浙教版数学七年级下册第2章 二元一次方程组 提高检测卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·德清期中） 下列各等式是二元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·温州期中） 已知是关于 x，y 的二元一次方程 的一个解，则 m 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．7 D．-7
3．（2025七下·龙泉期中）下列选项中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·宁波期中）已知x，y满足方程组则无论取何值，x，y恒有的关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·杭州期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”。诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ）
甲：设客房有间，则；乙：设客人有人，则；
丙：设客房有间，客人有人，则。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2024七下·滨江期末）若是二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·诸暨期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程x+y=2，则k的值为（ ）
A．3 B．3.5 C．4.5 D．5
9．（2024七下·鄞州期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ）
的解 的解
0 1 … 1 5 …
6 4 2 … 3 2 0 …
A． B． C． D．
10．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④当方程组的解x，y都为自然数时，则有唯一值为0；
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·义乌月考）已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则 .
12．（2025七下·南湖期中）已知，则 时，它是关于的二元一次方桯．
13． 若则x-y的值为 .
14．（2025七下·滨江期末） 已知，其中m，n为互不相等实数，且满足，则 ．（结果用只含a的代数式表示）
15．（2025七下·杭州期末） 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ．
16．（2025七下·杭州月考）已知关于x，y的方程组，现给出以下结论：①是该方程组的一个解；②无论a取何值，x+y的值始终是一个定值；③当a＝1时，该方程组的解也是方程的解；④若x2﹣y2＝4，则a＝﹣3．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025七下·杭州期中）解方程组：
（1）
（2）
18．（2025七下·临平月考）已知代数式．当时，它的值是6；当时，它的值是．
（1）求的值；
（2）若该代数式的值是，用含的代数式表示．
19．（2024七下·西湖月考）若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
20．（2025七下·浦江月考）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价 售价
A款 m元 120元
B款 n元 90元
若商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；
该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
21．（2024七下·西湖月考）在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形，其中
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求阴影部分图形的总面积
22．（2025七下·瑞安期中）综合与实践
素材1：学校组织爱心义卖，七年级（1）班选定一家商店采购义卖商品。该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元。
素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠。
方案二 购买玩偶满50个，立减10元。
问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？
问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？
问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案。
23．（2025七下·西湖月考）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______．
（2）若方程中x，y的值满足表：
x 0
y 0 2
求方程的共轭二元一次方程．
（3）若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系．
24．（2025七下·瑞安期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。
（1）填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）
（2）某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。
（3）某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，只含有1个未知数，是一元一次方程，故选项A不符合题意；
B、，含x的项的最高次数是2，是二元二次方程，故选项B不符合题意；
C、，含x的项是分式，是分式方程，故选项C不符合题意；
D、，是二元一次方程，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此对各个选项进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
∵是关于x，y的二元一次方程mx+3y=5的一个解，
∴将x=-2，y=3代入，得-2m+3×3=5，
解得：m=2．
故答案为：A.
【分析】 根据题意，把x=-2，y=3代入方程mx+3y=5求解即可.
3．【答案】C
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入各个方程组，
可知刚好满足条件.
故答案为：C.
【分析】在求解时，可以将代入方程，同时满足的就是答案.
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得，
.
故答案为：C.
【分析】利用加减消元法将两式相加消去m，即可得到.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：若设客房有间，可得：7x+7=9（x-1），∴甲是正确的；
若设客人有人，可得：，∴乙是错误的；
若设 客房有间，客人有人 ，则.∴丙是错误的.
∴正确答案有2个.
故答案为：C.
【分析】若设客房有间，根据客人人数相等可得：7x+7=9（x-1）；若设客人有人，根据 空出一间客房 。可知住人的房间比实际房间少一间。可得：；若设 客房有间，客人有人 ，根据 每一间客房住7人的客人人数和总人数相等和 每一间客房住9人的客人人数和总人数相等分别列方程，则。即可得出正确结论.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，即，
∴，
故选：A．
【分析】将x与y的值代入原方程得到 ，然后整体代入计算解题．
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解原方程组得：
则
解得：
故答案为：C.
【分析】利用加减消元法得到进而即可得到解此方程即可求解.
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由表格知，与有一组公共解为，
∴ 二元一次方程组的解为，
故选：A．
【分析】根据二元一次方程组的解，即为两个方程的公共解，即可求得.
