培优专题 平行线的性质与判定—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·滨江期末） 在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．（2019七下·天台期末）如图，直线 //b，下列各角中与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的有( )
①不相交的两条直线叫作平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024七下·义乌月考）义乌市为了方便市民绿色行，出了如图①所示的某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=62°，∠BAC=53°，当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．62 B．65 C．75 D．115
5．（2024七下·杭州期中）一个三角板和一个直尺拼接成如图所示的图形，其中，则的度数是（ ）.
A．10° B．45° C．37.5° D．15°
6．（2024七下·慈溪期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为，、分别在、的位置上，若，则为（ ）
A．8° B．10° C．12° D．14°
7． 如图， 在科学《光的反射》活动课中， 小麦将支架平面镜放置在水平桌面 上， 镜面 的调节角 的调节范围为 ， 激光笔发出的光束 射到平面镜上． 若激光笔与水平天花板 (直线 ) 的夹角 ， 则反射光束 与天花板所形成的角 不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·东阳月考）如图1，数学课上，老师在黑板上画出两条直线，，两条直线所成的角跑到黑板外面去了，老师让小明在黑板上测量出直线，所成的角的度数，小明在图 2 中画出测量示意图，过直线上一点，作．测量与的夹角就是、所成的角的度数．这种画图方法的数学依据是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
9． 如图， 平分 的反向延长线交 的平分线于点 ， 则 与 的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022七下·南浔期末）如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
二、填空题
11．（2024七下·杭州期中）如图所示，把一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，则 ．
12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠1=∠2=36°，则∠3= 度.
13．（2024七下·鄞州期中）如图，， 平分，，，则 ．
14．① 如图①， 已知直线 ， 则 的度数为 ， 的度数为 ， 的度数为 .
② 如图②， 直线 ， 分别与直线 交于 两点． 把一块含 角的三角尺按如图②所示的位置摆放． 若 ， 则 的度数为 .
15．（2024七下·浙江期中）如图，两条平行直线被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，则 (用含的代数式表示)．
16．（2020七下·秀洲期中）已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为_ 。
三、解答题
17．（2025七下·温州期中）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在网格的顶点上，按如下要求作图.
（1）在图1中找一格点D，作∠DCB=90°
（2）在图2中找一格点E，作∠ECA=∠BAC.
18．（2024七下·慈溪期中）如图，在中，平分，过点作交于点，过点作交于点，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下：
解：，（已知）
▲ （ ▲ ）
，（已知）
∴ ▲ ＝，（ ▲ ）
▲ ．（ ▲ ）
．（等量代换）
又∵平分，（已知）
．（ ▲ ）
▲ ．（等量代换）
∴平分．（角平分线定义）
请完善以上推导过程和推理依据，并按照顺序将相应内容填写在答题卡指定区域内．
19．（2024七下·杭州期末）请将下列证明过程补充完整．
如图，已知，．
求证：．
证明：∵（ ），
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（ ）．
20．（2022七下·北仑期中）如图， 已知ABDE， 证明： ACDF.
21．（2020七下·鄞州期末）如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°.
（1）求∠BCF的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由.
22．（2025七下·浙江期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线和反射光钱是否平行，并说明理由．
（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系、经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线和光线平行，且，则 °， °．
（3）试猜想：在图3中，当两平面镜AB，CD的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线平行？请说明理由．
23．已知直线 ， 点 分别在 上， 如图所示， 射线 按顺时针方向以每秒 的速度旋转至 便立即回转， 并不断往返旋转． 射线 按顺时针方向每秒 旋转至 停止，此时射线 也停止旋转．
（1） 若射线 同时开始旋转， 当旋转时间 30 秒时， 与 的位置关系为
（2） 若射线 先转 45 秒，射线 才开始转动， 当射线 旋转的时间为多少秒时， ？
24．如图， 将一副三角尺中的两个直角顶点 叠放在一起， 其中 ， ．
（1）若 ， 求 的度数．
（2）试猜想 与 之间的数量关系， 并说明理由．
（3） 若按住三角尺 不动， 绕顶点 转动三角尺 ， 试探究 等于多少度时， ， 并简要说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A.若a∥b， b⊥c， 则( ，故该选项错误，不符合题意；
B.若 allb， bllc，则 allc， 故该选项错误， 不符合题意；
C.若 则 该选项正确，符合题意；
D.若 则 ，故该选项错误，不符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理及推论逐一判断各选项，可得到结果.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图， ∵ //b∴ ∠1=∠6，又∵∠6=∠4，∴∠1=∠4.
