数学七年级下册第2章二元一次方程组
2.3解二元一次方程组（2）
【知识重点】
1.加减消元法
对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数相同或互为相反数时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
(1)将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数)；
(2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(4)把这个未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；
(5)写出方程组的解.
【经典例题】
例题1、解方程组：
（1）；（2）
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【答案】（1）①+②，得3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①，得y=1，
所以方程组的解是.
（2）方程组可化为
①×3，得12m-9n=36③，
②×4，得12m-16n=8④，
③-④，得7n=28，
解得n=4，
把n=4代入②，得m=6，
所以原方程组的解是.
例题2、 解方程组：
（1）（2）
【答案】（1）解：①×5，得③
②+③，得
解得
将代入①，得
解得
∴方程组的解为
（2）解：整理方程组得
①×2-②得2x-12y-(2x-y)=-2-9
-11y=-11
y=1
将y=1代入得x-6=-1
x=5
∴方程组的解为
例题3、解方程组：（1）（2）
【答案】（1）解：
①+②，得4x=2，
解得：，
把代入②，得，
解得：
∴方程组的解为
（2）解：整理得，
把①代入②，得4×1-y=5，
解得：y=-1，
把y=-1代入①，得x+1=1，
解得：x=0，
∴方程组的解为
例题4、若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
【答案】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解，
∴的解也是方程和方程组的解，
①+②得，
解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．
（2）由（1）得两个方程组的解为，
把，代入，
得，
解得．
故a的值是，b的值是．
【基础训练】
1．已知有理数，满足方程组，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】
由①+②得
．
故答案为：A．
【分析】观察方程组中两个方程的特点，由①+②即可求出的值；
2．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】
得：10x-4y=8，
得：-10x-15y=-45，
∴得-19y=-37即可消去x，
故答案为：C.
【分析】根据加减消元法的原理将x项的系数变形成相反时即可消去x.
3．甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则，的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，将代入得a+b=1；将代入得a-2b=7，即
①-②得3b=-6，b=-2，
将b=-2代入①得a-2=1，a=3
a、b的值为
故答案为：C.
4．如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【答案】B
【解析】方程组和有相同的解，
则有，
①×5+②×3，得29x=58，
解得x=2，
把x=2代入①，解得y=1，
把x=2，y=1，代入，
得，
③+④×2，得5b=10，
解得b=2，
把b=2代入④，解得a=-2，
当a=-2，b=2时，a+b=-2+2=0．
故答案为：B．
5．已知 是二元一次方程组 的解，则代数式 的值为 .
【答案】2
【解析】已知 是二元一次方程组 的解，
∴ ，
②-①得： ，
故答案为： .
6． 已知：x， y满足，我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体
的值，则a：b的值是 .
【答案】
【解析】∵用①×a+②×b整体求的值，
∴a(2x-3y)+b(3x-2y)=k(x+11y)，
∴k=2a+3b，11k=-3a-2b，解得：a=-7k，b=5k，
∴a：b=
故答案为：.
7． 已知关于xy的方程ax+by=7的部分解如下表，则m= .
x -1 2 3
y 2 3 m
【答案】
【解析】由题意，得，
解得：，
所以，解得：.
故答案为：.
8．方程组的解为 ．
【答案】
【解析】
①+②得：3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①得：y=2，
故答案为：.
9．用加减消元法解方程组时，将方程②的两边同乘 ，再把所得的方程与(1)相 ， 就可以消去未知数 ．
【答案】2；加
【解析】【解答】
解：②×2，得：6x+4y=34.③
③+①，得：8x=40，
x=5.
故正确答案为：2，加.
10．（1）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的值；
（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．
【答案】（1）解：①－②，得，
，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵，原方程组为，①×2－②，得，
，解得：，
将代入①得，，解得：，
∴这个方程组的解是．
11． 解方程组（1）（2）
【答案】（1）解：
解：①+②得3x=9
即х=3
将x=3代入①得3+y=7
即y= 4
则原方程的解是
（2）解：
解：②可化为：3x+2y=15③
①×2-③得：5x=-5
即х=-1
将x=-1代入①得-4+y=5
即у=9.
