浙教版数学七年级下册 2.5 三元一次方程组及其解法 基础卷
一、选择题
1．下列方程：
①xy+z=1；②x-y+z=-1；③xyz=0；④x(x+2)-y=x2+z；⑤+2y+z=6，其中是三元一次方程的有（ ）
A．①② B．②⑤ C．②④ D．只有②
2． 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·麦积期中）已知，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（初中数学浙教版七下精彩练习2.5三元一次方程组及其解法）解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
5．（2024七下·望城期末）由方程组可得，x∶y∶z是（ ）
A．1∶2∶1 B．1∶（－2）∶（－1）
C．1∶（－2）∶1 D．1∶2∶（－1）
6．已知 且 ， 则 的值（ ）
A．为 9 B．为 -3 C．为 12 D．不确定
7．解三元一次方程组 ， 时， 最简单的做法是（ ）
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数
8．（2024七下·沿河期中）有甲、乙、丙三种货物，若购进甲3件，乙7件，丙1件，共需64元，若购进甲4件，乙10件，丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．32 B．33 C．34 D．35
二、填空题
9．（2024七下·三台期末）已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ．
10．（2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练： 8.4《三元一次方程组的解法》）在方程5 中，若 ，则 ．
11．（2024七下·灌阳期中）已知 ，则的值是 ．
12．（2023七下·玄武月考）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
13．（2021七下·忻州期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ．
三、解答题
14．解三元一次方程组
15．（2024七下·凉州期末）解方程组
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：①此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
②此方程含有3个未知数，并且所含未知项不都为1次方，即此方程是三元一次方程，则本项符合题意；
③此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
④原方程可改写为：
∴此方程含有3个未知数，并且所含未知项不都为1次方，即此方程是三元一次方程，则本项符合题意；
⑤此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三元一次方程的定义：如果一个方程含有3个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做三元一次方程，据此逐项分析即可.
2．【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A、此选项方程组中第一个方程未知数项的次数是2次，故是三元二次方程组，此选项不符合题意；
B、此选项方程组中的三个方程共含有三个未知数，未知数项的次数都是1次，且都是整式方程，故是三元一次方程组，此选项符合题意；
C、此选项方程组中第二个方程的分母中含有未知数，不是整式方程组，故不是三元一次方程组，此选项不符合题意；
D、此选项方程组中的三个方程共含有两个未知数，未知数项的次数都是1次，且都是整式方程，故是二元一次方程组，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】组成方程组的三个方程共含有三个未知数，未知数项的次数都是1次，且都是整式方程，这样的方程组就是三元一次方程组，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：根据题意，把三个方程相加，得，
解得．
故答案为：B．
【分析】把三个方程相加，再整体思想求出即可．
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵所给方程组的y项的系数均为1或- 1，
∴用消元的方法先y比较简便.
故答案为：B.
【分析】经观察发现，3个方程中的y项系数均为1或- 1，先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.
5．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：
由①得，③
将③代入②可得，，解得，
将代入③得，，
∴
故答案为：A
【分析】将方程组进行标注，然后再由①，通过移项，得到x关于y和z的关系式：x=2y-3z，然后再将该式子代入2x-3y+4z=0，求出y和z的关系式，最后再将该式子代入x=2y-3z，求出x关于z的关系式，由此即可求出x：y：z的值
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：，
得，x+y=z+6，
∵x+y=3，
∴z+6=3，
即z=-3.
故答案为：B.
【分析】用第二个方程减去第一个方程得到x+y=z+6，将x+y=3代入进行计算，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵第一个方程只含有y，z，
∴对于方程组，
得到关于y，z的二元一次方程，联立第一个方程得到方程组，
∴最简单的做法是先消去x.
故答案为：A.
【分析】由题意可知第一个方程只含有y，z，利用第二、三个方程根据加减消元法消去x，即可得到关于y，z的二元一次方程，与第一个方程联立组成方程组即可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z元，
根据题意，得，
∴①×3-②×2得：x+y+z=34，
∴现购甲、乙、丙各一件，共需34元，
故答案为：C.
【分析】先设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z元，根据”购进甲3件，乙7件，丙1件，共需64元，若购进甲4件，乙10件，丙1件，共需79元“可列出三元一次方程组，然后再由①×3-②×2求出x+y+z的值.
9．【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由题可知：且，
解得：，
故答案为：．
【分析】一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式”．
10．【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把x=1，y=2代入方程得，5-4+z=3，解得z=2.
故答案为：2.
【分析】将两个未知数的值代入三元一次方程中即可求得另一个未知数的值．
11．【答案】7
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由
得
∴
故答案为：．
【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，其中 三元一次方程组的解法基本步骤：①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解，根据题意，将三个方程相加，即可求得的值 ，得到答案.
12．【答案】55
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
【分析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，建立方程组，整体求得的值.
13．【答案】或或
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
故答案为：或或．
【分析】利用解三元一次方程的方法求解即可。
14．【答案】解：②×3+③， 得
11x+10z=35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x=5， z=-2代入②， 得
2×5+3y-2=9，
因此，这个三元一次方程组的解为
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】方程①只含x，z， 因此， 可以由②③消去y， 得到一个只含x， z的方程， 与方程①组成一个二元一次方程组.
15．【答案】解：
将①代入②后整理得：④，
将①代入③后整理得：⑤，
④-3×⑤得，代入⑤可得，代入①得，
∴该方程组的解为：
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】利用三元一次方程组的计算方法分析求解即可.
