浙教版 数学七年级下册第2章 二元一次方程组 培优检测卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·嘉兴期末） 下列方程属于二元一次方程的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、2x+3=0，只有一个未知数，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、符合二元一次方程的定义，选项说法正确，符合题意；
C、只要有1个未知数，未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
D、分母有未知数，选项说法错误，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可.
2．（2025七下·临平月考）已知是方程的一个解，则常数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵x、y是方程的一个解，
∴把代入方程中，
得，
解得，
故选：D．
【分析】熟知方程的解的定义是解题的关键，二元一次方程解的定义是：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.将方程的解代入方程中，得到一个关于未知数m的一元一次方程，然后求解这个方程即可得到m的值．
3．（2025七下·杭州月考）若x，y满足方程组，则的值为（ ）
A．17 B．9 C．21 D．7
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：
故答案为：A．
【分析】观察方程组中两个方程未知数x、y的系数特点，可得将两个方程相加即可求解．
4．（2025七下·温州期末）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱.问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中x表示的是（ ）
A．鸡的数量 B．鸡的单价
C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： ∵每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱，且所列方程组为，
∴x表示买鸡的人数，y表示鸡的钱数.
故答案为：D.
【分析】根据“每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱”，结合所列方程组，即可找出x，y的含义.
5．（2025七下·瑞安期中）如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设苹果的质量为，每个梨的质量为，
则根据题意得：
故答案为：D.
【分析】 根据图中天平平衡建立方程组，即可得出答案.
6．（2022七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）.
A．不论k取什么实数，的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当时，
D．当，方程组的解也是方程的解
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，解得：，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立；
B选项，，解得，存在这样的实数k，成立；
C选项，，解得，成立；
D选项，当时，，则，不成立；
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法求出方程组的解，再求出x+3y的值，可对A作出判断；再代入求出x+y的值，可对B作出判断；利用Y-x=-1，可得到关于k的方程，解方程求出k的值，可对C作出判断；由k=0可得到方程组的解，将方程组的解代入求出x-2y的值，据此可对D作出判断.
7．（2021七下·萧山期中）已知关于 ， 的方程组 ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当 每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①+②得，
x+my+mx-y=9+m
x-y-9+mx+my-m=0
x-y-9+m（x+y-1）=0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
∴ ，解得： ，
所以这个公共解为 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意 将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程x-y-9+m（x+y-1）=0，由于这些方程有一个公共解，与m的取值无关，则可得到一个新的方程组： ，然后解此二元一次方程即可.
8．（2019七下·余杭期末）小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解设签字笔单价为a ，笔记本的单价为b，他身上带的钱为m， 则m=20a+15b-25， m=19a+13b+15；
20a+15b-25=19a+13b+15， 得a+2b=40， 则17a+9b=19a+13b-2a-4b=m-15-2(a+2b)=m-15-80=m-95；
故答案为：B
【分析】本题需设几个未知量，但设而不求，用整体变形和代换求出具体数据，这是很实用的一种方法。
9．如果
是方程组
的解，那么，下列各式中成立的是（ ）
A．a+4c=2 B．4a+c=2 C．a+4c+2=0 D．4a+c+2=0
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】把
代入方程组
可得：
即a=2b；
b+2c+1=0①
①×2得：2b+4c+2=0；
把a=2b代入得：a+4c+2=0，
故选：C
【分析】把
代入方程组
可得：a、b、c之间的关系，再整理可得答案．
10．若方程组的解是则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解是.
∴方程组可以变形为：
∴
∴
故答案为：A.
【分析】把第二个方程组变形为的形式，这样就与第一个方程组有相同的形式了。因为第一个方程组的解是，所以，解出即为第二个方程组的解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·上城期末） 在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式： ．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由 得：
故答案为： .
【分析】直接把b看成未知数，解方程即可.
12．（2025七下·新昌期末） 已知二元一次方程组，则的值为 .
【答案】2026
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：2x+9y=11，
故答案为：2026.
【分析】方程组中两方程相减即可求出所求式子的值.
13．（2025七下·宁海期中） 如果二元一次方程组的解为，则 .
【答案】5
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将代入，得，解得.
