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数学七年级下册第2章二元一次方程组
2.4二元一次方程组的应用（2）
【知识重点】
1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程.
2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：
(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)；
(2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)；
(3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；
(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意).
【经典例题】
例题1、一根金属棒在时的长度是，在一定温度范围内，温度每升高，它就伸长当温度为时，金属棒的长度可用公式计算．已测得当时，；当时，．
（1）求，的值．
（2）若这根金属棒受热后长度伸长到，则这时金属棒的温度是多少？
例题2、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？
例题3、某果园现有桃树和杏树共500 棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为 x棵，y棵，则可列的方程组为
例题4、一块锡铅合金，在空气中称得重为115kg，在水中称得重为103kg。已知在空气中15kg的锡在水中称得13kg，在空气中35kg的铅在水中称得32kg。这块合金中含锡和铅各多少千克
例题5、通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
①快餐的总质量为300g；
②快餐的成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质；
③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%。
试分别求出营养快餐中蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质的质量和所占百分比。
【基础训练】
1．通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为300g；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．若设一份营养快餐中含蛋白质x（g），含脂肪y（g），则可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
2． 某公司去年的利润 (总产值一总支出) 为 300 万元， 今年总产值比去年增加了 ， 总支出比去年减少了 ， 今年的利润为 980 万元． 如果去年的总产值为 万元， 总支出为 万元， 则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．《孙子算经》记载了这样一个问题“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半（中半即为），可满四十八．乙得甲太半（太半即为），亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
4． 某工厂现向银行申请了两种贷款， 共计 35 万元， 每年需付利息 2.25 万元． 甲种贷款每年的利率是 ，乙种贷款每年的利率是 ， 求申请的这两种贷款的数额各是多少元． 若设甲、乙两种贷款的金额分别为 万元和 万元， 则（ ）
A． B． C． D．
5．声音在空气中的传播速度与温度有关，若传播速度v与温度t之间满足v=kt+b，且已知当温度为0摄氏度时声音在空气中传播速度为331m/s，当温度为15摄氏度时声音在空气中传播速度为340m/s，请写出速度与温度之间的关系 .
6．某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，则此人买甲股票的钱比买乙股票的钱多 元.
7．一、二班共有100名学生参加期末体育测试，两班的平均达标率为81%，其中一班的达标率为87.5%，二班的达标率为75%，设一班有学生x名，二班有学生y名，根据题意，可以得到方程组 ．
8．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%．已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，则在调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为 元，这种果汁饮料每瓶的价格为 元．
9．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化。科学家已测得一定温度下声音传播的速度如表。如果用表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则v，t满足公式：（a，b为已知数）。
温度 声音传播的速度
-10 324
0 330
20 342
（1）求a，b的值；
（2）求当时的值。
10．营养对促进中学生机体健康具有重要意义，现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息：
①快餐总质量为 300 克.
②快餐的成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质.
③蛋白质和脂肪共占 50%，矿物质的含量是蛋白质含量的 ，蛋白质和碳水化合物含量共占70%.
根据上述信息回答下列的问题：
（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共为 克.
（2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量.
（3）学生每餐的膳食中主要营养成分的“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质=8：1：9，同时三者含量为总质量的 90%.试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比” 如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量(总质量仍为 300 克).
【培优训练】
11． 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
12．小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
13．综合实践：为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具.
【素材1】1个鲁班锁和2个九连环共52元；3个鲁班锁和4个九连环共120元.
【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环，加印数学节logo后作为奖品．加印logo的费用均为每件2元，已知两种道具未加印的共12件，购买和加印的总费用为520元.
（1）任务1：求鲁班锁和九连环的单价。
（2）任务2：学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件？
14．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价／（元／个） 售价／（元／个）
款 120
款 90
若该商场购进4个款足球和11个款足球需980元；购进2个款足球和3个款足球需340元．
（1）求和的值．
（2）某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
15．运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。
（1）填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）
（2）某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。
（3）某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人。
16．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要）。若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元。设A款的单价为x万元，B款的单价为y万元.
（1）求x和y的值.
（2）若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案.
（3）根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元。已知该公司总计付款318万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有 辆。
【期末常考】
17． 《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．九章算术中记载：今有好田亩，价值钱；坏田亩，价值钱．今共买好、坏田顷顷亩，价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了亩，坏田买了亩，则下面所列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
19．请同学们根据以下素材，完成探索任务：
素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼.拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共.