则原方程的解为：
12．解方程组：（1） ；（2）.
【答案】（1）解：
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程组的解为 ；
（2）解：
整理，得
得
得
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程组的解为
【培优训练】
13． 已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①将代入原方程组，得解得
将，，代入方程的左右两边，左边=3，右边=3，
当时，方程组的解也是的解；
② 解原方程组，得
∴x+y=3，
无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y=2a+1+2-2a=3
为自然数的解有，，，.
④∵2x+y=8， ∴2（2a+l）+2-2a=8，解得a=2.
故答案为：D.
14．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个．
①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①当时，原方程组为，
解得：，故该项正确；
②，
由，得：．
∵，即，
∴，
解得：，即的最大值为2，故该项错误；
③，
由，得：，
∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确；
④原方程组可改为：，
∴，
整理，得：．
∵，即，
∴，
解得：，
，
∴，即存在实数，使成立，故该项错误．
综上可知正确的有2个．
故答案为：B．
15．若方程组的解是则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵方程组的解是.
∴方程组可以变形为：
∴
∴
故答案为：A.
16．已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）
（1）x+y= （用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程qx+3y=1（q为整数，且q不等于0或-6）的解，p也是整数，则q的最小值为 .
【答案】（1）
（2）-22
【解析】（1），将①+②得，即.
故答案为：；
（2）解方程组 得.
代入，有.
∴.
∵为整数，且不等于或，
∴或.
令（为整数，且），则.
∴必为的因数.
∴.
当时，取得最小值.
∴.
17．已知关于、的二元一次方程组，则的值为 ．
【答案】-5
【解析】当x＞0，y＞0时，原方程组整理得
①＋②得y=4，
将y=4代入①得x=3，
∴x-2y=3-2×4=-5；
当x＞0，y＜0时，原方程组整理得
由②得x=-5，不符合题意；
当x＜0，y＞0时，原方程组整理得
将y=1代入②得x=-3，
∴x-2y=-3-2×1=-5；
当x＜0，y＜0时，原方程组整理得
由①得y=-1，不符合题意，
综上x-2y的值为-5.
故答案为：-5.
18． 已知关于x和y的方程组有正整数解，整数a的值为 .
【答案】1或2或4或10
【解析】
①×2得：2x+2y=12③，
③-②得：
∴当a≠-2时，
∵方程组有正整数解，
∴2+a>0，
解得：a>-2
当2+a=1时，a=-1，y=12，x=-6(不合题意舍去)；
当2+a=2时，a=0，y=6，x=0(不合题意舍去)；
当2+a=3时，a=-1，y=4，x=2；
当2+a=4时，a-2，y=3，x=3；
当2+a=6时，a-4，y=2，x=4；
当2+a=12时，a=10，y=1，x=5；
∴整数a的值为1或2或4或10，
故答案为：1或2或4或10.
19．已知关于x、y的方程组的解为，则关于a、b的方程组的解为 .
【答案】
【解析】把代入方程组，
解得，
把代入方程组 ，
得，
，得，
，
把代入，得，
方程组的解为.
故答案为：.
