1.5平行线的性质（2）—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·长沙期末） 如图，一条道路两侧铺设了AB，CD两条平行的管道，并有纵向管道AC连通，若∠1=60°，则∠2=（ ）
A．60 B．90° C．120 D．140
2．（2023七下·名山期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·钱塘期末） 如图，、分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的光线为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·光明期末）杆秤是传统的计重工具.杆秤称重物时（如图），AB//CD，∠1=86°，则∠2=（ ）
A．84° B．86° C．94° D．96°
5．（2025七下·长沙月考）如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·威县期中）已知题目：“直线a∥b，直线l⊥b，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．若∠BDE＝30°，求∠ACD的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出∠ACD＝60°，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ACD的另一个值是120°
B．淇淇说的不对，∠ACD就得60°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ACD应得50°
D．两人都不对，∠ACD应有3个不同值
7．（2024七下·齐河月考）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
二、填空题
9．（2025七下·封开期末） 如图，平行线AB，CD被直线AE所截.若，则的度数为 .
10．（2025七下·杭州月考）如图，直线，将直角三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ．
11．（2024七下·魏都期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则
12．（2024七下·凉州期中）如图，将一条长方形纸片沿折叠，已知，则 ．
13．（2025七下·江城期中）如图，将两个三角尺的斜边重合放在同一平面内，若直角边与平行，，则 ．
14．（2025七下·竞赛）如图，AB//CD，点M在直线AB，CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM，HM，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N=∠BGM，∠M=∠N+∠HGN，则∠MHG 的度数为 .
15．已知为锐角，，点从点(点不与点重合)出发，沿射线的方向移动，交直线于点交于点，垂足为点(点不与点重合)．若，则 (用来表示)．
16．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
三、解答题
17．（2024七下·新昌期中）已知：如图，，，则．完成下面的说理过程（填空）
解：∵，（已知）
∴______（____________）．
∵（____________），
∴______＝______（等量代换）．
∴（____________）．
18．（2024七下·萍乡期末）如图，，若，试说明：.
19．（2024七下·长沙期末）如图，已知，射线交于点 F，交于点 D，从点 D 引一条射线，且 ．求证： （请把以下过程补充完整）
证明： （已知）
且（① ），
∴ ② （等量代换），
∴ ③ （④ ），
（⑥）
（已知）
∴ ⑦ （⑧ ），
．
20．（2024七下·从江月考）（1）阅读理解
数学兴趣小组的同学在学行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”后，做了如下思考.
如图（1）所示，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°.
如图（2）所示，点E，F分别在直线AB，CD上，点P为直线AB，CD内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接PE，PF.得出结论：∠EPF=∠AEP+∠CFP.
证明过程如下：
如图（3）所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD.
∴∠CFP=∠FPH（ ），
∵PH∥AB，
∴∠AEP=∠EPH.
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP（ ）.
请补充完成上面的证明过程.
（2）请直接用（1）的结论解决下列问题.
问题解决
如图（4）所示，分别作∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，若∠EPF=140°.求∠EMF的度数.
（3）拓展探究
如图（5）所示，分别作∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，再分别作∠AEM和∠CFM的平分线交于点N，若∠EPF=α，∠EMF=β，∠ENF=θ，探究α，β，θ的关系式，并写出该关系式及解答过程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补.求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点A作l∥m，
又∵m∥n，
∴l∥n∥m，
∴∠4=∠2，∠1=∠3．
∴∠1+∠2=∠3+∠4=45°．
故答案为：C．
【分析】过A作l∥m，由平行于同一直线的两条直线互相平行得n∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，得∠4=∠2，∠1=∠3，进而根据等式性质及角的构成可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵MN∥EF，∠1=∠2=50°，
∴∠BCE=∠2=50°，
由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF=50°，
∴∠BCD=180°-50°-50°=80°，
故选：A．
【分析】由平行线的性质得∠BCE=∠2，再由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF，再根据平角的定义即可求解．
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可得：
AB∥CD
∴∠2=∠1= 86°
故答案为：B
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠3=45°，∠1=23°
∴∠2=∠1+∠3=23°+45°=68°
故选：B
【分析】
此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】余角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：题目中没有D、C的相对位置，若D在直线l的右侧，则∠ACD也等于60°；但若D在C点左侧，则∠ACD=120°. 因此只有A选项正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查平行的性质以及考虑问题的角度.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；平行线的判定与性质；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
②：∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
③：∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
④：设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
综上可知：正确的有 ①②③ ；
故答案为：B．
【分析】
根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论，故④错误；
逐一判断即可解答.
