培优专题 相交线与平行线锯齿模型—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2021七下·平湖期末）如图，已知，则之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为( )
A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2
C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°
3．如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（ ）
A．延长交的延长线于点
B．连接
C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
4．（2024七下·赤坎期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·湖北期中）如图，，设，那么、和的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·南部期中）如图，，，则，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
8．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
9． 如图，AM∥EF，点B，C，D 在平行线内部，连接AB，BC，CD，DE，若∠A+∠B+∠D=180°，则2∠A+∠C+∠E 的度数为 .
10．（2023七下·名山期末）如图，，，则，和的数量关系是 ．
三、解答题
11．（2022七下·北仑期中）
（1）如图1，l1∥l2，若∠P＝65°，计算并直接写出∠A+∠B的大小．
（2）如图2，在图1的基础上，将直线PB变成折线PQB，请证明：∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°．
（3）如图3，在图2的基础上，继续将直线BQ变成折线BMQ．请你写出一条关于∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的数量关系．（无需证明直接写出）
12．
（1）如图1，AB∥CD，试问∠2与∠1＋∠3的关系是什么？并说明理由；
（2）如图2，AB∥CD，试问∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的关系是什么？请直接写出结论；
（3）如图3，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的关系是什么？请直接写出结论.
13．（2024七下·东西湖期中），点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且.
（1）如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出 ；
（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值.
（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值.
四、实践探究题
14．（2024七下·新兴期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．
问题解决：
（1），的平分线，所夹的的度数为______；
问题探究：
（2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数．
15．（2024七下·廊坊期中） 如图1，E是直线，内部一点，，连接，．
（1）探究猜想：
①若，，则等于 ▲ 度；
②若，，则等于 ▲ 度；
③猜想图1中，，的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线与矩形的边交于点E，与边交于点F，①②③④分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系并选择其中一个证明．
五、阅读理解题
16．（2024七下·高州期末）【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在、两平行线之间，，，求的度数．
解：过点作，
因为，
所以，
所以，
，
所以，
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图，已知直线，是一个平面镜，光线从直线上的点射出，在平面镜上经点反射后，到达直线上的点我们称为入射光线，为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．
（1）由图写出、、之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图，再放置块平面镜，其中两块平面镜在直线和上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形，光线从点以适当的角度射出后，其传播路径为直接写出和的数量关系．
（3）【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图所示的样子，并提出了一个问题：
在图中，，，，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锯齿模型
【解析】【解答】解：过点E、F作EG∥AB，FH∥AB，
∵，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠A=∠AEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠C=∠HFC，
∴∠EFC-∠CFH+∠AEF-∠AEG=180°，即∠EFC-∠C+∠AEF-∠A=180°，
故答案为：A.
【分析】过点E、F作EG∥AB，FH∥AB，然后得到AB∥EG∥FH∥CD，即可得到∠A=∠AEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠C=∠HFC，进而可得∠EFC-∠CFH+∠AEF-∠AEG=180°即可解题.
2．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解： 过点E作EG∥AB， 过点F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1=∠AEG，
∴∠GEF=∠2-∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH=180°-∠GEF=180° - (∠2-∠1) =180°-∠2+∠1，
∴∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-=∠3+∠2-∠2-180°，
∵FH∥CD，
∴∠4=∠3+∠2-∠1-180°，
故选：D.
【分析】先过点E作EG∥AB， 过点 F作 FH∥CD， 利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH， 最后根据∠CFH=∠3-∠EFH， 求得∠4即可.
3．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：A．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
B．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
C．如图，
由平分，平分，
没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，
∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；
D．如图，延长交于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】先根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定即可判断A；先根据平行线的性质得到，等量代换得到，进而根据平行线的判定即可判断B；根据角平分线的定义结合题意得到没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，故此辅助线的作法不能说明与平行，从而判断C；根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定结合题意即可判断D.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，分别过C、D作的平行线和，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
故选：C．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补，分别过C、D作的平行线和，根据平行线的性质，得到，可求得答案．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，如图：
∵AB∥EF，
∴∠BGC=∠EHD.
∵∠BCD=90°，∠CDE=y，∠BCD是△BCG的外角，∠CDE是△DEH的外角，
∴∠BGC=90°－x，∠EHD=y－z.
