第一章 相交线与平行线章节复习—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·长沙期末）下列窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．四钱纹样式 B．梅花纹样式
C．拟日纹样式 D．海棠纹样式
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象；利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、可经过平移得到，符合题意；
B、可通过旋转得到，不符合题意；
C、可通过旋转得到，不符合题意；
D、可通过旋转得到，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平移不改变图形的形状与大小，且平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上.
2．（2025七下·诸暨期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，若BF=7，EC=1，则平移的距离是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC沿BC方向平移得到△DEF
∴BC=EF
BC-CE=EF-EC
BE=CF
BF=BE+EC+CF=2BE+EC
2BE+1=7
BE=3
故答案为：A.
【分析】根据平移的性质知BC=EF，再由数据关系可得BE的长，即为平移的距离.
3．（2024七下·清苑期中）下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解： 用三角尺过直线l外的点P画l的垂线的作法为：将三角板的一条直角边与已知直线l完全重合，平移三角板，使另一条直角边经过点P，沿直角边过点P画出垂线，并标注字母，故D正确，
故答案为：D．
【分析】根据用三角尺过直线外一点作直线垂线的作法进行判断即可.
4．（2022七下·易县期中）下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义：
中和顶点不在同一位置，不是对顶角；
中和角度不同，不是对顶角；
中和顶点不在同一位置，不是对顶角；
中和是对顶角；
故答案为：．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。
5．（2025七下·北仑期中）如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： ∵∠1=∠4，
∴a∥b，
故A不符合题意；
由∠2=∠3，不能判定a∥b，
故B符合题意；
∵∠1+∠5=180°，∠4+∠5=180°，
∴∠1=∠4，
∴a∥b，
故C不符合题意；
∵∠2+∠4=180°，
∴a∥b，
故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据平行线的判定定理判断求解，即同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行.
6．（2025七下·龙岗期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件能判定ABI//CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠D=∠5
C．∠3=∠4 D．∠1+∠3+∠B=180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，A错误；
B、，依据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，B错误 ；
C、，因为与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，能判定，C正确；
D、，即，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定，不是，D错误.
故答案为：C.
【分析】首先识别每个选项中角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角 ），然后匹配对应的平行线判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行 ），便可判断哪一选项能够推出.
7．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
8．（2025七下·乐清期末）测量跳远项目的成绩时，老师会测量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度。现一学生跳远训练情况如图所示，点A表示后脚跟落点，点B表示前脚跟落点，AC，BD垂直于起跳线l，垂足分别为C，D，则测量成绩的线段是（ ）
A．AE B．AC C．AD D．BD
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据题意可知， 测量成绩的线段是AC.
故答案为：B.
【分析】根据点到直线的距离的定义可知AC或BD，再根据跳远成绩取两脚的较小距离，即可求得.
9．（2024七下·庐江期中） 如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）当点B'在BC上时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴A'B'//AB，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=m，则∠ACA'=2m，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=m，
∴2m+m=45°，
解得：m=15°，
∴∠ACA'=30°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，设∠CA'B'=n，则∠ACA'=n，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=n，
∴，
解得：n=30°，
∴∠ACA'=15°；
（2）当点B'在△ABC外时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴AB//A'B'，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=x，则∠ACA’=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=x，
∴2x=x+45°，
解得：x=45°，
∴∠ACA'=2x=90°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，由图可得：∠CA'B'＜∠ACA'，不存在这种情况，
综上所述：∠ACA'的值为30°，15°或90°，不可能为45°，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质和平行线的性质，结合图形，分类讨论求解即可。
10．（2025七下·嘉陵月考）已知直线，点P在直线之间，连接．
下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则
②如图2，点Q在之间，，则；
③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图1，过点P作，
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴①正确；
②如图2，过点P作，过点Q作，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴②正确；
③如图3，过点P作，过点N作，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③错误．
综上所述，结论正确的有①和②共2个，
故答案为：C．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．①过点P作，则可得到，再根据平行线的性质中“两直线平行，同旁内角互补”即可求解；②过点P作，过点Q作，则可得到，，再根据平行线的性质中“两直线平行，同旁内角互补”和结合题目信息，即可推出结论；③过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论．
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2020七下·涟源期末）如图，过点 画直线 的平行线，能画 条，依据是： .
【答案】1；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过点A画直线l的平行线，能画一条，
依据是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：1；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行进行解答.