8．【答案】B
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EO//MN，
∵PQ//MN，
∴EO//PQ//MN，
∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，
设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，
∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α，
∴70°+β=180°-2α，α=60°-β，
解得α=50°，β=10°，
∴∠CED=∠AEF=50°，
故答案为：B.
【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案.
9．【答案】75°
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意得AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=105°，
∴∠2=180°-105°=75°，
故答案为： 75°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得到∠1+∠2=180°，再根据∠1的度数即可求解。
10．【答案】50
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵ ∠1=40°，
∴ ∠3=90°-∠1=50°，
∵ ，
∴ ∠2=∠3=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据三角板的角度得∠3，再根据两直线平行内错角相等，即可求得.
11．【答案】或
【知识点】角的运算；余角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴∠ACE=90°-∠DCE=∠DCB=30°.
故答案为：或．
【分析】当BE∥AC时，由二直线平行，内错角相等，得∠ACE=∠E=45°；当BC∥AD时，由二直线平行，内错角相等，得∠BCD=∠D=30°，然后根据同角的余角相等可得∠ACE的度数，综上可得答案.
12．【答案】40°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
，
，
由折叠的性质可得：，
∴∠CBF=180°-∠1-∠ABF=40°.
故答案为：40°．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DAB=∠1=70°，由折叠性质得∠1=∠ABF=70°，进而根据平角的定义，由∠CBF=180°-∠1-∠ABF即可算出答案.
13．【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用两直线平行，内错角相等的性质分析求解即可.
14．【答案】45°
【知识点】角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过M作MF//AB，过H作HE//GN，如图：
设∠BGM=2α，∠MHD=β，则∠N=∠BGM=2α，
∴∠AGM=180°-2α，
∵GH平分∠AGM.
∴，
∴∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+α，
∵AB//CD.
∴MF//AB//CD，
∴∠M=∠GMF+∠FMH=∠BGM+∠MHD=2α+β，
∵，
∴
∴∠HGN=β-α，
∵HE//CN.
∴∠GHE=∠HGN=β-α，∠EHM=∠N=2α，
∴∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=(β-α)+2α+β=2β+α，
∵AB//CD.
∴∠BGH+∠GHD=180°，
∴(90°+α)+(2β+α)=180°，
∴α+β=45°，
∴∠MHG=∠GHE+∠EHM=(β-α)+2α=α+β=45°
故答案为：45°.
【分析】过M作MF//AB，过H作HE//GN，设∠BGM=2α，∠MHD=β，可得∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+a，由∠M=∠N+∠HGN，可得∠HGN=β-a，从而∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=2B+a，又∠BGH+∠GHD=180°，即知a+B=45°，进而即可求解.
15．【答案】或
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图1，
过作于，当点在的延长线上时，点在线段上．
如图2，过作于，当点在线段上时，点在的延长线上．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或.
【分析】分别从当点在的延长线上时，当点在线段上时两种情况分析，结合平行线的性质解题即可.
16．【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
17．【答案】；两直线平行，内错角相等；已知；；；同位角相等，两直线平行
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，（已知），
∴．（两直线平行，内错角相等），
∵，（已知），
∴．（等量代换），
∴．（同位角相等，两直线平行），
故答案为：；两直线平行，内错角相等；已知；；；同位角相等，两直线平行．
【分析】先应用平行线的性质，再根据等量代换即可应用平行线的判定．
18．【答案】证明：，
，
∴，
又，
，
.
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先由得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出：，再根据，得出：，从而得出：.
19．【答案】对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：证明：（已知），
且（对顶角相等 ），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行 ），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
∴（两直线平行，内错角相等 ），
．
【分析】根据题意可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求证．
20．【答案】（1）证明：如图（3）所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD.
∴∠CFP=∠FPH（两直线平行，内错角相等），
∵PH∥AB，
∴∠AEP=∠EPH.
