培优专题 平行线与相交线几何证明—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、证明题
1．（2025七下·柯桥月考）已知：如图，∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，∠1＝∠E．求证：AD平分∠BAC．
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（已知）
∴ ▲ ＝∠E，（ ）
∴AD∥EG，（ ）
∵∠2＝∠1，（ ）
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠2＝∠E
∴ ▲ ＝ ▲ ，（ ）．
∴AD平分∠BAC．（ ）
2．已知：如图， ，，试说明： .
请将推理过程补充完整.
解：∵，
根据“ ▲ ”，
可得CD∥EF.
∵∠A=∠2，根据“ ▲ ”，
可得 ▲ // ▲ .
∴AB∥CD∥EF.
根据“ ▲ ”，
可得 ▲ ，∠C= ▲ .
∵，
∴∠A=∠C+∠AFC.
3．如图， 在四边形 中， 是边 上一点，连结 并延长交 的延长线于点 ， 若 ， 试说明 ． 请完善解答过程， 并在括号内填写相应的理论依据．
解： (已知)，
▲ （ ）
▲ （ ）
∵
∴∠ ▲ =
（ ）
4．完成下面的证明：
如图， 已知 ．
求证： ．
证明： (已知)，
(邻补角的定义)，
▲ (等角的补角相等)．
▲ （▲）
▲ （▲） (已知)，
▲ （▲）（▲）
5．如图， 在四边形 中， 分别是 延长线上的点， 连结 ， 分别交 于点 ． 若 ， 试说明 和 ．
请完成下面的推理过程，并填空：
(已知)，
(对顶角相等)，
▲ （ ），
(同位角相等， 两直线平行 ，
▲ （ ）．
(已知)，
▲ （ ） ，
(内错角相等， 两直线平行)．
6．（2025七下·深圳期中）如图，，请说明与平行，阅读下面的解答过程，并填空（括号里填上推理依据）．
解：∵（已知），
∴ ▲ （ ）
又∵（已知），
∴ ▲ （等量代换），
∴（ ）．
7．根据图形填空：
∵AB∥CG(已知)，
∴∠B= ▲ （ ）.
∵CG∥EF(已知)，
∴∠CGB= ▲ （ ）.
8．（2024七下·杭州期中）如图，点是上一点，，交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
9．如图，在中，点E，F在对角线BD上，且，连结AE，CF．猜想AE与CF的关系，并说明理由．
10．已知：如图，在四边形ABCD中，．求证：
（1）．
（2）．
11．如图所示， 已知 ． 求证： 是 的平分线．
12．（2025七上·祁东期末）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，．试判断：与的位置关系？并说明理由．
解：与的位置关系是___________，理由如下：
（已知），
___________（___________），
又（已知），
___________（___________），
（同位角相等，两直线平行），
___________（___________），
又（已知），
___________（等量代换），
（___________）．
13．（2025八上·南皮月考）（1）填写下列空格：
已知：如图，分别平分和．
求证：．
证明：
分别平分和（已知），
， ，（ ）
（已知）
（ ）
（等式的性质）
（ ）
（2）说出（1）的证明中运用了哪两个互逆的真命题．
14．中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图是一个“巴”字，如图是由图抽象出的几何图形，其中，求证：．
证明：如图已知，
，
又 ，
等量代换，
，
已知，
平行于同一条直线的两条直线互相平行，
，
等量代换，
已知，
，
，
，
同角的补角相等．
答案解析部分
1．【答案】证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（已知），
∴∠3＝∠E，（同角的余角相等），
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠2＝∠E，
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）.
故答案为：∠3，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3，∠2，等量代换；角平分线定义.
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】由同角的余角相等得∠3=∠E，由同位角相等，两直线平行，得AD∥EG，由两直线平行，内错角相等，得∠2＝∠1，结合已知，由等量代换得∠3=∠2，从而根据角平分线的定义即可得出结论.
2．【答案】见解析
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】先判定 AB∥CD∥EF，即可得到∠A=∠AFE，∠C=∠CFE，然后根据角的和差解题即可.
