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《运动会后勤补给采购方案设计——方程的应用》教学设计
学科 数学 年级 七年级 课型 综合与实践 单元 第2单元
课题 运动会后勤补给采购方案设计——方程的应用 课时 1
课标要求 本节课需落实 “综合与实践” 领域核心要求：引导学生经历 “问题聚焦—方案设计—方程建模—求解优化” 的完整实践流程，综合运用一元一次方程(或二元一次方程组)解决真实生活问题，发展模型观念与应用意识；能结合采购预算、物资需求等约束条件，建立合理的方程模型，培养分析问题、解决问题的能力；通过小组协作完成数据收集、模型构建、方案优化，提升团队协作与逻辑推理素养；体会方程在生活决策(如预算分配、物资采购)中的实用价值，契合新课标 “以真实任务为载体，发展数学应用能力” 的导向，为后续复杂方程建模奠定 “问题转化、模型适配” 的思维基础。
教材分析 本节课是 “二元一次方程组” 章节的综合实践延伸课，并非新知识传授，聚焦 “方程模型在生活决策中的落地应用”。教材以 “运动会中的数学问题” 为切入点，本课选取 “后勤补给采购” 这一具体任务，通过 “提出采购问题—制定预算与需求—建立方程模型—求解优化方案” 的流程，引导学生将 “预算总额、物资单价、需求数量” 等实际约束转化为方程条件，突破 “仅会解方程、不会用方程” 的局限；同时要求对比不同采购方案的合理性(如性价比、余量控制)，体现 “模型求解+实际优化” 的双重目标。既巩固了方程的解法，又搭建了 “数学模型 — 生活决策” 的联系，体现新课标 “实践驱动、素养落地” 的编写理念。
学情分析 七年级学生已具备两大基础：一是掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法，能解规范的方程题目；二是有简单的小组合作经验，但存在明显短板：一是 “问题转化能力弱”，难以将 “采购预算100元、需买2元/瓶的矿泉水和 3元/根的香蕉，供应 15 名运动员 + 10 名后勤同学” 等实际描述转化为方程模型；二是 “方案优化意识薄”，求出方程的一组解后，不会结合 “每人至少1瓶水1根香蕉” 的实际需求调整方案；三是易忽略 “物资实际用量差异”(如运动员可能需要更多水)，导致方案实用性不足。个体差异集中在 “实际问题到方程模型的转化” 与 “方案的实际适配性” 上。
教学目标 1.能将运动会后勤补给采购的实际约束(预算、需求数量)转化为一元一次方程(或二元一次方程组)模型，求解并优化采购方案； 2.经历 “确定采购需求 — 收集数据(人数、单价)— 建立方程模型 — 求解优化” 的过程，提升问题转化与方程建模能力； 3.发展模型观念与应用意识，学会用方程工具解决生活中的资源分配问题； 4.体会数学在生活决策中的实用价值，培养严谨的预算意识与团队协作精神。
教学重点 1.将运动会后勤补给采购的实际约束(如 “预算总额、每人物资配额”)转化为方程(组)模型； 2.求解方程模型并结合实际需求(如 “物资余量、性价比”)优化采购方案。
教学难点 平衡 “方程模型的数学解” 与 “采购的实际需求”(如方程的解为 “买 30 瓶水、10 根香蕉”，但实际需考虑 “运动员需更多水、香蕉不宜过剩”)，设计出既符合方程约束、又贴合实际场景的采购方案。