12．（2025七下·南宁期末）如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
13．（2025七下·杭州月考）如图，将周长为10的沿BC方向平移2个单位得到，则四边形ABFD的周长为 。
【答案】14
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长，
=AB+BC+DF+CF+AD，
=△ABC的周长+AD+CF，
=14
故答案为：14.
【分析】 根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长=△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解.
14．（2025七下·深圳期末）如图，两条直线a，b被第三条直线c所截，请添加一个条件： 使得a∥b.
【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠5＝∠1，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠1＝∠5（答案不唯一）．
【分析】根据平行线的判定结合题意举出合理的条件即可求解。
15．（2024七下·天津市月考）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 ．
【答案】3
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，
，，
，
，
故平移的距离为3，
故填：3．
【分析】本题主要考查平移的性质.利用平移的性质得出BE = CF，再结合已知条件求出BE和CF的长度，从而得到平移的距离．
16．（2023七下·南昌期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点E在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则
【答案】30°或45°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴
，
故答案为：或．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
三、解答题（共8题，共69分）
17．（2025七下·临平月考）如图，在6×6的网格中，点A，B，C均在格点上，分别按下列要求作出经平移所得的图形。
（1）把△ABC向右平移3格。
（2）把第（1）题中平移所得的图形再向上平移2格。
【答案】（1）解：见解析；△A'B'C'即为所求.
（2）解：见解析；△A'B''C''即为所求.
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：如图所示
【分析】按照平移的性质，根据要求画图即可.
18．（2025七下·越秀期末） 完成下面的证明并填上推理根据．
如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：．
证明：∵（ ），
∴（ ）．
∵（已知），
∴（ ）．
∵（已知），
∴ （ ），
即 ，
∴ （等式的基本事实），
∴（ ）．
【答案】已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式性质；；；内错角相等，两直线平行
【知识点】等式的基本性质；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得：∠4=∠BAF，结合∠3=∠4，等量代换可得：∠3=∠BAF，根据等式的性质可知：∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，由角的和差运算可知：∠BAF=∠CAD，最后根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可得：AD∥BC，由此可得出答案.
19．（2025七下·天河期末）如图，∠ABC的边BC和∠DEF的边FE相交于点G，且AB∥FE．
（1）若DE∥BC，∠B＝60°，求∠DEF的度数；
（2）按照要求完成以下证明，括号内填写推理的依据．
若∠B+∠DEF＝180°，求证：BC∥DE．
证明：∵AB∥FE，
∴ ▲ （ ）．
∵∠B+∠E＝180°，
∴ ▲ ．
∴BC∥DE（ ）．
【答案】（1）证明：∵AB∥FE，
∴∠FGB+∠B＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠FGB＝120°，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠FGB＝120°；
（2）证明：∵AB∥FE，
∴∠FGB+∠B＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B+∠E＝180°，
∴∠FGB＝∠E．
∴BC∥DE（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据AB∥FE，DE∥BC由平行线的性质，根据角的关系推导可得∠DEF=120°
（2）根据平行线的性质和平行线的判定可得
20．（2025七下·三水期中）如图，中，点在边上．
（1）在边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据你在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理．
【答案】（1）解：如图所示，点即为所求：
（2）解：根据在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理为：
①同位角相等，两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【知识点】平行线的判定；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；平行公理
【解析】【分析】（1）利用尺规作角等于已知角的方法作交于点，根据平行线的判定可得，则点即为所求；
（2）根据在（1）中作图的依据和作图的结果，结合平行线的公理即可解答．
（1）解：如图所示，点即为所求：
（2）解：根据在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理为：
①同位角相等，两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
21．（2024七下·榕城期中）如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由；
【答案】解：
理由如下：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
【知识点】垂线的概念；相交线的相关概念
【解析】【解答】解：位置关系：．
理由如下：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义及应用，由，得到再由，得到，得到，即可得到答案.
22．（2025七下·三水期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．
【初步体验】
（1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____．
【基础巩固】
（2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由．
【强化应用】
（3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由．
【答案】（1）40；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质；补角
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
23．（2025七下·饶平期末） 在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，. 请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题：
（1）【初步感知】
如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当时，= .
（2）【自主探究】
如图3，当CA平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由.
（3）【探究拓展】
将一副三角板如图4所示摆放，直线. 若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒()，求当旋转到时，t的值是多少？
【答案】（1）30°
（2）解：. 理由如下：
∵ CA 平分 ， ，
∴.
∵，
即 ， ，
∴.