而∠2=∠3=∠5， ∠1+∠2=180°. ∴∠1不一定和∠2、∠3、∠5相等。
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，再由对顶角相等和等量代换可求∠1=∠4，而∠1和∠2、∠3、∠5都是互补关系，不一定相等。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行线的定义与现象
【解析】【解答】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确．
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．
综上所述，说法正确的有②③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的的定义以及公理逐项分析即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，都与地面平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．
故答案为：B．
【分析】本题考查平行线的判定与性质．根据已知条件可推出AB∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补，并结合图形可推出：，代入数据可求出答案．
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：标字母如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠APQ+∠PQC=180°，
∵∠PHF+∠AHF=180°，∠AHF=75°，
∴∠PHF=105°.
∵五边形HFIQP中，∠PHF+∠F+∠FIQ+∠APQ+∠PQC=(5－2)×180°=540°，
∴∠FIQ=165°，
∴∠FIC=180°－∠FIQ=15°．
故答案为：D．
【分析】根据平角的定义可得∠PHF=105°，根据平行线的性质可得∠APQ+∠PQC=180°，再利用五边形的内角和公式，可求得∠FIQ的度数，进而可求∠FIC．
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∠EFG=47°，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=47°，∠1+∠2=180°，
根据翻折的性质得∠FEG=∠DEF=47°，
∵∠1+∠FEG+∠DEF=180°，
∴∠1=180°-47°-47°=86°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1=180°-86°=94°，
∴∠2-∠1=94°-86°=8°.
故答案为：A.
【分析】根据四边形ABCD是长方形得AD∥BC，然后根据平行线的性质得∠DEF=∠EFG，∠1+∠2=180°，再根据翻折的性质得∠FEG=∠DEF，接下来利用平角的定义求∠1的度数，从而得∠2的度数，最后进行计算即可.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵镜面AB的调节范围为12°~69°
∴PG⊥AB时，调节角为60°
∴当调节角为12°~60°时，∠PGH=2×（60°-∠ABM）
∴∠PHG=180°-30°-∠PHG
∴54°≤∠PHG＜150°
当调节角为60°~69°时，GH射到PF上；
∴∠PGH=2×（∠ABM-60°）=180°-150°-∠PHG
∴12°≤∠PHG＜30°
∴∠PHG不可能取到的度数为51°
故答案为：C.
【分析】根据PG⊥AB，确定调节角的度数，分类讨论，确定∠PHG的取值范围，最后可得∠PHG不可能取到的度数.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴夹角就是、所成的角的度数.
故答案为：C．
【分析】本题考查平行线的性质；把直线a、b延伸，交于一点，可得，是同位角，结合题意可选出选项．
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解： 平分 平分 ，
过 作 ， 过 作 ， 则
即 ．
即 ．
故答案为：D
【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得进而推出，根据，即可求得.
10．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴γ=∠1+∠2①，
又∵入射角与折射角的度数比为3：2，
∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），
∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β），
∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ.
故答案为：B.
【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ.
11．【答案】62°或62度
【知识点】平行线的性质；余角
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直尺的上下边平行，
∴ ∠2=∠3，
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠1+∠3=90°，
∴ ∠1+∠2=90°，
∵ ∠1=28°，
∴ ∠2=62°.
故答案为：62°或62度.
【分析】根据平行线的性质可得∠2=∠3，再利用∠1与∠3互余，即可求得.
12．【答案】72
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠1=36°，CD平分∠ACB，
∴ ∠DCE=∠1=36°，
∴ ∠ACB=∠1+∠DCE=72°，
∵ ∠1=∠2，
∴ AC∥DE，
∴ ∠3=∠ACB=72°.
故答案为：72.