教法与学法分析 教法采用 “任务驱动 + 分层指导”：以 “运动会采购缺方案” 为真实任务启动实践，分阶段指导 “需求转化为方程”“解的实际优化”；学法以 “小组合作 + 实践探究” 为主，组员分工负责 “人数统计、单价确认、方程建模、方案优化”，在互动中突破 “问题转模型” 的难点，契合新课标 “学生主体、实践育人” 理念。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景创设 运动能增强体质、磨炼意志、增强集体荣誉感，学校每年都会举办运动会。运 动会中有许多与数学有关的问题，有些问题可以建立方程模型来解决，如 200 米、 400米短跑比赛中，确定不同赛道上起跑线的位置；根据工作量，统筹安排裁判员、 工作人员、志愿者的人数和时长；为班级设计队形方阵等。 今天我们以运动会中后勤补给采购方案设计为主题，大家一起探究吧 通过运动会补给采购超预算的真实情景提问，引导学生思考方程工具的应用，明确采购方案的核心约束条件。 独立思考采购方案的难点，认同方程是解决问题的有效工具，明确“不超预算、每人至少1份、贴合实际需求”的约束。 激发实践兴趣，建立“实际问题→方程模型”的思维导向，明确实践任务核心。
2.提出问题：学校运动会项目组要给 15 名运动员和 10 名后勤同学准备补给，预算只有 100 元。已知矿泉水 2 元一瓶，香蕉 3 元一根，直接买 “25 瓶水 + 25 根香蕉” 要花2×25+3×25=125元，超了预算。 1.你能快速算出 “既不超预算，又能让每人至少拿到 1 瓶水 1 根香蕉” 的采购方案吗？直接凑数容易出错，能用什么数学工具解决？ 2.要让方案更合理，除了 “不超预算、每人 1 份”，还可以考虑什么细节？ 预设答案 1.可以用方程：设买x瓶水、y根香蕉，列方程2x+3y=100，同时满足x≥25、y≥25，通过调整数量(如多买水、少买香蕉)来控预算； 2.还可以考虑 “运动员运动后需更多水，可多买几瓶水；香蕉易坏，少买几根避免浪费”。
环节二：同伴分享，互助研学 任务发布：运动会补给采购问题 班级情况： 运动员15人，后勤同学10人 需要准备两种补给：矿泉水(2元/瓶)、香蕉(3元/根) 已知条件： 1.总共需要40份补给(每人至少得到1瓶水或1根香蕉) 2.总预算正好是100元 问题： 需要买多少瓶水和多少根香蕉，才能同时满足这两个条件？ 注：一份补给指1瓶水或1根香蕉，假设运动员每人需要得到1瓶水+1根香蕉(即2份) 制定方案：运动会补给采购问题 引导分析： 设矿泉水买 x瓶，香蕉买 y 根。 根据“总份数”：
运动员15人 → 消耗水15瓶、香蕉15根(因为每人各1)。
后勤10人 → 消耗水10瓶、香蕉0根。 假设每个人都能拿到一瓶水，即水的数量固定25瓶，已知x=25，求香蕉的数量？ 2×25+3y=100 解得y= 求解出来的结果符合实际吗？ (不符合) 为了解决这个问题，请你来设计方案吧！ 解决问题： 运动员15人，后勤同学10人 需要准备两种补给：矿泉水(2元/瓶)、香蕉(3元/根) 已知条件： 1.总共需要40份补给(每瓶水或每根香蕉算1份) 2.总预算正好是100元 解：设矿泉水买 x瓶，香蕉买 y 根 解得：x=20，y=20 检验合理性： 20瓶水 + 20根香蕉 = 40份补给。 总价 40+60=100。 可以设计分配方案：例如运动员15人每人1瓶水+1根香蕉(用掉15水+15香蕉)，剩余5瓶水+5根香蕉给后勤10人分配(每人至少得到水或香蕉)。
→ 可行。 成果展示： 任务：
用刚才求出的 结果x=20，y=20，即购买矿泉水20瓶，香蕉20根，为班级设计具体的分配方案，填表： 角色人数得到水(瓶)得到香蕉(根)运动员15后勤10
要求： 运动员每人至少得到1瓶水。 所有物资分完。 各组分配方式可以不同。 讨论问题 1.你们的方案能让所有人都满意吗？ 不能让所有人都满意，核心原因有两点： 分配公平性不足：后勤 10 名同学仅能分到 5 瓶水 + 5 根香蕉，意味着有 5 名后勤同学只能拿到水、5 名只能拿到香蕉，无法像运动员那样同时获得水和香蕉，可能导致后勤同学因 “物资类型单一” 产生不满； 场景需求适配不足：运动员运动后出汗多、能量消耗大，当前方案中运动员每人仅 1 瓶水 + 1 根香蕉，可能无法满足补水需求(如长跑运动员需 2 瓶以上水)；而香蕉分配量与后勤无差异，未体现 “不同人群的需求差异”。 