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当 DF 在 MN 上方时，延长 BC 交 MN 于 T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当 DF 在 MN 下方时，延长 BC 交 MN 于 T，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当旋转到 时，t 的值是 40 或 100.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：(1)、∵CE∥AB
∴∠ACE=∠A=30°
∵∠FCE=90°
∴∠FCA=∠FCE-∠ACE=60°
∵∠BCA=90°
∴∠BCF=∠BCA-∠FCA=30°
故答案为：30°
【分析】
本题考查平行线的性质与判定，角平分线的概念以及角度的计算，熟知平行线的性质与判定和角平分线的性质是解题关键.
（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠ACE=∠A=30°，根据角的和差运算可知：∠FCA=∠FCE-∠ACE=60°和∠BCF=∠BCA-∠FCA=30°，由此可得出的答案；
（2）根据角平分线的定义可知：∠ACE=∠ACF=45°，再根据同角的余角相等可知：∠BCF=∠ACE=45°，结合∠F=45°，等量代换可得：∠F=∠BCF，根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可知：BC∥EF，由此可证得结论；
（3）分两种情况：当DF在MN上方时，延长BC交MN于点T，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可得：∠BTM+∠ABT=180°，代入数据可得：∠BTM=120°，再根据平行线的性质：两直线平行
24．（2025七下·封开期末） “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整. 将“非基本图形”转化为“基本图形”. 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，已知，若，，则的度数是 ▲ .
分析：从图形上看，由于没有一条直线截AB与CD，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质. 过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出.
[方法应用]
已知.
（1） 如图②，若，，则 度；
（2） 如图②，写出、、之间的数量关系，并证明；
（3） 如图③，BE平分，CE平分，，求的度数.
【答案】（1）84
（2）解：，
证明：如图②，过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图③，由（2）得，
∵BE平分，CE平分，
∴，，
∴，
过F点作，
，
，
，，
，
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，∵∠BEC＝∠BEF+∠CEF，∠ABE＝36°，∠DCE＝48°，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝84°；故答案为：84
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行公理及其推论得到AB∥EF∥CD，进而根据平行线的性质得到∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，再进行角的运算即可求解；
（2）过E点作， 根据平行公理及其推论得到，再根据平行线的性质得到，，从而等量代换即可求解；
（3）由（2）得，根据角平分线的定义得到，，则，过F点作，根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再根据代入即可求出∠BFG的度数。
1 / 1第一章 相交线与平行线章节复习—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·长沙期末）下列窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．四钱纹样式 B．梅花纹样式
C．拟日纹样式 D．海棠纹样式
2．（2025七下·诸暨期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，若BF=7，EC=1，则平移的距离是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（2024七下·清苑期中）下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七下·易县期中）下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·北仑期中）如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·龙岗期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件能判定ABI//CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠D=∠5
C．∠3=∠4 D．∠1+∠3+∠B=180°
7．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·乐清期末）测量跳远项目的成绩时，老师会测量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度。现一学生跳远训练情况如图所示，点A表示后脚跟落点，点B表示前脚跟落点，AC，BD垂直于起跳线l，垂足分别为C，D，则测量成绩的线段是（ ）
A．AE B．AC C．AD D．BD
9．（2024七下·庐江期中） 如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025七下·嘉陵月考）已知直线，点P在直线之间，连接．
下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则
②如图2，点Q在之间，，则；
③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2020七下·涟源期末）如图，过点 画直线 的平行线，能画 条，依据是： .
12．（2025七下·南宁期末）如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ．
13．（2025七下·杭州月考）如图，将周长为10的沿BC方向平移2个单位得到，则四边形ABFD的周长为 。
14．（2025七下·深圳期末）如图，两条直线a，b被第三条直线c所截，请添加一个条件： 使得a∥b.
15．（2024七下·天津市月考）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 ．
16．（2023七下·南昌期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点E在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则
三、解答题（共8题，共69分）
17．（2025七下·临平月考）如图，在6×6的网格中，点A，B，C均在格点上，分别按下列要求作出经平移所得的图形。
（1）把△ABC向右平移3格。
（2）把第（1）题中平移所得的图形再向上平移2格。
18．（2025七下·越秀期末） 完成下面的证明并填上推理根据．
如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：．
证明：∵（ ），
∴（ ）．
∵（已知），
∴（ ）．
∵（已知），
∴ （ ），
即 ，
∴ （等式的基本事实），
∴（ ）．
19．（2025七下·天河期末）如图，∠ABC的边BC和∠DEF的边FE相交于点G，且AB∥FE．
（1）若DE∥BC，∠B＝60°，求∠DEF的度数；
（2）按照要求完成以下证明，括号内填写推理的依据．
若∠B+∠DEF＝180°，求证：BC∥DE．
证明：∵AB∥FE，
∴ ▲ （ ）．
∵∠B+∠E＝180°，
∴ ▲ ．
∴BC∥DE（ ）．
20．（2025七下·三水期中）如图，中，点在边上．
（1）在边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据你在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理．
21．（2024七下·榕城期中）如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由；
22．（2025七下·三水期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．
【初步体验】
（1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____．
【基础巩固】
（2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由．
【强化应用】
（3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由．
23．（2025七下·饶平期末） 在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，. 请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题：
（1）【初步感知】
如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当时，= .
