数学七年级下册第2章二元一次方程组
2.3解二元一次方程组（1）
【知识重点】
1.消元
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.进而可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数，由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.代入消元法：
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
3.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用另一个未知数的代数式表示；
(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(3)把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；
(4)写出方程组的解.
【经典例题】
例题1、解方程组：
【答案】解：
将①代入②得，
解得，③
将③代入①得，.
原方程组的解为
例题2、用代入法解下列方程组：
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【答案】解：（1）
由②，得.③
把③代入①，得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是
由②，得.③
把③代入①，得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是.
例题3、解方程组：
（1）（2）
【答案】（1）解：，
由①得：y=7-2x③，
将③代入②，得：2x-3y=2x-3（7-2x）=8x-21=3，
解得：x=3，
将x=3代入③，得：y=7-2×3=1，
∴原方程组的解是：.
（2）解：方程组整理为，
由②得：y=2x-4③，
将③代入①得：x-3y=x-3(2x-4)=-3，
解得：x=3，
将x=3代入③得：y=2×3-4=2，
∴原方程组的解为．
例题4、用代入法解下列方程组：
(3) (4)
【答案】解：（1）
把①代入②，得，解得.
把代入①，得.
所以原方程组的解是.
由①，得.③
把③代入②，得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是.
由①，得.③
把③代入②，得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是.
由①，得.③
把③代入②，得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是.
【基础训练】
1．用代入消元法解二元一次方程组时，将①代入②，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】时，将①代入②，得2x+x-4=2.
故答案为：C.
2．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
把y=3-x代入2x-y=5得，
，
去括号得，．
故选：A．
3．用代入法解方程组时，使得代入后化简比较简单的变形是（ ）
A．由①， 得 B．由①， 得
C．由②， 得 D．由②， 得
【答案】D
【解析】观察方程组未知量的系数可知，②中y的系数为-1，可变形为y=2x-5，代入比较简单.
故答案为：D.
4． 方程组 用代人法消去 ， 可得方程为
【答案】2（2+y）+3y=1
【解析】将x=2+y代入2x+3y=1，得2(2+y)+3y=1.
故答案为：2（2+y）+3y=1.
5．已知方程组 的解满足 ， 则 的值为
【答案】4
【解析】将 代入2x+y=2，解得x=0. 将x=0代入2x+y=2，解得y=2.
于是x+2y=4=k.
故答案为：4.
6．用代入法解方程组
可先将①式变形成 ；
代入②式， 得到一元一次方程： .
【答案】；
【解析】将①式中的变形成，然后将这个表达式代入②式中，替换掉x，得到.
故答案为：；.
7．已知关于 的方程组 ( 为实数 ） 的解满足 ， 则 (用含 的代数式表示)．
【答案】-4m
【解析】 解方程组 得，
把代入中，
得2（m-2n+3）+3（2m+2n-2）=0，
整理得n=-4m.
故答案为：-4m.
8．用代入法解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1），将①代入②得2(1-y)=-1-3y，
去括号、合并同类项得y=-3.
将y=-3代入①，得x=1+3=4.
故答案为：；
（2） ，由②得.
将③代入①，得.
去括号、合并同类项得2y=4，解得y=2.
将y=2代入③，得x=-1.
故答案为：.
9．解方程
（1）； （2）
【答案】（1）解：，
把②代入①，得2x﹣3（x﹣5）＝12，
去括号，得2x﹣3x+15＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得y＝3﹣5＝﹣2，
∴方程组的解为
（2）解：，
由②，得y＝2x﹣5③，
把③代入①，得3x+4（2x﹣5）＝2，
去括号，得3x+8x﹣20＝2，
解得：x＝2，
把x＝2代入③，得y＝2×2﹣5＝﹣1，
∴方程组的解为
10．用代入法解下列方程组：
【答案】解：（1）
把①代入②，得.
把代入①，得.
所以原方程组的解是
由①，得.③
把③代入②，得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是.
由②，得.③
把③代入①，得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是
由②，得.③
把③代入①，得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是.
11．已知关于x，y的二元一次方程组其中是实数.
（1）当时，求该二元一次方程组的解.
（2）若是的2倍，求的值.
【答案】（1）解：，
方程组为，
把②代入①得，
解得；
把代入②得，
该二元一次方程组的解为；
（2）解：是的2倍，
原方程组变为：，
解①得，
把代入②得，
.
