培优专题 相交线与平行线猪蹄模型—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的( )
A．南偏东60°方向 B．北偏西 60°方向
C．南偏东50°方向 D．北偏西50°方向
2．如图，将一块含60°角的三角板放置在两条平行线上.若∠1=40°，则∠2的度数为( )
A．60° B．40° C．30° D．20°
3．（2025七下·杭州月考）如图，已知AB//CD，P为CD下方一点，G，H分别为AB，CD上的点，∠PGB=α，∠PHD=β，（α>β，且a，β均为锐角），∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F，GE平分∠PGA，交直线HF于点E，下列结论：
①∠P=a-β：②2∠E+α=180°+β：③若∠CHP-∠AGP=∠E，则∠E=60°；
其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．刚上七年级的小红在“抖空竹”时有一个发现：可以把它抽象成自己正在学习的几何问题。如图，已知AB∥CD，∠A =20°，∠E=60°，则∠C 的度数为 ( )
A．20° B．40° C．60° D．70°
5．（2025七下·杭州月考）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图， 的直角顶点 在直线 上． 若 ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 为 之间的一点， 已知 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·富阳模拟）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为( )
A． B． C． D．
9．①如图 1 所示， ， 则 ； ②如图 2 所示， ， 则 ； ③如图 3 所示， ， 则 ； ④如图 4 所示， ， 则 ． 以上结论正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
10．如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG的平分线FH交直线CD于点H，∠AEF 的平分线EM和∠CGF的平分线GM相交于点M.若∠BEF=130°，∠FHC=15°，则∠M的度数为（ ）
A．65° B．55° C．50° D．45°
二、填空题
11．（2024七下·杭州期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ．
12．如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为点E，现进行如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为点E1；
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为点E2；
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为点E3；
……
第n次操作，分别作∠ABEn-1和∠DCEn-1的平分线，交点为点En.
若则∠BEC等于 °.
13．（2024七下·西湖期中）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB=45°， ∠DAC=22°，则∠EBC的度数为 .
14．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
15．（2024七下·宁波期中） 如图，已知，和分别平分和，若，则 ．
16． 如图， 已知 ， 记 ， 则
三、解答题
17．（2025七下·上城期末） 如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数．
（3）如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）．
18． 如图，已知 AB∥CD，点 P 在 AB，CD 之间，连结AP，CP.
（1）如图①，A平分∠PAB，C 平分∠PCD，试探究∠APC与∠AC的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在(1)的条件下，A平分∠AB，C平分∠CD，则∠APC 与∠AC的数量关系为 ；
（3）按照以上规律进行下去，∠APC 与 的数量关系为 .
19．（2024七下·杭州期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
20．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
（3）【拓展应用】如图，已知和分别平分和，若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】猪蹄模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图， 作CD∥AB，
则
∴CD∥EF，
∴科技馆位于小亮家的南偏东方向.
故答案为：A.
【分析】作 ，根据平行线的性质得 再根据 可得 根据方向角的定义即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：延长FG交CD于点E，
是 的一个外角，
∵AB∥CD，
故答案为： D.
【分析】延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答.
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：
①如图，作PM平行CD，由平行线的传递性知，AB∥CD∥PM，
∴∠BGP=∠MPG=α，∠PHD=∠MPH=β，
∴∠HPG=∠MPG-∠MPH=α-β；
②过F作FN∥CD，同理可得AB∥CD∥FN，
∵HF平分∠PHD，
∴∠NFE=0.5β，
∵GF，GE分别平分∠PGB和∠AGP，
∴∠AGE=（180°-∠PGB）÷2=90°-0.5α，
由猪蹄模型的结论可知，∠E=∠AGE+∠EFN，
∴∠E=90°-0.5α+0.5β，
2∠E=180°-α+β，
∴2∠E+α=180°+β；
③由②可知2∠E+α=180°+β，化简得α-β=180°-2∠E，
∠CHP=180°-β，∠AGP=180°-α，
若 ∠CHP-∠AGP=∠E ，
即180°-β-（180°-α）=∠E
∴∠E =α-β，
又∵α-β=180°-2∠E，
∴180°-2∠E=∠E，
∴∠E=60°；
故①②③均正确
故答案为：D.
