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数学七年级下册第1章相交线与平行线
1.5 平行线的性质（1）
【知识重点】
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说，两直线平行，同位角相等.
【经典例题】
例题1、如图，已知∠1=∠2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明理由。
例题2、已知，如图，、是直线，，，，求证：．
证明：已知
已知
已知
即
例题3、已知：如图，在中，，．
（1）试说明：；
（2）若是的平分线，，求的度数．
【基础训练】
1．如图，a//b，∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
2．如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，直角顶点落在直尺的边上。若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．255° B．35° C．455° D．555°
3． 如图，CD 平分 ，. 若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．光在不同介质中的传播速度不同，故从一种介质射向另一种介质时，光会发生折射.如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，已知点G在射线EF上，∠HFB=20°，∠FED=45°，则∠GFH的度数为 .
6．如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则 度．
7．如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是 °。
8．如图，平分，若，则 ．
9．如图， 已知，， 求证．
阅读下面的解答过程，并填空 （理由或数学式）．
解∶ ∵（已知） ，
（ ）
∴ （ ）
∴ （同位角相等， 两直线平行） ，
∴（ ），
∵（ ） ，
∴（ ） ，
∴（ ）．
10．如图，在同一平面内，，判断与是否平行，并说明理由．
【培优训练】
11．小明在坪山区中心公园沿着一条小路散步，小明两次拐弯后方向与原来相同，已知第一次拐的角∠CBD=15°，第二次拐的角∠FDE是（ ）
A．30° B．15° C．165° D．35°
12．将一副三角板（含，，，角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是
A． B． C． D．
13．有一条长方形纸带，按如图方式折叠，形成的锐角∠α的度数为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
14．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（ ）
A． B． C． D．
15． 如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向上折叠，点A落在点A'处，当DA'∥BC时，∠DEC＝ 度．
16．将一副三角板按如图所示的方式放置，边AC，EF在直线MN上，∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=30°，∠DFE=45°。三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕点F顺时针旋转，当EF第一次与BC平行时，∠DFN的度数是 度。
17．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则的度数是 ．
18．光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图，这是一块玻璃的，两面玻璃上下两个面的示意图，且，一束光从玻璃面的处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点，已知，，则的度数为 ．
19． 如图，已知，.
（1） 求证：. 请将下面证明过程补充完整：
证明：∵ (已知)，
∴ ( )，
又∵ (已知)，
∴ ( )，
∴ (内错角相等，两直线平行)，
∴( ).
（2） 若AC平分，于点E，，求的度数.
20．如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。
（1）判断AF与BC是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
【期末常考】
21．如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2.（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），
∠FHD＝∠4（对顶角相等）
∴∠3＋ ＝180°．
∴FG∥BD（ ）
∴∠1＝（ ）
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ．
∴∠1＝∠2
【课后作业】
1．如图，直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，分别交、E于点B、D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．58° C．68° D．60°
4．将一副三角板如图放置，斜边交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝
6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则等于 度．
7．光线在不同介质中的传播速度不同， 从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行， 光线 从水中射向空气发生折射， 光线变成 ， 点 在射线 上．若 ， 则
8．如图，根据已知条件完成如下证明：
（1）已知，求证：．
（2）直线，求证：．
9． 完成下面的证明并填上推理根据．
如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：．
证明：∵（ ），
∴（ ）．
∵（已知），
∴（ ）．
∵（已知），
∴ （ ），
即 ，
∴ （等式的基本事实），
∴（ ）．
10．已知，，，求证：．
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数学七年级下册第1章相交线与平行线
1.5 平行线的性质（1）
【知识重点】
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说，两直线平行，同位角相等.
【经典例题】
例题1、如图，已知∠1=∠2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明理由。
【答案】解： ∵∴∴
∵∴∴∴
例题2、已知，如图，、是直线，，，，求证：．
证明：已知
已知
已知
即
【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行.