素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的10%，而新建教学楼则只完成了计划的80%，实际拆、建总面积与原计划一致.
素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积.
（1）任务1：填表.
原计划 实际
拆除旧教学楼面积() x ▲
新建教学楼面积() y ▲
（2）任务2：求学校实际新建教学楼面积.
（3）任务3：求扩大的绿化面积.
20．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全. 某小商店购进 A 种头盔 3 个和 B 种头盔 4 个共需 345 元，A 种头盔 4 个和 B 种头盔 3 个共需 390 元.
（1） 求 A，B 两种头盔的单价各是多少元；
（2） 若该商店计划用 450 元购进 A，B 两种头盔（A， B 两种头盔均购买），销售 1 个 A 种头盔可获利 35 元，销售 1 个 B 种头盔可获利 15 元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【课后作业】
1． 《九章算术》中记载了这样一个问题：“甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。”其大意为：“甲、乙两人各自带了若干钱。若甲拿到乙的一半钱后刚好凑成五十文；若乙拿到甲的三分之二钱后也能凑成五十文。问两人原本各带了多少文钱？”设甲、乙原有钱分别为x，y文，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程是（ ）
A． B． C． D．
3．甲种防腐药水含药30%，乙种防腐药水含药75%，现用这两种防腐药水配制含药50%的防腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．小明分别以两种形式储蓄了共 5000 元， 第一种储蓄的年利率为 ， 第二种储蓄的年利率为 ，一年后得到的利息和为 156 元． 那么小明以这两种形式储蓄的钱数分别是（ ）
A．2000 元和 3000 元 B．3000 元和 2000 元
C．1000 元和 4000 元 D．4000 元和 1000 元
5．有这样一个故事：一匹马和一头驴驮着不同袋数的货物一同走，每袋货物的重量相同，驴抱怨负担太重，马说：“你抱怨啥？如果你给我一袋，那么我的负担是你的2倍；如果我给你一袋，我们才恰好一样多！”那么驴原来所驮货物有 袋．
6． 金块放在水里称重时，要减轻本身重量的 ， 银块放在水里称重量时要减轻 ． 已知一块金与银的合金重 530 克在水里称重时，减轻了 35 克，那么这块合金含金 克，银 克．
7．某船在河中航行，已知顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h.若设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，则所列方程组为 .
8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是 cm．
9．国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆型汽车，3辆型汽车的进价共计95万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
10．2024年4月成都世界园艺博览会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色，五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”，若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元.
（1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
（2）若小明购买两款吉祥物共花了800元，则小明分别购买了A，B款吉祥物各多少件？
11．今年1月，商务部等5部门发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴实施方案》，个人消费者购买手机、平板、智能手表（手环）这3类数码产品，按产品销售价格的15%给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元，补贴会在支付金额里直接扣除，
（1）购买原价4000元的某款手机，享受补贴后需支付 元.
（2）①小李在电商平台购买了甲款手机和乙款平板（手机原价比平板原价贵），享受补贴后共支付了4800元，若这两种产品原价之和为5600元，则它们的原价各是多少元？
②该电商平台某旗舰店在3月13日当天销售上述甲款手机和乙款平板时（手机和平板都有售出），共补贴3300元，试求这两款产品当天的销量情况.
12．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费。下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.50
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50
超过30吨的部分 3.00 0.50
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元。
（1）求a，b的值。
（2）如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨
（3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨。（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
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数学七年级下册第2章二元一次方程组
2.4二元一次方程组的应用（2）
【知识重点】
1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程.
2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：
(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)；
(2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)；
(3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；
(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意).
【经典例题】
例题1、一根金属棒在时的长度是，在一定温度范围内，温度每升高，它就伸长当温度为时，金属棒的长度可用公式计算．已测得当时，；当时，．
（1）求，的值．
（2）若这根金属棒受热后长度伸长到，则这时金属棒的温度是多少？
【答案】（1）解：由题意列二元一次方程组：
，
解得：
所以，．
（2）解：，
当时，有，解得：．
答：这时金属棒的温度是．
例题2、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？
【答案】解：设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，
由题意得：，
解得：，
答：这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元．
例题3、某果园现有桃树和杏树共500 棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为 x棵，y棵，则可列的方程组为
【答案】
【解析】依题意得：．
故答案为：．
例题4、一块锡铅合金，在空气中称得重为115kg，在水中称得重为103kg。已知在空气中15kg的锡在水中称得13kg，在空气中35kg的铅在水中称得32kg。这块合金中含锡和铅各多少千克
【答案】解：设这块合金中含锡，含铅.