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP（等量代换）
（2）解：∵∠EPF=140°，
∴由（1）可知∠EPF=∠AEP+∠CFP=140°，∠EMF=∠BEM+∠DFM.
∵∠AEP+∠BEP=∠CFP+∠DFP=180°，
∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°.
∴∠BEP+∠DFP=360°-140°=220°.
∵EM，FM分别平分∠BEP，∠DFP，
∴∠BEM=∠BEP，∠DFM=∠DFP.
∴∠BEM+∠DFM=(∠BEP+∠DFP)=110°.
∴∠EMF=110°.
（3）解：θ=α+β.
∵∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，∠AEM和∠CFM的平分线交于点N，
∴∠BEP=2∠BEM，∠DFP=2∠DFM.
由（2）可得∠EMF=β=∠BEM+∠DFM，
∵α=∠AEP+∠CFP
=180°-∠BEP+180°-∠DFP
=360°-2∠BEM-2∠DFM
=360°-2(∠BEM+∠DFM)
=360°-2β，
∴α+2β=360°.
∴α+β=180°.
∵θ=∠AEN+∠CFN
=∠AEM+∠CFM
=(180°-∠BEM+180°-∠DFM)
=180°-(∠BEM+∠DFM)
=180°-β.
∴θ=α+β-β=α+β.
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）如图（3），过点P作PH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PH∥CD，由两直线平行，内错角相等，得∠CFP=∠FPH，∠AEP=∠EPH，进而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）由（1）可知∠EPF=∠AEP+∠CFP=140°，∠EMF=∠BEM+∠DFM，然后由邻补角及等式的性质可推出∠BEP+∠DFP=360°-140°=220°，结合角平分线的定义得∠BEM+∠DFM=(∠BEP+∠DFP)，从而即可得出答案；
（3）θ=α+β，理由如下：由角平分线的定义得∠BEP=2∠BEM，∠DFP=2∠DFM，由（2）可得∠EMF=β=∠BEM+∠DFM，由（1）结论可推出α+β=180°，θ=∠AEN+∠CFN=180°-β，从而等量代换可得出结论.
1 / 11.5平行线的性质（2）—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·长沙期末） 如图，一条道路两侧铺设了AB，CD两条平行的管道，并有纵向管道AC连通，若∠1=60°，则∠2=（ ）
A．60 B．90° C．120 D．140
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补.求解即可.
2．（2023七下·名山期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点A作l∥m，
又∵m∥n，
∴l∥n∥m，
∴∠4=∠2，∠1=∠3．
∴∠1+∠2=∠3+∠4=45°．
故答案为：C．
【分析】过A作l∥m，由平行于同一直线的两条直线互相平行得n∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，得∠4=∠2，∠1=∠3，进而根据等式性质及角的构成可求出答案.
3．（2025七下·钱塘期末） 如图，、分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的光线为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵MN∥EF，∠1=∠2=50°，
∴∠BCE=∠2=50°，
由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF=50°，
∴∠BCD=180°-50°-50°=80°，
故选：A．
【分析】由平行线的性质得∠BCE=∠2，再由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF，再根据平角的定义即可求解．
4．（2025七下·光明期末）杆秤是传统的计重工具.杆秤称重物时（如图），AB//CD，∠1=86°，则∠2=（ ）
A．84° B．86° C．94° D．96°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可得：
AB∥CD
∴∠2=∠1= 86°
故答案为：B
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．（2025七下·长沙月考）如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠3=45°，∠1=23°
∴∠2=∠1+∠3=23°+45°=68°
故选：B
【分析】
此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案．
6．（2024七下·威县期中）已知题目：“直线a∥b，直线l⊥b，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．若∠BDE＝30°，求∠ACD的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出∠ACD＝60°，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ACD的另一个值是120°
B．淇淇说的不对，∠ACD就得60°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ACD应得50°
D．两人都不对，∠ACD应有3个不同值
【答案】A
【知识点】余角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：题目中没有D、C的相对位置，若D在直线l的右侧，则∠ACD也等于60°；但若D在C点左侧，则∠ACD=120°. 因此只有A选项正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查平行的性质以及考虑问题的角度.
