5k，
∴a：b=
故答案为：.
16．若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数有 个．
【答案】2
【解析】
①×2-②，得4y-ay=6，解得，
把代入①得，
∵y的值是正整数，且a也是整数，
∴4-a=1或4-a=2或4-a=3或4-a=6，
∴a=3或2或1或-2，
当a=3时，y=-7不是正整数，舍去；
当a=2时，y=-1不是正整数，舍去；
当a=1时，y=1是正整数，符合题意；
当a=-2时，y=3是正整数，符合题意，
综上，满足条件的整数a有1和-2两个.
故答案为：2.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程组：
（1）（2）
【答案】（1）解：①，得：③
②，得：④
③+④，得： 解得：
把代入①，得： 解得：
∴方程组的解为
（2）解：原方程组整理得：
①+②，得： 解得：
把代入①，得： 解得：
∴方程组的解为
18．已知关于x，y的方程组．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）若方程组的解也是方程的解，求m的值．
【答案】（1）解：，
，可得，
解得，
把代入②，可得：，
解得，
∴原方程组的解是
（2）解：∵方程组的解也是方程的解，
∴是方程的解，
∴，
解得：
19．已知关于x，y的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求k的值；
（2）朵拉发现：不论取何值，都是关于x，y的方程的解．请你求a，b的值。
【答案】（1）解：∵是方程的一个解，
∴－2k+5=2－k
解得：k=3.
（2）解：∵是关于x，y的方程的解，
∴ka+b=2－k，
∴k(a+1)=2－b.
∵ 不论取何值，都是关于x，y的方程的解 ，
∴a+1=0，2－b=0，
∴a＝－1，b=2.
20．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
【答案】（1）
（2）
（3）解：得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【解析】（1）
解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）
解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
21．为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。
（1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。
（2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下：
设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个，
①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）.
②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系.
【答案】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个，
由题意得：，
解得：，
答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个；
（2）解：①甲：元，
乙：
答：甲商场付款金额为元， 乙商场付款金额为元；
②由题意得：48a+20b=36a+15b+510，
则12a+5b=510.
22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依愿意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：，
解得：．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，
方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；
方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；
方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
（3）解：方案一获得利润：（元）；
方案二获得利润：（元）；
方案三获得利润：（元）．
∵，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
23．根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共168元.
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：(任务1)设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A款奶茶的销售单价是14元，B款奶茶的销售单价是16元；
(任务2)设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，
根据题意得：14a+16b=280，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴共有2种购买方案；
(任务3)设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了n杯，则B款加料的奶茶买了(3m-m-n)杯，
根据题意得：14m+16n+(16-2)(3m-m-n)=336，
∴n=25m-168.
又∵m，n，(3m-m-n)均为正整数
∴，
∴3m-m-n=3×7-7-7=7(杯).
答：班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯.
24．对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组.
（1）下列方程组是“开心”方程组的是 （只填写序号)
①②③
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值.
【答案】（1）②
（2）解：
①+②得：7x+7y=3k+8，
解得
是“开心”方程组，
∴|x+y|=1，
∴
解得：k=-或 k=-5.
（3）解：∵对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，
，
联立得：
或
解得：或
①把代入得：，
整理得，
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
②把代入得：，
整理得.
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
综上所述，ab的值为或.
【解析】（1）①由于存在方程，即，不属于“开心”方程组；②存在方程，属于“开心”方程组；③将上下方程相加，得4x+4y=6，整理可得，即，不属于“开心”方程组.
故答案为：②.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