因此，该方案仅满足 “不超预算、物资分完” 的基础要求，未兼顾 “需求适配” 与 “分配公平”，难以让所有人满意。 2.如果想让所有后勤同学也得到香蕉，需要调整什么？ 要让10名后勤同学都得到香蕉，需满足核心约束：香蕉总数为(运动员15人)+(后勤10人)=25根，同时需维持“总预算小于100元”“水的数量满足基础饮水需求(x不少于15)”，具体调整方向如下： 保持原约束条件的前提下： 求解调整后的合理方案：当y=25时，x=15，此时总费用=2×15+3×25=30+75=105元(超过预算)； 调整结论：若要让10名后勤同学得到香蕉需增加预算或适当减少总份数(无需强制40份)，避免物资浪费。 3.有没有绝对公平的分配方案？ 不存在绝对公平的分配方案，原因如下： 需求的相对性：“公平”的核心是“按需分配”，而非“平均分配”。运动员与后勤同学的角色差异决定了需求不同——运动员需更多水(补水)、后勤同学需基础补给(水或香蕉均可)，若强行“每人1瓶水+1根香蕉”，虽形式平均，但未满足运动员的额外补水需求，反而造成“实质不公平”； 物资的功能性差异：水的核心功能是补水，香蕉的核心功能是补充能量，二者无法完全替代。即使分配数量相同，不同同学对两种物资的偏好的不同(如有人不爱吃香蕉)，也会导致“主观感受上的不公平”； 公平的合理定义：综合实践中的“公平”是“在约束条件内，满足不同人群的核心需求”——如运动员每人2瓶水+1根香蕉，后勤同学每人1瓶水+1根香蕉，既符合场景需求，又未超出预算，这是“相对公平”，而非“绝对公平”。 因此，采购方案的“公平”应聚焦“需求适配”而非“平均分配”，不存在能让所有人都觉得“绝对公平”的方案，仅能追求“贴合实际需求的相对公平”。 指导小组将采购约束转化为二元一次方程组，引导验证解的合理性，组织讨论分配方案的公平性与实用性。 小组合作建立方程模型并求解，设计物资分配方案，讨论方案的优缺点及调整方向。 培养问题转化与方程建模能力，落实“模型求解+实际优化”的双重目标，提升团队协作与逻辑推理素养。
环节三：全班展学，互动深入 评价与反思 评价：对本组和其他组的探究过程、结果进行评价，提出改进建议。 评价维度：优点：多数小组能准确建立二元一次方程组，求解过程规范，分配方案满足“不超预算、物资分完”的基本要求； 不足：部分小组的分配方案未充分考虑运动员与后勤同学的需求差异(如未给运动员多配水)，少数小组忽略“解需为正整数”的实际条件。 改进建议： 方案设计需结合场景差异(如运动员多配水、香蕉适量避免浪费)； 求解后需验证解的实际意义(正整数、符合物资用量逻辑)； 可增加多组解对比，选择性价比更高、更贴合需求的方案。 反思：回顾探究过程中运用的数学知识和方法，反思并改进本小组的研究报告。 数学知识：二元一次方程组的建立与求解数学方法：建模法(将实际约束转化为方程条件)、验证法(检验解的合理性)、优化法(结合实际调整方案)； 改进方向：后续可更快速地识别核心约束，减少建模时的条件遗漏，优化方案时更注重多因素综合考量(如预算剩余、物资保质期)。
延伸思考：“如果矿泉水和香蕉的价格不变，总份数改为35份，总预算还是100元，方程会怎样？有解吗？” 解：设买x瓶水、y根香蕉，列方程组； 求解结果：解得，； 解的合理性：从数学角度有解，但结合实际场景，5瓶水远不能满足25人的基础饮水需求，该解缺乏实际实用性，需调整约束条件(如增加水的最低用量)。 引导小组互评方案的合理性，回顾所用数学知识，提出延伸思考问题，组织全班交流分享。 客观评价自身与他人方案，梳理方程建模的关键步骤，思考延伸问题中方程解的存在性。 深化对模型应用的理解，培养反思与评价能力，拓宽方程建模的应用视野。