【分析】根据角平分线的定义可得∠DCE进而求得∠ACB，再根据平行线的判定与性质可得∠3=∠ACB.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵， 平分，，
∴，
∴．
∵，即．
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题先根据平行线的性质（两直线平行、同旁内角互补）得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再结合垂直的定义得到的度数，最后根据平角的定义计算即可求解。
14．【答案】；；；
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ①∵，
∴∠1=∠4=70°，∠2=∠4=70°，∠3=180°-∠4=180°-70°=110°.
故答案为：；；.
②∵，
∴
∠2=180°-∠3-∠4=180°-56°-30°=94°.
故答案为：94°.
【分析】 ①根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，即可得到答案；
②根据平行线的性质得，再由平角的定义即可得到答案.
15．【答案】或或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：解：设∠DAE=θ，
∵AD平分∠EAC，
∴∠CAD=∠DAE=θ，∠CAE=2∠EAD=2θ，
①当点F在B的右侧，且D在12上方时，过点C作CM∥l1，如图1所示：
∵l1∥l2，
∴l1∥CM∥l2，
∴∠EAC=∠ACM，∠CBF=∠BCM，
又∵∠ACB=∠ABM+∠BCM，
∴∠ACB=∠CAE+∠CBF，
同理：∠D=∠DAE+∠DFN，
∵DF∥BC，
∴∠DFN=∠CBF，
∵∠ACB=α，∠CBF=β，∠ADF=γ，
∴α=2θ+β，γ=θ+β，
由γ=θ+β，得：θ=γ-β，
将θ=γ-β代入α=2θ+β，得：α=2（γ-β）+β，
∴；
②当点F在B的左侧时，且D在12上方时，如图2所示：
同理：∠ACB=∠CAE+∠CBN，∠D=∠DAE+∠DFN，
∵∠DFN=∠CBN=180°-∠CBF=180°-β，
∴α=2θ+180°-β，γ=θ+180°-β，
由γ=θ+180°-β，得：θ=γ+β-180°，
将θ=γ+β-180°代入α=2θ+180°-β，得：；
③当点D在直线l2的下方时，过点点D作TK∥l1，如图3所示：
同理：∠ACB=∠CAE+∠CBF，
即α=2θ+β，
∵TK∥l1，l1∥l2，
∴l1∥l2∥TK，
∴∠ADT=∠DAE=θ，∠FDK=∠BFD=∠CBF=β，
∵∠ADT+∠ADF+∠FDK=180°，
∴θ+γ+β=180°，
∴θ=180°-γ-β，
将θ=180°-γ-β代入α=2θ+β，得：α=2（180°-γ-β）+β，
∴；
综上所述：或或；
故答案为： 或或.
【分析】设∠DAE=θ，则∠CAD=∠DAE=θ，∠CAE=2∠EAD=2θ，①当点F在B的右侧，且D在12上方时，过点C作CM∥l1，根据两直线平行，内错角相等可推得∠ACB=∠CAE+∠CBF，同理可得∠D=∠DAE+∠DFN，则α=2θ+β，γ=θ+β，由此可得出γ的度数；②当点F在B的左侧时，且D在12上方时，根据两直线平行，内错角相等可推得∠ACB=∠CAE+∠CBF，∠D=∠DAE+∠DFN，则α=2θ+β，γ=θ+β，由此可得出γ的度数；③当点D在直线l2的下方时，过点点D作TK∥l1，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADT=∠DAE=θ，∠FDK=∠BFD=∠CBF=β，推得∠ACB=∠CAE+∠CBF，则α=2θ+β，根据∠ADT+∠ADF+∠FDK=180°得θ+γ+β=180°，由此可得出γ的度数.
16．【答案】∠α+∠β-∠γ=180°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∴∠α+∠AEF=180° (两直线平行，同旁内角互补)
∵AB∥CD(已知)
∴EF∥CD
∴∠FED=∠EDC(两直线平行，内错角相等)
∵∠β=∠AEP+∠FED
又∵∠γ=∠EDC(已知)
∴∠α+∠β-∠γ=180°
【分析】过E作EF∥AB∥CD由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEP=∠FED，可得∠α、∠β、∠γ之间的关系。
17．【答案】（1）解：如图1：
（2）解：如图2：
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【分析】（1）通过观察网格结构，确定点的位置；（2）通过构造平行线，利用平行线的性质得出∠EAC.