由题意，得解得
答：这块合金中含锡45kg，含铅70kg.
例题5、通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
①快餐的总质量为300g；
②快餐的成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质；
③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%。
试分别求出营养快餐中蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质的质量和所占百分比。
【答案】解：设一份营养快餐中含蛋白质x(g)，脂肪y(g)，则含矿物质2y(g)，碳水化合物(300×85%-x)(g). 由题意，得
化简，得
①+②，得3y=45，
解得y=15。
所以x=150-y=150-15=135(g)，
2y=2×15=30(g)，
300×85%-x=255-135=120(g)。
答：营养快餐中蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物的质量和所占百分比如下表。
表
成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 合计
各种成分的质量/g 135 15 30 120 300
各种成分所占百分比/% 45 5 10 40 100
【基础训练】
1．通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：①快餐总质量为300g；②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．若设一份营养快餐中含蛋白质x（g），含脂肪y（g），则可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
2． 某公司去年的利润 (总产值一总支出) 为 300 万元， 今年总产值比去年增加了 ， 总支出比去年减少了 ， 今年的利润为 980 万元． 如果去年的总产值为 万元， 总支出为 万元， 则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设去年的总产值为x万元， 总支出为y万元， 则依题意列方程组得：
.
故正确答案选：A.
3．《孙子算经》记载了这样一个问题“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半（中半即为），可满四十八．乙得甲太半（太半即为），亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为：.
故答案为：B.
4． 某工厂现向银行申请了两种贷款， 共计 35 万元， 每年需付利息 2.25 万元． 甲种贷款每年的利率是 ，乙种贷款每年的利率是 ， 求申请的这两种贷款的数额各是多少元． 若设甲、乙两种贷款的金额分别为 万元和 万元， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意有，
解得.
故答案为：A.
5．声音在空气中的传播速度与温度有关，若传播速度v与温度t之间满足v=kt+b，且已知当温度为0摄氏度时声音在空气中传播速度为331m/s，当温度为15摄氏度时声音在空气中传播速度为340m/s，请写出速度与温度之间的关系 .
【答案】v=0.6t+331
【解析】代入t=0，有v=b=331.
代入t=15，有340=15k+331，即k=0.6.
所以v=0.6t+331.
故答案为：v=0.6t+331.
6．某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，则此人买甲股票的钱比买乙股票的钱多 元.
【答案】6000
【解析】设买了甲股票x元，乙股票y元.
则 ，
整理，得 ，
①×2+②得5x=75000，解得.
15000-9000=6000.
故答案为：6000.
7．一、二班共有100名学生参加期末体育测试，两班的平均达标率为81%，其中一班的达标率为87.5%，二班的达标率为75%，设一班有学生x名，二班有学生y名，根据题意，可以得到方程组 ．
【答案】
【解析】设一班有学生x名，二班有学生y名，可得： ，
故答案为：
8．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%．已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，则在调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为 元，这种果汁饮料每瓶的价格为 元．
【答案】3；4
【解析】设调价前每瓶碳酸饮料x元，每瓶果汁饮料y元，则调价后每瓶碳酸饮料(1+10%)x元，每瓶果汁饮料(1-5%)y元，根据题意，得
解这个方程组，得.
答：碳酸饮料和果汁饮料在调价前每瓶分别为3元和4元.
9．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化。科学家已测得一定温度下声音传播的速度如表。如果用表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则v，t满足公式：（a，b为已知数）。
温度 声音传播的速度
-10 324
0 330
20 342
（1）求a，b的值；
（2）求当时的值。
【答案】（1）解：由题意得，t=-10时v=324；若t=0时v=330，
故可得：，
解得：
（2）解：∵，
∴v=0.6t+330，
当t=25℃时，v=345(米/秒)
10．营养对促进中学生机体健康具有重要意义，现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息：
①快餐总质量为 300 克.
②快餐的成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质.
③蛋白质和脂肪共占 50%，矿物质的含量是蛋白质含量的 ，蛋白质和碳水化合物含量共占70%.
根据上述信息回答下列的问题：
（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共为 克.
（2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量.
（3）学生每餐的膳食中主要营养成分的“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质=8：1：9，同时三者含量为总质量的 90%.试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比” 如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量(总质量仍为 300 克).