（2）【自主探究】
如图3，当CA平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由.
（3）【探究拓展】
将一副三角板如图4所示摆放，直线. 若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒()，求当旋转到时，t的值是多少？
24．（2025七下·封开期末） “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整. 将“非基本图形”转化为“基本图形”. 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，已知，若，，则的度数是 ▲ .
分析：从图形上看，由于没有一条直线截AB与CD，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质. 过E点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出.
[方法应用]
已知.
（1） 如图②，若，，则 度；
（2） 如图②，写出、、之间的数量关系，并证明；
（3） 如图③，BE平分，CE平分，，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的平移现象；利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、可经过平移得到，符合题意；
B、可通过旋转得到，不符合题意；
C、可通过旋转得到，不符合题意；
D、可通过旋转得到，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】平移不改变图形的形状与大小，且平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上.
2．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC沿BC方向平移得到△DEF
∴BC=EF
BC-CE=EF-EC
BE=CF
BF=BE+EC+CF=2BE+EC
2BE+1=7
BE=3
故答案为：A.
【分析】根据平移的性质知BC=EF，再由数据关系可得BE的长，即为平移的距离.
3．【答案】D
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解： 用三角尺过直线l外的点P画l的垂线的作法为：将三角板的一条直角边与已知直线l完全重合，平移三角板，使另一条直角边经过点P，沿直角边过点P画出垂线，并标注字母，故D正确，
故答案为：D．
【分析】根据用三角尺过直线外一点作直线垂线的作法进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义：
中和顶点不在同一位置，不是对顶角；
中和角度不同，不是对顶角；
中和顶点不在同一位置，不是对顶角；
中和是对顶角；
故答案为：．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： ∵∠1=∠4，
∴a∥b，
故A不符合题意；
由∠2=∠3，不能判定a∥b，
故B符合题意；
∵∠1+∠5=180°，∠4+∠5=180°，
∴∠1=∠4，
∴a∥b，
故C不符合题意；
∵∠2+∠4=180°，
∴a∥b，
故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据平行线的判定定理判断求解，即同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，A错误；
B、，依据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，B错误 ；
C、，因为与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，能判定，C正确；
D、，即，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定，不是，D错误.
故答案为：C.
【分析】首先识别每个选项中角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角 ），然后匹配对应的平行线判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行 ），便可判断哪一选项能够推出.
7．【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
8．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据题意可知， 测量成绩的线段是AC.
故答案为：B.
【分析】根据点到直线的距离的定义可知AC或BD，再根据跳远成绩取两脚的较小距离，即可求得.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）当点B'在BC上时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴A'B'//AB，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=m，则∠ACA'=2m，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=m，
∴2m+m=45°，
解得：m=15°，
∴∠ACA'=30°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，设∠CA'B'=n，则∠ACA'=n，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=n，
∴，
解得：n=30°，
∴∠ACA'=15°；
（2）当点B'在△ABC外时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴AB//A'B'，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=x，则∠ACA’=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=x，
∴2x=x+45°，
解得：x=45°，
∴∠ACA'=2x=90°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，由图可得：∠CA'B'＜∠ACA'，不存在这种情况，
综上所述：∠ACA'的值为30°，15°或90°，不可能为45°，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质和平行线的性质，结合图形，分类讨论求解即可。
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图1，过点P作，
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴①正确；
②如图2，过点P作，过点Q作，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴②正确；
③如图3，过点P作，过点N作，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③错误．
综上所述，结论正确的有①和②共2个，
故答案为：C．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．①过点P作，则可得到，再根据平行线的性质中“两直线平行，同旁内角互补”即可求解；②过点P作，过点Q作，则可得到，，再根据平行线的性质中“两直线平行，同旁内角互补”和结合题目信息，即可推出结论；③过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论．
11．【答案】1；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过点A画直线l的平行线，能画一条，
依据是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：1；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行进行解答.