18．【答案】解：，（已知）
（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
∴＝，（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等；）
．（等量代换）
又∵平分，（已知）
．（角平分线定义）
∠BEF．（等量代换）
∴平分．（角平分线定义）
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到答案.
19．【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【分析】根据平行线的判定和性质进行填空即可解决问题.
20．【答案】证明：∵AB∥DE（已知），
∴∠A=∠EPC（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴∠EPC＝∠D（等量传递），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠A=∠EPC，结合∠A＝∠D得∠EPC＝∠D，再由同位角相等，两直线平行，得AC∥DF.
21．【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B＝60°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝60°，
又∵FC⊥CD，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°；
（2）解：DE∥AB.
证明：∵AD∥BC，∠2＝60°，
∴∠ADC＝120°，
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝60°，
又∵∠1＝60°，
∴∠1＝∠ADE，
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠2＝∠1＝∠B，即可得出答案；
（2）求出∠1=∠2＝∠B＝60°，根据平行线的性质求出∠ADC，根据角平分线的定义求出∠ADE=60°，即可得出∠1＝∠ADE，根据平行线的判定得出即可.
22．【答案】（1）平行；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵，
∴，
∴，即∠5=∠6，
∴m∥n
（2）94；90
（3）解：∠ABC=90°，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°，
∴m∥n
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6=180°，
∴∠6=94°，
∴∠3+∠4=180°-∠6=86°，
∴∠3=∠4=43°，
∴∠ABC=180-2-∠3=90°，
故答案为：94，90.
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠2=∠3，再根据已知条件及三角形内角和可得∠5=∠6，再根据根据平行线的判定即可得证；
（2）根据已知条件及平行线的性质可得出∠6的度数，再根据平角的定义即可求解；
（3）当∠ABC=90°时，及已知条件可得出∠5与∠6=互补，再根据平行线的判断即可得出结论.
23．【答案】（1）垂直
（2）解：
设 射线 旋转的时间为 ts，则∠BPB'=4t，∠CQC'=45°+t
如图（2），当0﹤t≦45时
当时，∠BPB'=∠CQC'
∴4t=45°+t，解得t=15
当45﹤t≦90时，如图（3），则∠APB'=4t-180°，∠CQC'=45°+t
∵∴∠APB'=∠PMQ=4t-180°，
∵∴∠CQC'+∠PMQ=180°，
∴4t-180°+45°+t=180°，解得t=63
当90﹤t≦135时，如图（4），∠BPB'=4t-360°，∠CQC'=45°+t
∵，∴四边形为平行四边形
∴∠BPB'=∠CQC'
∴4t-360°=45°+t，解得t=135
故答案为：t=15或63或135.
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的性质
【解析】【解答】
（1）如图1：当 旋转时间 30 秒时，∠BPE=120°，∠CQC'=30°
过点E作EF∥AB，∴∠BPE+∠PEF=180°，∴∠PEF=60°，
∵，EF∥AB，∴∴∠FEQ=∠CQC'=30°
∴∠PEQ=∠FEQ+∠PEF=60°+30°=90°，
∴⊥
故答案为：垂直.
【分析】(1)当t=30s时，∠BPE=120°，∠CQC'=30°，再利用两直线平行，同旁内角互补和内错角相等，得出∠PEQ=∠FEQ+∠PEF=60°+30°=90°，故⊥
（2）根据题意：分三种情况讨论，再根据平行线的性质，得出角之间的关系，列出方程即可.
24．【答案】（1）解：，
，
（2）解： +∠， 理由： ．
（3）解：当 或 时， ． 如图 1， 根据同旁内角互补， 两直线平行，
当 时， ， 此时 ； 如图 2 ， 根据内错角相等， 两直线平行， 当 时， ．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由∠BCA=∠ECD=90°，得出∠DCA=∠BCD-∠BCA=60°，即可得出结果；
（2）由∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°+∠DCA，∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-∠DCA，即可得出结论；
（3）当CD∥AB时，∠B+∠BCD=180°，则∠BCD=180°-∠B=120°；当CD∥AB时，∠B=∠BCD=60°。
1 / 1培优专题 平行线的性质与判定—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·滨江期末） 在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A.若a∥b， b⊥c， 则( ，故该选项错误，不符合题意；
B.若 allb， bllc，则 allc， 故该选项错误， 不符合题意；
C.若 则 该选项正确，符合题意；
D.若 则 ，故该选项错误，不符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理及推论逐一判断各选项，可得到结果.