【答案】（1）150
（2）解：设矿物质的质量为x克， 脂肪的质量为y克，则蛋白质的质量为3x克，
由题意得：，解得：
答：脂肪的质量为 60克，矿物质的质量为30克
（3）解： 这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量分别为120克、60克、90克，这三种成分的质量比为4：2：3，不符合“理想比”，
设符合“理想比” 的碳水化合物的质量为8a克，脂肪的质量为a克，蛋白质的质量为9a克，
由题意得：8a+a+9a=300×90%，
解得：a=15，
矿物质的质量为300×(1-90%)=30(克).
答：不符合，脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克
【解析】【解答】（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量=300×50%=150（克）.
故答案为：150.
【培优训练】
11． 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
【答案】B
【解析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据题意可得：
整理②得：
把①代入，并整理，可得
解得：a=6.
故大长方形周长为：2(8+6)=28.
故答案为：B
12．小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱会不足95元 B．他身上的钱会剩下95元
C．他身上的钱会不足105元 D．他身上的钱会剩下105元
【答案】B
【解析】解设签字笔单价为a ，笔记本的单价为b，他身上带的钱为m， 则m=20a+15b-25， m=19a+13b+15；
20a+15b-25=19a+13b+15， 得a+2b=40， 则17a+9b=19a+13b-2a-4b=m-15-2(a+2b)=m-15-80=m-95；
故答案为：B
13．综合实践：为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具.
【素材1】1个鲁班锁和2个九连环共52元；3个鲁班锁和4个九连环共120元.
【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环，加印数学节logo后作为奖品．加印logo的费用均为每件2元，已知两种道具未加印的共12件，购买和加印的总费用为520元.
（1）任务1：求鲁班锁和九连环的单价。
（2）任务2：学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件？
【答案】（1）解：设鲁班锁的单件为x元，九连环的单件为y元，由题意得：
解得
答：鲁班锁的单件为16元，九连环的单件为18元
（2）解：解法1：设鲁班锁买了m件，九连环买了n件，
则九连环未加印的有（n-10）件，
鲁班锁未加印的有12-（n-10）=（22-n）件，
所以鲁班锁加印的有m-（22-n）=（m+n-22）件，
所以16m+18n+2(m+n-22)+2×10=520，
化简得：9m+10n=272，
所以，
因为m，n均为正整数且，所以
或，
答：鲁班锁和九连环分别买了8件，20件或18件，11件．
解法2：设未加印的鲁班锁a件，加印的鲁班锁b件，
则不加印的九连环（12-a）件
由题意可得：
16a+18b+18(12-a)+20×10=520，
化简得：a=9b-52
因为a，b均为正整数，且a<12
解得或
所以鲁班锁买了8件或18件，对应的九连环为20件或11件．
解法3：
设加印的鲁班锁和不加印的九连环共m件，不加印的鲁班锁n件，
由题可得：18m＋16n＝520－10×20，
化简得：9m＋8n＝160，
所以n＝20－98m
因为m，n均为正整数，且n＜12，
所以或.
所以不加印的九连环为1件或10件，加印的鲁班锁为7件或6件，故九连环共11件或20件，对应的鲁班锁为18件或8件
14．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价／（元／个） 售价／（元／个）
款 120
款 90
若该商场购进4个款足球和11个款足球需980元；购进2个款足球和3个款足球需340元．
（1）求和的值．
（2）某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60
（2）解：根据题意得：120x+90y=3000，
∴40x+30y=1000，
∴(120-80)x+(90-60)y=40x+30y=1000
答：该商场可获利1000元
（3）解：设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：(120-80-10)a+(90×3-60×3-10×2)b=600，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
15．运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。
（1）填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）
（2）某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。
（3）某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人。
【答案】（1）40；（8x-16）
（2）解：m列2层空心方阵人数：8m-16
n列3层空心方阵人数：8n-16+4(n-4)-4=12n-36.
根据题意可列出方程组，解得
（3）48
【解析】（1）7列2层空心方阵中，外层有24人，第二层有16人，合共40人；
x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，合共人.
故答案为：40、；
（3）若排列成m列3层空心方阵，总人数为12m-36人；
若排列成n列4层空心方阵，总人数为人.
根据题意，有，整理得4n-3m=7（n＞4，m＞3）
当n=5时，m非整数；
当n=6时，m非整数；
当n=7时，m=7.
所以人.
即该代表队至少有48人.
故答案为：48.
16．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要）。若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元。设A款的单价为x万元，B款的单价为y万元.
（1）求x和y的值.