即 .
所以.
所以.
故答案为：5.
【分析】原方程组中含有，不涉及△和□，因此可通过代入解得出，也就得到△，然后代入x、y值到即可求出□.
14．（2025七下·杭州月考）关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】13
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，x-y=a-1，
∵ x-y=12，
∴ a-1=12，即a=13.
故答案为：13.
【分析】利用两个二元一次方程组求差，从而可得a的值.
15．甲、乙两班为运动会订购一批啦啦球，甲班开始订购的啦啦球数量是乙班订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲班决定把自己所订购的啦啦球数量转让7个给乙班，但由于商家失误，寄来的啦啦球总数比甲、乙两班所定购的总数少了七个，最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍，那么甲、乙两班最后所得的啦啦球总数最多是
【答案】105
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，
由题意得
整理得x-12y=21，
∴x=12y+21，
∴当y=7时，x的最大值为105.
故答案为：105.
【分析】设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，根据题意分别表示出甲乙两班最后所购啦啦球的数量，从而根据“最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍”列出方程，用含y的式子表示出x，再根据y的取值范围即可得出答案.
16．（2017七下·温州期中）如图，长方形ABCD中放入一个边长为10的的正方形AEFG，和两个边长都为5的正方形CHIJ及正方形DKMN. ， ， 表示对应阴影部分的面积，若 ，且AD，AB的长为整数，则 的值是 ．
【答案】2或3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解 ：设
则
当 时，
当 时，
综上述，
【分析】设 E B = N H = a ， B J = b 根据线段的和差则K G = 10 b ， D G = b 5 ，根据矩形的面积公式得出S 1 = a b ， S 2 = ( 5 a ) ( 10 b ) ， S 3 = a ( b 5 ) ，再根据S3 S1=2S2，采用整体代入，得出一个关于a，b的二元一次方程，然后根据AD，AB的长为整数，及5-a＞0，10-b＞0，a＞0，b＞0；从而得出a的值，进一步得出b的值，从而得出S2的值。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025七下·余姚期中） 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：①×5，得③
②+③，得
解得
将代入①，得
解得
∴方程组的解为
（2）解：整理方程组得
①×2-②得2x-12y-(2x-y)=-2-9
-11y=-11
y=1
将y=1代入得x-6=-1
x=5
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 (1)、 采用加减消元法求解.将第一个方程乘5与第二个方程相加消去y，得到关于x的等式，解出x，再将x代入第一个方程解y即可；
(2)、 采用代入消元法. 方程组含有分式，先化简方程，将分式方程转化为整式方程，进而化出x =6y-1，代入第二个方程即可解出y.
18．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x-y=0，求m的值.
（3）若方程组无解，求m的值.
（4）无论实数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解.
【答案】（1）解：或
（2）解：若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：
解得：
把代入2x-2y+my+8=0中得：m=-4.
∴m的值为-4.
（3）解：关于x、y的二元一次方程组可整理为
①-②得：（3-m）y=14，
∴当m=3时，方程组无解
（4）解：∵2x-2y+my+8=2x+（m-2）y+8=0，
∴当y=0时，x=-4，
∴无论实数m取何值，方程总有一个固定的解为
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由方程2x+y-6=0得：2x=6-y.由题意得，x、y都是正整数，
∴y为偶数且6-y>0.
∴当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；
∴方程2x+y-6=0的正整数解为：
或
【分析】（1）先把由方程2x+y-6=0变形得：2x=6-y.再由题意得，x、y都是正整数，所以y为偶数且6-y>0.再逐步讨论：当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；即为所求.
（2）若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：解出方程组：再把代入2x-2y+my+8=0中即求出m的值.
（3）可整理为，①-②得：（3-m）y=14，所以只有当m=3时，方程组无解.（4）2x-2y+my+8=0可变形为2x+（m-2）y+8=0，所以只有当y=0时，x=-4时无论实数m取何值，方程才总有一个固定的解，这个固定的解为.