2．（2019七下·天台期末）如图，直线 //b，下列各角中与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图， ∵ //b∴ ∠1=∠6，又∵∠6=∠4，∴∠1=∠4.
而∠2=∠3=∠5， ∠1+∠2=180°. ∴∠1不一定和∠2、∠3、∠5相等。
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，再由对顶角相等和等量代换可求∠1=∠4，而∠1和∠2、∠3、∠5都是互补关系，不一定相等。
3．下列说法中，正确的有( )
①不相交的两条直线叫作平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行线的定义与现象
【解析】【解答】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确．
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．
综上所述，说法正确的有②③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的的定义以及公理逐项分析即可.
4．（2024七下·义乌月考）义乌市为了方便市民绿色行，出了如图①所示的某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=62°，∠BAC=53°，当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．62 B．65 C．75 D．115
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，都与地面平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．
故答案为：B．
【分析】本题考查平行线的判定与性质．根据已知条件可推出AB∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补，并结合图形可推出：，代入数据可求出答案．
5．（2024七下·杭州期中）一个三角板和一个直尺拼接成如图所示的图形，其中，则的度数是（ ）.
A．10° B．45° C．37.5° D．15°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：标字母如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠APQ+∠PQC=180°，
∵∠PHF+∠AHF=180°，∠AHF=75°，
∴∠PHF=105°.
∵五边形HFIQP中，∠PHF+∠F+∠FIQ+∠APQ+∠PQC=(5－2)×180°=540°，
∴∠FIQ=165°，
∴∠FIC=180°－∠FIQ=15°．
故答案为：D．
【分析】根据平角的定义可得∠PHF=105°，根据平行线的性质可得∠APQ+∠PQC=180°，再利用五边形的内角和公式，可求得∠FIQ的度数，进而可求∠FIC．
6．（2024七下·慈溪期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为，、分别在、的位置上，若，则为（ ）
A．8° B．10° C．12° D．14°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∠EFG=47°，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=47°，∠1+∠2=180°，
根据翻折的性质得∠FEG=∠DEF=47°，
∵∠1+∠FEG+∠DEF=180°，
∴∠1=180°-47°-47°=86°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1=180°-86°=94°，
∴∠2-∠1=94°-86°=8°.
故答案为：A.
【分析】根据四边形ABCD是长方形得AD∥BC，然后根据平行线的性质得∠DEF=∠EFG，∠1+∠2=180°，再根据翻折的性质得∠FEG=∠DEF，接下来利用平角的定义求∠1的度数，从而得∠2的度数，最后进行计算即可.
7． 如图， 在科学《光的反射》活动课中， 小麦将支架平面镜放置在水平桌面 上， 镜面 的调节角 的调节范围为 ， 激光笔发出的光束 射到平面镜上． 若激光笔与水平天花板 (直线 ) 的夹角 ， 则反射光束 与天花板所形成的角 不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵镜面AB的调节范围为12°~69°
∴PG⊥AB时，调节角为60°
∴当调节角为12°~60°时，∠PGH=2×（60°-∠ABM）
∴∠PHG=180°-30°-∠PHG
∴54°≤∠PHG＜150°
当调节角为60°~69°时，GH射到PF上；
∴∠PGH=2×（∠ABM-60°）=180°-150°-∠PHG
∴12°≤∠PHG＜30°
∴∠PHG不可能取到的度数为51°
故答案为：C.
【分析】根据PG⊥AB，确定调节角的度数，分类讨论，确定∠PHG的取值范围，最后可得∠PHG不可能取到的度数.
8．（2024七下·东阳月考）如图1，数学课上，老师在黑板上画出两条直线，，两条直线所成的角跑到黑板外面去了，老师让小明在黑板上测量出直线，所成的角的度数，小明在图 2 中画出测量示意图，过直线上一点，作．测量与的夹角就是、所成的角的度数．这种画图方法的数学依据是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴夹角就是、所成的角的度数.