（2）若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案.
（3）根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元。已知该公司总计付款318万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有 辆。
【答案】（1）解： 设A款的单价为x万元，B款的单价为y万元 ，
由题意得，
解得
答：x的值为10，y的值为12
（2）解：设购买a辆A款新能源汽车，b辆B款新能源汽车，
根据题意得：10a+12b=150，
∴a=15
又∵a，b均为正整数，
∴或
∴共有2种购买方案，
方案1：购买9辆A款新能源汽车，5辆B款新能源汽车；
方案2：购买3辆A款新能源汽车，10辆B款新能源汽车
（3）1或7
【解析】（3）∵12-2=10(万元)，
∴A款中没有享受国补的单价与B款中享受国补的单价相同；
设A款中享受国补的有m辆，A款中没有享受国补的和B款中享受国补的共n辆，则B款中没有享受国补的有(m+n)，
根据题意得：
(10-2)m+(12-2)n+12×(m+n)=318，
∴
又∵m、n、(m+n)均为非负整数，
∴或，
∴A款中享受国补的有1或17辆.
故答案为：1或17.
【期末常考】
17． 《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据条件“ 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50 ”可得方程；根据条件“ 甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50 ”可得方程.综合可得 .
故答案为：D.
18．九章算术中记载：今有好田亩，价值钱；坏田亩，价值钱．今共买好、坏田顷顷亩，价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了亩，坏田买了亩，则下面所列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设良田买了x亩，薄田买了y亩，根据题意列方程，得：，
故答案为：B．
19．请同学们根据以下素材，完成探索任务：
素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼.拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共.
素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的10%，而新建教学楼则只完成了计划的80%，实际拆、建总面积与原计划一致.
素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积.
（1）任务1：填表.
原计划 实际
拆除旧教学楼面积() x ▲
新建教学楼面积() y ▲
（2）任务2：求学校实际新建教学楼面积.
（3）任务3：求扩大的绿化面积.
【答案】（1）解：1.1x；0.8y
（2）解：由题意，得
解得
2400×0.8=1920(m2)
答：学校实际新建教学楼面积为；
（3）解：（元）
答：扩大的绿化面积为.
【解析】(1)在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的10%，而新建教学楼则只完成了计划的80%，
∴实际拆除旧教学楼的面积为1.1xm2，新建教学楼的面积为0.8ym2，
故答案为：1.1x，0.8y.
20．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全. 某小商店购进 A 种头盔 3 个和 B 种头盔 4 个共需 345 元，A 种头盔 4 个和 B 种头盔 3 个共需 390 元.
（1） 求 A，B 两种头盔的单价各是多少元；
（2） 若该商店计划用 450 元购进 A，B 两种头盔（A， B 两种头盔均购买），销售 1 个 A 种头盔可获利 35 元，销售 1 个 B 种头盔可获利 15 元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设A种头盔x元/个，B种头盔y元/个
解得
答：A种头盔75元/个，B种头盔30元/个；
（2）解：设购买了a个A型头盔，b个B型头盔，依题意
即
购买方案有，
利润分别为：
（元）
(元)
220元>215元
答：两种方案：①购买2个A型头盔，10个B型头盔；
②购买4个A型头盔，5个B型头盔；
最大利润是220元.
【课后作业】
1． 《九章算术》中记载了这样一个问题：“甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。”其大意为：“甲、乙两人各自带了若干钱。若甲拿到乙的一半钱后刚好凑成五十文；若乙拿到甲的三分之二钱后也能凑成五十文。问两人原本各带了多少文钱？”设甲、乙原有钱分别为x，y文，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得：
故答案为：A.
2．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由方程可知，未知数x，y分别表示的是上坡的路程和平路的路程，
∴另一个方程为．
故答案为：B．
3．甲种防腐药水含药30%，乙种防腐药水含药75%，现用这两种防腐药水配制含药50%的防腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：．
故答案为：B．
4．小明分别以两种形式储蓄了共 5000 元， 第一种储蓄的年利率为 ， 第二种储蓄的年利率为 ，一年后得到的利息和为 156 元． 那么小明以这两种形式储蓄的钱数分别是（ ）
A．2000 元和 3000 元 B．3000 元和 2000 元
C．1000 元和 4000 元 D．4000 元和 1000 元
【答案】B
【解析】设小明以年利率为 的方式储蓄了x元，以年利率为 的方式储蓄了y元，则根据题意有，
解得，
即小明以年利率为 的方式储蓄了3000元，以年利率为 的方式储蓄了2000元.
