浙教版数学七年级下册 2.5 三元一次方程组及其解法 提升卷
一、选择题
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 时，下列解法未实现这一转化的是( )
A．由①-②，②-③，得
B．由①-②，①×2-③，得
C．由①-③，①×2-②，得
D．由②-③，②×2-①，得
3．在等式 中， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4． 方程组 ， 消去未知数 后， 得到的方程组可能是（ ）
A． B．
C． D．，
5．以 为解建立一个三元一次方程， 不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6． 若有理数 满足 则 的值为（ ）
A．-4 B．3 C．4 D．不能确定
7．若方程组(k为常数)的解中，x，y互为相反数，则k的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．41
8．某商场推出 三种特价玩具，若购买 种 2 件、 种 1 件、 种 3 件，共需 24 元； 若购买 种 3 件、 种 4 件、 种 2 件，共需 36 元． 则小明购买 种 1 件、 种 1 件、 种 1 件，共需付款（ ）
A．11 元 B．12 元 C．13 元 D．不能确定
二、填空题
9．（2024七下·上城期中）已知式子，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为 ．
10．若方程组 的解中 16 ， 则
11．（2025七下·西湖月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 元．
12．（2025七下·杭州期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元：李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买 盒.
13．小明在超市购物时发现：顾客甲购买 2 瓶牛奶、 3 个面包和 5 盒併干花了 32 元； 顾客乙购买 3 瓶牛奶、 2 个面包和 4 盒饼干花了 29 元，则小明想购买 4 瓶牛奶、 1 个面包和 3 盒饼干需要 元．
三、解答题
14．解下列三元一次方程组：
15．（2021七下·武义期中）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵选项A中，x2+y=7的次数是二次；选项B中，是分式方程；选项C中，xyz=1的次数是三次。
∴选项只有选项D是正确的。
故正确答案选：D.
【分析】根据三元一次方程组的定义：每个方程组含有3个方程，每个方程都是一次方程，都是整式方程。可以进行判断可得.
2．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A.由(1)-(2)，(2)-(3)得 未实现转化，故A符合题意；
B.由(1)-(2)，(1)×2-(3)得 实现了转化，故B不符合题意；
C.由(1)-(3)，(1)×2-(2)得 实现了转化，故C不符合题意；
D.由(2)-(3)，(2)×2-(1)得 实现了转化，故D不符合题意。
故选：A
【分析】根据消元法是三元一次方程组转化为二元一次方程组解答即可.
3．【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：将 时， 和时， 和 时，分别代入，
可得：，
解得：，
∴，
故答案为：C.
【分析】先将 时， 和时， 和 时，分别代入，可得方程组，求出a、b、c的值，最后将其代入a+b+c计算即可.
4．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：
①+③，得：3x+5y=11，④
②+③×2，得：3x+3y=9，⑤。
由④⑤组方程组得：
故正确答案选：A.
【分析】通过观察、分析可以看出，想要消z，可以先由①+③可以得到：3x+5y=11，④；再由②+③×2可得3x+3y=9，⑤。所以可得方程组为.
5．【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：将代入，可得：
左边=3+1+1=5，右边=-2，
∵左边≠右边，
∴方程不正确，
故答案为：C.
【分析】将分别代入各选项中的方程，再计算并判断即可.
6．【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解： ，将①+②得2x+6z=4，即x=2-3z③，将③代入①得2-z-y=1，即y=1-z④，最后将④、③代入x+2y+5z可得2-3z+2-2z+5z=4.
故选：C.
【分析】解题关键在于利用条件用z分别表达出x、y，然后代入到待求值的式子中求值.
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵方程组(k为常数)的解中，x，y互为相反数 ，
∴x+y=0，
∴组方程组得：
解得：
把代入方程2x+y=1-3k，得：
k=1.
故答案为：B.
【分析】由已知题中给出的信息可知：x+y=0，再组方程组，解出x、y值，代入方程①，求出K值即可.
8．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
根据题意得：，
由（①＋②）÷5，得：x＋y＋z＝12．
故答案为：B.
【分析】设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，根据“ 购买 种 2 件、 种 1 件、 种 3 件，共需 24 元 ”和“ 购买 种 3 件、 种 4 件、 种 2 件，共需 36 元 ”列出方程组，再求出x＋y＋z＝12即可．
9．【答案】52
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25，
即，
解得，
∴x=3时，原式=，
故答案：52.
【分析】根据题意可得关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组后得到a，b，c的值，再把x=3代入代数式，即可得到答案．
10．【答案】17
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由题意得
① +②， 得 ，
③， 得 ， 即 ，解得 ．
【分析】将原方程组与条件x+y=6联立成新的三元一次方程组，解之即可.