环节四：巩固内化，拓展延伸 1. 某班级运动会需给20名运动员和8名后勤同学准备补给，预算120元，总共需要48份补给，补给为3元/瓶的功能饮料和2元/个的能量棒，要求每人至少1份补给，请建立方程模型并求解，设计合理的采购方案。 答案：解：设买x瓶功能饮料、y个能量棒，列方程组得：； 求解：解得，则，总费用元； 答：采购方案：买24瓶功能饮料、24个能量棒，运动员每人1瓶饮料+1个能量棒(用20瓶+20个)，后勤每人1瓶饮料或1个能量棒 2. 学校运动会采购补给，预算140元，需购买A、B两种物资，A物资4元/份，B物资5元/份，总共需采购32份。求A、B两种物资的采购数量。
答案：解：设买x份A物资、y份B物资，列方程组 ； 解得：， 答：A物资20份，B物资12份。 布置巩固练习题，巡视指导，针对性纠正方程建模中的约束遗漏、解的验证偏差等问题。 独立完成练习题，运用方程建模解决采购类实际问题，强化知识应用能力。 即时巩固核心技能，确保学生掌握“实际约束→方程建模→求解优化”的完整流程。
课堂小结 一.知识点： 1．方程建模核心：将采购中的“预算总额、物资单价、总份数、需求约束”转化为二元一次方程(组)； 2．解的验证：方程的解需为正整数，且符合实际场景(如物资用量贴合需求、分配公平)； 3．方案优化：结合实际需求(如不同人群用量差异、物资保质期)调整解，设计合理的分配方案。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 综合与实践《运动会后勤补给采购方案设计——方程的应用》 一、实践流程 情景导入→明确约束(预算、需求、实际场景)→建立方程模型→求解验证→方案优化→评价反思 二、核心建模逻辑 设未知数：设物资A买x份，物资B买y份； 列方程(组)：根据“总份数、总预算”列等式，结合实际需求列约束条件； 求解：用代入/加减消元法求解，验证解的正整数性； 优化：结合场景调整解，设计合理分配方案。 三、示例模型(课时核心) 解得： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
教学反思 本节课通过 “运动会小额采购” 的真实任务有效降低了实践门槛，多数小组能完成方程建模与基础求解，但存在两点不足：一是部分小组转化约束时，漏看 “后勤同学也需物资”，导致模型仅按 15 人设计，需课前明确 “25 人(15+10)” 的需求基数；二是方案优化环节，多数小组仅满足 “不超预算”，未结合 “运动员需更多水” 的场景调整数量(如多买 5 瓶水、少买 4 根香蕉)。后续可增加 “方案实用性互评”，让各小组从 “物资匹配场景” 角度提建议，进一步深化 “方程模型服务实际需求” 的认知，更好落实模型观念与应用意识的培养目标。
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分课时学案
课题 运动会后勤补给采购方案设计——方程的应用 单元 二 学科 数学 年级 七上
学习 目标 1.能将运动会后勤补给采购的实际约束(预算、需求数量)转化为一元一次方程(或二元一次方程组)模型，求解并优化采购方案； 2.经历 “确定采购需求 — 收集数据(人数、单价)— 建立方程模型 — 求解优化” 的过程，提升问题转化与方程建模能力； 3.发展模型观念与应用意识，学会用方程工具解决生活中的资源分配问题； 4.体会数学在生活决策中的实用价值，培养严谨的预算意识与团队协作精神。
重点 1.将运动会后勤补给采购的实际约束(如 “预算总额、每人物资配额”)转化为方程(组)模型； 2.求解方程模型并结合实际需求(如 “物资余量、性价比”)优化采购方案。
难点 平衡 “方程模型的数学解” 与 “采购的实际需求”(如方程的解为 “买 30 瓶水、10 根香蕉”，但实际需考虑 “运动员需更多水、香蕉不宜过剩”)，设计出既符合方程约束、又贴合实际场景的采购方案。
教学过程
