浙教版数学七年级下册 2.5 三元一次方程组及其解法 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·金华期末） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（ ）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
2．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）．
A．32元 B．33元 C．34元 D．35元
3．（2020七下·余杭期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
4．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
5．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）如果二元一次方程组 的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7=0的一个解，那么a值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．（2019七下·官渡期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm
7．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）若二元一次方程3x﹣y=7，2x+3y=1，y=kx﹣9有公共解，则k的取值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4
8．（2025七下·惠州期末）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
二、填空题
9．（2017七下·泗阳期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n． 则n-m的值为 .
10．（2023七下·金东期末）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
11．（2023七下·五莲期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需325元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需295元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元
12．（2020七下·通山期末）课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ；② ；③ ；④5人一组的最多有5组.
其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上）
13．（2020七下·硚口月考）若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b = .
三、解答题
14．（2024七下·香洲期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m，n），
如，所以的麓外区间为（1，2）．
（1）无理数的“麓外区间”是 ；
（2）实数x，y，m满足关系式：
求m的算术平方根的“麓外区间”．
（3）若某一个无理数T的“麓外区间”为（m，n），其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T．
15．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数
由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112
因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得
若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题关键在于各种卡片的面积之和等于拼成的新长方形的总面积，因此可以根据不同型号纸片的张数与面积之间的关系列出三元一次方程，再根据方程的正整数解得出答案。
2．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别是x元、y元、z元，则有，②-①得x+3y=15. 而①式可变形为x+y+z+2(x+3y)=64，代入x+3y=15得x+y+z=34. 所以购买甲、乙、丙各1件，共需34元.
故答案为：C.
【分析】注意不需要求出x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答.
3．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令 =t， (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t
A.当z=87时，t=4，则x=16，y=﹣3，不符合实际；
B.当z=84时，t=3，则x=12，y=4，符合实际；
C.当z=81时，t=2，则x=8，y=11，符合实际；
D.当z=78时，t=1，则x=4，y=18，符合实际；
故答案为：A.
【分析】根据题意列出三元一次方程组，根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可.
4．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba=10769；
则b+c=16；又据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，
则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，
可得：d=8，
又∵a+d=8+1+a=10，
∴a=1，
综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选A．
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c=16；据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，则d=8，又a+d=8+1+a=10，则a=1；综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9．
5．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
由①+②，可得2x=4a，
∴x=2a，
将x=2a代入①，得y=2a﹣a=a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将 代入方程3x﹣5y﹣7=0，
可得6a﹣5a﹣7=0，
∴a=7 故答案为：C．
【分析】先解得方程组的值x=2a，y=a，然后把它们代入到3x﹣5y﹣7=0中，求出a的值.
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设长方形的长为a， 宽为b， 高为h，
由图①得：h-b+a=90，
由图②得：h+b-a=80，
所以：h-b+a+h+b-a=90+80，
2h=170，
h=85cm，
故答案为：B.
【分析】设长方形的长为a， 宽为b， 高为h， 根据如图的两种情况列式，将两式相加即可得出h的长。
7．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：解 得：
，
代入y=kx﹣9得：﹣1=2k﹣9，
解得：k=4．故答案为：D．
【分析】先把3x﹣y=7，2x+3y=1组成方程组解得x和y的值，再把x和y的值代入y=kx﹣9中，求出k的值.
8．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，
∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
【分析】
本题考查了新定义运算（铺地锦乘法）、有理数的乘法和一元一次方程组．理解“铺地锦‘是两位数乘法（各位数字相乘，斜行相加），结合格子中数字建立等式，分析选项.
9．【答案】-2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】已知，3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
②×2 ①得，a+5c=6，a=6 5c，
①×2 ②×3得，b 7c= 7，b=7c 7，
又已知a、b、c为非负实数，
所以，6 5c 0，7c 7 0，
可得， ，
S=5a+4b+7c=5×(6 5c)+4×(7c 7)+7c=10c+2，
所以10 10c 12，
12 10c+2=S 14，
即m=14，n=12，
n m= 2，
故答案为 2.
10．【答案】；
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
【分析】由题意列出三元一次方程组并化简，观察第二个方程就可以求出a；把a代入第一个方程就可以求出b-c的值.
11．【答案】155
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】
解：
设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x1y，z，根据题意则有：
3x+2y+z=325 ①
x+2y+3z=295 ②
①+②得，4x+4y+4z=620
两边同时除以4得，x+y+z=155
即 购甲、乙、丙三种商品各一件共需 155元。
故答案为：155.
