数学七年级下册第2章二元一次方程组
2.5三元一次方程组及其解法
【知识重点】
1．三元一次方程
含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程.
2．三元一次方程组概念
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
3．三元一次方程组的解
同时满足三元一次方程组中各个方程的解，叫做这个三元一次方程组的解.
4．解三元一次方程组基本步骤为
解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.
【经典例题】
例题1、解方程组
【答案】解： ①+③，得5x+5y=25， ④
①×2-②，得5x-y=19， ⑤
④-⑤，得6y=6，所以y=1，
将y=1代入⑤，得x=4。
再将 代入①，得z=-1，
所以原方程组的解
例题2、解下列三元一次方程组：
（1）（2）
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【答案】（1）解：
由②－①，得，
将代入③，得，
将代入①，得，
所以原方程组的解为
（2）解：
由②+③×3，得5x+4z=33，④
由④-①，得2x=26，解得x=13；
把x=13代入①，得z=-8，
再将x=13与z=-8同时代入③，得y=-3，
所以原方程组的解为
例题3、解下列三元一次方程组：
【答案】解：
由①，得。④
将③和④代入②，得，所以。
将代入③，得。
将代入④，得。
所以原方程组的解为
由①，得。④
由④－③，得。
由③②，得。⑤
将代入⑤，得，所以。
将代入①，得。
所以原方程组的解为
【基础训练】
1．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 时，下列解法未实现这一转化的是( )
A．由①-②，②-③，得
B．由①-②，①×2-③，得
C．由①-③，①×2-②，得
D．由②-③，②×2-①，得
【答案】A
【解析】A.由(1)-(2)，(2)-(3)得 未实现转化，故A符合题意；
B.由(1)-(2)，(1)×2-(3)得 实现了转化，故B不符合题意；
C.由(1)-(3)，(1)×2-(2)得 实现了转化，故C不符合题意；
D.由(2)-(3)，(2)×2-(1)得 实现了转化，故D不符合题意。
故选：A
2．已知，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】根据题意，把三个方程相加，得，
解得．
故答案为：B．
3．某次知识竞赛共出了30道试题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小丰同学不答的题比答错的题多3道，他的总分为81分，则他答对了（ ）
A．19道题 B．20道题 C．21道题 D．22道题
【答案】C
【解析】设小丰同学答对了x道题，答错了y道题，不答z道题，
∴解得：∴他答对了21道题，
故答案为：C.
4．某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
【答案】55
【解析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
5．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ．
【答案】或或
【解析】当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
故答案为：或或．
6．已知从方程组中求出 .
【答案】2：5
【解析】，
①+②得：5x-2z=0，
∴5x=2z，即x：z=2：5，
故答案为：2：5.
7．解下列三元一次方程组：
【答案】解：（1）
由①＋③，得。④
由①②，得。⑤
解由④和⑤组成的方程组，得
把代入①，得。
所以原方程组的解为
由①②，得。④
将②代入③，得。⑤
解由④和⑤组成的方程组，得
将代入②，得。
所以原方程组的解为
8．从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班。如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需50分钟，从学校到家需54分钟。求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程。
【答案】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，平路的路程为，下坡路的路程为。
由题意，得解得
答：从王老师家到学校的上坡路的路程为1km，平路的路程为，下坡路的路程为。
9．【数学问题】解方程组
【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组
【答案】（1）解：
把①代入②，得，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把①代入③得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为．
10．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C．双方约定：A=2a- b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5．
（1）当发送方发出的一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方收到的一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
【答案】（1）解：由题意，得 ，解得 .
答：接收方收到的密码是1，6，8.
（2）解：由题意，得 ， 解得 .
答：发送方发出的密码是3，4，7
【培优训练】
11．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）．
A．32元 B．33元 C．34元 D．35元
【答案】C
【解析】设甲、乙、丙三种货物的单价分别是x元、y元、z元，则有，②-①得x+3y=15. 而①式可变形为x+y+z+2(x+3y)=64，代入x+3y=15得x+y+z=34. 所以购买甲、乙、丙各1件，共需34元.
故答案为：C.
【分析】注意不需要求出x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答.
12．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
【答案】A
【解析】设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令 =t， (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t
A.当z=87时，t=4，则x=16，y=﹣3，不符合实际；
B.当z=84时，t=3，则x=12，y=4，符合实际；
C.当z=81时，t=2，则x=8，y=11，符合实际；
D.当z=78时，t=1，则x=4，y=18，符合实际；
故答案为：A.
13．七夕节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”。三种花束的每一束成本分别为a元、b元和C元。已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为 .
【答案】1：2：3
【解析】根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组：
解得
∴a：b：c=a：2a：3a=1：2：3.