【解析】证明：，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
，（等量代换）
，（已知）
，（等式的性质）
即：，
，（等量代换）
， （内错角相等，两直线平行）
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
例题3、已知：如图，在中，，．
（1）试说明：；
（2）若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
是的角平分线，
，
，
．
【基础训练】
1．如图，a//b，∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
【答案】A
【解析】∵a∥b，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3=110°。
故答案为：A.
2．如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，直角顶点落在直尺的边上。若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．255° B．35° C．455° D．555°
【答案】B
【解析】如图，∵∠1=55°，AB//CD，
∴∠3=∠1 =55°，
∴∠2= 180-90-∠3=35°.
故答案为：B.
3． 如图，CD 平分 ，. 若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵CD平分∠ACB，∠1=35°，
∴∠ACB=2∠1=70°，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠ACB=70°（两直线平行，同位角相等）
故答案为：C.
4．如图，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
∵，，
∴∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=，
∴∠4=180°-∠5=．
故答案为：D．
5．光在不同介质中的传播速度不同，故从一种介质射向另一种介质时，光会发生折射.如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，已知点G在射线EF上，∠HFB=20°，∠FED=45°，则∠GFH的度数为 .
【答案】解：∵AB∥CD
∴∠FED=∠GFH=45°
∴∠GFH=45°-20°=25°
6．如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则 度．
【答案】20
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：20．
7．如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是 °。
【答案】116
【解析】∵ED∥BC，且∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠ABC=32°.
∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°.
故答案为：116.
8．如图，平分，若，则 ．
【答案】72°
【解析】∵CD平分∠ACB，∠1=36°，
∴∠ACB=2∠1=72°，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠ACB=72°.
故答案为：72°.
9．如图， 已知，， 求证．
阅读下面的解答过程，并填空 （理由或数学式）．
解∶ ∵（已知） ，
（ ）
∴ （ ）
∴ （同位角相等， 两直线平行） ，
∴（ ），
∵（ ） ，
∴（ ） ，
∴（ ）．
【答案】平角的定义；，同角的补角相等；； 两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【解析】 ∵（已知） ，
（平角的定义），
∴（同角的补角相等），
∴（同位角相等， 两直线平行） ，
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知） ，
∴（等量代换） ，
∴（同位角相等，两直线平行），
故答案为：平角的定义；，同角的补角相等；； 两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
10．如图，在同一平面内，，判断与是否平行，并说明理由．
【答案】解：理由如下：
如图：过、作直线，
，
两直线平行、同位角相等．
，
，即，
同位角相等，两直线平行．
【培优训练】
11．小明在坪山区中心公园沿着一条小路散步，小明两次拐弯后方向与原来相同，已知第一次拐的角∠CBD=15°，第二次拐的角∠FDE是（ ）
A．30° B．15° C．165° D．35°
【答案】B
【解析】两次拐弯后方向与原来相同，说明小路平行（ ）， 与 是同位角，根据两直线平行，同位角相等，所以.
故答案为： .
12．将一副三角板（含，，，角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
依题意得：，，
，
，
，
根据直尺的对边平行得，
的余角为：．
故选：A．
13．有一条长方形纸带，按如图方式折叠，形成的锐角∠α的度数为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】A
【解析】如图，
∵BD//AC，
∴∠1=∠DEF=30°．
由折叠性质得2α+∠1＝180°，
解得：α＝75°．
故答案为：A．
14．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，延长EF到H.
∵这是长方形纸带，
∴BC∥AD.
∴∠DEF=∠CFH.
∵折叠，
∴∠CFH=∠C'FH。
∴∠DEF=∠CFH=∠C'FH=.
故答案为：A.
15． 如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向上折叠，点A落在点A'处，当DA'∥BC时，∠DEC＝ 度．
【答案】57.5
【解析】∵DA//BC
∴∠ADA'=∠B=65°
由折叠的性质，可得：∠ADE=∠A'DE
∵∠ADA'=∠ADE+∠A'DE，
∴
∵∠DEC是△ADE的外角，
∴∠DEC=∠A+∠ADE=25°+32.5°=57.5°
故答案为：57.5.