3．【答案】【解答】解：∵∠DAF＝∠F，（已知），
∴AD∥BF．（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠DCF．（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝∠D，（已知），
∴∠B＝∠DCF．（等量代换），
∴AB∥DC．（同位角相等，两直线平行），
故答案为：BF；内错角相等，两直线平行；DCF；两直线平行，内错角相等；B；同位角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用内错角相等，两直线平行证出AD∥BF，再利用两直线平行，内错角相等证出∠D＝∠DCF，再利用等量代换可得∠B＝∠DCF，最后利用同位角相等，两直线平行即可证出AB∥DC．
4．【答案】证明： (已知)，
(邻补角的定义)，
(等角的补角相等)．
（同位角相等， 两直线平行）
（两直线平行， 内错角相等）
(已知)，
（等量代换）
（同位角相等， 两直线平行）
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据等角的补角相等得出∠CDB＝∠1，即可判定DC∥AE，根据平行线的性质得出∠C＝∠CBE，等量代换得到∠A＝∠CBE，即可判定AD∥BC．
5．【答案】解：； 等量代换； ；两直线平行，同位角相等； ；等量代换.
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质可得∠ADE=∠C进而得到∠ADE=∠A，再根据平行线的判定即可证明.
6．【答案】解：∵（已知），
∴ ∠BOF （两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴ ∠BOF （等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
7．【答案】解：∵AB∥CG(已知)，
∴∠B=∠CGF(两直线平行，同位角相等).
∵CG∥EF(已知)，
∴∠CGB=∠F(两直线平行， 同位角相等).
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等的性质分析求解即可.
8．【答案】（1）证明：，
．
，
∠A=∠BFD．
．
（2）解：，
．
，
．
，，
．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等，可得，结合已知推出∠A=∠BFD，从而由同位角相等，两直线平行，即可得出结论；
（2）根据二直线平行，同位角相等，可得，，再由平角的定义及已知可求出答案.
9．【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得，进而证得，再通过SAS判定，然后利用全等三角形的性质证得，即可证明，.
10．【答案】（1）解：，
，
.
（2）解：，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题；多边形的内角和公式
【解析】【分析】(1)利用四边形的内角和定理可得，进而证得.
(2)利用平行线的性质可得，再通过AAS判定．
11．【答案】解：∵AD//BC，
∴∠1=∠C，∠2=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠1=∠2，
∴AD是∠CAE的平分线.
【知识点】角平分线的判定；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】先利用两直线平行，同位角和内错角相等的性质证出∠1=∠C，∠2=∠B，再结合∠B=∠C，利用等量代换可证出∠1=∠2，即可得到AD是∠CAE的平分线.
12．【答案】解：与的位置关系是，理由如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据平行线的性质和判定逐一写出即可.
13．【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”
【知识点】平行线的应用-证明问题
14．【答案】两直线平行、同旁内角互补；已知；同旁内角互补、两直线平行；；两直线平行、同位角相等；等量代换；同旁内角互补、两直线平行；两直线平行、同旁内角互补
【知识点】平行线的应用-证明问题；平行公理
【解析】【解答】解：∵AB//GH(已知)
∴∠B+∠G=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠A=∠G(已知)
∴∠A+∠B=180°(等量代换)
∴AD//BG(同旁内角互补，两直线平行)
∵AD//EF(已知)
∴EF//BG(平行于同一条直线的两条直线互相平行)，
∴∠AEF=∠B(两直线平行，同位角相等)
∴∠A+∠AEF=180°(等量代换)，
∵∠A=EFD(已知)
∴∠EFD+∠AEF=180°(等量代换)，
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠A+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补卜)
∴∠AEF=∠D(同角的补角相等)
故答案为：两直线平行、同旁内角互补；已知；同旁内角互补、两直线平行；EF//BG；两直线平行、同位角相等；等量代换；同旁内角互补、两直线平行；两直线平行、同旁内角互补.
【分析】根据平行线的判定与性质逐步分析即可解答.