【分析】①作PM平行CD，通过平行线的传递性和两直线平行内错角相等的性质，进而表示∠E；②过F作FN∥CD，同理，分别表示出∠AGE+和∠EFN，进而根据猪蹄模型，直接代入得关于∠E的表达式；根据平角和角平分线，分别表示∠CHP和∠AGP，再结合②的结论，即可求得∠E大小.
4．【答案】B
【知识点】猪蹄模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，如图，
∴
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，进而得到：进而求出∠FEC的度数，最后根据平行线的性质即可求解．
5．【答案】A
【知识点】猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD
故答案为：A.
【分析】过点O作OE∥AB，则有AB∥OE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等得到然后根据角的和差解题即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过B作BD∥a，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，
∵∠ACB=90°，∠A=43°，
∴∠ABC=90°-∠A=47°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=47°-25°=22°
∴∠1=22°．
故答案为：B.
【分析】过B作BD∥a，得到BD∥b，推出∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠A=47°，因此∠ABD=∠ABC-∠CBD=22°，即可得到∠1=22°。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点P作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠1=∠3=35°，∠2=∠4=25°，
∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=35°+25°=60°．
故答案为：B.
【分析】过点P作PN∥AB，根据平行公理的推论得到PN∥CD，再根据平行线的性质解答即可。
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点作，
．
故答案为：C．
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，由，得，即可得到答案．
9．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过图1、2、3的点E作直线EF平行AB，过图4点P作PF∥AB，如下图；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E+∠C=360°，①错误；
∵AB∥CD∥EF
∴∠E=∠A+∠C，②正确；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E-∠1=180°，③正确；
∵AB∥CD
∴∠A=∠C+∠P，④正确；
∴②③④正确，正确的个数为3个
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可.
10．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，延长EF交CD于点P，作，
，
，，
，
，
平分，
，
，
分别平分，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求得的度数，再通过三角形外角定理计算出的度数，接着有角平分线的定义得到的度数，进而求得的度数，作，易得，利用平行线的性质求得的度数.
11．【答案】54°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：
∵AE平分∠DAF，
∴设∠EAF=∠DAE=x，
又∵AD⊥PQ，，，
∴∠AFD=90°-∠DAF=90°-2x，∠ACB=，∠ACD=90°-∠CAE-∠DAE=45°-x，
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACD=+(45°-x)=，
又∵AB∥PQ，
∴∠MBC=∠BCQ=，
又∵BC平分∠ABM，
∴∠ABM=2∠MBC=3x+90°，
∴∠ABN=180°-∠ABM=90°-3x，
如图，过点A作AG∥MN，
∵MN∥PQ，
∴AG∥PQ，
∴∠BAG=∠ABN=90°-3x，∠FAG=∠AFD=90°-2x，
又∵AB⊥AF，
∴∠BAF=∠ABN+∠AFD=(90°-3x)+(90°-2x)=90°，解得x=18°，
∴∠AFD=90°-2x=90°-36°=54°，
故填：54°.
【分析】由已知条件的角度关系，根据角度较小且含多个角度直接关联，可直接设∠EAF=∠DAE=x，利用已知条件信息及平行线的性质逐一表示各个角度，为求出目标角的度数，在表示的基础上进一步利用“猪蹄模型”得出等量关系解之即可.
12．【答案】
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图①，过作，
，
，
，，
，
；
如图②，
和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
和的平分线，交点为，
；
以此类推，．
∵
∴等于．
故答案为：
【分析】如图①，过作，根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，，等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，，，以此类推即可得到，从而即可求解。
13．【答案】23°
【知识点】猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过C作直线AD的平行线CP，
∵AD∥BE， ∴AD∥BE∥PC，
∵AD∥PC， ∴∠ACP=∠DAC，
同理可得：∠BCP=∠EBC，
∵∠ACB=∠ACP+∠EBC， ∠ACB=45°， ∠DAC=22°，
∴∠EBC=∠ACB-∠DAC =45°-22°=23°.