16．将一副三角板按如图所示的方式放置，边AC，EF在直线MN上，∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=30°，∠DFE=45°。三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕点F顺时针旋转，当EF第一次与BC平行时，∠DFN的度数是 度。
【答案】75
【解析】如图，
∵ EF∥BC，
∴ ∠EFC=∠ACB=60°，
∵ ∠DFE=45°，
∴ ∠DFN=180°-∠EFC-∠DFE=75°.
故答案为：75.
17．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则的度数是 ．
【答案】100
【解析】由题知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：100．
18．光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射如图，这是一块玻璃的，两面玻璃上下两个面的示意图，且，一束光从玻璃面的处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点，已知，，则的度数为 ．
【答案】20
【解析】如图
∵a∥b，∠1=135°，
∴∠4=∠1=135°，
∴∠2+∠3=180°-135°=45°，
∵∠2=25°，
∴∠3=20°.
故答案为：20.
19． 如图，已知，.
（1） 求证：. 请将下面证明过程补充完整：
证明：∵ (已知)，
∴ ( ▲ )，
又∵ (已知)，
∴ ▲ ( ▲ )，
∴ ▲ (内错角相等，两直线平行)，
∴( ▲ ).
（2） 若AC平分，于点E，，求的度数.
【答案】（1）解：证明：(已知)，
(两直线平行，同旁内角互补)，
又 (已知)，
(同角的补角相等)，
(内错角相等，两直线平行)，
(两直线平行，同位角相等)；
（2）解： 平分 ， ，
由(1) 得 ， .
，
，
， ，
，
，
.
20．如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。
（1）判断AF与BC是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDC，
∵∠A=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE，
∵∠A+∠F=110°，
∴∠FDC+∠ADE=110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°，
∴∠EDG=70°.
【期末常考】
21．如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2.（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），
∠FHD＝∠4（对顶角相等）
∴∠3＋ ▲ ＝180°．
∴FG∥BD（ ▲ ）
∴∠1＝（ ▲ ）
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ▲ ．
∴∠1＝∠2
【答案】解：解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），
∠FHD＝∠4（对顶角相等 ）．
∴∠3＋∠FHD＝180°
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2
∴∠1＝∠2
【课后作业】
1．如图，直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图
∵
∴∠3=∠1=120°
∵∠3+∠2=180°
∴∠2=180°-∠3=60°
故答案为：C.
2．如图，，分别交、E于点B、D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
故答案为：C．
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．58° C．68° D．60°
【答案】B
【解析】根据题意可知，
故答案为：B.
4．将一副三角板如图放置，斜边交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：
依题意由三角板的特征得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵+=180°，
∴，
故答案选：A．
5．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝
【答案】50°
【解析】∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则等于 度．
【答案】55
【解析】如图：
∵，
∴，
∵直尺两边平行，
∴，
故答案为：．
7．光线在不同介质中的传播速度不同， 从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行， 光线 从水中射向空气发生折射， 光线变成 ， 点 在射线 上．若 ， 则
【答案】40°
【解析】如图，∵AB∥CD，
∴∠GFB=∠FED，
∵∠FED=65°，
∴∠GFB=65°，
∵∠HFB=25°，
∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=65°-25°=40°.
故答案为：40°.
8．如图，根据已知条件完成如下证明：
（1）已知，求证：．
（2）直线，求证：．
【答案】（1）证明：，，
，
.
（2）证明：，
，
又，
．
9． 完成下面的证明并填上推理根据．
如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：．
证明：∵（ ），
∴（ ）．
∵（已知），
∴（ ）．
∵（已知），
∴ （ ），
即 ，
∴ （等式的基本事实），
∴（ ）．
【答案】已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式性质；；；内错角相等，两直线平行
10．已知，，，求证：．
【答案】证明：∵，，
∴∠B+∠2=90°，∠B+∠3=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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