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一、选择题
1．下列方程：
①xy+z=1；②x-y+z=-1；③xyz=0；④x(x+2)-y=x2+z；⑤+2y+z=6，其中是三元一次方程的有（ ）
A．①② B．②⑤ C．②④ D．只有②
【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：①此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
②此方程含有3个未知数，并且所含未知项不都为1次方，即此方程是三元一次方程，则本项符合题意；
③此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
④原方程可改写为：
∴此方程含有3个未知数，并且所含未知项不都为1次方，即此方程是三元一次方程，则本项符合题意；
⑤此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三元一次方程的定义：如果一个方程含有3个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做三元一次方程，据此逐项分析即可.
2． 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A、此选项方程组中第一个方程未知数项的次数是2次，故是三元二次方程组，此选项不符合题意；
B、此选项方程组中的三个方程共含有三个未知数，未知数项的次数都是1次，且都是整式方程，故是三元一次方程组，此选项符合题意；
C、此选项方程组中第二个方程的分母中含有未知数，不是整式方程组，故不是三元一次方程组，此选项不符合题意；
D、此选项方程组中的三个方程共含有两个未知数，未知数项的次数都是1次，且都是整式方程，故是二元一次方程组，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】组成方程组的三个方程共含有三个未知数，未知数项的次数都是1次，且都是整式方程，这样的方程组就是三元一次方程组，据此逐一判断得出答案.
3．（2025七下·麦积期中）已知，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：根据题意，把三个方程相加，得，
解得．
故答案为：B．
【分析】把三个方程相加，再整体思想求出即可．
4．（初中数学浙教版七下精彩练习2.5三元一次方程组及其解法）解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵所给方程组的y项的系数均为1或- 1，
∴用消元的方法先y比较简便.
故答案为：B.
【分析】经观察发现，3个方程中的y项系数均为1或- 1，先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.
5．（2024七下·望城期末）由方程组可得，x∶y∶z是（ ）
A．1∶2∶1 B．1∶（－2）∶（－1）
C．1∶（－2）∶1 D．1∶2∶（－1）
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：
由①得，③
将③代入②可得，，解得，
将代入③得，，
∴
故答案为：A
【分析】将方程组进行标注，然后再由①，通过移项，得到x关于y和z的关系式：x=2y-3z，然后再将该式子代入2x-3y+4z=0，求出y和z的关系式，最后再将该式子代入x=2y-3z，求出x关于z的关系式，由此即可求出x：y：z的值
6．已知 且 ， 则 的值（ ）
A．为 9 B．为 -3 C．为 12 D．不确定
【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：，
得，x+y=z+6，
∵x+y=3，
∴z+6=3，
即z=-3.
故答案为：B.
【分析】用第二个方程减去第一个方程得到x+y=z+6，将x+y=3代入进行计算，即可得到答案.
7．解三元一次方程组 ， 时， 最简单的做法是（ ）
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵第一个方程只含有y，z，
∴对于方程组，
得到关于y，z的二元一次方程，联立第一个方程得到方程组，
∴最简单的做法是先消去x.
故答案为：A.
【分析】由题意可知第一个方程只含有y，z，利用第二、三个方程根据加减消元法消去x，即可得到关于y，z的二元一次方程，与第一个方程联立组成方程组即可得到答案.
8．（2024七下·沿河期中）有甲、乙、丙三种货物，若购进甲3件，乙7件，丙1件，共需64元，若购进甲4件，乙10件，丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．32 B．33 C．34 D．35
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z元，
根据题意，得，
∴①×3-②×2得：x+y+z=34，
∴现购甲、乙、丙各一件，共需34元，
故答案为：C.
【分析】先设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z元，根据”购进甲3件，乙7件，丙1件，共需64元，若购进甲4件，乙10件，丙1件，共需79元“可列出三元一次方程组，然后再由①×3-②×2求出x+y+z的值.
二、填空题
9．（2024七下·三台期末）已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由题可知：且，
解得：，
故答案为：．
【分析】一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式”．
10．（2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练： 8.4《三元一次方程组的解法》）在方程5 中，若 ，则 ．
【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把x=1，y=2代入方程得，5-4+z=3，解得z=2.
故答案为：2.
【分析】将两个未知数的值代入三元一次方程中即可求得另一个未知数的值．
11．（2024七下·灌阳期中）已知 ，则的值是 ．
【答案】7
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由
得
∴
故答案为：．
【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，其中 三元一次方程组的解法基本步骤：①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解，根据题意，将三个方程相加，即可求得的值 ，得到答案.
12．（2023七下·玄武月考）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
【答案】55
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
【分析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，建立方程组，整体求得的值.
13．（2021七下·忻州期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ．
【答案】或或
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
故答案为：或或．
【分析】利用解三元一次方程的方法求解即可。
三、解答题
14．解三元一次方程组
【答案】解：②×3+③， 得
11x+10z=35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x=5， z=-2代入②， 得
2×5+3y-2=9，
因此，这个三元一次方程组的解为
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】方程①只含x，z， 因此， 可以由②③消去y， 得到一个只含x， z的方程， 与方程①组成一个二元一次方程组.
15．（2024七下·凉州期末）解方程组
【答案】解：
将①代入②后整理得：④，
将①代入③后整理得：⑤，
④-3×⑤得，代入⑤可得，代入①得，
∴该方程组的解为：
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】利用三元一次方程组的计算方法分析求解即可.
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