【分析】过C作直线AD的平行线CP，根据平行公理可得AD∥BE∥PC，然后根据两直线平行，内错角相等得到∠BCP=∠EBC，∠ACP=∠DAC，然后根据角的和差解题.
14．【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：延长DE交AB于点N，延长BF交CD于点M，如图所示：
∴∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.
∵和分别平分和，
∴∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.
∵AB∥CD，
∴∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.
∵
∴2(∠NBE+∠BNE)－(∠MDF+∠DMF)
∴∠CDE=∠MDE=34°.
故答案为：
【分析】根据三角形外角性质可得∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.根据平行线的性质可得∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.根据角平分线的性质得∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.最后代入 ，并进行等量代换，即可得到关于∠MDE的方程，求解即可.
16．【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点E作EH平行AB，如下图：
∵AB∥CD，EH∥AB
∴AB∥EH∥CD
∴∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF
∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD
同理，可得∠AFC=∠BAF+∠DCF ；
∵∠EAF=∠BAF，∠ECF=∠DCF
∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+∠BAF+∠DCF+∠FCD=∠BAF+∠DCF
=（∠BAF+∠FCD）=∠AFC
∵∠AEC=m∠AFC
∴m=
故答案为：.
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB∥EH∥CD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF；根据角的运算和等量代换原则，可得∠AEC=∠AFC，进而可得m的值.
17．【答案】（1）证明：如图， 过点F作MN∥AB，
∴∠EFM=∠BEF
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MFH=∠FHD，
∴∠EFH=∠EFM+∠HFM=∠BEF+∠DHF；
（2）解：设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°，
∴∠MEF=2∠BEF =2α，
由 (1) 得： ∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°，
∵ME∥HF，
∴∠MEF+∠EFH =180°，
∴2α+α+42=180，
解得： α= 46°，
∴∠MEF = 92°；
（3）解：设∠PHD=β， 而∠MHD=n∠PHD
∴∠MHD = nβ，
如图， 记AB，MH的交点为Q，
由 (1) 得：
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；平行公理
【解析】【分析】(1)过点F作MN∥AB，根据两直线平行内错角相等进行求解即可；
(2) 设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°， 可得∠MEF =2∠BEF=2α，(1) 得∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°， 由∠MEF+∠EFH=180°， 再建立方程求解即可；
(3) 设∠PHD =β， 而∠MHD=n∠PHD，∠ 可得∠MHD=nβ，如图，记AB，MH的交点为Q，表示 ∠MEQ， 结合平行线的性质可得∠MQE=∠MHD=nβ， 求解∠M =180°-∠MQE-∠ME 证明∠PEF =∠M ，进一步求解即可.
18．【答案】（1）∠APC=2∠AP1C.
理由：过点 P 作 PE∥AB(点 E 在点P 左边).
∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD.
∴∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD.
∴∠APC=∠PAB+∠PCD.
同理，∠AP1C=∠P1AB+∠P1CD.
∵AP1 平分∠PAB，CP1 平分∠PCD， .
∴∠PAB+∠PCD=2(∠P1AB+∠P1CD).∴∠APC=2∠AP1C.
（2）∠APC=4∠AP2C
（3）∠APC=
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：(2)在 (1) 的条件下， 平分 平分 CD，
故答案为：
(3)按照以上规律进行下去， 与 的数
量关系为：
故答案为：
【分析】(1)作 (E在点P左侧)，利用平行线性质可得. ，再利用角平分线定义得到 继而可得结论；
(2)按照(1)的推理方法可得结论即可；
(3)按照(1)的推理方法可得规律 即可.