故答案为：C．
【分析】本题考查平行线的性质；把直线a、b延伸，交于一点，可得，是同位角，结合题意可选出选项．
9． 如图， 平分 的反向延长线交 的平分线于点 ， 则 与 的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解： 平分 平分 ，
过 作 ， 过 作 ， 则
即 ．
即 ．
故答案为：D
【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得进而推出，根据，即可求得.
10．（2022七下·南浔期末）如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴γ=∠1+∠2①，
又∵入射角与折射角的度数比为3：2，
∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），
∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β），
∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ.
故答案为：B.
【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ.
二、填空题
11．（2024七下·杭州期中）如图所示，把一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，则 ．
【答案】62°或62度
【知识点】平行线的性质；余角
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直尺的上下边平行，
∴ ∠2=∠3，
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠1+∠3=90°，
∴ ∠1+∠2=90°，
∵ ∠1=28°，
∴ ∠2=62°.
故答案为：62°或62度.
【分析】根据平行线的性质可得∠2=∠3，再利用∠1与∠3互余，即可求得.
12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠1=∠2=36°，则∠3= 度.
【答案】72
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ ∠1=36°，CD平分∠ACB，
∴ ∠DCE=∠1=36°，
∴ ∠ACB=∠1+∠DCE=72°，
∵ ∠1=∠2，
∴ AC∥DE，
∴ ∠3=∠ACB=72°.
故答案为：72.
【分析】根据角平分线的定义可得∠DCE进而求得∠ACB，再根据平行线的判定与性质可得∠3=∠ACB.
13．（2024七下·鄞州期中）如图，， 平分，，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵， 平分，，
∴，
∴．
∵，即．
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题先根据平行线的性质（两直线平行、同旁内角互补）得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再结合垂直的定义得到的度数，最后根据平角的定义计算即可求解。
14．① 如图①， 已知直线 ， 则 的度数为 ， 的度数为 ， 的度数为 .
② 如图②， 直线 ， 分别与直线 交于 两点． 把一块含 角的三角尺按如图②所示的位置摆放． 若 ， 则 的度数为 .
【答案】；；；
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ①∵，
∴∠1=∠4=70°，∠2=∠4=70°，∠3=180°-∠4=180°-70°=110°.
故答案为：；；.
②∵，
∴
∠2=180°-∠3-∠4=180°-56°-30°=94°.
故答案为：94°.
【分析】 ①根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，即可得到答案；
②根据平行线的性质得，再由平角的定义即可得到答案.
15．（2024七下·浙江期中）如图，两条平行直线被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，则 (用含的代数式表示)．
【答案】或或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：解：设∠DAE=θ，
∵AD平分∠EAC，
∴∠CAD=∠DAE=θ，∠CAE=2∠EAD=2θ，
①当点F在B的右侧，且D在12上方时，过点C作CM∥l1，如图1所示：
∵l1∥l2，
∴l1∥CM∥l2，
∴∠EAC=∠ACM，∠CBF=∠BCM，
又∵∠ACB=∠ABM+∠BCM，
∴∠ACB=∠CAE+∠CBF，
同理：∠D=∠DAE+∠DFN，
∵DF∥BC，
∴∠DFN=∠CBF，
∵∠ACB=α，∠CBF=β，∠ADF=γ，
∴α=2θ+β，γ=θ+β，
由γ=θ+β，得：θ=γ-β，
将θ=γ-β代入α=2θ+β，得：α=2（γ-β）+β，
∴；
②当点F在B的左侧时，且D在12上方时，如图2所示：
同理：∠ACB=∠CAE+∠CBN，∠D=∠DAE+∠DFN，
∵∠DFN=∠CBN=180°-∠CBF=180°-β，
∴α=2θ+180°-β，γ=θ+180°-β，
由γ=θ+180°-β，得：θ=γ+β-180°，
将θ=γ+β-180°代入α=2θ+180°-β，得：；
③当点D在直线l2的下方时，过点点D作TK∥l1，如图3所示：
同理：∠ACB=∠CAE+∠CBF，
即α=2θ+β，
∵TK∥l1，l1∥l2，
∴l1∥l2∥TK，
∴∠ADT=∠DAE=θ，∠FDK=∠BFD=∠CBF=β，
∵∠ADT+∠ADF+∠FDK=180°，
∴θ+γ+β=180°，
∴θ=180°-γ-β，
将θ=180°-γ-β代入α=2θ+β，得：α=2（180°-γ-β）+β，
∴；
综上所述：或或；
故答案为： 或或.