19．通过一次对某校七年级学生的问卷调查，得到如下统计图。已知最喜爱观看文艺节目的人数比最喜爱观看新闻节目的人数多48人，则最喜爱观看文艺节目、新闻节目的各有多少人 接受问卷调查的学生共有多少人
【答案】解：设最喜爱观看文艺节目的有x人，最喜爱观看新闻节目的有人.
由题意，得解得
所以总人数为.
答：最喜爱观看文艺节目的有240人，最喜爱观看新闻节目的有192人；接受问卷调查的学生共有720人.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】设最喜爱观看文艺节目的有x人，最喜爱观看新闻节目的有人，根据“ 最喜爱观看文艺节目的人数比最喜爱观看新闻节目的人数多48人 ”，可列方程，根据等量关系，可列方程，然后联合求解出最喜爱观看文艺节目的人数以及最喜爱观看新闻节目的人数，最后用最喜爱观看文艺节目的人数除以占比即可计算出总调查人数.
20．（2025七下·温州期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费。下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.50
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50
超过30吨的部分 3.00 0.50
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元。
（1）求a，b的值。
（2）如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨
（3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨。（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【答案】（1）解：由题意，得
解得
（2）解：由题意可知，1.5+0.5=2(元)，2.5+0.5=3(元)，3.00+0.5=3.5(元)。
设小王家这个月用水x 吨，
由题意，得2×17+3×(30-17)+(x-30)×3.5=108，
解得x=40。
答：小王家这个月用水40吨。
（3）解：设11月份用水m 吨，则10月份用水(52-m)吨。
①当0≤m≤17，
可得 2m+[73+3.5(52-m-30)](1+2%)=132.59，
解得m=13 ；
②当17可得34+3(m-17)+[73+3.5(52-m-30)](1+2%)=132.59，
解得m= (舍去)。
即小王家11月份用水13吨。
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】(1)根据“小王家2024年7月用水15吨， 交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设小王家这个月用水x吨，根据小王家9月份上交水费108元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(3)设小王家11月份用水y吨，则小王家10月份用水 吨， 分 及1721． 阅读并解答： 对于方程组 不妨设 ， 则原方程组就变成以 为未知数的方程组 解得 从而求得原方程组的解是 这种解法称之为换元法．
用换元法解方程组
【答案】解：设 ， 则原方程组可变形为
用加减消元法解得
则 解得 故原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】设 ， 将原方程组变形为 再通过加减消元法解得m、n的值，进而得到方程组再次通过加减消元法解得x、y的值.
22．（2025七下·慈溪期末） 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.
（1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒.
（2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步
由题意可得
因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍，
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据“A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型机器人走m步，B型机器人走n步，根据总路程为30米（即3000厘米），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出m，n的值，再将其代入（0.8m＋0.75n）中，即可求出结论．
23．已知关于 的方程组 ， 其中 是实数．
（1） 若 ， 求 的值．
（2） 若方程组的解也是方程 的一个解， 求 的值．
（3） 求 为何值时， 代数式 的值与 的取值无关， 始终是一个定值，求出这个定值．
【答案】（1）解：∵x=y，x-y=2a+1，
∴2a+1=0，
∴a=-.
（2）解：
①×3+②，得：x=3a-1，
把x=3a-1代入①得：y=a-2.
∴方程组的解是：，
把代入x-5y=3，得3a-1-5a+10=3，
解得：a=3.
∴（a-4）2023=（3-4）2023=-1.
（3）解：∵x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
∴当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
当k=6时，x2-kxy+9y2=x2-6xy+9y2=（x-3y）2，
∵，
∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5，
∴（x-3y）2=52=25.
∴此时定值为25.
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由x=y，x-y=2a+1，可以求出2a+1=0，a=-.
（2）把a看作是数字，解方程组得：，然后把代入x-5y=3，得3a-1-5a+10=3，解得：a=3.再把a=3代入代数式（a-4）2023求出值即可.
（3）通过观察分析可知，当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，所以当k=6时，x2-kxy+9y2=x2-6xy+9y2=（x-3y）2。因为，所以可得x-3y=3a-1-3（a-2）=5，所以（x-3y）2=52=25.所以此时定值为25.
