培优专题 相交线与平行线三角板相关—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．已知直线a∥b，将含有30°角的三角板按如图所示的方式摆放，若∠1=44°20'，则∠2= ( )
A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40'
2．（2025·浙江模拟）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=65°，则∠2=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3．（2024·拱墅模拟）已知直线，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40'
4．（2024七下·诸暨期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤：将一块含的直角三角尺如图放置，使得点，落于直线上，直角顶点位于两平行线之间；
步骤：将另一块含的直角三角尺进行放置，使得点落于直线上点在点的右边，边经过点，满足；
根据以上步骤，的度数可以是选项中的哪三项( )
；；；；；．
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2025七下·上城期末） 如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ．
6．（2025七下·宁波期末）一副三角板如图所示摆放，，，，则的度数为 ．
7．（2025七下·上城期中）如图，已知a//b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则∠2= .
8．（2025七下·余姚期中） 将一副三角板按如图的方式摆放，已知，则的度数为
9．（2025七下·杭州月考）一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角度不超过）的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当时．则其他可能符合条件的度数为
10．如图， 有一块含 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上． 如果 ， 那么
11．已知一副三角板按如图所示的方式摆放， ， 其中 ， 那么 _ 度．
12．（2024七下·义乌期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小： ．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为 ．
13．（2023七下·北仑期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ．
三、解答题
14．（2025七下·莲都期末） 如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分．
（1）求的度数．
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
（3）将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值．
15．（2025七下·奉化期末） 小宁与小波两位同学在学行线”后进行了课后探究：
素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小宁将三角板向右平移．
（1）如图1，当点F落在线段上时，求的度数．
（2）如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记．
①当点F在右侧时，试探究与的数量关系．
②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是 ▲ ．
（3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
16．（2025七下·安吉期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动.
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
（3）小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上。若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？（直接写出答案，用含α，β的式子表示.）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 如图，
，
，
∵allb，
，
故选： D.
【分析】根据互余得出 进而利用两直线平行，同位角相等解答即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
∵直尺的对边平行， ∠1=65° ，
∴∠3=∠1=65° ，
又∵∠3+90°+∠2=180°，
∴65° +90°+∠2=180°，解得：∠2= 25° .
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质求出∠3，再利用平角的意义求出∠2.
3．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACB=90°，∠1=44°20'，
∴∠3=45°40'，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=45°40'，
故答案为：D.
【分析】先求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求解.
4．【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．
5．【答案】12
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：12.
【分析】利用平行线的性质得到然后根据的和差解答即可.
6．【答案】
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴∠1+90°=45°+∠3，
又∵，
∴∠1=45°+65°-90°=20°.
故答案为：20°.
【分析】利用两直线平行内错角相等、三角尺各角的度数可得∠1和∠3的关系式，再代入∠3的值求解即可.
7．【答案】50°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 如图：
，
故答案为：50°.
【分析】由直角三角板的性质可知， ，再根据平行线的性质即可得出结论.
8．【答案】105°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】 已知AB平行于CD， 根据平行线的性质和三角板的特殊角度，得， 再由∠CGB是两角的补角，有.
9．【答案】或或
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图所示：如图所示：
当时，
如图所示：
当时，
如图所示：
当时，
如图所示：
当时，
故答案为：或或.
【分析】当绕点A顺时针旋转过程中，依次出现、、、四种平行情况，因此需要分类讨论，并利用平行线的性质进行计算即可.
10．【答案】15°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图
∵AC∥BD，且∠2=60°
∴∠BAC=∠2=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠1=∠BAC-∠BAD=15°.
故答案为：15°.
【分析】本题考查平行线性质与平时用的直尺及三角板特征；直尺对边平行可得∠BAC=60°，由三角板可知∠BAD=45°，两角差为所求.
11．【答案】60
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，且∠A=30°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°.
故答案为：60.
【分析】本题考查平行线性质”两直线平行，内错角相等“，先运用”两直线平行，内错角相等“求得∠ADE=30°，再由∠ADE=30°，∠EDF=90°求得∠CDF的度数.