12．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
13．【答案】14
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长，
=AB+BC+DF+CF+AD，
=△ABC的周长+AD+CF，
=14
故答案为：14.
【分析】 根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长=△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解.
14．【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠5＝∠1，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠1＝∠5（答案不唯一）．
【分析】根据平行线的判定结合题意举出合理的条件即可求解。
15．【答案】3
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，
，，
，
，
故平移的距离为3，
故填：3．
【分析】本题主要考查平移的性质.利用平移的性质得出BE = CF，再结合已知条件求出BE和CF的长度，从而得到平移的距离．
16．【答案】30°或45°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴
，
故答案为：或．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
17．【答案】（1）解：见解析；△A'B'C'即为所求.
（2）解：见解析；△A'B''C''即为所求.
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：如图所示
【分析】按照平移的性质，根据要求画图即可.
18．【答案】已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式性质；；；内错角相等，两直线平行
【知识点】等式的基本性质；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得：∠4=∠BAF，结合∠3=∠4，等量代换可得：∠3=∠BAF，根据等式的性质可知：∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，由角的和差运算可知：∠BAF=∠CAD，最后根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可得：AD∥BC，由此可得出答案.
19．【答案】（1）证明：∵AB∥FE，
∴∠FGB+∠B＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠FGB＝120°，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠FGB＝120°；
（2）证明：∵AB∥FE，
∴∠FGB+∠B＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B+∠E＝180°，
∴∠FGB＝∠E．
∴BC∥DE（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据AB∥FE，DE∥BC由平行线的性质，根据角的关系推导可得∠DEF=120°
（2）根据平行线的性质和平行线的判定可得
20．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求：
（2）解：根据在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理为：
①同位角相等，两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【知识点】平行线的判定；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；平行公理
【解析】【分析】（1）利用尺规作角等于已知角的方法作交于点，根据平行线的判定可得，则点即为所求；
（2）根据在（1）中作图的依据和作图的结果，结合平行线的公理即可解答．
（1）解：如图所示，点即为所求：
（2）解：根据在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理为：
①同位角相等，两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
21．【答案】解：
理由如下：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
【知识点】垂线的概念；相交线的相关概念
【解析】【解答】解：位置关系：．
理由如下：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义及应用，由，得到再由，得到，得到，即可得到答案.
22．【答案】（1）40；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质；补角
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）30°
（2）解：. 理由如下：
∵ CA 平分 ， ，
∴.
∵，
即 ， ，
∴.
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当 DF 在 MN 上方时，延长 BC 交 MN 于 T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当 DF 在 MN 下方时，延长 BC 交 MN 于 T，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当旋转到 时，t 的值是 40 或 100.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：(1)、∵CE∥AB
∴∠ACE=∠A=30°
∵∠FCE=90°
∴∠FCA=∠FCE-∠ACE=60°
∵∠BCA=90°
∴∠BCF=∠BCA-∠FCA=30°
故答案为：30°
【分析】
本题考查平行线的性质与判定，角平分线的概念以及角度的计算，熟知平行线的性质与判定和角平分线的性质是解题关键.
（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠ACE=∠A=30°，根据角的和差运算可知：∠FCA=∠FCE-∠ACE=60°和∠BCF=∠BCA-∠FCA=30°，由此可得出的答案；
（2）根据角平分线的定义可知：∠ACE=∠ACF=45°，再根据同角的余角相等可知：∠BCF=∠ACE=45°，结合∠F=45°，等量代换可得：∠F=∠BCF，根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可知：BC∥EF，由此可证得结论；
（3）分两种情况：当DF在MN上方时，延长BC交MN于点T，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补可得：∠BTM+∠ABT=180°，代入数据可得：∠BTM=120°，再根据平行线的性质：两直线平行
24．【答案】（1）84
（2）解：，
证明：如图②，过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图③，由（2）得，
∵BE平分，CE平分，
∴，，
∴，
过F点作，
，
，
，，
，
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，∵∠BEC＝∠BEF+∠CEF，∠ABE＝36°，∠DCE＝48°，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝84°；故答案为：84
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行公理及其推论得到AB∥EF∥CD，进而根据平行线的性质得到∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，再进行角的运算即可求解；
（2）过E点作， 根据平行公理及其推论得到，再根据平行线的性质得到，，从而等量代换即可求解；
（3）由（2）得，根据角平分线的定义得到，，则，过F点作，根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再根据代入即可求出∠BFG的度数。
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