24．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪 根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
1 / 1浙教版 数学七年级下册第2章 二元一次方程组 培优检测卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·嘉兴期末） 下列方程属于二元一次方程的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2025七下·临平月考）已知是方程的一个解，则常数的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·杭州月考）若x，y满足方程组，则的值为（ ）
A．17 B．9 C．21 D．7
4．（2025七下·温州期末）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱.问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中x表示的是（ ）
A．鸡的数量 B．鸡的单价
C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数
5．（2025七下·瑞安期中）如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（ ）。
A． B．
C． D．
6．（2022七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）.
A．不论k取什么实数，的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当时，
D．当，方程组的解也是方程的解
7．（2021七下·萧山期中）已知关于 ， 的方程组 ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当 每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019七下·余杭期末）小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
9．如果
是方程组
的解，那么，下列各式中成立的是（ ）
A．a+4c=2 B．4a+c=2 C．a+4c+2=0 D．4a+c+2=0
10．若方程组的解是则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·上城期末） 在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式： ．
12．（2025七下·新昌期末） 已知二元一次方程组，则的值为 .
13．（2025七下·宁海期中） 如果二元一次方程组的解为，则 .
14．（2025七下·杭州月考）关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
15．甲、乙两班为运动会订购一批啦啦球，甲班开始订购的啦啦球数量是乙班订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲班决定把自己所订购的啦啦球数量转让7个给乙班，但由于商家失误，寄来的啦啦球总数比甲、乙两班所定购的总数少了七个，最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍，那么甲、乙两班最后所得的啦啦球总数最多是
16．（2017七下·温州期中）如图，长方形ABCD中放入一个边长为10的的正方形AEFG，和两个边长都为5的正方形CHIJ及正方形DKMN. ， ， 表示对应阴影部分的面积，若 ，且AD，AB的长为整数，则 的值是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025七下·余姚期中） 解方程组：
（1）
（2）
18．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x-y=0，求m的值.
（3）若方程组无解，求m的值.
（4）无论实数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解.
19．通过一次对某校七年级学生的问卷调查，得到如下统计图。已知最喜爱观看文艺节目的人数比最喜爱观看新闻节目的人数多48人，则最喜爱观看文艺节目、新闻节目的各有多少人 接受问卷调查的学生共有多少人
20．（2025七下·温州期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费。下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.50
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50
超过30吨的部分 3.00 0.50
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元。
（1）求a，b的值。
（2）如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨
（3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨。（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
21． 阅读并解答： 对于方程组 不妨设 ， 则原方程组就变成以 为未知数的方程组 解得 从而求得原方程组的解是 这种解法称之为换元法．
用换元法解方程组
22．（2025七下·慈溪期末） 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.
（1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
23．已知关于 的方程组 ， 其中 是实数．
（1） 若 ， 求 的值．
（2） 若方程组的解也是方程 的一个解， 求 的值．
（3） 求 为何值时， 代数式 的值与 的取值无关， 始终是一个定值，求出这个定值．
24．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪 根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、2x+3=0，只有一个未知数，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、符合二元一次方程的定义，选项说法正确，符合题意；
C、只要有1个未知数，未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；
D、分母有未知数，选项说法错误，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵x、y是方程的一个解，
∴把代入方程中，
得，
解得，
故选：D．
【分析】熟知方程的解的定义是解题的关键，二元一次方程解的定义是：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.将方程的解代入方程中，得到一个关于未知数m的一元一次方程，然后求解这个方程即可得到m的值．
3．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：
故答案为：A．
【分析】观察方程组中两个方程未知数x、y的系数特点，可得将两个方程相加即可求解．
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： ∵每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱，且所列方程组为，
∴x表示买鸡的人数，y表示鸡的钱数.
故答案为：D.
【分析】根据“每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱”，结合所列方程组，即可找出x，y的含义.
5．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设苹果的质量为，每个梨的质量为，
则根据题意得：
故答案为：D.