12．【答案】；或
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点作，过点作，
，
，，
，，，，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
【分析】
（1）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等，得到，，，，再结合，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行内错角相等可得，由角平分线的概念可得，再由两直线平行内错角相等可得
当三角板平移至三角板左侧时，此时与互补，即等于，其它运算同上，可得．
13．【答案】或或或
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：解：当时，
；
当时，
；
当时，
则：，∴；
当时，
则，∴．
故答案为：或或或．
【分析】由平行线的判定与性质知，当从向逐渐增大时，存在、、、等四种情况，分别予以计算即可．
14．【答案】（1）解：根据题意得： ∠GEF = 60°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF = 2∠GEF = 120°，
∴∠BEF = 180°-∠AEF = 60°；
（2）解：过点G作GL∥AB， 如图所示：
根据题意得： ∠AEG=60°，∠PNM =30°，∠EGF= 90°，
∴∠EGL=∠AEG=60°，
∴∠LGP=30°，
∴∠LGP = ∠PNM =30°，
∴GL∥CD，
∴GL∥CD∥AB，
∴CD∥AB；
（3）解：如图所示，当时，延长EF交CD于点H，延长PN交EF于点O，交AB于点G，
由 (1) 得
∵将 绕点E逆时针旋转，速度为每秒 同时 绕点N逆时针旋转，速度为每秒 记旋转时间为t，
∴∠HEG=60°﹣4t，∠CNP=10t﹣30°，
∵CD∥AB，
∴∠EHN=60°-4t， ∠CNP=∠HNO=10t-30°，
∴∠EHN+∠CNP=90°， 即60°-4t+10t-30°=90°，
解得： t=10；
如图所示，当EF∥NM时，延长NM交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠MND=10t-180°，
∵CD∥AB，
∴∠DNM =∠BGM =10t-180°，
∵EF∥NM，
∴∠FEB=∠BGM， 即10t-180°= 4t-60°，
解得： t= 20；
如图所示，当EF∥NP时，延长NP交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠GND=10t-180°-30°，
∵CD∥AB，
∴∠DNG=∠AGN =10t-180°-30°，
∵EF∥NM，
∴∠FEG=∠EGN， 即10t-180°-30°= 4t-60°，
解得： t= 25；
综上可得：t的值为10或20或25.
【知识点】旋转的性质；邻补角；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】(1)根据角平分线及邻补角计算即可；
(2)过点G作GL∥AB，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
(3)根据题意，分三种情况分析：当EF∥PM时， 当EF∥NM时， 当EF∥NP时， 然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：如图，连接BE，
，，
，
，
，
，
.
（2）解：①如图，连接BE，
，，
，
，
，
，
，EFEF
，
，
.
②
（3）解：30或40或20
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题；三角形的外角和
【解析】【解答】解：(2)②如图，连接BE，
，
，
，，
，
，
，
.
故答案为：.
(3)如图3-1，当时，延长，
，，
，
，，
，
，解得；
如图3-2，当时，延长，
，，
，
，解得；
如图3-3，当时，延长，
，，
，
，，
，解得，
综上所述，t=20或30或40.
故答案为：20或30或40.
【分析】(1)利用平行线的性质可得，再通过三角形的内角和求得的度数．
(2)①利用平行线的性质可得，再通过三角形的内角和证得.
②利用平行线的性质可得，再通过三角形的内角和证得.
(3)对AC的平行线进行分类讨论，再利用平行线的性质得到之间的等量关系，进而求得t的值.
16．【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴．
（3）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到结合题意得到最后根据平角的定义求出∠EGD的度数，进而即可求解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到即然后根据直角三角形量锐角互余进而即可求解；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补得到即进而结合题目已知信息即可求解．
1 / 1培优专题 相交线与平行线三角板相关—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．已知直线a∥b，将含有30°角的三角板按如图所示的方式摆放，若∠1=44°20'，则∠2= ( )
A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40'
【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 如图，
，
，
∵allb，
，
故选： D.
【分析】根据互余得出 进而利用两直线平行，同位角相等解答即可.
2．（2025·浙江模拟）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=65°，则∠2=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
∵直尺的对边平行， ∠1=65° ，
∴∠3=∠1=65° ，
又∵∠3+90°+∠2=180°，
∴65° +90°+∠2=180°，解得：∠2= 25° .
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质求出∠3，再利用平角的意义求出∠2.
3．（2024·拱墅模拟）已知直线，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40'
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACB=90°，∠1=44°20'，
∴∠3=45°40'，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=45°40'，
故答案为：D.
【分析】先求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求解.
4．（2024七下·诸暨期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤：将一块含的直角三角尺如图放置，使得点，落于直线上，直角顶点位于两平行线之间；
步骤：将另一块含的直角三角尺进行放置，使得点落于直线上点在点的右边，边经过点，满足；
根据以上步骤，的度数可以是选项中的哪三项( )
；；；；；．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．
二、填空题
5．（2025七下·上城期末） 如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ．
【答案】12
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：12.
【分析】利用平行线的性质得到然后根据的和差解答即可.
6．（2025七下·宁波期末）一副三角板如图所示摆放，，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴∠1+90°=45°+∠3，
又∵，
∴∠1=45°+65°-90°=20°.
故答案为：20°.
【分析】利用两直线平行内错角相等、三角尺各角的度数可得∠1和∠3的关系式，再代入∠3的值求解即可.
7．（2025七下·上城期中）如图，已知a//b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则∠2= .
【答案】50°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 如图：
，
故答案为：50°.
【分析】由直角三角板的性质可知， ，再根据平行线的性质即可得出结论.
8．（2025七下·余姚期中） 将一副三角板按如图的方式摆放，已知，则的度数为
【答案】105°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】 已知AB平行于CD， 根据平行线的性质和三角板的特殊角度，得， 再由∠CGB是两角的补角，有.
9．（2025七下·杭州月考）一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角度不超过）的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当时．则其他可能符合条件的度数为
【答案】或或
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图所示：如图所示：
当时，
如图所示：
当时，
如图所示：
当时，
如图所示：
当时，
故答案为：或或.
【分析】当绕点A顺时针旋转过程中，依次出现、、、四种平行情况，因此需要分类讨论，并利用平行线的性质进行计算即可.