∴90°－x=y－z.
∴x+y－z=90°.
故答案为：B.
【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由二直线平行，内错角相等，得∠BGC=∠EHD，利用三角形外角的性质得∠BGC=90°－x，∠EHD=y－z，代入即可得到结论.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；锯齿模型；平行公理的推论
【解析】【解答】如图，分别过点C、D作的平行线，即，
根据平行线的性质得，，
，
，
又，
，
即，
故选：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，分别过点C、D作的平行线，得到，由平行线的性质，得到，根据，取得，结合，得到，即可得到答案.
7．【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
8．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型；平行公理
【解析】【解答】过点，，作，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵和分别是，的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：32°.
【分析】过点G， M， H作 ，利用锯齿模型可得 然后利用角平分线的定义推理可得 ，最后利用猪脚模型解题即可．
9．【答案】180°
【知识点】三角形外角的概念及性质；锯齿模型；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，分别延长CB交AM于点G、延长CD交EF于点H.
【分析】先分别延长CB和CD交AM、EF于点G、H，构造“拐角”模型，从而可推导出 ∠A+∠C+∠E等于 ∠B+∠D，再利用已知条件整体代入即可.
10．【答案】
【知识点】平行线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，分别过点C，D作，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
由①-②得：，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，分别过点C和D作，得到，根据平行线的性质，得到，求得，，两式相减，得到，结合， 即可求解.
11．【答案】（1）解：过P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，
∴∠APB＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝65°，
即∠A+∠B＝65°
（2）证明：过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l1∥QF∥l2，
∴∠A=∠1，∠B=180°-∠4，∠Q=∠3+∠4=∠2+∠4
∴∠A+∠B+∠Q＝∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）＝∠1+∠2+180°=∠APQ+180°，
∴∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°
（3）解：∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：（3）如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，
∵l1∥l2，
∴PC∥QD∥ME∥l1∥l2，
∴∠1＝∠APC，∠QPC＝∠PQD，∠DQM＝∠EMQ，∠EMB＝∠5，
∴∠2＝∠1+∠PQD，∠4＝∠5+∠DQM，
∴∠2+∠4＝∠1+∠PQD+∠5+∠DQM＝∠1+∠3+∠5，
∴∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5．
【分析】（1）可作辅助线PE与l1、l2平行，根据“两直线平行，内错角相等”，则求∠A+∠B的问题将转化为求∠1+∠2的问题，而∠1+∠2+∠P=360°且∠P已知，即可求出∠A+∠B；
（2）参照（1）的思维方式、过程，过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，则求 ∠A+∠B+∠Q 的问题将转化为求∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）的问题，整理即可；
（3）参照（1）、（2）的思维方式，可得到类似模型的结论.
12．【答案】（1）解：∠2与∠1＋∠3的关系是∠2＝∠1＋∠3.
理由：过点E作EF∥AB，如图所示.∵AB∥EF，AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠BEF，∠3＝∠CEF，∴∠2＝∠1＋∠3.
（2）解：由(1)可得，∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的关系是∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.
（3）解：由(1)可得，∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的关系是∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.
【知识点】平行公理及推论；锯齿模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质即可得到 与 的关系；
(2)由(1)中的结论可以直接写出 与 的关系；
(3)由(1)中的结论可以直接写出 6与 的关系.
13．【答案】（1）解：①证明：过点О作OG∥AB，如图所示又∵AB∥CD.∴OG∥CD.又∵∠OFC=20°∴∠GOF=∠OFC=20°∴∠EOF=80°∴∠EOG=∠EOF-∠GOF=80°-20°=60°∵AB∥OG∴∠AEO=∠EOG=60°；
②80°
（2）解：过点M作 MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图所示：
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO.
∴∠BEM=∠OEM=x，∠CFN= ∠OFN=y
则∠AEO=180°-2x
∴∠OFC+∠AEO=180°-2x+2y=80°
∴x - y=50°
∴MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD
∴AB∥MK∥NH∥CD.
∴∠EMK=∠BEM=x， ∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN -∠FNM=∠EMK+∠KMN - (∠HNM+∠HNF)=x+∠KMN -∠HNM - y=x- y=50°.