导入新课 提出问题：学校运动会项目组要给 15 名运动员和 10 名后勤同学准备补给，预算只有 100 元。已知矿泉水 2 元一瓶，香蕉 3 元一根，直接买 “25 瓶水 + 25 根香蕉” 要花2×25+3×25=125元，超了预算。 1.你能快速算出 “既不超预算，又能让每人至少拿到 1 瓶水 1 根香蕉” 的采购方案吗？直接凑数容易出错，能用什么数学工具解决？ 2.要让方案更合理，除了 “不超预算、每人 1 份”，还可以考虑什么细节？
新知讲解 任务发布：运动会补给采购问题 班级情况： 运动员15人，后勤同学10人 需要准备两种补给：矿泉水(2元/瓶)、香蕉(3元/根) 已知条件： 1.总共需要40份补给(每人至少得到1瓶水或1根香蕉) 2.总预算正好是100元 问题： 需要买多少瓶水和多少根香蕉，才能同时满足这两个条件？ 注：一份补给指1瓶水或1根香蕉，假设运动员每人需要得到1瓶水+1根香蕉(即2份) 制定方案：运动会补给采购问题 引导分析： 假设每个人都能拿到一瓶水，即水的数量固定25瓶，已知x=25，求香蕉的数量？ 求解出来的结果符合实际吗？ 解决问题： 运动员15人，后勤同学10人 需要准备两种补给：矿泉水(2元/瓶)、香蕉(3元/根) 已知条件： 1.总共需要40份补给(每瓶水或每根香蕉算1份) 2.总预算正好是100元 检验合理性： 可以设计分配方案： 成果展示： 任务：
用刚才求出的 结果x=20，y=20，即购买矿泉水20瓶，香蕉20根，为班级设计具体的分配方案，填表： 角色人数得到水(瓶)得到香蕉(根)运动员15后勤10
要求： 运动员每人至少得到1瓶水。 所有物资分完。 各组分配方式可以不同。 讨论问题 1.你们的方案能让所有人都满意吗？ 2.如果想让所有后勤同学也得到香蕉，需要调整什么？ 3.有没有绝对公平的分配方案？ 评价与反思 评价：对本组和其他组的探究过程、结果进行评价，提出改进建议。 反思：回顾探究过程中运用的数学知识和方法，反思并改进本小组的研究报告。
延伸思考：“如果矿泉水和香蕉的价格不变，总份数改为35份，总预算还是100元，方程会怎样？有解吗？”
课堂练习 巩固训练 1. 某班级运动会需给20名运动员和8名后勤同学准备补给，预算120元，总共需要48份补给，补给为3元/瓶的功能饮料和2元/个的能量棒，要求每人至少1份补给，请建立方程模型并求解，设计合理的采购方案。 2. 学校运动会采购补给，预算140元，需购买A、B两种物资，A物资4元/份，B物资5元/份，总共需采购32份，求A、B两种物资的采购数量。
参考答案：
巩固训练：
1. 答案：解：设买x瓶功能饮料、y个能量棒，列方程组得：；
求解：解得，则(总份数52，超最低需求)，总费用元；
答：采购方案：买24瓶功能饮料、24个能量棒，运动员每人1瓶饮料+1个能量棒，后勤每人1瓶饮料或1个能量棒
2. 答案：解：设买x份A物资、y份B物资，列方程组 ;
解得：，
答：A物资20份，B物资12份。
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综合与实践
运动会后勤补给采购方案设计
——方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能将运动会后勤补给采购的实际约束(预算、需求数量)转化为一元一次方程(或二元一次方程组)模型，求解并优化采购方案；
01
经历 “确定采购需求 — 收集数据(人数、单价)— 建立方程模型 — 求解优化” 的过程，提升问题转化与方程建模能力；
02
发展模型观念与应用意识，学会用方程工具解决生活中的资源分配问题；
03
体会数学在生活决策中的实用价值，培养严谨的预算意识与团队协作精神。
04
02
新知导入
情景创设：
运动能增强体质、磨炼意志、增强集体荣誉感，学校每年都会举办运动会。运 动会中有许多与数学有关的问题，有些问题可以建立方程模型来解决，如 200 米、 400米短跑比赛中，确定不同赛道上起跑线的位置；根据工作量，统筹安排裁判员、 工作人员、志愿者的人数和时长；为班级设计队形方阵等。