19．【答案】解：（1）小刚的证明过程如下：
如图2，
过点作，
∵，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ=∠PCD，
∵，
∴∠BAP=∠APQ，
∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ
∴∠ACP=∠BAP+∠PCD
小红的证明过程如下：
如图3，
延长交于点，
∵，
∴∠BAP=∠AMC，
∵∠APC=∠AMC+∠PCD，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD；
（2）证明：
∵∠AGE=∠GEP+∠APE，
又∵，
∴∠APE=∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：设HF与GP相交于点T，如图5所示，
平分，
∴，，
∵AC∥EF，
∴∠PAC=∠GPF=50°，
∵．∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，
∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG，
∴∠PEG=20°，
∴∠PGE=110°，
设∠PFC=2n，
平分，
，
，
，∠AEG=∠EGF，
∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°，
∴∠EGF=2n-20°，
∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-（2n-20°）=130°-2n，
∵∠AHF=∠AEG，
∴∠AHF=2n-20°，
∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-（130°-2n）-n=50°+n，∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°，
∴50°+n=2n+5°，
∴n=45°，
∴∠PFC=90°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；猪蹄模型
【解析】【分析】探索发现（1）：小刚的证明方法：先证，根据平行线的性质得，∠BAP=∠APQ，即可得出结论；小红的证明方法：根据得，再根据三角形的外角定理得，即可得出结论；
深入思考（2）：根据三角形的外角定理得，再根据已知条件可得，即可得出结论；
拓展延伸：设HF与GP相交于点T，根据，∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，可求得∠PEG=20°，设∠PFC=2n，结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT，∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案.
20．【答案】（1）证明：如图，过作直线，
而，
，
，，
，
即；
如图，过作直线，
而，
，
，，
；
（2）解：如图，延长，交于点，过作，
而，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
由的结论可得：，，
和分别平分和，
，，
，
，
，
.
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由于两直线平行，同旁内角互补，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与互补，与互补，显然可得、和的和为；
由于两直线平行，内错角相等，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与相等，与相等，显然可得等于和的和；
（2）借鉴（1）的作法，可过点A作AF//MN，则AF//CD，再延长AB交DC的延长线于点Q，则被AF分为两个角和，且与互补即，等于等于即，则可求；
（3）由（1）结论知，等于与的和，且等于与的和，由已知和的数量关系可得到关于的一元一次方程并解方程即可.
1 / 1培优专题 相交线与平行线猪蹄模型—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的( )
A．南偏东60°方向 B．北偏西 60°方向
C．南偏东50°方向 D．北偏西50°方向
【答案】A
【知识点】猪蹄模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图， 作CD∥AB，
则
∴CD∥EF，
∴科技馆位于小亮家的南偏东方向.
故答案为：A.
【分析】作 ，根据平行线的性质得 再根据 可得 根据方向角的定义即可得出答案.
2．如图，将一块含60°角的三角板放置在两条平行线上.若∠1=40°，则∠2的度数为( )
A．60° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
【知识点】猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：延长FG交CD于点E，
是 的一个外角，
∵AB∥CD，
故答案为： D.
【分析】延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答.
3．（2025七下·杭州月考）如图，已知AB//CD，P为CD下方一点，G，H分别为AB，CD上的点，∠PGB=α，∠PHD=β，（α>β，且a，β均为锐角），∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F，GE平分∠PGA，交直线HF于点E，下列结论：
①∠P=a-β：②2∠E+α=180°+β：③若∠CHP-∠AGP=∠E，则∠E=60°；
其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：
①如图，作PM平行CD，由平行线的传递性知，AB∥CD∥PM，
∴∠BGP=∠MPG=α，∠PHD=∠MPH=β，
∴∠HPG=∠MPG-∠MPH=α-β；
②过F作FN∥CD，同理可得AB∥CD∥FN，
∵HF平分∠PHD，
∴∠NFE=0.5β，
∵GF，GE分别平分∠PGB和∠AGP，
∴∠AGE=（180°-∠PGB）÷2=90°-0.5α，
由猪蹄模型的结论可知，∠E=∠AGE+∠EFN，
∴∠E=90°-0.5α+0.5β，
2∠E=180°-α+β，
∴2∠E+α=180°+β；
③由②可知2∠E+α=180°+β，化简得α-β=180°-2∠E，
∠CHP=180°-β，∠AGP=180°-α，
若 ∠CHP-∠AGP=∠E ，
即180°-β-（180°-α）=∠E
∴∠E =α-β，
又∵α-β=180°-2∠E，
∴180°-2∠E=∠E，
∴∠E=60°；
故①②③均正确
故答案为：D.