7．（2024七下·齐河月考）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；平行线的判定与性质；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
②：∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
③：∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
④：设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
综上可知：正确的有 ①②③ ；
故答案为：B．
【分析】
根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论，故④错误；
逐一判断即可解答.
8．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EO//MN，
∵PQ//MN，
∴EO//PQ//MN，
∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，
设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，
∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α，
∴70°+β=180°-2α，α=60°-β，
解得α=50°，β=10°，
∴∠CED=∠AEF=50°，
故答案为：B.
【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案.
二、填空题
9．（2025七下·封开期末） 如图，平行线AB，CD被直线AE所截.若，则的度数为 .
【答案】75°
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由题意得AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=105°，
∴∠2=180°-105°=75°，
故答案为： 75°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得到∠1+∠2=180°，再根据∠1的度数即可求解。
10．（2025七下·杭州月考）如图，直线，将直角三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ．
【答案】50
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵ ∠1=40°，
∴ ∠3=90°-∠1=50°，
∵ ，
∴ ∠2=∠3=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据三角板的角度得∠3，再根据两直线平行内错角相等，即可求得.
11．（2024七下·魏都期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则
【答案】或
【知识点】角的运算；余角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴∠ACE=90°-∠DCE=∠DCB=30°.
故答案为：或．
【分析】当BE∥AC时，由二直线平行，内错角相等，得∠ACE=∠E=45°；当BC∥AD时，由二直线平行，内错角相等，得∠BCD=∠D=30°，然后根据同角的余角相等可得∠ACE的度数，综上可得答案.
12．（2024七下·凉州期中）如图，将一条长方形纸片沿折叠，已知，则 ．
【答案】40°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
，
，
由折叠的性质可得：，
∴∠CBF=180°-∠1-∠ABF=40°.
故答案为：40°．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DAB=∠1=70°，由折叠性质得∠1=∠ABF=70°，进而根据平角的定义，由∠CBF=180°-∠1-∠ABF即可算出答案.
13．（2025七下·江城期中）如图，将两个三角尺的斜边重合放在同一平面内，若直角边与平行，，则 ．
【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用两直线平行，内错角相等的性质分析求解即可.
14．（2025七下·竞赛）如图，AB//CD，点M在直线AB，CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM，HM，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N=∠BGM，∠M=∠N+∠HGN，则∠MHG 的度数为 .
【答案】45°
【知识点】角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过M作MF//AB，过H作HE//GN，如图：
设∠BGM=2α，∠MHD=β，则∠N=∠BGM=2α，
∴∠AGM=180°-2α，
∵GH平分∠AGM.
∴，
∴∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+α，
∵AB//CD.
∴MF//AB//CD，
∴∠M=∠GMF+∠FMH=∠BGM+∠MHD=2α+β，
∵，
∴
∴∠HGN=β-α，
∵HE//CN.
∴∠GHE=∠HGN=β-α，∠EHM=∠N=2α，
∴∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=(β-α)+2α+β=2β+α，
∵AB//CD.
∴∠BGH+∠GHD=180°，
∴(90°+α)+(2β+α)=180°，
∴α+β=45°，
∴∠MHG=∠GHE+∠EHM=(β-α)+2α=α+β=45°
故答案为：45°.
【分析】过M作MF//AB，过H作HE//GN，设∠BGM=2α，∠MHD=β，可得∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+a，由∠M=∠N+∠HGN，可得∠HGN=β-a，从而∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=2B+a，又∠BGH+∠GHD=180°，即知a+B=45°，进而即可求解.
15．已知为锐角，，点从点(点不与点重合)出发，沿射线的方向移动，交直线于点交于点，垂足为点(点不与点重合)．若，则 (用来表示)．
【答案】或
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图1，
过作于，当点在的延长线上时，点在线段上．
如图2，过作于，当点在线段上时，点在的延长线上．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或.
【分析】分别从当点在的延长线上时，当点在线段上时两种情况分析，结合平行线的性质解题即可.
16．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
三、解答题
17．（2024七下·新昌期中）已知：如图，，，则．完成下面的说理过程（填空）
解：∵，（已知）
∴______（____________）．
∵（____________），
∴______＝______（等量代换）．
∴（____________）．
【答案】；两直线平行，内错角相等；已知；；；同位角相等，两直线平行
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，（已知），
∴．（两直线平行，内错角相等），
∵，（已知），
∴．（等量代换），
∴．（同位角相等，两直线平行），
故答案为：；两直线平行，内错角相等；已知；；；同位角相等，两直线平行．
【分析】先应用平行线的性质，再根据等量代换即可应用平行线的判定．
18．（2024七下·萍乡期末）如图，，若，试说明：.
