中小学教育资源及组卷应用平台
【浙教2024版同步训练】数学七年级下册第1章相交线与平行线
1.1直线的相交线（1）
【知识重点】
1、相交与交点： 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,这个公共点叫作这两条直线的交点。
2、对顶角：如图1-1,直线AB与CD相交,其交点是O,∠1,∠2,∠AOD和∠COB是AB与CD相交所成的角。我们把其中相对的任何一对角:∠1与∠2或∠AOD与∠COB叫作对顶角。
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【经典例题】
例题1.
（1） 如图①，O，P是直线AB上的两点，∠1=∠2。∠1与∠2是对顶角吗 请说明理由。
（2） 如图②，已知∠3=∠4。∠3与∠4是对顶角吗 请说明理由。
例题2.如图，三条直线相交于一点O，请说出图中的对顶角。
例题3.如图，直线，相交于点O，，求的度数．
例题4.如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．
【基础训练】
1．下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，的是（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，直线相交于点，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，相交于点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是 ．
6．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=220°，那么∠3= .
7．如图，直线a，b相交，，求的度数。
8．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠COB-30°，求∠AOE的度数。
10．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
【培优训练】
11．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
12．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（ ）
A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3
C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3
13．如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则与互为对顶角
C．若，则
D．若，则与互为邻补角
14．如图，直线AB、CD相交于点O， 于点O.若 ，则 .
15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE=144°，则∠AOC的度数是 ．
16．如图，直线AE与CD相交于点°，.求和的度数.
17．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数．
18．如图， 交 于 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
19．如图4，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O.
（1）
若∠AOD=40°，求∠EOC的度数；
（2） 若∠AOD： ∠EOF=1：5，求∠BOP的度数.
20．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有多少对？
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有多少对？
【期末常考】
21．下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（ ）
A． B．
C． D．
22．如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当减小时，下列说法正确的是（ ）
A．增大 B．增大
C．减小 D．与的和增大
23． 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为 ．
24．如图，直线、、相交于点，若，则
【课后作业】
1．下列各图中，一定有的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 直线 相交于点 ， 下列命题中， 是真命题的是（ ）
A．若 ， 则
B．若 ， 则 与 互为对顶角
C．若 ， 则
D．若 ， 则 与 互为邻补角
3．小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
4．如图，对顶角量角器测得零件的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.
A．7 B．6 C．5 D．4
6．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，表示的点在直线b上，则 ．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC＝140°，则∠DOE＝ ．
8．如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB＝50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为 ．
9．如图，直线和交于O点，平分于点，则 ．
10．如图，直线相交于点O，，垂足为O，，求的度数．
11．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分，若，求．
12．如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
13．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD的内部，∠AOC＝70°﹣∠AOE．
（1）如图1，当∠AOE＝40°时，请写出与∠BOD互余的角，并说明理由；
（2）如图2，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【浙教2024版同步训练】数学七年级下册第1章相交线与平行线
1.1直线的相交（1）
【知识重点】
1、相交与交点： 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,这个公共点叫作这两条直线的交点。
2、对顶角：如图1-1,直线AB与CD相交,其交点是O,∠1,∠2,∠AOD和∠COB是AB与CD相交所成的角。我们把其中相对的任何一对角:∠1与∠2或∠AOD与∠COB叫作对顶角。
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【经典例题】
例题1.
（1） 如图①，O，P是直线AB上的两点，∠1=∠2。∠1与∠2是对顶角吗 请说明理由。
（2） 如图②，已知∠3=∠4。∠3与∠4是对顶角吗 请说明理由。
【答案】（1）不是，因为顶点不相同。
（2）不是，因为与的两边不是互为反向延长线。
【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角判断即可.
例题2.如图，三条直线相交于一点O，请说出图中的对顶角。
【答案】解：对顶角分别是：
∠FOA与∠EOB；∠FOC与∠EOD；
∠AOC与∠BOD；∠AOE与∠BOF；
∠COE与∠DOF；∠COB与∠DOA.
【分析】根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角判断即可.
例题3.如图，直线，相交于点O，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴．
【分析】题中可以根据条件先求出，再根据对顶角相等即可求解．
例题4.如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．
【答案】解：∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC．
∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝40°，∴∠AOC＝40°．∴∠COE＝×40°＝20°．
∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°．
∴∠DOF＝180°﹣∠EOF﹣∠COE＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
【分析】本题考查了角平分的定义、对顶角的性质，由OE平分∠AOC，结合对顶角相等，得到∠AOC＝40°，进而求得∠COE的度数，利用OF⊥OE，结合角的和差，即可求得∠DOF的度数，得到答案．
【基础训练】
1．下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、此选项中的∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、此选项中的∠1与∠2虽有公共顶点， 但它们的两边并非互为反向延长线 ，不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、此选项中的∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、此选项中的∠1与∠2既有公共顶点，又存在角的两边互为反向延长线，是对顶角，故此选项符合题意.