11．【答案】7
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．
则由题意得：
，
由①②得，
于是：，
故答案为：7．
【分析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．根据题意列方程组，运用加减消元法解方程组求出的值即可．
12．【答案】10
【知识点】二元一次方程的解；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设枇杷每千克a元，香梨每千克b元，哈密瓜每千克c元，
则，解得：a+b+c=138，
即丙礼盒售价138元，
设买乙礼盒x盒，丙礼盒y盒，
则98x+138y=1100，
∵x，y为非负整数，
∴98x+138y=1100的非负整数解为，
∴李老师共买7+3=10盒.
故答案为：10.
【分析】先求出丙礼盒的售价，再根据“ 李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒 ”列出二元一次方程，求出非负整数解即可.
13．【答案】26
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设牛奶的单价为x元/瓶，面包的单价为y元/个，饼干的单价为z元/盒，
根据题意得：，
由②×2 ①得：4x＋y＋3z＝26，
∴小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要26元．
故答案为：26．
【分析】设牛奶的单价为x元/瓶，面包的单价为y元/个，饼干的单价为z元/盒，根据“ 顾客甲购买 2 瓶牛奶、 3 个面包和 5 盒併干花了 32 元 ”和“ 顾客乙购买 3 瓶牛奶、 2 个面包和 4 盒饼干花了 29 元 ”列出方程组，再求解即可.
14．【答案】解：（1）
由①＋③，得。④
由①②，得。⑤
解由④和⑤组成的方程组，得
把代入①，得。
所以原方程组的解为
由①②，得。④
将②代入③，得。⑤
解由④和⑤组成的方程组，得
将代入②，得。
所以原方程组的解为
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）先用加法消元法消去c，可得出关于a，b的二元一次方程组，用加减消元法解出a，b的值，并代入①式即可求出c的值；
（2）先用代入法得出关于x，y的二元一次方程组，用加减消元法解出x，y的值，并代入②式即可求出z的值.
15．【答案】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得.
答：分别需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x＋2y＝40，，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5或10，
由z是正整数，解得
有二种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据共120吨水果可得5x+8y=120，根据需运费8200元可得400x+500y=8200，联立求解即可；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据总辆数为16辆可得x+y+z=16，根据共120吨水果可得5x+8y+10z=120，联立可得x、y的关系式，结合x、y、z为正整数可得运货方案.
1 / 1浙教版数学七年级下册 2.5 三元一次方程组及其解法 提升卷
一、选择题
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵选项A中，x2+y=7的次数是二次；选项B中，是分式方程；选项C中，xyz=1的次数是三次。
∴选项只有选项D是正确的。
故正确答案选：D.
【分析】根据三元一次方程组的定义：每个方程组含有3个方程，每个方程都是一次方程，都是整式方程。可以进行判断可得.
2．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 时，下列解法未实现这一转化的是( )
A．由①-②，②-③，得
B．由①-②，①×2-③，得
C．由①-③，①×2-②，得
D．由②-③，②×2-①，得
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A.由(1)-(2)，(2)-(3)得 未实现转化，故A符合题意；
B.由(1)-(2)，(1)×2-(3)得 实现了转化，故B不符合题意；
C.由(1)-(3)，(1)×2-(2)得 实现了转化，故C不符合题意；
D.由(2)-(3)，(2)×2-(1)得 实现了转化，故D不符合题意。
故选：A
【分析】根据消元法是三元一次方程组转化为二元一次方程组解答即可.
3．在等式 中， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：将 时， 和时， 和 时，分别代入，
可得：，
解得：，
∴，
故答案为：C.
【分析】先将 时， 和时， 和 时，分别代入，可得方程组，求出a、b、c的值，最后将其代入a+b+c计算即可.
4． 方程组 ， 消去未知数 后， 得到的方程组可能是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：
①+③，得：3x+5y=11，④
②+③×2，得：3x+3y=9，⑤。
由④⑤组方程组得：
故正确答案选：A.
【分析】通过观察、分析可以看出，想要消z，可以先由①+③可以得到：3x+5y=11，④；再由②+③×2可得3x+3y=9，⑤。所以可得方程组为.
5．以 为解建立一个三元一次方程， 不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：将代入，可得：
左边=3+1+1=5，右边=-2，
∵左边≠右边，
∴方程不正确，
故答案为：C.
【分析】将分别代入各选项中的方程，再计算并判断即可.
6． 若有理数 满足 则 的值为（ ）
A．-4 B．3 C．4 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解： ，将①+②得2x+6z=4，即x=2-3z③，将③代入①得2-z-y=1，即y=1-z④，最后将④、③代入x+2y+5z可得2-3z+2-2z+5z=4.