今天我们以运动会中后勤补给采购方案设计为主题，大家一起探究吧
02
新知导入
提出问题：
学校运动会项目组要给 15 名运动员和 10 名后勤同学准备补给，预算只有 100 元。已知矿泉水 2 元一瓶，香蕉 3 元一根，直接买 “25 瓶水 + 25 根香蕉” 要花2×25+3×25=125元，超了预算。
1.你能快速算出 “既不超预算，又能让每人至少拿到 1 瓶水 1 根香蕉” 的采购方案吗？直接凑数容易出错，能用什么数学工具解决？
1.可以用方程：设买x瓶水、y根香蕉，列方程2x+3y=100，同时满足x≥25、y≥25，通过调整数量(如多买水、少买香蕉)来控预算；
02
新知导入
提出问题：
学校运动会项目组要给 15 名运动员和 10 名后勤同学准备补给，预算只有 100 元。已知矿泉水 2 元一瓶，香蕉 3 元一根，直接买 “25 瓶水 + 25 根香蕉” 要花2×25+3×25=125元，超了预算。
2.要让方案更合理，除了 “不超预算、每人 1 份”，还可以考虑什么细节？
2.还可以考虑 “运动员运动后需更多水，可多买几瓶水；香蕉易坏，少买几根避免浪费”。
03
新知探究
任务发布：运动会补给采购问题
班级情况：
运动员15人，后勤同学10人
需要准备两种补给：矿泉水(2元/瓶)、香蕉(3元/根)
已知条件：
1.总共需要40份补给(每人至少得到1瓶水或1根香蕉)
2.总预算正好是100元
问题： 需要买多少瓶水和多少根香蕉，才能同时满足这两个条件？
注：一份补给指1瓶水或1根香蕉，假设运动员每人需要得到1瓶水+1根香蕉(即2份)
03
新知探究
制定方案：运动会补给采购问题
引导分析：
设矿泉水买 x瓶，香蕉买 y 根。
根据“总份数”：运动员15人 → 消耗水15瓶、香蕉15根(因为每人各1)。
后勤10人 → 消耗水10瓶、香蕉0根。
假设每个人都能拿到一瓶水，即水的数量固定25瓶，已知，求香蕉的数量？
解得
求解出来的结果符合实际吗？
不符合
为了解决这个问题，请你来设计方案吧！
03
新知探究
解决问题：运动员15人，后勤同学10人
需要准备两种补给：矿泉水(2元/瓶)、香蕉(3元/根)
已知条件：1.总共需要40份补给(每瓶水或每根香蕉算1份)
2.总预算正好是100元
解：设矿泉水买瓶，香蕉买根,
由题意列:
解得：
检验合理性：瓶水 + 根香蕉 = 份补给。
总价 。
03
新知探究
可以设计分配方案：
例如运动员15人每人1瓶水+1根香蕉(用掉15水+15香蕉)，
剩余5瓶水+5根香蕉给后勤10人分配(每人至少得到1份水或香蕉)。
→ 可行。
03
新知探究
成果展示：
任务：用刚才求出的 结果，即购买矿泉水瓶，香蕉根，为班级设计具体的分配方案，填表：
角色 人数 得到水(瓶) 得到香蕉(根)
运动员 15 15 15
后勤 10 5 5
要求：
运动员每人至少得到1瓶水。
所有物资分完。
各组分配方式可以不同。
03
新知探究
讨论问题：
1.你们的方案能让所有人都满意吗？
不能让所有人都满意，核心原因有两点：
分配公平性不足：后勤 10 名同学仅能分到 5 瓶水 + 5 根香蕉，无法像运动员那样同时获得水和香蕉，可能导致后勤同学因 “物资类型单一” 产生不满；
场景需求适配不足：运动员运动后出汗多、能量消耗大，当前方案中运动员每人仅 1 瓶水 + 1 根香蕉，可能无法满足补水需求；而香蕉分配量与后勤无差异，未体现 “不同人群的需求差异”。
因此，该方案仅满足 “不超预算、物资分完” 的基础要求，未兼顾 “需求适配” 与 “分配公平”，难以让所有人满意。
03
新知探究
讨论问题：
2.如果想让所有后勤同学也得到香蕉，需要调整什么？
要让10名后勤同学都得到香蕉，需满足核心约束：香蕉总数为(运动员15人)+(后勤10人)=25根，同时需维持“总预算小于100元”“水的数量满足基础饮水需求(x不少于15)”，