故答案为：B.
5．有这样一个故事：一匹马和一头驴驮着不同袋数的货物一同走，每袋货物的重量相同，驴抱怨负担太重，马说：“你抱怨啥？如果你给我一袋，那么我的负担是你的2倍；如果我给你一袋，我们才恰好一样多！”那么驴原来所驮货物有 袋．
【答案】5
【解析】设驴原来所驮货物有x袋，马原来所驮货物为y袋.
根据题意可得：，
解得：，
即驴原来所驮货物有5袋.
故答案为：5.
6． 金块放在水里称重时，要减轻本身重量的 ， 银块放在水里称重量时要减轻 ． 已知一块金与银的合金重 530 克在水里称重时，减轻了 35 克，那么这块合金含金 克，银 克．
【答案】380；150
【解析】设合金含金x克，含银y克，
根据依题意可得：，解得．
∴含金380克含银150克，
故答案为：380；150.
7．某船在河中航行，已知顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h.若设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，则所列方程组为 .
【答案】
【解析】 设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，
∵逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速，
则根据“ 顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h ”知：
故答案为：.
8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是 cm．
【答案】20
【解析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，据此可列：，解得：，
因此木桶中水的深度为30×=20cm．
故填20．
9．国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆型汽车，3辆型汽车的进价共计95万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
【答案】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x元，B型号的汽车每辆进价为y元，
，解得
答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、15万元.
（2）解：设A型号的汽车有a辆，B型号的汽车有b辆，
化简得，
当a=1时，b=15；当a=4时，b=10；当a=7时，b=5，
答：共有3种方案，分别为购进A型号的汽车有1辆，B型号的汽车有15辆；A型号的汽车有4辆，B型号的汽车有10辆；A型号的汽车有7辆，B型号的汽车有5辆.
10．2024年4月成都世界园艺博览会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色，五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”，若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元.
（1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
（2）若小明购买两款吉祥物共花了800元，则小明分别购买了A，B款吉祥物各多少件？
【答案】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元.
根据题意，得
解得
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元
（2）解：设购买A款吉祥物x件和B款吉祥物y件，根据题意，得
解得：
当 时，
当 时，
当 时，
答：购买A款吉祥物0件和B款吉祥物20件，或A款吉祥物4件和B款吉祥物13件，或A款吉祥物8件和B款吉祥物6件
11．今年1月，商务部等5部门发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴实施方案》，个人消费者购买手机、平板、智能手表（手环）这3类数码产品，按产品销售价格的15%给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元，补贴会在支付金额里直接扣除，
（1）购买原价4000元的某款手机，享受补贴后需支付 元.
（2）①小李在电商平台购买了甲款手机和乙款平板（手机原价比平板原价贵），享受补贴后共支付了4800元，若这两种产品原价之和为5600元，则它们的原价各是多少元？
②该电商平台某旗舰店在3月13日当天销售上述甲款手机和乙款平板时（手机和平板都有售出），共补贴3300元，试求这两款产品当天的销量情况.
【答案】（1）3500
（2）解：①两件产品共补贴了800元，没有达到1000元
所以甲款手机享受了最高补贴500元，乙款平板打85折
设甲款手机原价x元，乙款平板原价y元
解得
②解：设手机销量为m，平板销量为n，则
化简得，
解得或
答：甲款手机3件，乙款平板6件或甲款手机6件，乙款平板1件.
【解析】（1）4000×15％=600（元）.∵600>500.∴只能补贴500元，4000-500=35009（元），∴补贴后需要支付3500元.
12．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费。下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.50
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50
超过30吨的部分 3.00 0.50
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元。
（1）求a，b的值。
（2）如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨
（3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨。（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【答案】（1）解：由题意，得
解得
（2）解：由题意可知，1.5+0.5=2(元)，2.5+0.5=3(元)，3.00+0.5=3.5(元)。
设小王家这个月用水x 吨，
由题意，得2×17+3×(30-17)+(x-30)×3.5=108，
解得x=40。
答：小王家这个月用水40吨。
（3）解：设11月份用水m 吨，则10月份用水(52-m)吨。
①当0≤m≤17，
可得 2m+[73+3.5(52-m-30)](1+2%)=132.59，
解得m=13 ；
②当17可得34+3(m-17)+[73+3.5(52-m-30)](1+2%)=132.59，
解得m= (舍去)。
即小王家11月份用水13吨。
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