【分析】①作PM平行CD，通过平行线的传递性和两直线平行内错角相等的性质，进而表示∠E；②过F作FN∥CD，同理，分别表示出∠AGE+和∠EFN，进而根据猪蹄模型，直接代入得关于∠E的表达式；根据平角和角平分线，分别表示∠CHP和∠AGP，再结合②的结论，即可求得∠E大小.
4．刚上七年级的小红在“抖空竹”时有一个发现：可以把它抽象成自己正在学习的几何问题。如图，已知AB∥CD，∠A =20°，∠E=60°，则∠C 的度数为 ( )
A．20° B．40° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】猪蹄模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，如图，
∴
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，进而得到：进而求出∠FEC的度数，最后根据平行线的性质即可求解．
5．（2025七下·杭州月考）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD
故答案为：A.
【分析】过点O作OE∥AB，则有AB∥OE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等得到然后根据角的和差解题即可.
6．如图， 的直角顶点 在直线 上． 若 ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过B作BD∥a，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，
∵∠ACB=90°，∠A=43°，
∴∠ABC=90°-∠A=47°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=47°-25°=22°
∴∠1=22°．
故答案为：B.
【分析】过B作BD∥a，得到BD∥b，推出∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠A=47°，因此∠ABD=∠ABC-∠CBD=22°，即可得到∠1=22°。
7．如图， 为 之间的一点， 已知 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点P作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠1=∠3=35°，∠2=∠4=25°，
∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=35°+25°=60°．
故答案为：B.
【分析】过点P作PN∥AB，根据平行公理的推论得到PN∥CD，再根据平行线的性质解答即可。
8．（2024·富阳模拟）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点作，
．
故答案为：C．
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，由，得，即可得到答案．
9．①如图 1 所示， ， 则 ； ②如图 2 所示， ， 则 ； ③如图 3 所示， ， 则 ； ④如图 4 所示， ， 则 ． 以上结论正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过图1、2、3的点E作直线EF平行AB，过图4点P作PF∥AB，如下图；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E+∠C=360°，①错误；
∵AB∥CD∥EF
∴∠E=∠A+∠C，②正确；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E-∠1=180°，③正确；
∵AB∥CD
∴∠A=∠C+∠P，④正确；
∴②③④正确，正确的个数为3个
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可.
10．如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG的平分线FH交直线CD于点H，∠AEF 的平分线EM和∠CGF的平分线GM相交于点M.若∠BEF=130°，∠FHC=15°，则∠M的度数为（ ）
A．65° B．55° C．50° D．45°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，延长EF交CD于点P，作，
，
，，
，
，
平分，
，
，
分别平分，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求得的度数，再通过三角形外角定理计算出的度数，接着有角平分线的定义得到的度数，进而求得的度数，作，易得，利用平行线的性质求得的度数.
二、填空题
11．（2024七下·杭州期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ．
【答案】54°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：
∵AE平分∠DAF，
∴设∠EAF=∠DAE=x，
又∵AD⊥PQ，，，
∴∠AFD=90°-∠DAF=90°-2x，∠ACB=，∠ACD=90°-∠CAE-∠DAE=45°-x，
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACD=+(45°-x)=，
又∵AB∥PQ，
∴∠MBC=∠BCQ=，
又∵BC平分∠ABM，
∴∠ABM=2∠MBC=3x+90°，
∴∠ABN=180°-∠ABM=90°-3x，
如图，过点A作AG∥MN，
∵MN∥PQ，
∴AG∥PQ，
∴∠BAG=∠ABN=90°-3x，∠FAG=∠AFD=90°-2x，
又∵AB⊥AF，
∴∠BAF=∠ABN+∠AFD=(90°-3x)+(90°-2x)=90°，解得x=18°，
∴∠AFD=90°-2x=90°-36°=54°，
故填：54°.
