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数学七年级下册第1章相交线与平行线
1.4平行线的判定（1）
【知识重点】
1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单地说，同位角相等，两直线平行.
2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
【经典例题】
例题1、如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】解：由作图可得∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
例题2、如图，直线AB，CD被直线EF所截，已知∠1=∠2，下面是证明AB//CD的过程，请补充完成。
证明：因为∠1=∠2(已知)，
∠2=∠3 .
所以 (等量代换)，
所以 ， 。
【答案】对顶角相等；∠1=∠3；AB∥CD；同位角相等， 两直线平行
【解析】【解答】证明：∵∠1=∠2(已知)，
∠2=∠3（对顶角相等） ，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD，同位角相等， 两直线平行，
故答案为：对顶角相等；∠1=∠3；AB∥CD；同位角相等， 两直线平行.
例题1、如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度.
【答案】5
【解析】若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC.
∵OD′∥AC，
∴∠BOD′=∠A=70°.
∴∠DOD′=∠BOD-∠BOD′=75°-70°=5°.
∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度.
故答案为：5.
33．如图，已知∠1=∠2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明理由。
【答案】解： ∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【基础训练】
1．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，理由是( )
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【解析】工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，其理由是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，
故答案为：B.
2．在铺设铁轨时， 两条直轨必须是互相平行的， 如图， 若已经知道 是直角， 再度量图中已标出的某个角， 仍不能判断两条直轨平行， 则该角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、∠1与∠2是邻角，不能判定两条直轨平行，A符合题意；
B、∠2与∠3是同旁内角，同旁内角互补，可判断两条直轨平行，B不符合题意；
C、∠2和∠4是同位角，同位角相等，可判断两条直轨平行，C不符合题意；
D、∠2和∠5是内错角，内错角相等，可判断两条直轨平行，D不符合题意.
故答案为：A.
3．如图所示， ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠1=∠2，
∴AD∥EF.
故答案为：C.
4．斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=83°，这种验证方法依据的基本事实是 。
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】 ∠1=∠2=83°，
∴ 斑马线平行， 这种验证方法依据的基本事实是同位角相等，两直线平行
故答案为：同位角相等，两直线平行
5．如图，请添加一个条件： ，使 DE//BC.
【答案】（ 答案不唯一）
【解析】∵
∴
故答案为：.
6．如图，CD⊥AB，请添加一个条件： ，使得CD∥EF．
【答案】EF⊥AB
【解析】添加EF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AFE=90°，
∴CD∥EF，
故答案为：EF⊥AB
7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 ．
（1）它的理由如下：（如图1）
∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°，
∴b∥c（ ）
（2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？ ．
【答案】平行 ；同位角相等，两条直线平行 ；垂直于同一条直线的两条直线平行
【解析】解：∵在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，∴这两条直线互相平行．
故答案为：平行；
（1）∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°，∴b∥c（同位角相等，两条直线平行）．
故答案为：同位角相等，两条直线平行；
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行，故答案为：垂直于同一条直线的两条直线平行．
8．已知直线AB和直线外一点C(如图)。你能用一把三角尺过点C画AB的平行线吗 如果能，说明方法，并画出图形。
【答案】解：过点先作于点，再作，如图，
∵
∴
∴．
9．如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1=45°，∠1=135° 。判断l1与l2是否平行，并说明理由。
【答案】解： ∵
∴
∵
∴
∴
10．如图，AB⊥EF，CD⊥EF，E，F分别为垂足。直线AB与CD平行吗 请说明理由。
【答案】解：∵
∴
∴
【培优训练】
11． 在一次数学活动课上， 老师让同学们借助一副三角尺画平行线 ． 下图是小楠、小曼两位同学的作法． 关于两位同学的作法， 下面说法正确的是（ ）
A．仅小楠的作法正确 B．仅小曼的作法正确
C． 两位同学的作法都不正确 D．两位同学的作法都正确
【答案】D
【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴AB∥CD
∵∠ABC=∠BCD=90°
∴AB∥CD
∴两位同学的作法都正确
故答案为：D.
12．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=80°，∠2=40°，要使木条a与b平行，木条a需按顺时针方向旋转的最小度数是( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】D
【解析】设顺时针旋转的最小度数为x，
∵
∴要使木条a与b平行，只需
则，
故答案为：D．
13．不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一边相互( )
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．平行或垂直或相交
【答案】A
【解析】结合图形，由平行线的判断定理进行分析．
如图所示：
不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行．
故选：A．
14．如图，直线被所截，有下列条件：①；②；③，其中能判断的条件是
【答案】①
【解析】解答】解：①，
根据同位角相等，两直线平行，
．
故答案为：①.