12．一副三角板按如图方式摆放， 且 比 大 ． 设 ， 先根据题意列出二元一次方程组， 再求解．
【答案】解：根据条件“ 比 大 ”，可列出方程x=y+50. 再根据图片∠1、∠2的位置关系，可列方程x+y=90. 则可得方程组. 将②直接代入①得y+50+y=90，解得y=20.
再将y=20代入②，得x=20+50=70.
故答案为： ； 解得 .
【培优训练】
13．若方程组 有正整数解，则的正整数值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
【答案】B
【解析】∵由可得，由可得.
∴，即。
∵y有正整数解，
∴必须是6的正约数.
∴的取值可能为1，2，3，6.
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（满足条件）
验证：原方程组为，解得，是正整数解.
故答案为：B.
14．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【解析】∵的解是，
∴ 的解是
∴ .
故答案为： .
15．用代入法解方程组： ．
【答案】解：将 ， 整理， 得 ①，
将 ， 整理， 得 ②，
①变形，得 ③，
将③代入②得 ， 得 ，
将 代入①，得
∴原方程组的解为
16．已知关于的二元一次方程组．
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解．
【答案】（1）解：由可得：，为偶数，
为偶数，
为偶数，
，
，
∴
或
（2）解：，
，
把代入得：
，
解得：，
，
把代入得：
，
解得：
（3）解：，
当时，，
固定解为：
17． 阅读理解．
小聪在解方程组 时， 发现方程组中①和②之间存在一定的关系， 他发现了一种“整体代换”法， 具体解法如下：
解： 将方程②变形为 ，
即 ，③
把方程①代人方程 ③， 得 ， 解得 ．
把 代入方程①， 得 ，
方程组的解是
（1） 仿照小聪的解法， 解方程组
（2）已知 满 足方 程组
(i) 求 的值．
(ii) 求 的值．
【答案】（1）解：把方程②变形为 ③，把①代入③， 得 ， 解得 ．
把 代入①， 得 ，
则方程组的解为
（2）解：(i) 由方程(1)得， ，
即 ，③
方程②整理得 ， ④
将 ③代入④， 得 ，
解得 ．
将 代入③， 得 ．
(ii) 由 (i) 知 ， 则 ．
【期末常考】
18．若方程组用代入法消去，所得关于的一元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 方程组，
②代入①得： ，
故答案为：C.
19．已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为 ．
【答案】
【解析】由题意可知
∴5（m+3）=x 即5（m+3）=5解得m=-2
-2（ n-2 ）=y 即-2（ n-2 ）=3解得n=
故答案为：.
【课后作业】
1．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由②得，x=2y+m
代入①中可得3(2y+m)-y=5-2m，
∴5y=5-5m，
∴y=1-m
将y=1-m代入②中可得x-2(1-m)=m，
∴x=-m+2，
∴x-y=-m+2-(1-m)=1.
故答案为：C.
2．方程组的解是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
将①式代入②得：3x=1+2（2-x），
解得：x=1，
将x=1代入①式得：y=1，
则方程组的解为： ；
故答案为：D.
3．解二元一次方程组时，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将①式代入②式得：
x-2(x-1)=7，
∴x-2x+2=7.
故答案为：C.
4．解二元一次方程组 用代人消元法消去 ， 得到的关于 的一元一次方程为
【答案】5y=3y-1+3
【解析】将2x=3y-1代入到5y=2x+3，得5y=3y-1+3.
故答案为：5y=3y-1+3.
5． 解方程组
解： 由①， 得 ， ③
把③代入②， 解得
把 代入③， 解得
所以原方程组的解为
【答案】2y+4；1；1；6；
【解析】
由①得③.
把③代入②，得，即-2y=-2，解得y=1.
把y=1代入③，解得x=2+4=6.
所以原方程组的解为.
故答案为：2y+4；1；1；6；.
6．用代入法解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1）解：，将①×2得8x-4y=10，整理得-4y=10-8x③.
将③代入②得3x+10-8x=15，解得x=-1.
再将x=-1代入③得-4y=18，解得y=.
因此方程组的解为：；
（2）解：，将①×2得，整理得③.
将③代入②得3x-4x=2，解得x=-2.
再将x=-2代入③得，解得.
因此方程组的解为：.
7．解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得③（依据： ▲ ） 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2（ ▲ ）．
（1）补全上述空白部分内容；
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答．
【答案】（1）解：等式的性质1（说明：写等式的性质或移项法则也给分）
（2）解：
把①代入②得：
解得
把代入①得：
解得
所以原方程组得解为
（说明：其他解法只要正确均得分）
8．用适当方法解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）将①代入②，得7x-6x=4，解得x=4，
将x=4代入①，得y=8，
所以方程组的解为.