1 / 1培优专题 平行线与相交线几何证明—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、证明题
1．（2025七下·柯桥月考）已知：如图，∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，∠1＝∠E．求证：AD平分∠BAC．
请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（已知）
∴ ▲ ＝∠E，（ ）
∴AD∥EG，（ ）
∵∠2＝∠1，（ ）
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠2＝∠E
∴ ▲ ＝ ▲ ，（ ）．
∴AD平分∠BAC．（ ）
【答案】证明：∵∠B+∠3＝90°，∠B+∠E＝90°，（已知），
∴∠3＝∠E，（同角的余角相等），
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠E（已知），
∴∠2＝∠E，
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）.
故答案为：∠3，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3，∠2，等量代换；角平分线定义.
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】由同角的余角相等得∠3=∠E，由同位角相等，两直线平行，得AD∥EG，由两直线平行，内错角相等，得∠2＝∠1，结合已知，由等量代换得∠3=∠2，从而根据角平分线的定义即可得出结论.
2．已知：如图， ，，试说明： .
请将推理过程补充完整.
解：∵，
根据“ ▲ ”，
可得CD∥EF.
∵∠A=∠2，根据“ ▲ ”，
可得 ▲ // ▲ .
∴AB∥CD∥EF.
根据“ ▲ ”，
可得 ▲ ，∠C= ▲ .
∵，
∴∠A=∠C+∠AFC.
【答案】见解析
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】先判定 AB∥CD∥EF，即可得到∠A=∠AFE，∠C=∠CFE，然后根据角的和差解题即可.
3．如图， 在四边形 中， 是边 上一点，连结 并延长交 的延长线于点 ， 若 ， 试说明 ． 请完善解答过程， 并在括号内填写相应的理论依据．
解： (已知)，
▲ （ ）
▲ （ ）
∵
∴∠ ▲ =
（ ）
【答案】【解答】解：∵∠DAF＝∠F，（已知），
∴AD∥BF．（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠DCF．（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝∠D，（已知），
∴∠B＝∠DCF．（等量代换），
∴AB∥DC．（同位角相等，两直线平行），
故答案为：BF；内错角相等，两直线平行；DCF；两直线平行，内错角相等；B；同位角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用内错角相等，两直线平行证出AD∥BF，再利用两直线平行，内错角相等证出∠D＝∠DCF，再利用等量代换可得∠B＝∠DCF，最后利用同位角相等，两直线平行即可证出AB∥DC．
4．完成下面的证明：
如图， 已知 ．
求证： ．
证明： (已知)，
(邻补角的定义)，
▲ (等角的补角相等)．
▲ （▲）
▲ （▲） (已知)，
▲ （▲）（▲）
【答案】证明： (已知)，
(邻补角的定义)，
(等角的补角相等)．
（同位角相等， 两直线平行）
（两直线平行， 内错角相等）
(已知)，
（等量代换）
（同位角相等， 两直线平行）
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据等角的补角相等得出∠CDB＝∠1，即可判定DC∥AE，根据平行线的性质得出∠C＝∠CBE，等量代换得到∠A＝∠CBE，即可判定AD∥BC．
5．如图， 在四边形 中， 分别是 延长线上的点， 连结 ， 分别交 于点 ． 若 ， 试说明 和 ．
请完成下面的推理过程，并填空：
(已知)，
(对顶角相等)，
▲ （ ），
(同位角相等， 两直线平行 ，
▲ （ ）．
(已知)，
▲ （ ） ，
(内错角相等， 两直线平行)．
【答案】解：； 等量代换； ；两直线平行，同位角相等； ；等量代换.
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质可得∠ADE=∠C进而得到∠ADE=∠A，再根据平行线的判定即可证明.
6．（2025七下·深圳期中）如图，，请说明与平行，阅读下面的解答过程，并填空（括号里填上推理依据）．
解：∵（已知），
∴ ▲ （ ）
又∵（已知），
∴ ▲ （等量代换），
∴（ ）．
【答案】解：∵（已知），
∴ ∠BOF （两直线平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴ ∠BOF （等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
7．根据图形填空：
∵AB∥CG(已知)，
∴∠B= ▲ （ ）.