故答案为：1：2：3.
14．购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 元．
【答案】7
【解析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．
则由题意得：，
由①②得，
于是：，
故答案为：7．
15．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C 三种图书，A 种每本30元，B 种每本25元，C 种每本20元，其中A 种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有 种．
【答案】6
【解析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数，
根据题意得，，
整理得，，
①当时，，
∴
∵，且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
②当时，，
∴
∵，且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故答案为：6。
16．某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元：李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买 盒.
【答案】10
【解析】设枇杷每千克a元，香梨每千克b元，哈密瓜每千克c元，
则，解得：a+b+c=138，
即丙礼盒售价138元，
设买乙礼盒x盒，丙礼盒y盒，
则98x+138y=1100，
∵x，y为非负整数，
∴98x+138y=1100的非负整数解为，
∴李老师共买7+3=10盒.
故答案为：10.
17．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
18．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）
若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）
为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．
【答案】（1） 解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得： 解得
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
消去z得5x+2y=40，x= ，
因x，y是非负整数，且不大于16，得y=0，5，10，15，
由z是非负整数，解得 ， ， ，有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）解：三种方案的运费分别是：
①400×8+600×8=8000；
②400×6+500×5+600×5=7900；
③400×4+500×10+600×2=7800．
答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．
【期末常考】
19． 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（ ）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
【答案】C
【解析】设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数
由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112
因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得
若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确.
故答案为：C.
20．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元.
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 .
【答案】（1）－1（2）30（3）－11
【解析】(1) ，
①-②=（2x+y）-（x+2y）=7-8，
则x-y=-1，
故答案为：-1；
(2)设每支铅笔为x元，每块橡皮为y元，每本日记本为z元，
∴，
则①×2-②得x+y+z=6，
∴5x+5y+5z=30，
故答案为：30；
(3)∵ ，
∴ ①，②，
②-①得a+2b=13④，
∴5a+10b=65，
①+②得7a+12b+2c=43⑤，
⑤-④得2a+2b+2c=-22，
∴-11，
故答案为：-11.
【课后作业】
1．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
【答案】A
【解析】设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，
根据题意得：
，
（①＋②）÷4得：x＋y＋z＝128，
∴购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元．
故答案为：A.
【分析】设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，根据“购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元”，利用（方程①＋方程②）÷4，即可得出结论．
2．由方程组可得，x∶y∶z是（ ）
A．1∶2∶1 B．1∶（－2）∶（－1）
C．1∶（－2）∶1 D．1∶2∶（－1）
【答案】A
【解析】
由①得，③
将③代入②可得，，解得，
将代入③得，，
∴
故答案为：A
3．已知 ，则的值是 ．
【答案】7
【解析】由
得
∴
故答案为：．
4．方程组 的解为 ．
【答案】
【解析】 ，由①得：a=c-3④，由②得：b=c+1⑤，把④⑤代入③得：c-3+c+1+2c=-2，解得：c=0，把④，⑤代入①，②得：a=-3，b=1，∴ ．
故答案为： .
5．已知式子，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为 ．
【答案】52
【解析】由题意可得：当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25，
即，
解得，
∴x=3时，原式=，
故答案：52.
6． 将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
②＋③得4x-3y=5，
∴ 将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为，
故答案为：
7．解下列三元一次方程组：
【答案】解：（1）
由①－③，得，所以。④
将④代入②，得。⑤
将④代入③，得。⑥
由⑤＋⑥，得，所以。
将代入④，得。
将代入③，得。
所以原方程组的解为
由②，得。④
将④代入①，得。
整理，得。⑤
由③，得。⑥
由⑤＋⑥，得，所以。
将代入③，得，所以。
将代入①，得。
所以原方程组的解为
8．我国古代数学专著《九章算术》中有一题： 用卖 2 头牛、 5 头羊的钱买 13 头猪，剩钱 1000 ； 用卖 3 头牛、 3 头猪的钱买 9 头羊，钱正好； 用卖 6 头羊、 8 头猪的钱买 5 头牛， 还差钱 600 ，牛、羊、猪每头的价钱各多少？
【答案】解：设每头牛的价钱为，每头羊的价钱为， 每头猪的价钱为，
根据题意可得：，
解得．
答： 每头牛的价钱为 1200 ， 每头羊的价钱为 500 ， 每头猪的价钱为 300.