故∠EMN-∠FNM的值为50°；
（3）解：m=4
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；锯齿模型
【解析】【解答】解：（1）②过点О作OG∥AB，如图所示
∵OG∥AB，AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠AEO=∠EOG，∠CFO=∠GOF，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOG+∠GOF=∠EOF=80°；
故答案为：80°；
（3）如图，设直线FH与EG交于点K，FH与AB相交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠AHF=∠HFD，
∵∠AHF=∠EKH+∠HEK=∠EKH+∠AEG，
∴∠HFD=∠EKH+∠AEG，
∵∠EKH=∠NMF-∠ENM=80°，
∴∠KFD=80°+∠AEG，即∠KFD-∠AEG=80°，
∵∠AEG=m∠OEG，FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，
∴∠CFO=180°-∠DFH-∠OFH=180°-∠HFD-∠HFD，∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+∠AEG，
∵∠BEO+∠DFO=280°，
∴∠AEO+∠CFO=80°，
∴∠AEG+∠AEG+180°-∠HFD-∠KFD=80°，即(1+)(∠KFD-∠AEG)=100°，
∴(1+)×80°=100°，
∴m=4.
【分析】（1）①过点О作OG∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得OG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠GOF=∠OFC=20°，由角的构成可算出∠EOG=60°，进而再根据二直线平行，内错角相等，得∠AEO=∠EOG=60°；
②过点О作OG∥AB，如图所示，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥OG∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AEO=∠EOG，∠CFO=∠GOF，然后根据角的和差及等量代换可得答案；
（2）过点M作 MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线定义设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN= ∠OFN=y，则∠AEO=180°-2x，结合（1）中②的结论可求出x - y=50°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥MK∥NH∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠EMK=∠BEM=x， ∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，然后根据角的和差及等量代换可推出∠EMN -∠FNM=x- y，从而即可得出答案；
（3）设直线FH与EG交于点K，FH与AB相交于点H，由二直线平行，内错角相等，得∠AHF=∠HFD，由三角形外角性质、并结合已知、对顶角相等及等量代换可推出∠HFD=∠EKH+∠AEG，∠KFD-∠AEG=80°，结合已知及（1）中②的结论可得∠AEG+∠AEG+180°-∠HFD-∠KFD=80°，即(1+)(∠KFD-∠AEG)=100°，从而即可得出关于字母m的方程，求解即可.
14．【答案】解：（1）
（2），
理由：如图，过点作．
由（1）可得，.
，的平分线相交于点，
，.
∴
，，
∴，
∴∠BAK1+∠AK1G=180°，DCK1+∠CK1G=180°，
∴∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=(∠BAK1+DCK1)+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，
又∵∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，
∴.
；
（3）由（2），可知．
同理，可得，
，
……
．
故当时，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵，分别是，的平分线，并且相交于点K，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用平行线的性质得，，继而结合角平分线的定义推出，从而三角形的内角和定理可得；
（2）过点作，由（1）得，，由角平分线的概念得，，于是可求得的度数，平行公理和平行线的性质得∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=360°，由周角概念得∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，即可求得∠AK1C的度数，从而可得 ∠AK1C与之间的等量关系 ；
（3）由（2）得，同理得，，继而总结规律可得，从而得解．
15．【答案】（1）解：①70；
②80；
③猜想：．
理由：过点作，
∵，
∴（平行于同一条直线的两直线平行），
，（两直线平行，内错角相等），
（等量代换）．
（2）解：根据题意得：点在区域①时，如图所示：
根据解析（1）中的结论可知：，
∵，，
∴；
点在区域②时，如图所示：
根据解析（1）中的结论可知：；
点在区域④时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴
；
点在区域③时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴
．
【知识点】锯齿模型；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）①如图，过点作，
∵，
∴，
又∵，，
，，
，
故答案为：70；
②过点作，
∵，
∴，
又∵，，
，，
，
故答案为：80；
【分析】（1）①过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2可算出答案；
②过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2可算出答案；
③过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2及等量代换可算出答案；
（2）按照四个区域，分别分情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求出结果即可．
16．【答案】（1）解：，理由如下，
如图，过点作，则，
所以，，
因为，
所以．
（2）解：；
（3）解：如图，过点作，过点作，则，
所以，，，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
【知识点】猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】（2）解：；理由如下：
由（1）得，，
同理可得，，
因为入射角等于反射角，
所以，，
所以．
【分析】（1）过点P作PE∥OA，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥BQ，利用平行线的性质“二直线平行，内错角相等”及各角之间的关系即可得到答案；
（2）根据（1）的结论得∠AOP+∠BQP=∠OPQ，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，然后根据镜面反射性质“ 入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角 ”得∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，从而即可得出结论；
（3）过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PM∥QN∥CD，利用平行线的性质“二直线平行，内错角相等及二直线平行，同旁内角互补”找出各角之间的关系求解即可．
1 / 1培优专题 相交线与平行线锯齿模型—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2021七下·平湖期末）如图，已知，则之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】锯齿模型
【解析】【解答】解：过点E、F作EG∥AB，FH∥AB，
∵，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠A=∠AEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠C=∠HFC，
∴∠EFC-∠CFH+∠AEF-∠AEG=180°，即∠EFC-∠C+∠AEF-∠A=180°，
故答案为：A.