∵CG∥EF(已知)，
∴∠CGB= ▲ （ ）.
【答案】解：∵AB∥CG(已知)，
∴∠B=∠CGF(两直线平行，同位角相等).
∵CG∥EF(已知)，
∴∠CGB=∠F(两直线平行， 同位角相等).
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等的性质分析求解即可.
8．（2024七下·杭州期中）如图，点是上一点，，交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）证明：，
．
，
∠A=∠BFD．
．
（2）解：，
．
，
．
，，
．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等，可得，结合已知推出∠A=∠BFD，从而由同位角相等，两直线平行，即可得出结论；
（2）根据二直线平行，同位角相等，可得，，再由平角的定义及已知可求出答案.
9．如图，在中，点E，F在对角线BD上，且，连结AE，CF．猜想AE与CF的关系，并说明理由．
【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得，进而证得，再通过SAS判定，然后利用全等三角形的性质证得，即可证明，.
10．已知：如图，在四边形ABCD中，．求证：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
，
.
（2）解：，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；平行线的应用-证明问题；多边形的内角和公式
【解析】【分析】(1)利用四边形的内角和定理可得，进而证得.
(2)利用平行线的性质可得，再通过AAS判定．
11．如图所示， 已知 ． 求证： 是 的平分线．
【答案】解：∵AD//BC，
∴∠1=∠C，∠2=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠1=∠2，
∴AD是∠CAE的平分线.
【知识点】角平分线的判定；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】先利用两直线平行，同位角和内错角相等的性质证出∠1=∠C，∠2=∠B，再结合∠B=∠C，利用等量代换可证出∠1=∠2，即可得到AD是∠CAE的平分线.
12．（2025七上·祁东期末）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，．试判断：与的位置关系？并说明理由．
解：与的位置关系是___________，理由如下：
（已知），
___________（___________），
又（已知），
___________（___________），
（同位角相等，两直线平行），
___________（___________），
又（已知），
___________（等量代换），
（___________）．
【答案】解：与的位置关系是，理由如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据平行线的性质和判定逐一写出即可.
13．（2025八上·南皮月考）（1）填写下列空格：
已知：如图，分别平分和．
求证：．
证明：
分别平分和（已知），
， ，（ ）
（已知）
（ ）
（等式的性质）
（ ）
（2）说出（1）的证明中运用了哪两个互逆的真命题．
【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”
【知识点】平行线的应用-证明问题
14．中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图是一个“巴”字，如图是由图抽象出的几何图形，其中，求证：．
证明：如图已知，
，
又 ，
等量代换，
，
已知，
平行于同一条直线的两条直线互相平行，
，
等量代换，
已知，
，
，
，
同角的补角相等．
【答案】两直线平行、同旁内角互补；已知；同旁内角互补、两直线平行；；两直线平行、同位角相等；等量代换；同旁内角互补、两直线平行；两直线平行、同旁内角互补
【知识点】平行线的应用-证明问题；平行公理
【解析】【解答】解：∵AB//GH(已知)
∴∠B+∠G=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠A=∠G(已知)
∴∠A+∠B=180°(等量代换)
∴AD//BG(同旁内角互补，两直线平行)
∵AD//EF(已知)
∴EF//BG(平行于同一条直线的两条直线互相平行)，
∴∠AEF=∠B(两直线平行，同位角相等)
∴∠A+∠AEF=180°(等量代换)，
∵∠A=EFD(已知)
∴∠EFD+∠AEF=180°(等量代换)，
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠A+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补卜)
∴∠AEF=∠D(同角的补角相等)
故答案为：两直线平行、同旁内角互补；已知；同旁内角互补、两直线平行；EF//BG；两直线平行、同位角相等；等量代换；同旁内角互补、两直线平行；两直线平行、同旁内角互补.
【分析】根据平行线的判定与性质逐步分析即可解答.
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