故答案为：D.
2．下列各图中，的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A、，∴此选项符合题意；
B、，∴此选项不符合题意；
C、，∴此选项不符合题意；
D、，∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
3． 如图，直线相交于点，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵， ∴，
∵，∴.
故答案为：．
4．如图，直线，相交于点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠1与∠BOD是对顶角，∴，∴，
故答案为：C ．
5．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是 ．
【答案】对顶角相等
【解析】利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，根据是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
6．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=220°，那么∠3= .
【答案】70°
【解析】∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2.
∵∠1+∠2=220°，∴∠1=∠2=110°，∴∠3=180°－∠1=70°.
故答案为：70°.
7．如图，直线a，b相交，，求的度数。
【答案】解：∠1与∠2是邻补角，所以它们的和等于180°，∠2 = 180°－∠1=180-38°=142°。
∠1与∠3是对顶角，所以 ∠3 = ∠1=38°。
∠2与∠4是对顶角，所以 ∠4 = ∠2。
∠4 = ∠2 = 142°
综上，∠2=142°，∠3=38°，∠4=142°。
8．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。
【答案】解： 因为 OE⊥AB，所以∠AOE=90°。
又因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据“对顶角相等”，得∠AOC=∠BOD=45°，
所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°
=135°。
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠COB-30°，求∠AOE的度数。
【答案】解：因为，所以。
又因为，
所以，所以，
所以，所以。
因为OE平分，所以。
因为，所以.
10．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
【答案】（1）【解答】∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD
（2）【解答】∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF
（3）【解答】∵∠BOF=90°，∴AB⊥EF∴∠AOF=90°，又∵∠AOC=∠BOD=60°
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．
【培优训练】
11．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意；
C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
故答案为：D.
12．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（ ）
A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3
C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3
【答案】C
【解析】 同一平面内互不重合的3条直线的位置关系如下：
①互相平行，此种情况交点个数为0个；
②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；
③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；
④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个.
综上所述， 同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是0，1，2或3.
故答案为：C.
13．如图，直线，相交于点O，下列命题中，是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则与互为对顶角
C．若，则
D．若，则与互为邻补角
【答案】A
【解析】．∵，，
∴，即，该命题是真命题，故A选项符合题意；
．与不是对顶角，该命题是假命题，故B选项不符合题意；
．无法得出，该命题是假命题，故C选项不符合题意；
．与不是邻补角，该命题是假命题，故D选项不符合题意；
故答案为：A．
14．如图，直线AB、CD相交于点O， 于点O.若 ，则 .
【答案】130°
【解析】∵与为邻补角，且 ，
∴、.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
故答案为：130° .
15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE=144°，则∠AOC的度数是 ．
【答案】72°
【解析】∵AB、CD相交于O，
∴∠AOC与∠DOB是对顶角，即∠AOC=∠DOB，
∵∠AOE=144°，
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=36°，
又∵OE平分∠BOD，∠BOE=30°，
∴∠BOD=2∠BOE=2×36°=72°，
∴∠BOD=∠AOC=72°，
故答案为：72°．
16．如图，直线AE与CD相交于点°，.求和的度数.
【答案】解：∵BF⊥AE，
∴∠EBF=90°，
∵∠DBE=60°，
∴∠FBD=∠EBF-∠DBE=90°-60°=30°，
∠CBF=180°-∠FBD=180°-30°=150°.
17．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数．
【答案】解：∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵平分，∴，
∴．
∴，．
18．如图， 交 于 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1） ， ，
， ，
；
（2）设 ，
， ，
， ，
∴ ，∴
∵∠AOD与∠BOC为对顶角，
．
19．如图4，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O.
（1）
若∠AOD=40°，求∠EOC的度数；
（2） 若∠AOD： ∠EOF=1：5，求∠BOP的度数.
【答案】（1）解： ∵EO⊥AB，∴∠AOE=90°.
∵∠AOD=40°，
∴∠EOC＝180°－ ∠AOD－ ∠AOE ＝180°－40°－90° ＝50°.
（2）解： ∵ ∠AOD： ∠EOF＝1：5，设∠AOD为x°， 则∠EOF为5x°
∵DO⊥FO，∴∠DOF＝90°.
∵∠AOD+∠AOE+∠EOF+∠DOF＝360°，
∴ x + 90°+ 5x + 90°＝360°.
解得x＝30°，即∠AOD＝30°.