10．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，4y=4-4a，
解得y=1-a，
将y=1-a代入②中得，x=2a+1，
则方程组的解为：，
① 当方程组的解x，y的值互为相反数时，
则x+y=0，即2a+1+1-a=0，
解得a=-2，故①正确；
② 当时，则方程组的解为：，
则x+y=3，
故②正确；
③x+2y=2a+1+2（1-a）=3，
∴ 无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④∵方程组的解x，y都为自然数，
∴方程组的自然数的解是，，
则a的值为1或0，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③；
故答案为：B.
【分析】先解出方程组，得出x，y的值用含a表示，再根据题意逐一验证即可.
11．【答案】2y-1
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项，得x=2y-1.
故答案为：2y-1.
【分析】将方程中的x单独分离出来，用y的表达式代替.
12．【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由 是关于x，y的二元一次方程，得
解得
故答案为：1.
【分析】根据二元一次方程符合的三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程解答即可.
13．【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴x-y=1-2=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可求出x、y的值，然后代入x-y计算即可求解.
14．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得(
∵m，n为互不相等实数，
故答案为：
【分析】方程组中的两个方程相减，再利用等式的基本性质得结论.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：方法一：将代入，解得
将代入，化简得，解得
方法二：将转化为，化简得，因此，由题意得，解得
故答案为：.
【分析】方法一直接代入计算，利用已知方程组的解求出参数m、n，再代入新方程组求解，计算过程较为复杂。方法二将第二个方程组整理成与第一个方程组类似的结构，利用已知的a、b的值求出x、y的值。
16．【答案】①②③
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①×2得，2x+4y=2-2a③，
②+③3x+3y=2，
则，
故②正确；
将，y=0分别代入x+y中，即，故①正确；
当a=1时，，故③正确；
若x2-y2=4，则(x+y)(x-y)=4，
即，
故2a=6，
解得：a=3，
故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】先利用加减消元消掉a，进而得出答案.
17．【答案】（1）解：把①代入②，得：y=.
把y=代入①，得：x=.
∴此方程组的解是：
（2）解：设x+y=a， x-y=b， 原方程组可变形为：
①×4+②×3，得：a=1，
把a=1代入②，得：b=1.
∴
③+④，得：x=1，
把x=1代入③得：y=0.
∴原方程组的解是
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把方程①代入方程②，求出y的值；再把y的值代入①求出x的值，即可得到方程组的解.
（2）此方程组比较复杂，所以设x+y=a， x-y=b， 原方程组可变形为：，解出此方程组，求出a、b的值。进而可以得到方程组，再次解此方程组，即可得出原方程组的解.
18．【答案】（1）解：已知当时，kx+b的值是6，可得3k+b=6；
当时，kx+b的值是，可得-k+b=-8；
联立方程组，
①-②，得(3k+b)-(-k+b)=6-(-8)
k=
将k=代入②，得b=-
所以
（2）解：由（1）可知 k=，b=-，则代数式为x-；
因为该代数的值是；
所以；
等式两边同时乘以2去分母得：7x-9=2m；
等式两边同时加9得：7x=2m+9；
等式两边同时除以7得：
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由已知条件可得关于k，b的方程组，①-②消元求出k值，代入②可得b值；
（2）由（1）得k、b的值代入代数式，根据代数式的值为m，得，求出x．
（1）解：因为时，它的值是6；当时，它的值是，
所以，
解得；
（2）解：因为该代数的值是，
所以，
解得
19．【答案】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴的解也是方程和方程组的解，
①+②得，
解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．
（2）由（1）得两个方程组的解为，
把，代入，
得，
解得．
故a的值是，b的值是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）由题意得同解方程，解方程组即可解答．
（2）首先把解代入两个方程组并联立两个方程组可得含a、b的同解方程组，求解即可．
20．【答案】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
答：的值为80，的值为60；
（2）解：根据题意得，
∴，
∴（元）
答：该商场可获利元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，列出二元一次方程组求解；
（2）根据“购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元”，列出二元一次方程，根据为正整数，求出的值，再列式计算即可解答．
（1）解：根据题意得：
，
解得：，
答：的值为80，的值为60；
（2）解：根据题意得，即，
∴（元）
答：该商场可获利元．
21．【答案】解：（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得
，
解得
，
答：小长方形的长为4cm，宽为1cm；
（2）5×7-5×1×4=15cm2．
答：阴影部分图形的总面积15cm2．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由大长方形的长BC=小长方形的长+3个小长方形的宽及大长方形的宽AB=小长方形的长+小长方形宽列方程组求解即可；
（2）用大长方形的面积减去5个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积．
22．【答案】问题1：（元）
问题2：解：设购买钥匙扣个，玩偶个，
由题意，得，
解得。
答：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个。
问题3：解：设购买钥匙扣个，玩偶个，
由题意得，，
则。
方案一：当时，；
方案二：当时，；
方案三：当时，。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题1：利用总价=单价×数量，即可求出结论；
问题2：设购买钥匙扣x个，玩偶y个，利用总价=单价×数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解出答案即可得出结论；
问题3：设购买钥匙扣a(a>30)个，玩偶b(6 ≥ 50)个，利用总价=单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a，b均为正整数，且a>30，b≥50”，即可得出各购买方案.