20．本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题．
（1）小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？
（2）小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②×3﹣①，消去z，得到一个二元一次方程7x+4y＝100．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况．
现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整．
【答案】（1）解：设母鸡买了m只，小鸡买了n只，
根据题意得：，
解得：．
答：母鸡买了11只，小鸡买了81只；
（2）解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，
根据题意得：，
（②×3﹣①）÷2得：7x+4y＝100，
∵是这个二元一次方程的一组解，
∴该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），
∵x，y非负，
∴，
解得：25≤t，
又∵t为整数，
∴t可以为25，26，27，28，
当t＝25时，x＝﹣100+4t＝﹣100+4×25＝0，y＝200﹣7t＝200﹣7×25＝25，z＝100﹣x﹣y＝100﹣0﹣25＝75；
当t＝26时，x＝﹣100+4t＝﹣100+4×26＝4，y＝200﹣7t＝200﹣7×26＝18，z＝100﹣x﹣y＝100﹣4﹣18＝78；
当t＝27时，x＝﹣100+4t＝﹣100+4×27＝8，y＝200﹣7t＝200﹣7×27＝11，z＝100﹣x﹣y＝100﹣8﹣11＝81；
当t＝28时，x＝﹣100+4t＝﹣100+4×28＝12，y＝200﹣7t＝200﹣7×28＝4，z＝100﹣x﹣y＝100﹣12﹣4＝84．
答：公鸡、母鸡、小鸡各买了0只，25只，75只或4只，18只，78只或8只，11只，81只或12只，4只，84只．
21．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
（1）请你用上述方法解方程组．
（2）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
22．定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，例如：，，；，，解决下列问题：
（1）______，______．
（2）若，则的取值范围是______；若，则的取值范围是______；
（3）已知，满足方程组，求，的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：解方程组，解得：，
∴、的取值范围分别为，
【解析】（1），；
故答案为：；；
（2）∵，
∴的取值范围是；
∵，
∴的取值范围是；
故答案为：；；
【期末常考】
23． 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
24． 已知方程组的解是，则方程组的解是 .
【答案】
【解析】所求方程组化为
∴，
∴x=3，y=9
∴该方程组的解为
故答案为： .
25． 已知关于的方程组的解满足，则 ．
【答案】-1
【解析】，
，得，
，
，解得.
故答案为：-1.
【课后作业】
1．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
①+②得：2（x+y）=2m+4，
解得：x+y=m+2，
根据题意得：m+2=2，
解得：m=0．
故答案为：A.
2．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把 代入方程 7x-4y=★，
得
设●为a，把 代入方程 ax-2y=5，
得-9a-2×(-16)=5，
解得 a=3.
∴原方程组是
由①×2-②，得 -x=-1，
解得 x=1.
把 x=1代入①，得3×1-2y=5，
解得 y=-1.
∴原方程组的解是
故选：C.
3．用加减消元法解方程组，下列运算能消去y的是（ ）
A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2
【答案】C
【解析】
A、①×2，得
③-②，得，没有消去y，A错误；
B、①×3，得
②×2，得
③-④，得，没有消去y，B错误；
C、①×2，得
③+②，得，消去y，C正确；
D、①×3，得
②×2，得
③+④，得，没有消去y，D错误.
故选：C.
4． 若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k = .
【答案】-3
【解析】由题意得，y=-x+2，
解得
把x=0，y=2代入方程kx-(k-1)y=8中，k=-3，
故答案为：-3.
5．如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ．
【答案】
【解析】解方程组，
得：，
解得：，
把代入方程可得：，
解得：，
方程组的解为，
把分别代入，，
可得：，
得：，
解得：，
把代入方程可得：，
解得：，
方程组的解为，
．
故答案为： ．
6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则常数的值为 ．
【答案】2
【解析】，
得，，
解得：，
代入到②，得，
解得：，
方程组的解为，
由题意得，也是方程的解，
，
解得：，
常数的值为2．
故答案为：2．
7．解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为 ．
【答案】2
【解析】将小强求得的解代入原方程组得
由②得c=3；
将小刚求得的解代入原方程组中的第一个方程得-2a+4b=6③
用①+③得b=2，将b=2代入①得a=1，
∴a-b+c=1-2+3=2.
故答案为：2.
8．小明在解方程组的过程如下：
解：由①，得③，…………第一步
②③，得，…………第二步
得.…………第三步
把代入①，得，…………第四步
所以原方程组的解为
（1）小明的解题过程从第 步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解方程组的过程.