又∴∠BOC＝∠AOD＝30°(对顶角相等)
∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠POB＝ ∠BOC ＝
20．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有多少对？
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有多少对？
【答案】（1）解：如图①两条直线交于一点，图中共有 =2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有 =6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有 =12对对顶角；
…；
按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有： =90，
故答案为：90
（2）解：由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有： =n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【期末常考】
21．下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 A、B、C 选项中工具的工作原理都涉及到对顶角相等的知识，而D中的圆规主要是利用了弧长与半径等相关知识来画圆等操作，没有应用到对顶角及其相关知识，所以选 D。
22．如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当减小时，下列说法正确的是（ ）
A．增大 B．增大
C．减小 D．与的和增大
【答案】A
【解析】A、和是邻补角，当减小时，增加，故选项正确，符合题意；
B、和是对顶角，当减小时，也减小，故选项错误，不符合题意；
C、和是邻补角，当减小时，增加，故选项错误，不符合题意；
D、和都与是邻补角，当减小时，和都增加，与的和增大，故选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
23． 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为 ．
【答案】130°
【解析】【解答】解：∵∠BOD：∠BOC=2：7，∠BOD+∠BOC=180°，
∴，
∴∠BOD=∠AOC=40°
∵EO⊥CD，
∴∠EOC=90°，
∴∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+40°=130°，
故答案为：130°.
24．如图，直线、、相交于点，若，则
【答案】30
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【课后作业】
1．下列各图中，一定有的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A.两直线不平行，内错角不一定相等，所以∠1≠∠2，故A不符合题意；
B. 两直线不平行，同位角不一定相等，所以∠1≠∠2，故B不符合题意；
C. 互为邻补角不一定相等，所以∠1≠∠2，故C不符合题意；
D. 对顶角相等，所以∠1=∠2，故D符合题意；
故答案为：D.
2．如图， 直线 相交于点 ， 下列命题中， 是真命题的是（ ）
A．若 ， 则
B．若 ， 则 与 互为对顶角
C．若 ， 则
D．若 ， 则 与 互为邻补角
【答案】A
【解析】A、∵，，∴∠AOM=∠BOM=90°，∴，∴A正确，符合题意；
B、∵∠1=∠2，无法证出 与 互为对顶角，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，无法证出，∴C不正确，不符合题意；
D、∵无法证出 与 互为邻补角，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
3．小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【答案】B
【解析】依题意，另一情况画图如下：
∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝25°，∴∠AOE＝90°+25°＝115°，
∴∠AOE的另一个值为115°.
故答案为：B.
4．如图，对顶角量角器测得零件的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对顶角相等，所以对顶角量角器测得零件的度数是30°，
故答案为：A.
5．平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【解析】每两条直线相交构成2对对顶角，三条直线两两相交构成 对对顶角，故选B．
6．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，表示的点在直线b上，则 ．
【答案】75
【解析】∵，
∴，
故答案为：75．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC＝140°，则∠DOE＝ ．
【答案】50°
【解析】∵ ∠BOC＝140°，
∴∠AOD=∠BOC=140°，
∵OE⊥AB，垂足是点O，
∴∠AOE=90°，
∴ ∠DOE =140°-90°=50°。
故答案为：50°
8．如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB＝50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为 ．
【答案】140°
【解析】∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
又∵∠AED＝∠CEB＝50°，
∴∠DEF＝∠DEA+∠AEF＝50°+90°＝140°．
故答案为：140°
9．如图，直线和交于O点，平分于点，则 ．
【答案】
【解析】∵、相交于点，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，
∴，
故答案为：．
10．如图，直线相交于点O，，垂足为O，，求的度数．
【答案】解：，
，
，，
，
．
11．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分，若，求．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
；
（2）解：∵，
∴设，，
根据题意得，
解得，
∴，
∴，
．
13．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD的内部，∠AOC＝70°﹣∠AOE．
（1）如图1，当∠AOE＝40°时，请写出与∠BOD互余的角，并说明理由；
（2）如图2，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度数．
【答案】（1）解：∠AOE与∠BOD互为余角，理由如下：
∵∠AOC＝70°﹣∠AOE，∠AOE＝40°，
∴∠AOC＝70°﹣×40°＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∴∠BOD+∠AOE＝50°+40°＝90°，
即∠AOE与∠BOD互为余角；
（2）解：∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF＝∠EOF＝∠BOE，
∵∠AOE+2∠BOF＝180°，
∴∠AOE+2∠DOF+2∠BOD＝180°，
∵∠AOC＝70°﹣∠AOE＝∠BOD，
∴∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，
即∠DOF＝20°．
【解析】【分析】（1）根据角的大小计算得到∠AOC＝50°，再利用对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝50°，进而求出找到∠BOD的余角即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠BOF＝∠EOF＝∠BOE，利用那个平角定义可知∠AOE+2∠DOF+2∠BOD＝180°，进而得∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，即可求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