【答案】证明：，
，
∴，
又，
，
.
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先由得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出：，再根据，得出：，从而得出：.
19．（2024七下·长沙期末）如图，已知，射线交于点 F，交于点 D，从点 D 引一条射线，且 ．求证： （请把以下过程补充完整）
证明： （已知）
且（① ），
∴ ② （等量代换），
∴ ③ （④ ），
（⑥）
（已知）
∴ ⑦ （⑧ ），
．
【答案】对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，内错角相等
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：证明：（已知），
且（对顶角相等 ），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行 ），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
∴（两直线平行，内错角相等 ），
．
【分析】根据题意可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求证．
20．（2024七下·从江月考）（1）阅读理解
数学兴趣小组的同学在学行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”后，做了如下思考.
如图（1）所示，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°.
如图（2）所示，点E，F分别在直线AB，CD上，点P为直线AB，CD内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接PE，PF.得出结论：∠EPF=∠AEP+∠CFP.
证明过程如下：
如图（3）所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD.
∴∠CFP=∠FPH（ ），
∵PH∥AB，
∴∠AEP=∠EPH.
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP（ ）.
请补充完成上面的证明过程.
（2）请直接用（1）的结论解决下列问题.
问题解决
如图（4）所示，分别作∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，若∠EPF=140°.求∠EMF的度数.
（3）拓展探究
如图（5）所示，分别作∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，再分别作∠AEM和∠CFM的平分线交于点N，若∠EPF=α，∠EMF=β，∠ENF=θ，探究α，β，θ的关系式，并写出该关系式及解答过程.
【答案】（1）证明：如图（3）所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD.
∴∠CFP=∠FPH（两直线平行，内错角相等），
∵PH∥AB，
∴∠AEP=∠EPH.
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP（等量代换）
（2）解：∵∠EPF=140°，
∴由（1）可知∠EPF=∠AEP+∠CFP=140°，∠EMF=∠BEM+∠DFM.
∵∠AEP+∠BEP=∠CFP+∠DFP=180°，
∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°.
∴∠BEP+∠DFP=360°-140°=220°.
∵EM，FM分别平分∠BEP，∠DFP，
∴∠BEM=∠BEP，∠DFM=∠DFP.
∴∠BEM+∠DFM=(∠BEP+∠DFP)=110°.
∴∠EMF=110°.
（3）解：θ=α+β.
∵∠BEP和∠DFP的平分线交于点M，∠AEM和∠CFM的平分线交于点N，
∴∠BEP=2∠BEM，∠DFP=2∠DFM.
由（2）可得∠EMF=β=∠BEM+∠DFM，
∵α=∠AEP+∠CFP
=180°-∠BEP+180°-∠DFP
=360°-2∠BEM-2∠DFM
=360°-2(∠BEM+∠DFM)
=360°-2β，
∴α+2β=360°.
∴α+β=180°.
∵θ=∠AEN+∠CFN
=∠AEM+∠CFM
=(180°-∠BEM+180°-∠DFM)
=180°-(∠BEM+∠DFM)
=180°-β.
∴θ=α+β-β=α+β.
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）如图（3），过点P作PH∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PH∥CD，由两直线平行，内错角相等，得∠CFP=∠FPH，∠AEP=∠EPH，进而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）由（1）可知∠EPF=∠AEP+∠CFP=140°，∠EMF=∠BEM+∠DFM，然后由邻补角及等式的性质可推出∠BEP+∠DFP=360°-140°=220°，结合角平分线的定义得∠BEM+∠DFM=(∠BEP+∠DFP)，从而即可得出答案；
（3）θ=α+β，理由如下：由角平分线的定义得∠BEP=2∠BEM，∠DFP=2∠DFM，由（2）可得∠EMF=β=∠BEM+∠DFM，由（1）结论可推出α+β=180°，θ=∠AEN+∠CFN=180°-β，从而等量代换可得出结论.
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