15．下面是验证纸条两条边线a，b是否平行的不同折叠方式：
①小明：如图①，展开后测得∠1=∠2；
②小丽：如图②，测得∠1=∠2；
③小君：如图③，展开后测得∠1+∠2=180°；
④小晨：如图④，展开后测得∠2=∠4。
其中能判定两条边线a//b的是 (填序号)。
【答案】①②③
【解析】①∵∠1=∠2，
∴a//b，则①符合题意；
②∵∠1=∠2，
∴a//b，则②符合题意；
③∵∠1+∠2=180°，
∴a//b，则③符合题意；
④∵∠4与∠2是两条边线a，b与AB所成的内错角，
∴不能判定a//b，则④不符合题意；
综上所述，其中能判定两条边线a//b的是①②③，
故答案为：①②③.
16．如图， 已知 平分 ， 则 ． 请说明理由．
解： ， 根据 ，
得 ．又 平分 ， 根据 ，
得 °
而 ，
．
根据
．
【答案】解： ， 根据平角的意义
得 ．又 平分 ， 根据角平分线的意义，
得 ，
而 ，
．
根据 同位角相等，两直线平行
．
17． 如图， 点 在同一条直线上， ， 且 分别是 和 的角平分线． 与 平行吗？ 请说明理由．
【答案】解：． 理由如下： 由 分别是 和 的平分线，
∴， ，
∵；∴，
∴
18．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF.
【答案】解：∵ AB⊥BC ，∴∠3+∠4=90°.
∵∠2=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠4 .∴ BE∥DF.
【期末常考】
19．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=68°，∠2=51°，要使木条ａ与b平行，木条ａ需顺时针旋转的度数是（ ）
A．13° B．15° C．17° D．19°
【答案】C
【解析】∵∠1与∠2为同位角，要使木条a与b平行，∠1=∠2才行，
∵∠1=68°，∠2=51°，
顺时针旋转的度数为∠1-∠2=17°.
故选：C.
【课后作业】
1．对于图中标记的各角， 下列条件能够推理得到 的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
A、∵，∴∠1=∠5，∴，故A正确
B、C、D、都得不出
故选A
2．如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中， 不能得到 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、∠1和∠3是对顶角，无法判断a∥b，A符合题意；
B、∠2=∠4，同位角相等，a∥b，B不符合题意；
C、∠3+∠4=180°，∠3+∠2=180°，∠4=∠2，同位角相等，a∥b，C不符合题意；
D、∠1+∠2=180°，∠4=∠2，同位角相等，a∥b，D不符合题意.
故答案为：A.
3．如图所示， ， 有下列结论： ①若 ，则 ；②若 ， 则 ； ③若 ， 则 ； ④若 ， 则 ． 其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【解析】解：，不能判定，故①错误；
，，∴，∴，故②正确；
， 不能判定，故③错误；
，，∴，∴，故④正确.
故答案为：B.
4．如图， 直线 被直线 所截， 若 ， 则直线 与直线 平行．
【答案】a；b
【解析】∵∠1和∠2是由直线d截取两直线a、b所得，且
∴a//b，
故答案为：a；b.
5．如图，直线a、b被c所截，，当 °时，
【答案】50
【解析】 由题意得∠1与∠2是同旁内角，
∴当∠1+∠2=180°时，
∵∠1=130°，
∴当∠2=50°时，
故答案为：50．
6． 如图，AB⊥CD于点B，AE与BF相交于点G，且.∠FGE=60°， ∠ABG=30°。判断AE与CD是否平行，并说明理由。
【答案】解：∵，
∴。
∵，
∴。
∵，
∴，
∴．
7．小王骑自行车从A地出发，沿正东方向前进至B地后，右转15°，沿直线向前骑行到C地(如图)。这时他想仍向正东方向前进，那么他应怎样调整骑行方向 请画出他继续骑行的路线，并说明理由。
【答案】解：在处左转，路线如下图，
∵，
∴．
8．如图， 已知直线 被直线 所截， 且 ， 试判断直线 与 是否平行， 并说明理由．
【答案】解：AB∥CD.理由如下：
∵∠2=60°，∠AHG=∠2，
∴∠AHG=60°，
又∵∠1=60°，
∴∠1=∠AHG，
∴AB∥CD.