23．【答案】（1），
（2）解：由题意，代入得，解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是。
（3）解：；理由如下：
将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】二元一次方程的概念；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
故答案为：（1），。
【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）首先根据共轭二元一次方程和共轭方程组的特点，发现第一个方程x的系数是第二个方程y的系数，并且是1；而第一个方程y的系数是第二个方程x的系数；并且等式右边都是相同的数。这样列式计算即可；
（2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
（3）将解代入共轭方程组中，得出，然后列出进行变形，即可得出m和n的关系。
（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
（2）解：由题意得，
解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）解：；
理由：将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
24．【答案】（1）40；（8x-16）
（2）解：m列2层空心方阵人数：8m-16
n列3层空心方阵人数：8n-16+4(n-4)-4=12n-36.
根据题意可列出方程组，解得
（3）48
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）7列2层空心方阵中，外层有24人，第二层有16人，合共40人；
x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，合共人.
故答案为：40、；
（3）若排列成m列3层空心方阵，总人数为12m-36人；
若排列成n列4层空心方阵，总人数为人.
根据题意，有，整理得4n-3m=7（n＞4，m＞3）
当n=5时，m非整数；
当n=6时，m非整数；
当n=7时，m=7.
所以人.
即该代表队至少有48人.
故答案为：48.
【分析】（1）根据图片直接可直接计算7列2层空心方阵总人数；根据图片规律，可得到 x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，然后求和即可；
（2）根据题意列出关于m、n的二元一次方程组并解方程即可；
（3）可先分别表示出m列3层空心方阵、n列4层空心方阵的各自总人数表达式，然后根据条件建立并得到关于m，n的二元一次方程，然后根据m、n的实际意义、取值范围等，得出n的最小值（或m的最小值），然后代入计算出总人数即可.
1 / 1浙教版数学七年级下册第2章 二元一次方程组 提高检测卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·德清期中） 下列各等式是二元一次方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，只含有1个未知数，是一元一次方程，故选项A不符合题意；
B、，含x的项的最高次数是2，是二元二次方程，故选项B不符合题意；
C、，含x的项是分式，是分式方程，故选项C不符合题意；
D、，是二元一次方程，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此对各个选项进行判断即可.
2．（2025七下·温州期中） 已知是关于 x，y 的二元一次方程 的一个解，则 m 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．7 D．-7
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
∵是关于x，y的二元一次方程mx+3y=5的一个解，
∴将x=-2，y=3代入，得-2m+3×3=5，
解得：m=2．
故答案为：A.
【分析】 根据题意，把x=-2，y=3代入方程mx+3y=5求解即可.
3．（2025七下·龙泉期中）下列选项中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入各个方程组，
可知刚好满足条件.
故答案为：C.
【分析】在求解时，可以将代入方程，同时满足的就是答案.
4．（2025七下·宁波期中）已知x，y满足方程组则无论取何值，x，y恒有的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得，
.
故答案为：C.
【分析】利用加减消元法将两式相加消去m，即可得到.
5．（2025七下·杭州期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”。诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ）
甲：设客房有间，则；乙：设客人有人，则；
丙：设客房有间，客人有人，则。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：若设客房有间，可得：7x+7=9（x-1），∴甲是正确的；
若设客人有人，可得：，∴乙是错误的；
若设 客房有间，客人有人 ，则.∴丙是错误的.
∴正确答案有2个.
故答案为：C.
【分析】若设客房有间，根据客人人数相等可得：7x+7=9（x-1）；若设客人有人，根据 空出一间客房 。可知住人的房间比实际房间少一间。可得：；若设 客房有间，客人有人 ，根据 每一间客房住7人的客人人数和总人数相等和 每一间客房住9人的客人人数和总人数相等分别列方程，则。即可得出正确结论.
6．（2024七下·滨江期末）若是二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，即，
∴，
故选：A．
【分析】将x与y的值代入原方程得到 ，然后整体代入计算解题．
7．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
8．（2025七下·诸暨期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程x+y=2，则k的值为（ ）
A．3 B．3.5 C．4.5 D．5
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解原方程组得：
则
解得：
故答案为：C.