【分析】由已知条件的角度关系，根据角度较小且含多个角度直接关联，可直接设∠EAF=∠DAE=x，利用已知条件信息及平行线的性质逐一表示各个角度，为求出目标角的度数，在表示的基础上进一步利用“猪蹄模型”得出等量关系解之即可.
12．如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为点E，现进行如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为点E1；
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为点E2；
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为点E3；
……
第n次操作，分别作∠ABEn-1和∠DCEn-1的平分线，交点为点En.
若则∠BEC等于 °.
【答案】
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图①，过作，
，
，
，，
，
；
如图②，
和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
和的平分线，交点为，
；
以此类推，．
∵
∴等于．
故答案为：
【分析】如图①，过作，根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，，等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，，，以此类推即可得到，从而即可求解。
13．（2024七下·西湖期中）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB=45°， ∠DAC=22°，则∠EBC的度数为 .
【答案】23°
【知识点】猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过C作直线AD的平行线CP，
∵AD∥BE， ∴AD∥BE∥PC，
∵AD∥PC， ∴∠ACP=∠DAC，
同理可得：∠BCP=∠EBC，
∵∠ACB=∠ACP+∠EBC， ∠ACB=45°， ∠DAC=22°，
∴∠EBC=∠ACB-∠DAC =45°-22°=23°.
【分析】过C作直线AD的平行线CP，根据平行公理可得AD∥BE∥PC，然后根据两直线平行，内错角相等得到∠BCP=∠EBC，∠ACP=∠DAC，然后根据角的和差解题.
14．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
15．（2024七下·宁波期中） 如图，已知，和分别平分和，若，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：延长DE交AB于点N，延长BF交CD于点M，如图所示：
∴∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.
∵和分别平分和，
∴∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.
∵AB∥CD，
∴∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.
∵
∴2(∠NBE+∠BNE)－(∠MDF+∠DMF)
∴∠CDE=∠MDE=34°.
故答案为：
【分析】根据三角形外角性质可得∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.根据平行线的性质可得∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.根据角平分线的性质得∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.最后代入 ，并进行等量代换，即可得到关于∠MDE的方程，求解即可.
16． 如图， 已知 ， 记 ， 则
【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点E作EH平行AB，如下图：
∵AB∥CD，EH∥AB
∴AB∥EH∥CD
∴∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF
∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD
同理，可得∠AFC=∠BAF+∠DCF ；
∵∠EAF=∠BAF，∠ECF=∠DCF
∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+∠BAF+∠DCF+∠FCD=∠BAF+∠DCF
=（∠BAF+∠FCD）=∠AFC
∵∠AEC=m∠AFC
∴m=
故答案为：.
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB∥EH∥CD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF；根据角的运算和等量代换原则，可得∠AEC=∠AFC，进而可得m的值.
三、解答题
17．（2025七下·上城期末） 如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数．
（3）如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）证明：如图， 过点F作MN∥AB，
∴∠EFM=∠BEF
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MFH=∠FHD，
∴∠EFH=∠EFM+∠HFM=∠BEF+∠DHF；
（2）解：设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°，
∴∠MEF=2∠BEF =2α，
由 (1) 得： ∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°，
∵ME∥HF，
∴∠MEF+∠EFH =180°，
∴2α+α+42=180，
解得： α= 46°，
∴∠MEF = 92°；
（3）解：设∠PHD=β， 而∠MHD=n∠PHD
∴∠MHD = nβ，
如图， 记AB，MH的交点为Q，
由 (1) 得：
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；平行公理
【解析】【分析】(1)过点F作MN∥AB，根据两直线平行内错角相等进行求解即可；
(2) 设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°， 可得∠MEF =2∠BEF=2α，(1) 得∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°， 由∠MEF+∠EFH=180°， 再建立方程求解即可；
(3) 设∠PHD =β， 而∠MHD=n∠PHD，∠ 可得∠MHD=nβ，如图，记AB，MH的交点为Q，表示 ∠MEQ， 结合平行线的性质可得∠MQE=∠MHD=nβ， 求解∠M =180°-∠MQE-∠ME 证明∠PEF =∠M ，进一步求解即可.