【答案】（1）二
（2）解：由①，得③，
②③，得.…………4分
把代入①，得，
所以原方程组的解为
【解析】（1）观察解方程组的过程可知：小明的解题过程从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
9．用加减法解下列方程组：
(2)(3)
【答案】解：（1）
①②，得，解得.
把代入②，得.
所以原方程组的解是
①②，得，解得.
把代入①，得.
所以原方程组的解是
（3）
＋②，得，解得.
－②，得，所以.
所以原方程组的解是
10．解下列二元一次方程组：（1）（2）
【答案】（1）解：，
②－①×3得，，
解得，
把代入方程①得，
解得，
∴原方程组的解为
（2）解：，
②－①得，
解得，
把代入方程①得，，
解得，
∴原方程组的解为
11．已知关于，y的方程组的解满足y-=5，求的值.
【答案】解：
由①-②，得y-=-4-5，
又∵y-=5，
∴-4-5=5，
∴
12．若关于x、y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m、n的值．
【答案】（1）解：根据题意，得：，
①+②得2x=4，∴x=2，
将x=2代入①得y=-1，∴该方程组的解为；
（2）解：将代入方程组，得：，
①×2+②得m=6，
将m=6代入②得n=4，∴．中小学教育资源及组卷应用平台
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2.3解二元一次方程组（2）
【知识重点】
1.加减消元法
对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数相同或互为相反数时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
(1)将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数)；
(2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(4)把这个未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；
(5)写出方程组的解.
【经典例题】
例题1、解方程组：（1）； （2）
例题2、解方程组：（1） （2）
例题3、解方程组：（1） （2）
例题4、若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
【基础训练】
1．已知有理数，满足方程组，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则，的值为( )
A． B． C． D．
4．如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
5．已知 是二元一次方程组 的解，则代数式 的值为 .
6． 已知：x， y满足，我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体
的值，则a：b的值是 .
7． 已知关于xy的方程ax+by=7的部分解如下表，则m= .
x -1 2 3
y 2 3 m
8．方程组的解为 ．
9．用加减消元法解方程组时，将方程②的两边同乘 ，再把所得的方程与(1)相 ， 就可以消去未知数 ．
10．（1）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的值；
（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．
11． 解方程组（1） （2）
12．解方程组：（1） ； （2）.
【培优训练】
13． 已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个．
①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．若方程组的解是则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
16．已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）
（1）x+y= （用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程qx+3y=1（q为整数，且q不等于0或-6）的解，p也是整数，则q的最小值为 .
17．已知关于、的二元一次方程组，则的值为 ．
18． 已知关于x和y的方程组有正整数解，整数a的值为 .
19．已知关于x、y的方程组的解为，则关于a、b的方程组的解为 .
20．本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题．
（1）小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？
（2）小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②×3﹣①，消去z，得到一个二元一次方程7x+4y＝100．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况．
现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整．
21．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
（1）请你用上述方法解方程组．
（2）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
22．定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，例如：，，；，，解决下列问题：
（1）______，______．
（2）若，则的取值范围是______；若，则的取值范围是______；
（3）已知，满足方程组，求，的取值范围．
【期末常考】
23． 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
24． 已知方程组的解是，则方程组的解是 .
25． 已知关于的方程组的解满足，则 ．
【课后作业】
1．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是( )
A． B． C． D．
3．用加减消元法解方程组，下列运算能消去y的是（ ）
A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2
4． 若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k = .
5．如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ．
6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则常数的值为 ．
7．解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为 ．
8．小明在解方程组的过程如下：
解：由①，得③，…………第一步
②③，得，…………第二步
得.…………第三步
把代入①，得，…………第四步
所以原方程组的解为
（1）小明的解题过程从第 步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解方程组的过程.
9．用加减法解下列方程组：
(2) (3)
10．解下列二元一次方程组：
（1） （2）
11．已知关于，y的方程组的解满足y-=5，求的值.
12．若关于x、y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m、n的值．
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