（2）由①，得x=3y+2，
将x=3y+2代入②，得2(3y+2)-3y=1，解得y=-1，
将y=-1代入②，得x=-1，
所以方程组的解为.
9．已知方程 的一个解是 ， ．如果 比 的 3 倍还多 1 ， 求 的值．
【答案】解：∵方程 的一个解是 ，
，
∵b比a的3倍还多1 ，
，
，
解得 ．
10．用代入消元法解下列二元一次方程组．
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
【答案】（1）解：
将②代入①得：
解得：
将代入②得：
所以方程组的解是：.
（2）解：
将②代入①得：
解得：
将代入②得：
所以方程组的解是：.
（3）解：
将①变形得：
③
将③代入②得：
解得：
将代入③得：
所以方程组的解是：.
（4）解：
将①变形得：
③
将③代入②得：
解得：
将代入③得：
所以方程组的解是：.
（5）解：
将①变形得：
③
将③代入②得：
解得：
将代入③得：
所以方程组的解是：.
（6）解：
将①变形得：
③
将③代入②得：
解得：
将代入③得：
所以方程组的解是：.
（7）解：
将①代入②得：
解得：
将代入①得：
所以方程组的解是：.
（8）解：
将①变形得：
③
将③代入②得：
解得：
将代入③得：
所以方程组的解是：.中小学教育资源及组卷应用平台
数学七年级下册第2章二元一次方程组
2.3解二元一次方程组（1）
【知识重点】
1.消元
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.进而可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数，由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.代入消元法：
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
3.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用另一个未知数的代数式表示；
(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(3)把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；
(4)写出方程组的解.
【经典例题】
例题1、解方程组：
例题2、用代入法解下列方程组：
例题3、解方程组：
（1） （2）
例题4、用代入法解下列方程组：
(3) (4)
【基础训练】
1．用代入消元法解二元一次方程组时，将①代入②，得（ ）
A． B． C． D．
2．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．用代入法解方程组时，使得代入后化简比较简单的变形是（ ）
A．由①， 得 B．由①， 得
C．由②， 得 D．由②， 得
4． 方程组 用代人法消去 ， 可得方程为
5．已知方程组 的解满足 ， 则 的值为
6．用代入法解方程组
可先将①式变形成 ；
代入②式， 得到一元一次方程： .
已知关于 的方程组 ( 为实数 ） 的解满足 ，
则 (用含 的代数式表示)．
8．用代入法解下列方程组：
（1） （2）
9．解方程
（1）； （2）
10．用代入法解下列方程组：
11．已知关于x，y的二元一次方程组其中是实数.
（1）当时，求该二元一次方程组的解.
（2）若是的2倍，求的值.
12．一副三角板按如图方式摆放， 且 比 大 ． 设 ， 先根据题意列出二元一次方程组， 再求解．
【培优训练】
13．若方程组 有正整数解，则的正整数值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
14．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
15．用代入法解方程组： ．
16．已知关于的二元一次方程组．
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解．
17． 阅读理解．
小聪在解方程组 时， 发现方程组中①和②之间存在一定的关系， 他发现了一种“整体代换”法， 具体解法如下：
解： 将方程②变形为 ，
即 ，③
把方程①代人方程 ③， 得 ， 解得 ．
把 代入方程①， 得 ，
方程组的解是
（1） 仿照小聪的解法， 解方程组
（2）已知 满 足方 程组
(i) 求 的值．
(ii) 求 的值．
【期末常考】
18．若方程组用代入法消去，所得关于的一元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为 ．
【课后作业】
20．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
21．方程组的解是（ ）。
A． B． C． D．
22．解二元一次方程组时，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A． B． C． D．
23．解二元一次方程组 用代人消元法消去 ， 得到的关于 的一元一次方程为
24． 解方程组
解： 由①， 得 ， ③
把③代入②， 解得
把 代入③， 解得
所以原方程组的解为
25．用代入法解下列方程组：
（1） （2）
26．解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得③（依据： ▲ ） 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2（ ▲ ）．
（1）补全上述空白部分内容；
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答．
27．用适当方法解下列方程组：
（1）； （2）．
28．已知方程 的一个解是 ， ．如果 比 的 3 倍还多 1 ， 求 的值．
29．用代入消元法解下列二元一次方程组．
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
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