【分析】设∠DAE=θ，则∠CAD=∠DAE=θ，∠CAE=2∠EAD=2θ，①当点F在B的右侧，且D在12上方时，过点C作CM∥l1，根据两直线平行，内错角相等可推得∠ACB=∠CAE+∠CBF，同理可得∠D=∠DAE+∠DFN，则α=2θ+β，γ=θ+β，由此可得出γ的度数；②当点F在B的左侧时，且D在12上方时，根据两直线平行，内错角相等可推得∠ACB=∠CAE+∠CBF，∠D=∠DAE+∠DFN，则α=2θ+β，γ=θ+β，由此可得出γ的度数；③当点D在直线l2的下方时，过点点D作TK∥l1，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADT=∠DAE=θ，∠FDK=∠BFD=∠CBF=β，推得∠ACB=∠CAE+∠CBF，则α=2θ+β，根据∠ADT+∠ADF+∠FDK=180°得θ+γ+β=180°，由此可得出γ的度数.
16．（2020七下·秀洲期中）已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为_ 。
【答案】∠α+∠β-∠γ=180°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∴∠α+∠AEF=180° (两直线平行，同旁内角互补)
∵AB∥CD(已知)
∴EF∥CD
∴∠FED=∠EDC(两直线平行，内错角相等)
∵∠β=∠AEP+∠FED
又∵∠γ=∠EDC(已知)
∴∠α+∠β-∠γ=180°
【分析】过E作EF∥AB∥CD由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEP=∠FED，可得∠α、∠β、∠γ之间的关系。
三、解答题
17．（2025七下·温州期中）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在网格的顶点上，按如下要求作图.
（1）在图1中找一格点D，作∠DCB=90°
（2）在图2中找一格点E，作∠ECA=∠BAC.
【答案】（1）解：如图1：
（2）解：如图2：
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【分析】（1）通过观察网格结构，确定点的位置；（2）通过构造平行线，利用平行线的性质得出∠EAC.
18．（2024七下·慈溪期中）如图，在中，平分，过点作交于点，过点作交于点，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下：
解：，（已知）
▲ （ ▲ ）
，（已知）
∴ ▲ ＝，（ ▲ ）
▲ ．（ ▲ ）
．（等量代换）
又∵平分，（已知）
．（ ▲ ）
▲ ．（等量代换）
∴平分．（角平分线定义）
请完善以上推导过程和推理依据，并按照顺序将相应内容填写在答题卡指定区域内．
【答案】解：，（已知）
（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
∴＝，（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等；）
．（等量代换）
又∵平分，（已知）
．（角平分线定义）
∠BEF．（等量代换）
∴平分．（角平分线定义）
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到答案.
19．（2024七下·杭州期末）请将下列证明过程补充完整．
如图，已知，．
求证：．
证明：∵（ ），
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（ ）．
【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【分析】根据平行线的判定和性质进行填空即可解决问题.
20．（2022七下·北仑期中）如图， 已知ABDE， 证明： ACDF.
【答案】证明：∵AB∥DE（已知），
∴∠A=∠EPC（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴∠EPC＝∠D（等量传递），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠A=∠EPC，结合∠A＝∠D得∠EPC＝∠D，再由同位角相等，两直线平行，得AC∥DF.
21．（2020七下·鄞州期末）如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°.
（1）求∠BCF的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由.
【答案】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B＝60°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝60°，
又∵FC⊥CD，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°；
（2）解：DE∥AB.
证明：∵AD∥BC，∠2＝60°，
∴∠ADC＝120°，
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝60°，
又∵∠1＝60°，
∴∠1＝∠ADE，
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠2＝∠1＝∠B，即可得出答案；
（2）求出∠1=∠2＝∠B＝60°，根据平行线的性质求出∠ADC，根据角平分线的定义求出∠ADE=60°，即可得出∠1＝∠ADE，根据平行线的判定得出即可.