【分析】利用加减消元法得到进而即可得到解此方程即可求解.
9．（2024七下·鄞州期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ）
的解 的解
0 1 … 1 5 …
6 4 2 … 3 2 0 …
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由表格知，与有一组公共解为，
∴ 二元一次方程组的解为，
故选：A．
【分析】根据二元一次方程组的解，即为两个方程的公共解，即可求得.
10．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④当方程组的解x，y都为自然数时，则有唯一值为0；
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得，4y=4-4a，
解得y=1-a，
将y=1-a代入②中得，x=2a+1，
则方程组的解为：，
① 当方程组的解x，y的值互为相反数时，
则x+y=0，即2a+1+1-a=0，
解得a=-2，故①正确；
② 当时，则方程组的解为：，
则x+y=3，
故②正确；
③x+2y=2a+1+2（1-a）=3，
∴ 无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④∵方程组的解x，y都为自然数，
∴方程组的自然数的解是，，
则a的值为1或0，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③；
故答案为：B.
【分析】先解出方程组，得出x，y的值用含a表示，再根据题意逐一验证即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·义乌月考）已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则 .
【答案】2y-1
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项，得x=2y-1.
故答案为：2y-1.
【分析】将方程中的x单独分离出来，用y的表达式代替.
12．（2025七下·南湖期中）已知，则 时，它是关于的二元一次方桯．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由 是关于x，y的二元一次方程，得
解得
故答案为：1.
【分析】根据二元一次方程符合的三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程解答即可.
13． 若则x-y的值为 .
【答案】-1
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴x-y=1-2=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可求出x、y的值，然后代入x-y计算即可求解.
14．（2025七下·滨江期末） 已知，其中m，n为互不相等实数，且满足，则 ．（结果用只含a的代数式表示）
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得(
∵m，n为互不相等实数，
故答案为：
【分析】方程组中的两个方程相减，再利用等式的基本性质得结论.
15．（2025七下·杭州期末） 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：方法一：将代入，解得
将代入，化简得，解得
方法二：将转化为，化简得，因此，由题意得，解得
故答案为：.
【分析】方法一直接代入计算，利用已知方程组的解求出参数m、n，再代入新方程组求解，计算过程较为复杂。方法二将第二个方程组整理成与第一个方程组类似的结构，利用已知的a、b的值求出x、y的值。
16．（2025七下·杭州月考）已知关于x，y的方程组，现给出以下结论：①是该方程组的一个解；②无论a取何值，x+y的值始终是一个定值；③当a＝1时，该方程组的解也是方程的解；④若x2﹣y2＝4，则a＝﹣3．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①×2得，2x+4y=2-2a③，
②+③3x+3y=2，
则，
故②正确；
将，y=0分别代入x+y中，即，故①正确；
当a=1时，，故③正确；
若x2-y2=4，则(x+y)(x-y)=4，
即，
故2a=6，
解得：a=3，
故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】先利用加减消元消掉a，进而得出答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025七下·杭州期中）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：把①代入②，得：y=.
把y=代入①，得：x=.
∴此方程组的解是：
（2）解：设x+y=a， x-y=b， 原方程组可变形为：
①×4+②×3，得：a=1，
把a=1代入②，得：b=1.
∴
③+④，得：x=1，
把x=1代入③得：y=0.
∴原方程组的解是
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把方程①代入方程②，求出y的值；再把y的值代入①求出x的值，即可得到方程组的解.
（2）此方程组比较复杂，所以设x+y=a， x-y=b， 原方程组可变形为：，解出此方程组，求出a、b的值。进而可以得到方程组，再次解此方程组，即可得出原方程组的解.