18． 如图，已知 AB∥CD，点 P 在 AB，CD 之间，连结AP，CP.
（1）如图①，A平分∠PAB，C 平分∠PCD，试探究∠APC与∠AC的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在(1)的条件下，A平分∠AB，C平分∠CD，则∠APC 与∠AC的数量关系为 ；
（3）按照以上规律进行下去，∠APC 与 的数量关系为 .
【答案】（1）∠APC=2∠AP1C.
理由：过点 P 作 PE∥AB(点 E 在点P 左边).
∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD.
∴∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD.
∴∠APC=∠PAB+∠PCD.
同理，∠AP1C=∠P1AB+∠P1CD.
∵AP1 平分∠PAB，CP1 平分∠PCD， .
∴∠PAB+∠PCD=2(∠P1AB+∠P1CD).∴∠APC=2∠AP1C.
（2）∠APC=4∠AP2C
（3）∠APC=
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：(2)在 (1) 的条件下， 平分 平分 CD，
故答案为：
(3)按照以上规律进行下去， 与 的数
量关系为：
故答案为：
【分析】(1)作 (E在点P左侧)，利用平行线性质可得. ，再利用角平分线定义得到 继而可得结论；
(2)按照(1)的推理方法可得结论即可；
(3)按照(1)的推理方法可得规律 即可.
19．（2024七下·杭州期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
【答案】解：（1）小刚的证明过程如下：
如图2，
过点作，
∵，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ=∠PCD，
∵，
∴∠BAP=∠APQ，
∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ
∴∠ACP=∠BAP+∠PCD
小红的证明过程如下：
如图3，
延长交于点，
∵，
∴∠BAP=∠AMC，
∵∠APC=∠AMC+∠PCD，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD；
（2）证明：
∵∠AGE=∠GEP+∠APE，
又∵，
∴∠APE=∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：设HF与GP相交于点T，如图5所示，
平分，
∴，，
∵AC∥EF，
∴∠PAC=∠GPF=50°，
∵．∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，
∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG，
∴∠PEG=20°，
∴∠PGE=110°，
设∠PFC=2n，
平分，
，
，
，∠AEG=∠EGF，
∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°，
∴∠EGF=2n-20°，
∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-（2n-20°）=130°-2n，
∵∠AHF=∠AEG，
∴∠AHF=2n-20°，
∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-（130°-2n）-n=50°+n，∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°，
∴50°+n=2n+5°，
∴n=45°，
∴∠PFC=90°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；猪蹄模型
【解析】【分析】探索发现（1）：小刚的证明方法：先证，根据平行线的性质得，∠BAP=∠APQ，即可得出结论；小红的证明方法：根据得，再根据三角形的外角定理得，即可得出结论；
深入思考（2）：根据三角形的外角定理得，再根据已知条件可得，即可得出结论；
拓展延伸：设HF与GP相交于点T，根据，∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，可求得∠PEG=20°，设∠PFC=2n，结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT，∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案.
20．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
（3）【拓展应用】如图，已知和分别平分和，若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，过作直线，
而，
，
，，
，
即；
如图，过作直线，
而，
，
，，
；
（2）解：如图，延长，交于点，过作，
而，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
由的结论可得：，，
和分别平分和，
，，
，
，
，
.
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由于两直线平行，同旁内角互补，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与互补，与互补，显然可得、和的和为；
由于两直线平行，内错角相等，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与相等，与相等，显然可得等于和的和；
（2）借鉴（1）的作法，可过点A作AF//MN，则AF//CD，再延长AB交DC的延长线于点Q，则被AF分为两个角和，且与互补即，等于等于即，则可求；
（3）由（1）结论知，等于与的和，且等于与的和，由已知和的数量关系可得到关于的一元一次方程并解方程即可.
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