具体调整方向如下:
保持原约束条件的前提下：
求解调整后的合理方案：当y=25时，x=15,此时总费用=2×15+3×25=30+75=105元(超过预算)；
调整结论：若要让10名后勤同学得到香蕉需增加预算或适当减少总份数(无需强制40份)，避免物资浪费。
03
新知探究
讨论问题：
3.有没有绝对公平的分配方案？
不存在绝对公平的分配方案，原因如下：
需求的相对性：“公平”的核心是“按需分配”，而非“平均分配”。若强行“每人1瓶水+1根香蕉”，虽形式平均，但未满足运动员的额外补水需求，反而造成“实质不公平”；
物资的功能性差异：水的核心功能是补水，香蕉的核心功能是补充能量，二者无法完全替代；
公平的合理定义：综合实践中的“公平”是“在约束条件内，满足不同人群的核心需求”——如运动员每人2瓶水+1根香蕉，后勤同学每人1瓶水+1根香蕉，既符合场景需求，又未超出预算，这是“相对公平”，而非“绝对公平”。
因此，采购方案的“公平”应聚焦“需求适配”而非“平均分配”，不存在能让所有人都觉得“绝对公平”的方案，仅能追求“贴合实际需求的相对公平”。
03
新知探究
评价维度：优点：多数小组能准确建立二元一次方程组，求解过程规范，分配方案满足“不超预算、物资分完”的基本要求；
不足：部分小组的分配方案未充分考虑运动员与后勤同学的需求差异(如未给运动员多配水)，少数小组忽略“解需为正整数”的实际条件。
改进建议：
方案设计需结合场景差异(如运动员多配水、香蕉适量避免浪费)；
求解后需验证解的实际意义(正整数、符合物资用量逻辑)；
可增加多组解对比，选择性价比更高、更贴合需求的方案。
1.评价：对本组和其他组的探究过程、结果进行评价，提出改进建议。
评价与反思
03
新知探究
数学知识：二元一次方程组的建立与求解
数学方法：建模法(将实际约束转化为方程条件)、验证法(检验解的合理性)、优化法(结合实际调整方案)；
改进方向：后续可更快速地识别核心约束，减少建模时的条件遗漏，优化方案时更注重多因素综合考量(如预算剩余、物资保质期)。
2.反思：回顾探究过程中运用的数学知识和方法，反思并改进本小组的研究报告。
评价与反思
03
新知探究
解：设买x瓶水、y根香蕉，列方程组；
求解结果：解得，；
解的合理性：从数学角度有解，但结合实际场景，5瓶水远不能满足25人的基础饮水需求，该解缺乏实际实用性，需调整约束条件(如增加水的最低用量)。
“如果矿泉水和香蕉的价格不变，总份数改为35份，总预算还是100元，方程会怎样？有解吗？”
延伸思考
05
巩固训练
1. 某班级运动会需给20名运动员和8名后勤同学准备补给，预算120元，总共需要48份补给，补给为3元/瓶的功能饮料和2元/个的能量棒，要求每人至少1份补给，请建立方程模型并求解，设计合理的采购方案。
答案：解：设买x瓶功能饮料、y个能量棒，列方程组得：；
解得，则，总费用元；
答：采购方案：买24瓶功能饮料、24个能量棒，运动员每人1瓶饮料+1个能量棒，后勤每人1瓶饮料或1个能量棒。
05
巩固训练
2. 学校运动会采购补给，预算140元，需购买A、B两种物资，A物资4元/份，B物资5元/份，总共需采购32份，求A、B两种物资的采购数量。
答案：解：设买x份A物资、y份B物资，列方程组 ;
解得：，
答：A物资20份，B物资12份。
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识:1．方程建模核心：将采购中的“预算总额、物资单价、总份数、需求约束”转化为二元一次方程(组) ；
2．解的验证：方程的解需为正整数，且符合实际场景(如物资用量贴合需求、分配公平)；
3．方案优化：结合实际需求(如不同人群用量差异、物资保质期)调整解，设计合理的分配方案。
Thanks!
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