18．（2025七下·临平月考）已知代数式．当时，它的值是6；当时，它的值是．
（1）求的值；
（2）若该代数式的值是，用含的代数式表示．
【答案】（1）解：已知当时，kx+b的值是6，可得3k+b=6；
当时，kx+b的值是，可得-k+b=-8；
联立方程组，
①-②，得(3k+b)-(-k+b)=6-(-8)
k=
将k=代入②，得b=-
所以
（2）解：由（1）可知 k=，b=-，则代数式为x-；
因为该代数的值是；
所以；
等式两边同时乘以2去分母得：7x-9=2m；
等式两边同时加9得：7x=2m+9；
等式两边同时除以7得：
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由已知条件可得关于k，b的方程组，①-②消元求出k值，代入②可得b值；
（2）由（1）得k、b的值代入代数式，根据代数式的值为m，得，求出x．
（1）解：因为时，它的值是6；当时，它的值是，
所以，
解得；
（2）解：因为该代数的值是，
所以，
解得
19．（2024七下·西湖月考）若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
【答案】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴的解也是方程和方程组的解，
①+②得，
解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．
（2）由（1）得两个方程组的解为，
把，代入，
得，
解得．
故a的值是，b的值是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）由题意得同解方程，解方程组即可解答．
（2）首先把解代入两个方程组并联立两个方程组可得含a、b的同解方程组，求解即可．
20．（2025七下·浦江月考）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价 售价
A款 m元 120元
B款 n元 90元
若商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；
该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
【答案】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
答：的值为80，的值为60；
（2）解：根据题意得，
∴，
∴（元）
答：该商场可获利元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，列出二元一次方程组求解；
（2）根据“购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元”，列出二元一次方程，根据为正整数，求出的值，再列式计算即可解答．
（1）解：根据题意得：
，
解得：，
答：的值为80，的值为60；
（2）解：根据题意得，即，
∴（元）
答：该商场可获利元．
21．（2024七下·西湖月考）在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形，其中
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求阴影部分图形的总面积
【答案】解：（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得
，
解得
，
答：小长方形的长为4cm，宽为1cm；
（2）5×7-5×1×4=15cm2．
答：阴影部分图形的总面积15cm2．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由大长方形的长BC=小长方形的长+3个小长方形的宽及大长方形的宽AB=小长方形的长+小长方形宽列方程组求解即可；
（2）用大长方形的面积减去5个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积．
22．（2025七下·瑞安期中）综合与实践
素材1：学校组织爱心义卖，七年级（1）班选定一家商店采购义卖商品。该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元。
素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠。
方案二 购买玩偶满50个，立减10元。
问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？
问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？
问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案。
【答案】问题1：（元）
问题2：解：设购买钥匙扣个，玩偶个，
由题意，得，
解得。
答：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个。
问题3：解：设购买钥匙扣个，玩偶个，
由题意得，，
则。
方案一：当时，；
方案二：当时，；
方案三：当时，。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题1：利用总价=单价×数量，即可求出结论；
问题2：设购买钥匙扣x个，玩偶y个，利用总价=单价×数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解出答案即可得出结论；
问题3：设购买钥匙扣a(a>30)个，玩偶b(6 ≥ 50)个，利用总价=单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a，b均为正整数，且a>30，b≥50”，即可得出各购买方案.
23．（2025七下·西湖月考）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______．
（2）若方程中x，y的值满足表：
x 0
y 0 2
求方程的共轭二元一次方程．
（3）若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系．
【答案】（1），
（2）解：由题意，代入得，解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是。
（3）解：；理由如下：
将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】二元一次方程的概念；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
故答案为：（1），。
【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）首先根据共轭二元一次方程和共轭方程组的特点，发现第一个方程x的系数是第二个方程y的系数，并且是1；而第一个方程y的系数是第二个方程x的系数；并且等式右边都是相同的数。这样列式计算即可；
（2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
（3）将解代入共轭方程组中，得出，然后列出进行变形，即可得出m和n的关系。
（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
（2）解：由题意得，
解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）解：；
理由：将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
24．（2025七下·瑞安期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。
（1）填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）
（2）某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。
（3）某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人。
【答案】（1）40；（8x-16）
（2）解：m列2层空心方阵人数：8m-16
n列3层空心方阵人数：8n-16+4(n-4)-4=12n-36.
根据题意可列出方程组，解得
（3）48
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）7列2层空心方阵中，外层有24人，第二层有16人，合共40人；
x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，合共人.
故答案为：40、；
（3）若排列成m列3层空心方阵，总人数为12m-36人；
若排列成n列4层空心方阵，总人数为人.
根据题意，有，整理得4n-3m=7（n＞4，m＞3）
当n=5时，m非整数；
当n=6时，m非整数；
当n=7时，m=7.
所以人.
即该代表队至少有48人.
故答案为：48.
【分析】（1）根据图片直接可直接计算7列2层空心方阵总人数；根据图片规律，可得到 x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，然后求和即可；
（2）根据题意列出关于m、n的二元一次方程组并解方程即可；
（3）可先分别表示出m列3层空心方阵、n列4层空心方阵的各自总人数表达式，然后根据条件建立并得到关于m，n的二元一次方程，然后根据m、n的实际意义、取值范围等，得出n的最小值（或m的最小值），然后代入计算出总人数即可.
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