故选：C.
【分析】解题关键在于利用条件用z分别表达出x、y，然后代入到待求值的式子中求值.
7．若方程组(k为常数)的解中，x，y互为相反数，则k的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．41
【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵方程组(k为常数)的解中，x，y互为相反数 ，
∴x+y=0，
∴组方程组得：
解得：
把代入方程2x+y=1-3k，得：
k=1.
故答案为：B.
【分析】由已知题中给出的信息可知：x+y=0，再组方程组，解出x、y值，代入方程①，求出K值即可.
8．某商场推出 三种特价玩具，若购买 种 2 件、 种 1 件、 种 3 件，共需 24 元； 若购买 种 3 件、 种 4 件、 种 2 件，共需 36 元． 则小明购买 种 1 件、 种 1 件、 种 1 件，共需付款（ ）
A．11 元 B．12 元 C．13 元 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
根据题意得：，
由（①＋②）÷5，得：x＋y＋z＝12．
故答案为：B.
【分析】设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，根据“ 购买 种 2 件、 种 1 件、 种 3 件，共需 24 元 ”和“ 购买 种 3 件、 种 4 件、 种 2 件，共需 36 元 ”列出方程组，再求出x＋y＋z＝12即可．
二、填空题
9．（2024七下·上城期中）已知式子，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为 ．
【答案】52
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25，
即，
解得，
∴x=3时，原式=，
故答案：52.
【分析】根据题意可得关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组后得到a，b，c的值，再把x=3代入代数式，即可得到答案．
10．若方程组 的解中 16 ， 则
【答案】17
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由题意得
① +②， 得 ，
③， 得 ， 即 ，解得 ．
【分析】将原方程组与条件x+y=6联立成新的三元一次方程组，解之即可.
11．（2025七下·西湖月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 元．
【答案】7
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．
则由题意得：
，
由①②得，
于是：，
故答案为：7．
【分析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．根据题意列方程组，运用加减消元法解方程组求出的值即可．
12．（2025七下·杭州期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元：李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买 盒.
【答案】10
【知识点】二元一次方程的解；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设枇杷每千克a元，香梨每千克b元，哈密瓜每千克c元，
则，解得：a+b+c=138，
即丙礼盒售价138元，
设买乙礼盒x盒，丙礼盒y盒，
则98x+138y=1100，
∵x，y为非负整数，
∴98x+138y=1100的非负整数解为，
∴李老师共买7+3=10盒.
故答案为：10.
【分析】先求出丙礼盒的售价，再根据“ 李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒 ”列出二元一次方程，求出非负整数解即可.
13．小明在超市购物时发现：顾客甲购买 2 瓶牛奶、 3 个面包和 5 盒併干花了 32 元； 顾客乙购买 3 瓶牛奶、 2 个面包和 4 盒饼干花了 29 元，则小明想购买 4 瓶牛奶、 1 个面包和 3 盒饼干需要 元．
【答案】26
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设牛奶的单价为x元/瓶，面包的单价为y元/个，饼干的单价为z元/盒，
根据题意得：，
由②×2 ①得：4x＋y＋3z＝26，
∴小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要26元．
故答案为：26．
【分析】设牛奶的单价为x元/瓶，面包的单价为y元/个，饼干的单价为z元/盒，根据“ 顾客甲购买 2 瓶牛奶、 3 个面包和 5 盒併干花了 32 元 ”和“ 顾客乙购买 3 瓶牛奶、 2 个面包和 4 盒饼干花了 29 元 ”列出方程组，再求解即可.
三、解答题
14．解下列三元一次方程组：
【答案】解：（1）
由①＋③，得。④
由①②，得。⑤
解由④和⑤组成的方程组，得
把代入①，得。
所以原方程组的解为
由①②，得。④
将②代入③，得。⑤
解由④和⑤组成的方程组，得
将代入②，得。
所以原方程组的解为
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）先用加法消元法消去c，可得出关于a，b的二元一次方程组，用加减消元法解出a，b的值，并代入①式即可求出c的值；
（2）先用代入法得出关于x，y的二元一次方程组，用加减消元法解出x，y的值，并代入②式即可求出z的值.
15．（2021七下·武义期中）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
【答案】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得.
答：分别需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x＋2y＝40，，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5或10，
由z是正整数，解得
有二种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据共120吨水果可得5x+8y=120，根据需运费8200元可得400x+500y=8200，联立求解即可；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据总辆数为16辆可得x+y+z=16，根据共120吨水果可得5x+8y+10z=120，联立可得x、y的关系式，结合x、y、z为正整数可得运货方案.
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