【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x，y，z，根据题中数量关系列出方程，再进行变形求出x+y+z即可。
12．【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
结论①正确；
，即 ，
，
结论②正确；
，即 ，
，
结论③正确；
， ，且 ， ， 均为正整数，
为2的倍数，
当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ，
人一组的最多有5组，
结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据80名学生自由组合分成12组，即可得出关于x ，y ，z的三元一次方程组，结论①正确；利用方程组中的①方程×7－方程组中的②方程 ，化简后可得出结论②正确；利用方程组中的②方程－方程组中的①方程 ×5 ，化简后可得出结论③正确；由结论②③结合x ，y ，z均为正整数，可得出z为2的倍数，分别代入 ， 和 即可得出5人一组的最多有5组，结论④正确.
13．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得4x+2y=40，即2x+y=20，
y=20-2x，
①+②得-2x+2z=-10，即x-z=5，
z=x-5，
将y，z代入5x+4y+z得5x+4（20-2x）+（x-5），
整理得：-2x+75，
∵x、y、z皆为非负数，
∴ ，
解得：5≤x≤10，
∴-20≤-2x≤-10
55≤-2x+75≤65，
∴整式5x+4y+z的最大值为65，最小值为55，
即a=65，b=55，
∴a-b=10，
故答案为：10.
【分析】先用含x的代数式表达出y，z，然后将代数式代入5x+4y+z，得到-2x+75，根据x、y、z皆为非负数，确定出x的取值范围，然后可求出整式5x+4y+z的取值范围，即可求出答案.
14．【答案】（1）（4，5）
（2）解：
∴，
∴m＝123，
∵＜＜，
∴11＜＜12
∴m的算术平方根的“麓外区间”是（11，12）
（3）解：∵是关于 x，y的二元一次方程的一组正整数解
∴
又由题意可知m和n之间的差为1
∴
，
解得
∴符合题意的无理数T的范围为：
∴符合题意的无理数T为或或或或或（答案不唯一），回答任意一个即可.
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：(1)∵
∴
∴无理数的“麓外区间”是 （4，5）
故答案为：（4，5）
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可估计出的麓外区间
（2）估计算术平方根的双重非负性可知，算术平方根均≥0，所以可以得到
联立即可解出m的值，算术平方根的定义即可估计出的麓外区间
（3）根据二元一次方程解的定义，即可把m，n分别带入到方程，又根据麓外区间的定义可知m与n之间的差值为1，联立两个方程，即可解出m，n的值.最后根据麓外区间的定义，即可得出符合题意的无理数T.
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
1 / 1浙教版数学七年级下册 2.5 三元一次方程组及其解法 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·金华期末） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（ ）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数
由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112
因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得
若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题关键在于各种卡片的面积之和等于拼成的新长方形的总面积，因此可以根据不同型号纸片的张数与面积之间的关系列出三元一次方程，再根据方程的正整数解得出答案。
2．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）．
A．32元 B．33元 C．34元 D．35元
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别是x元、y元、z元，则有，②-①得x+3y=15. 而①式可变形为x+y+z+2(x+3y)=64，代入x+3y=15得x+y+z=34. 所以购买甲、乙、丙各1件，共需34元.
故答案为：C.
【分析】注意不需要求出x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答.
3．（2020七下·余杭期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令 =t， (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t
A.当z=87时，t=4，则x=16，y=﹣3，不符合实际；
B.当z=84时，t=3，则x=12，y=4，符合实际；
C.当z=81时，t=2，则x=8，y=11，符合实际；
D.当z=78时，t=1，则x=4，y=18，符合实际；
故答案为：A.
【分析】根据题意列出三元一次方程组，根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可.
4．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba=10769；
则b+c=16；又据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，
则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，
可得：d=8，
又∵a+d=8+1+a=10，
∴a=1，
综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选A．
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c=16；据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，则d=8，又a+d=8+1+a=10，则a=1；综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9．
5．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）如果二元一次方程组 的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7=0的一个解，那么a值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
由①+②，可得2x=4a，
∴x=2a，
将x=2a代入①，得y=2a﹣a=a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将 代入方程3x﹣5y﹣7=0，
可得6a﹣5a﹣7=0，
∴a=7 故答案为：C．
【分析】先解得方程组的值x=2a，y=a，然后把它们代入到3x﹣5y﹣7=0中，求出a的值.
6．（2019七下·官渡期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设长方形的长为a， 宽为b， 高为h，
由图①得：h-b+a=90，
由图②得：h+b-a=80，
所以：h-b+a+h+b-a=90+80，
2h=170，
h=85cm，
故答案为：B.