10．如图， 有一块含 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上． 如果 ， 那么
【答案】15°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图
∵AC∥BD，且∠2=60°
∴∠BAC=∠2=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠1=∠BAC-∠BAD=15°.
故答案为：15°.
【分析】本题考查平行线性质与平时用的直尺及三角板特征；直尺对边平行可得∠BAC=60°，由三角板可知∠BAD=45°，两角差为所求.
11．已知一副三角板按如图所示的方式摆放， ， 其中 ， 那么 _ 度．
【答案】60
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，且∠A=30°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°.
故答案为：60.
【分析】本题考查平行线性质”两直线平行，内错角相等“，先运用”两直线平行，内错角相等“求得∠ADE=30°，再由∠ADE=30°，∠EDF=90°求得∠CDF的度数.
12．（2024七下·义乌期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小： ．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为 ．
【答案】；或
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点作，过点作，
，
，，
，，，，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
【分析】
（1）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等，得到，，，，再结合，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行内错角相等可得，由角平分线的概念可得，再由两直线平行内错角相等可得
当三角板平移至三角板左侧时，此时与互补，即等于，其它运算同上，可得．
13．（2023七下·北仑期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ．
【答案】或或或
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：解：当时，
；
当时，
；
当时，
则：，∴；
当时，
则，∴．
故答案为：或或或．
【分析】由平行线的判定与性质知，当从向逐渐增大时，存在、、、等四种情况，分别予以计算即可．
三、解答题
14．（2025七下·莲都期末） 如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分．
（1）求的度数．
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
（3）将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值．
【答案】（1）解：根据题意得： ∠GEF = 60°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF = 2∠GEF = 120°，
∴∠BEF = 180°-∠AEF = 60°；
（2）解：过点G作GL∥AB， 如图所示：
根据题意得： ∠AEG=60°，∠PNM =30°，∠EGF= 90°，
∴∠EGL=∠AEG=60°，
∴∠LGP=30°，
∴∠LGP = ∠PNM =30°，
∴GL∥CD，
∴GL∥CD∥AB，
∴CD∥AB；
（3）解：如图所示，当时，延长EF交CD于点H，延长PN交EF于点O，交AB于点G，
由 (1) 得
∵将 绕点E逆时针旋转，速度为每秒 同时 绕点N逆时针旋转，速度为每秒 记旋转时间为t，
∴∠HEG=60°﹣4t，∠CNP=10t﹣30°，
∵CD∥AB，
∴∠EHN=60°-4t， ∠CNP=∠HNO=10t-30°，
∴∠EHN+∠CNP=90°， 即60°-4t+10t-30°=90°，
解得： t=10；
如图所示，当EF∥NM时，延长NM交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠MND=10t-180°，
∵CD∥AB，
∴∠DNM =∠BGM =10t-180°，
∵EF∥NM，
∴∠FEB=∠BGM， 即10t-180°= 4t-60°，
解得： t= 20；
如图所示，当EF∥NP时，延长NP交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠GND=10t-180°-30°，
∵CD∥AB，
∴∠DNG=∠AGN =10t-180°-30°，
∵EF∥NM，
∴∠FEG=∠EGN， 即10t-180°-30°= 4t-60°，
解得： t= 25；
综上可得：t的值为10或20或25.
【知识点】旋转的性质；邻补角；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】(1)根据角平分线及邻补角计算即可；
(2)过点G作GL∥AB，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
(3)根据题意，分三种情况分析：当EF∥PM时， 当EF∥NM时， 当EF∥NP时， 然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可.
15．（2025七下·奉化期末） 小宁与小波两位同学在学行线”后进行了课后探究：
素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小宁将三角板向右平移．
（1）如图1，当点F落在线段上时，求的度数．
（2）如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记．
①当点F在右侧时，试探究与的数量关系．
②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是 ▲ ．
（3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）解：如图，连接BE，
，，
，
，
，
，
.
（2）解：①如图，连接BE，
，，
，
，
，
，
，EFEF
，
，
.
②
（3）解：30或40或20
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题；三角形的外角和
【解析】【解答】解：(2)②如图，连接BE，
，
，
，，
，
，
，
.
故答案为：.
(3)如图3-1，当时，延长，
，，
，
，，
，
，解得；
如图3-2，当时，延长，
，，
，
，解得；
如图3-3，当时，延长，
，，
，
，，
，解得，
综上所述，t=20或30或40.
故答案为：20或30或40.
【分析】(1)利用平行线的性质可得，再通过三角形的内角和求得的度数．
(2)①利用平行线的性质可得，再通过三角形的内角和证得.
②利用平行线的性质可得，再通过三角形的内角和证得.
(3)对AC的平行线进行分类讨论，再利用平行线的性质得到之间的等量关系，进而求得t的值.
16．（2025七下·安吉期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动.
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
（3）小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上。若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？（直接写出答案，用含α，β的式子表示.）
【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴．
（3）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到结合题意得到最后根据平角的定义求出∠EGD的度数，进而即可求解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到即然后根据直角三角形量锐角互余进而即可求解；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补得到即进而结合题目已知信息即可求解．
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