【分析】 根据图中天平平衡建立方程组，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，解得：，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立；
B选项，，解得，存在这样的实数k，成立；
C选项，，解得，成立；
D选项，当时，，则，不成立；
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法求出方程组的解，再求出x+3y的值，可对A作出判断；再代入求出x+y的值，可对B作出判断；利用Y-x=-1，可得到关于k的方程，解方程求出k的值，可对C作出判断；由k=0可得到方程组的解，将方程组的解代入求出x-2y的值，据此可对D作出判断.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①+②得，
x+my+mx-y=9+m
x-y-9+mx+my-m=0
x-y-9+m（x+y-1）=0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
∴ ，解得： ，
所以这个公共解为 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意 将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程x-y-9+m（x+y-1）=0，由于这些方程有一个公共解，与m的取值无关，则可得到一个新的方程组： ，然后解此二元一次方程即可.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解设签字笔单价为a ，笔记本的单价为b，他身上带的钱为m， 则m=20a+15b-25， m=19a+13b+15；
20a+15b-25=19a+13b+15， 得a+2b=40， 则17a+9b=19a+13b-2a-4b=m-15-2(a+2b)=m-15-80=m-95；
故答案为：B
【分析】本题需设几个未知量，但设而不求，用整体变形和代换求出具体数据，这是很实用的一种方法。
9．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】把
代入方程组
可得：
即a=2b；
b+2c+1=0①
①×2得：2b+4c+2=0；
把a=2b代入得：a+4c+2=0，
故选：C
【分析】把
代入方程组
可得：a、b、c之间的关系，再整理可得答案．
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解是.
∴方程组可以变形为：
∴
∴
故答案为：A.
【分析】把第二个方程组变形为的形式，这样就与第一个方程组有相同的形式了。因为第一个方程组的解是，所以，解出即为第二个方程组的解.
11．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由 得：
故答案为： .
【分析】直接把b看成未知数，解方程即可.
12．【答案】2026
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：2x+9y=11，
故答案为：2026.
【分析】方程组中两方程相减即可求出所求式子的值.
13．【答案】5
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将代入，得，解得.
即 .
所以.
所以.
故答案为：5.
【分析】原方程组中含有，不涉及△和□，因此可通过代入解得出，也就得到△，然后代入x、y值到即可求出□.
14．【答案】13
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，x-y=a-1，
∵ x-y=12，
∴ a-1=12，即a=13.
故答案为：13.
【分析】利用两个二元一次方程组求差，从而可得a的值.
15．【答案】105
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，
由题意得
整理得x-12y=21，
∴x=12y+21，
∴当y=7时，x的最大值为105.
故答案为：105.
【分析】设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，根据题意分别表示出甲乙两班最后所购啦啦球的数量，从而根据“最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍”列出方程，用含y的式子表示出x，再根据y的取值范围即可得出答案.
16．【答案】2或3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解 ：设
则
当 时，
当 时，
综上述，
【分析】设 E B = N H = a ， B J = b 根据线段的和差则K G = 10 b ， D G = b 5 ，根据矩形的面积公式得出S 1 = a b ， S 2 = ( 5 a ) ( 10 b ) ， S 3 = a ( b 5 ) ，再根据S3 S1=2S2，采用整体代入，得出一个关于a，b的二元一次方程，然后根据AD，AB的长为整数，及5-a＞0，10-b＞0，a＞0，b＞0；从而得出a的值，进一步得出b的值，从而得出S2的值。
17．【答案】（1）解：①×5，得③
②+③，得
解得
将代入①，得
解得
∴方程组的解为
（2）解：整理方程组得
①×2-②得2x-12y-(2x-y)=-2-9
-11y=-11
y=1
将y=1代入得x-6=-1
x=5
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 (1)、 采用加减消元法求解.将第一个方程乘5与第二个方程相加消去y，得到关于x的等式，解出x，再将x代入第一个方程解y即可；
(2)、 采用代入消元法. 方程组含有分式，先化简方程，将分式方程转化为整式方程，进而化出x =6y-1，代入第二个方程即可解出y.
18．【答案】（1）解：或
（2）解：若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：
解得：
把代入2x-2y+my+8=0中得：m=-4.
∴m的值为-4.