22．（2025七下·浙江期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线和反射光钱是否平行，并说明理由．
（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系、经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线和光线平行，且，则 °， °．
（3）试猜想：在图3中，当两平面镜AB，CD的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线平行？请说明理由．
【答案】（1）平行；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵，
∴，
∴，即∠5=∠6，
∴m∥n
（2）94；90
（3）解：∠ABC=90°，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°，
∴m∥n
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6=180°，
∴∠6=94°，
∴∠3+∠4=180°-∠6=86°，
∴∠3=∠4=43°，
∴∠ABC=180-2-∠3=90°，
故答案为：94，90.
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠2=∠3，再根据已知条件及三角形内角和可得∠5=∠6，再根据根据平行线的判定即可得证；
（2）根据已知条件及平行线的性质可得出∠6的度数，再根据平角的定义即可求解；
（3）当∠ABC=90°时，及已知条件可得出∠5与∠6=互补，再根据平行线的判断即可得出结论.
23．已知直线 ， 点 分别在 上， 如图所示， 射线 按顺时针方向以每秒 的速度旋转至 便立即回转， 并不断往返旋转． 射线 按顺时针方向每秒 旋转至 停止，此时射线 也停止旋转．
（1） 若射线 同时开始旋转， 当旋转时间 30 秒时， 与 的位置关系为
（2） 若射线 先转 45 秒，射线 才开始转动， 当射线 旋转的时间为多少秒时， ？
【答案】（1）垂直
（2）解：
设 射线 旋转的时间为 ts，则∠BPB'=4t，∠CQC'=45°+t
如图（2），当0﹤t≦45时
当时，∠BPB'=∠CQC'
∴4t=45°+t，解得t=15
当45﹤t≦90时，如图（3），则∠APB'=4t-180°，∠CQC'=45°+t
∵∴∠APB'=∠PMQ=4t-180°，
∵∴∠CQC'+∠PMQ=180°，
∴4t-180°+45°+t=180°，解得t=63
当90﹤t≦135时，如图（4），∠BPB'=4t-360°，∠CQC'=45°+t
∵，∴四边形为平行四边形
∴∠BPB'=∠CQC'
∴4t-360°=45°+t，解得t=135
故答案为：t=15或63或135.
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的性质
【解析】【解答】
（1）如图1：当 旋转时间 30 秒时，∠BPE=120°，∠CQC'=30°
过点E作EF∥AB，∴∠BPE+∠PEF=180°，∴∠PEF=60°，
∵，EF∥AB，∴∴∠FEQ=∠CQC'=30°
∴∠PEQ=∠FEQ+∠PEF=60°+30°=90°，
∴⊥
故答案为：垂直.
【分析】(1)当t=30s时，∠BPE=120°，∠CQC'=30°，再利用两直线平行，同旁内角互补和内错角相等，得出∠PEQ=∠FEQ+∠PEF=60°+30°=90°，故⊥
（2）根据题意：分三种情况讨论，再根据平行线的性质，得出角之间的关系，列出方程即可.
24．如图， 将一副三角尺中的两个直角顶点 叠放在一起， 其中 ， ．
（1）若 ， 求 的度数．
（2）试猜想 与 之间的数量关系， 并说明理由．
（3） 若按住三角尺 不动， 绕顶点 转动三角尺 ， 试探究 等于多少度时， ， 并简要说明理由．
【答案】（1）解：，
，
（2）解： +∠， 理由： ．
（3）解：当 或 时， ． 如图 1， 根据同旁内角互补， 两直线平行，
当 时， ， 此时 ； 如图 2 ， 根据内错角相等， 两直线平行， 当 时， ．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由∠BCA=∠ECD=90°，得出∠DCA=∠BCD-∠BCA=60°，即可得出结果；
（2）由∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°+∠DCA，∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-∠DCA，即可得出结论；
（3）当CD∥AB时，∠B+∠BCD=180°，则∠BCD=180°-∠B=120°；当CD∥AB时，∠B=∠BCD=60°。
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