9． 如图， 直线 被直线 所截， 为 与 的交点， 于点 ， ． 判断 与 是否平行， 并说明理由．
【答案】解：平行，理由如下：
∵，
∴∠GHD=90°，
∵，
∴∠4=180°-90°-30°=60°，
∵，
∴AB∥CD
10．如图，已知 ．
（1） 吗？ 为什么？
（2） 吗？ 为什么？
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴（同位角相等，两直线平行）
（2）解：，理由如下：
∵
∴∠EAC=∠FBD=90°，
∴∠EAC+∠1=∠FBD+∠2，即∠EAB=∠FBN，
∴（同位角相等，两直线平行）
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数学七年级下册第1章相交线与平行线
1.4平行线的判定（1）
【知识重点】
1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单地说，同位角相等，两直线平行.
2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
【经典例题】
例题1、如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是 ．
例题2、如图，直线AB，CD被直线EF所截，已知∠1=∠2，下面是证明AB//CD的过程，请补充完成。
证明：因为∠1=∠2(已知)，
∠2=∠3 .
所以 (等量代换)，
所以 ， 。
例题3、如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度.
例题4、如图，已知∠1=∠2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明理由。
【基础训练】
1．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，理由是( )
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2．在铺设铁轨时， 两条直轨必须是互相平行的， 如图， 若已经知道 是直角， 再度量图中已标出的某个角， 仍不能判断两条直轨平行， 则该角为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示， ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=83°，这种验证方法依据的基本事实是 。
5．如图，请添加一个条件： ，使 DE//BC.
6．如图，CD⊥AB，请添加一个条件： ，使得CD∥EF．
7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 ．
（1）它的理由如下：（如图1）
∵b⊥a，c⊥a，∴∠1=∠2=90°，
∴b∥c（ ）
（2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？ ．
8．已知直线AB和直线外一点C(如图)。你能用一把三角尺过点C画AB的平行线吗 如果能，说明方法，并画出图形。
9．如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1=45°，∠1=135° 。判断l1与l2是否平行，并说明理由。
10．如图，AB⊥EF，CD⊥EF，E，F分别为垂足。直线AB与CD平行吗 请说明理由。
【培优训练】
11． 在一次数学活动课上， 老师让同学们借助一副三角尺画平行线 ． 下图是小楠、小曼两位同学的作法． 关于两位同学的作法， 下面说法正确的是（ ）
A．仅小楠的作法正确 B．仅小曼的作法正确
C． 两位同学的作法都不正确 D．两位同学的作法都正确
12．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=80°，∠2=40°，要使木条a与b平行，木条a需按顺时针方向旋转的最小度数是( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
13．不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一边相互( )
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．平行或垂直或相交
14．如图，直线被所截，有下列条件：①；②；③，其中能判断的条件是
15．下面是验证纸条两条边线a，b是否平行的不同折叠方式：
①小明：如图①，展开后测得∠1=∠2；
②小丽：如图②，测得∠1=∠2；
③小君：如图③，展开后测得∠1+∠2=180°；
④小晨：如图④，展开后测得∠2=∠4。
其中能判定两条边线a//b的是 (填序号)。
16．如图， 已知 平分 ， 则 ． 请说明理由．
解： ， 根据 ，
得 ．又 平分 ， 根据 ，
得 °
而 ，
．
根据
．
17． 如图， 点 在同一条直线上， ， 且 分别是 和 的角平分线． 与 平行吗？ 请说明理由．
18．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF.
【期末常考】
19．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=68°，∠2=51°，要使木条ａ与b平行，木条ａ需顺时针旋转的度数是（ ）
A．13° B．15° C．17° D．19°
【课后作业】
1．对于图中标记的各角， 下列条件能够推理得到 的是( )
A． B．
C． D．
2．如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中， 不能得到 的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示， ， 有下列结论： ①若 ，则 ；②若 ， 则 ； ③若 ， 则 ； ④若 ， 则 ． 其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．如图， 直线 被直线 所截， 若 ， 则直线 与直线 平行．
5．如图，直线a、b被c所截，，当 °时，
6． 如图，AB⊥CD于点B，AE与BF相交于点G，且.∠FGE=60°， ∠ABG=30°。判断AE与CD是否平行，并说明理由。
7．小王骑自行车从A地出发，沿正东方向前进至B地后，右转15°，沿直线向前骑行到C地(如图)。这时他想仍向正东方向前进，那么他应怎样调整骑行方向 请画出他继续骑行的路线，并说明理由。
8．如图， 已知直线 被直线 所截， 且 ， 试判断直线 与 是否平行， 并说明理由．
9． 如图， 直线 被直线 所截， 为 与 的交点， 于点 ， ． 判断 与 是否平行， 并说明理由．
10．如图，已知 ．
（1） 吗？ 为什么？
（2） 吗？ 为什么？
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