（3）解：关于x、y的二元一次方程组可整理为
①-②得：（3-m）y=14，
∴当m=3时，方程组无解
（4）解：∵2x-2y+my+8=2x+（m-2）y+8=0，
∴当y=0时，x=-4，
∴无论实数m取何值，方程总有一个固定的解为
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由方程2x+y-6=0得：2x=6-y.由题意得，x、y都是正整数，
∴y为偶数且6-y>0.
∴当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；
∴方程2x+y-6=0的正整数解为：
或
【分析】（1）先把由方程2x+y-6=0变形得：2x=6-y.再由题意得，x、y都是正整数，所以y为偶数且6-y>0.再逐步讨论：当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；即为所求.
（2）若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：解出方程组：再把代入2x-2y+my+8=0中即求出m的值.
（3）可整理为，①-②得：（3-m）y=14，所以只有当m=3时，方程组无解.（4）2x-2y+my+8=0可变形为2x+（m-2）y+8=0，所以只有当y=0时，x=-4时无论实数m取何值，方程才总有一个固定的解，这个固定的解为.
19．【答案】解：设最喜爱观看文艺节目的有x人，最喜爱观看新闻节目的有人.
由题意，得解得
所以总人数为.
答：最喜爱观看文艺节目的有240人，最喜爱观看新闻节目的有192人；接受问卷调查的学生共有720人.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】设最喜爱观看文艺节目的有x人，最喜爱观看新闻节目的有人，根据“ 最喜爱观看文艺节目的人数比最喜爱观看新闻节目的人数多48人 ”，可列方程，根据等量关系，可列方程，然后联合求解出最喜爱观看文艺节目的人数以及最喜爱观看新闻节目的人数，最后用最喜爱观看文艺节目的人数除以占比即可计算出总调查人数.
20．【答案】（1）解：由题意，得
解得
（2）解：由题意可知，1.5+0.5=2(元)，2.5+0.5=3(元)，3.00+0.5=3.5(元)。
设小王家这个月用水x 吨，
由题意，得2×17+3×(30-17)+(x-30)×3.5=108，
解得x=40。
答：小王家这个月用水40吨。
（3）解：设11月份用水m 吨，则10月份用水(52-m)吨。
①当0≤m≤17，
可得 2m+[73+3.5(52-m-30)](1+2%)=132.59，
解得m=13 ；
②当17可得34+3(m-17)+[73+3.5(52-m-30)](1+2%)=132.59，
解得m= (舍去)。
即小王家11月份用水13吨。
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】(1)根据“小王家2024年7月用水15吨， 交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设小王家这个月用水x吨，根据小王家9月份上交水费108元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(3)设小王家11月份用水y吨，则小王家10月份用水 吨， 分 及1721．【答案】解：设 ， 则原方程组可变形为
用加减消元法解得
则 解得 故原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】设 ， 将原方程组变形为 再通过加减消元法解得m、n的值，进而得到方程组再次通过加减消元法解得x、y的值.
22．【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒.
（2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步
由题意可得
因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍，
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据“A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型机器人走m步，B型机器人走n步，根据总路程为30米（即3000厘米），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出m，n的值，再将其代入（0.8m＋0.75n）中，即可求出结论．
23．【答案】（1）解：∵x=y，x-y=2a+1，
∴2a+1=0，
∴a=-.
（2）解：
①×3+②，得：x=3a-1，
把x=3a-1代入①得：y=a-2.
∴方程组的解是：，
把代入x-5y=3，得3a-1-5a+10=3，
解得：a=3.
∴（a-4）2023=（3-4）2023=-1.
（3）解：∵x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
∴当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
当k=6时，x2-kxy+9y2=x2-6xy+9y2=（x-3y）2，
∵，
∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5，
∴（x-3y）2=52=25.
∴此时定值为25.
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由x=y，x-y=2a+1，可以求出2a+1=0，a=-.
（2）把a看作是数字，解方程组得：，然后把代入x-5y=3，得3a-1-5a+10=3，解得：a=3.再把a=3代入代数式（a-4）2023求出值即可.
（3）通过观察分析可知，当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，所以当k=6时，x2-kxy+9y2=x2-6xy+9y2=（x-3y）2。因为，所以可得x-3y=3a-1-3（a-2）=5，所以（x-3y）2=52=25.所以此时定值为25.
24．【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
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