9． 一个方程组含有三个未知数， 每个方程中含有未知数的项的次数都是 1 ， 并且一共有三个方程， 这样的方程组叫做三元一次方程组，小明和小华类比解二元一次方程组的思路， 对下面的三元一次方程组的解进行了探究：
小明分析： 由方程①， 用含有 的代数式表示 ， 分别代入②和③消去 ， 得到两个只含有 的方程④⑤， 组成一个二元一次方程组．
小华分析： 方程①中只含有 ， 因此可以由②③消去 ， 得到一个只含有 的方程④， 与方程①组成一个二元一次方程组．请选择一种思路完成解答过程．
【答案】解：选择小华的方法，
②③， 得 ，④
联立①④， 得 解得
把 代入②， 得 ，
解得 ，
所以方程组的解为
10．【方法体验】已知方程组求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组，则3x+y–z= ▲ .
【探究升级】已知方程组.求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2 （x+2y+3z）+（–1） （4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z= ▲ （x+2y+3z）+ ▲ （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为 ▲ 时，8a+3b–2c为定值，此定值是 ▲ .（直接写出结果）
【答案】解：【方法体验】方法体验：
①+②得4037x+y=520；
【方法迁移】5；
【探究升级】；–；
【巩固运用】–.–2，8.
【解析】方法迁移：将中的两个方程相减得到：–3x–y+z=–5，则3x+y–z=5.
故答案是：5；
探究升级：设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）
由题意得：，解得：，
∴2x+5y+8z=（x+2y+3z）–（4x+3y+2z）
故答案为，–.
巩固运用：设8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）
∴，解得，
∴8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）=3×4+2×（–2）=8.
故答案为–2，8.中小学教育资源及组卷应用平台
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2.5三元一次方程组及其解法
【知识重点】
1．三元一次方程
含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程.
2．三元一次方程组概念
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
3．三元一次方程组的解
同时满足三元一次方程组中各个方程的解，叫做这个三元一次方程组的解.
4．解三元一次方程组基本步骤为
解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.
【经典例题】
例题1、解方程组
例题2、解下列三元一次方程组：
（1） （2）
例题3、解下列三元一次方程组：
【基础训练】
1．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 时，下列解法未实现这一转化的是( )
A．由①-②，②-③，得 B．由①-②，①×2-③，得
C．由①-③，①×2-②，得 D．由②-③，②×2-①，得
2．已知，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．某次知识竞赛共出了30道试题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小丰同学不答的题比答错的题多3道，他的总分为81分，则他答对了（ ）
A．19道题 B．20道题 C．21道题 D．22道题
4．某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
5．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ．
6．已知从方程组中求出 .
7．解下列三元一次方程组：
8．从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班。如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需50分钟，从学校到家需54分钟。求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程。
9．【数学问题】解方程组
【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组
10．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C．双方约定：A=2a- b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5．
（1）当发送方发出的一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方收到的一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
【培优训练】
11．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）．
A．32元 B．33元 C．34元 D．35元
12．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87 B．84 C．81 D．78
13．七夕节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”。三种花束的每一束成本分别为a元、b元和C元。已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为 .
14．购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 元．
15．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C 三种图书，A 种每本30元，B 种每本25元，C 种每本20元，其中A 种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有 种．
16．某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元：李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买 盒.
17．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
18．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）
若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）
为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．
【期末常考】
19． 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（ ）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
20．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元.
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 .
【课后作业】
1．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
2．由方程组可得，x∶y∶z是（ ）
A．1∶2∶1 B．1∶（－2）∶（－1）
C．1∶（－2）∶1 D．1∶2∶（－1）
3．已知 ，则的值是 ．
4．方程组 的解为 ．
5．已知式子，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为 ．
6． 将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ．
7．解下列三元一次方程组：
8．我国古代数学专著《九章算术》中有一题： 用卖 2 头牛、 5 头羊的钱买 13 头猪，剩钱 1000 ； 用卖 3 头牛、 3 头猪的钱买 9 头羊，钱正好； 用卖 6 头羊、 8 头猪的钱买 5 头牛， 还差钱 600 ，牛、羊、猪每头的价钱各多少？
9． 一个方程组含有三个未知数， 每个方程中含有未知数的项的次数都是 1 ， 并且一共有三个方程， 这样的方程组叫做三元一次方程组，小明和小华类比解二元一次方程组的思路， 对下面的三元一次方程组的解进行了探究：
小明分析： 由方程①， 用含有 的代数式表示 ， 分别代入②和③消去 ， 得到两个只含有 的方程④⑤， 组成一个二元一次方程组．
小华分析： 方程①中只含有 ， 因此可以由②③消去 ， 得到一个只含有 的方程④， 与方程①组成一个二元一次方程组．请选择一种思路完成解答过程．
10．【方法体验】已知方程组求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组，则3x+y–z= .
【探究升级】已知方程组.求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2 （x+2y+3z）+（–1） （4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z= （x+2y+3z）+ （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为 时，8a+3b–2c为定值，此定值是 .（直接写出结果）
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