【分析】设长方形的长为a， 宽为b， 高为h， 根据如图的两种情况列式，将两式相加即可得出h的长。
7．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习---提高篇）若二元一次方程3x﹣y=7，2x+3y=1，y=kx﹣9有公共解，则k的取值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：解 得：
，
代入y=kx﹣9得：﹣1=2k﹣9，
解得：k=4．故答案为：D．
【分析】先把3x﹣y=7，2x+3y=1组成方程组解得x和y的值，再把x和y的值代入y=kx﹣9中，求出k的值.
8．（2025七下·惠州期末）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，
∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
【分析】
本题考查了新定义运算（铺地锦乘法）、有理数的乘法和一元一次方程组．理解“铺地锦‘是两位数乘法（各位数字相乘，斜行相加），结合格子中数字建立等式，分析选项.
二、填空题
9．（2017七下·泗阳期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n． 则n-m的值为 .
【答案】-2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】已知，3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
②×2 ①得，a+5c=6，a=6 5c，
①×2 ②×3得，b 7c= 7，b=7c 7，
又已知a、b、c为非负实数，
所以，6 5c 0，7c 7 0，
可得， ，
S=5a+4b+7c=5×(6 5c)+4×(7c 7)+7c=10c+2，
所以10 10c 12，
12 10c+2=S 14，
即m=14，n=12，
n m= 2，
故答案为 2.
10．（2023七下·金东期末）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
【答案】；
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
【分析】由题意列出三元一次方程组并化简，观察第二个方程就可以求出a；把a代入第一个方程就可以求出b-c的值.
11．（2023七下·五莲期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需325元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需295元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元
【答案】155
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】
解：
设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x1y，z，根据题意则有：
3x+2y+z=325 ①
x+2y+3z=295 ②
①+②得，4x+4y+4z=620
两边同时除以4得，x+y+z=155
即 购甲、乙、丙三种商品各一件共需 155元。
故答案为：155.
【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x，y，z，根据题中数量关系列出方程，再进行变形求出x+y+z即可。
12．（2020七下·通山期末）课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ；② ；③ ；④5人一组的最多有5组.
其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上）
【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
结论①正确；
，即 ，
，
结论②正确；
，即 ，
，
结论③正确；
， ，且 ， ， 均为正整数，
为2的倍数，
当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ，
人一组的最多有5组，
结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据80名学生自由组合分成12组，即可得出关于x ，y ，z的三元一次方程组，结论①正确；利用方程组中的①方程×7－方程组中的②方程 ，化简后可得出结论②正确；利用方程组中的②方程－方程组中的①方程 ×5 ，化简后可得出结论③正确；由结论②③结合x ，y ，z均为正整数，可得出z为2的倍数，分别代入 ， 和 即可得出5人一组的最多有5组，结论④正确.
13．（2020七下·硚口月考）若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b = .
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得4x+2y=40，即2x+y=20，
y=20-2x，
①+②得-2x+2z=-10，即x-z=5，
z=x-5，
将y，z代入5x+4y+z得5x+4（20-2x）+（x-5），
整理得：-2x+75，
∵x、y、z皆为非负数，
∴ ，
解得：5≤x≤10，
∴-20≤-2x≤-10
55≤-2x+75≤65，
∴整式5x+4y+z的最大值为65，最小值为55，
即a=65，b=55，
∴a-b=10，
故答案为：10.
【分析】先用含x的代数式表达出y，z，然后将代数式代入5x+4y+z，得到-2x+75，根据x、y、z皆为非负数，确定出x的取值范围，然后可求出整式5x+4y+z的取值范围，即可求出答案.
三、解答题
14．（2024七下·香洲期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m，n），
如，所以的麓外区间为（1，2）．
（1）无理数的“麓外区间”是 ；
（2）实数x，y，m满足关系式：
求m的算术平方根的“麓外区间”．
（3）若某一个无理数T的“麓外区间”为（m，n），其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T．
【答案】（1）（4，5）
（2）解：
∴，
∴m＝123，
∵＜＜，
∴11＜＜12
∴m的算术平方根的“麓外区间”是（11，12）
（3）解：∵是关于 x，y的二元一次方程的一组正整数解
∴
又由题意可知m和n之间的差为1
∴
，
解得
∴符合题意的无理数T的范围为：
∴符合题意的无理数T为或或或或或（答案不唯一），回答任意一个即可.
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：(1)∵
∴
∴无理数的“麓外区间”是 （4，5）
故答案为：（4，5）
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可估计出的麓外区间
（2）估计算术平方根的双重非负性可知，算术平方根均≥0，所以可以得到
联立即可解出m的值，算术平方根的定义即可估计出的麓外区间
（3）根据二元一次方程解的定义，即可把m，n分别带入到方程，又根据麓外区间的定义可知m与n之间的差值为1，联立两个方程，即可解出m，n的值.最后根据麓外区间的定义，即可得出符合题意的无理数T.
15．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
1 / 1