【分析】过点E、F作EG∥AB，FH∥AB，然后得到AB∥EG∥FH∥CD，即可得到∠A=∠AEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠C=∠HFC，进而可得∠EFC-∠CFH+∠AEF-∠AEG=180°即可解题.
2．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为( )
A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2
C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解： 过点E作EG∥AB， 过点F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1=∠AEG，
∴∠GEF=∠2-∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH=180°-∠GEF=180° - (∠2-∠1) =180°-∠2+∠1，
∴∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-=∠3+∠2-∠2-180°，
∵FH∥CD，
∴∠4=∠3+∠2-∠1-180°，
故选：D.
【分析】先过点E作EG∥AB， 过点 F作 FH∥CD， 利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH， 最后根据∠CFH=∠3-∠EFH， 求得∠4即可.
3．如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（ ）
A．延长交的延长线于点
B．连接
C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：A．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
B．如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
C．如图，
由平分，平分，
没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，
∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；
D．如图，延长交于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故此选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】先根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定即可判断A；先根据平行线的性质得到，等量代换得到，进而根据平行线的判定即可判断B；根据角平分线的定义结合题意得到没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，故此辅助线的作法不能说明与平行，从而判断C；根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定结合题意即可判断D.
4．（2024七下·赤坎期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，分别过C、D作的平行线和，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
故选：C．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补，分别过C、D作的平行线和，根据平行线的性质，得到，可求得答案．
5．（2024七下·湖北期中）如图，，设，那么、和的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，如图：
∵AB∥EF，
∴∠BGC=∠EHD.
∵∠BCD=90°，∠CDE=y，∠BCD是△BCG的外角，∠CDE是△DEH的外角，
∴∠BGC=90°－x，∠EHD=y－z.
∴90°－x=y－z.
∴x+y－z=90°.
故答案为：B.
【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由二直线平行，内错角相等，得∠BGC=∠EHD，利用三角形外角的性质得∠BGC=90°－x，∠EHD=y－z，代入即可得到结论.
6．（2023七下·南部期中）如图，，，则，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；锯齿模型；平行公理的推论
【解析】【解答】如图，分别过点C、D作的平行线，即，
根据平行线的性质得，，
，
，
又，
，
即，
故选：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，分别过点C、D作的平行线，得到，由平行线的性质，得到，根据，取得，结合，得到，即可得到答案.
二、填空题
7．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
8．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型；平行公理
【解析】【解答】过点，，作，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵和分别是，的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：32°.
【分析】过点G， M， H作 ，利用锯齿模型可得 然后利用角平分线的定义推理可得 ，最后利用猪脚模型解题即可．
9． 如图，AM∥EF，点B，C，D 在平行线内部，连接AB，BC，CD，DE，若∠A+∠B+∠D=180°，则2∠A+∠C+∠E 的度数为 .
【答案】180°
【知识点】三角形外角的概念及性质；锯齿模型；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，分别延长CB交AM于点G、延长CD交EF于点H.
【分析】先分别延长CB和CD交AM、EF于点G、H，构造“拐角”模型，从而可推导出 ∠A+∠C+∠E等于 ∠B+∠D，再利用已知条件整体代入即可.
10．（2023七下·名山期末）如图，，，则，和的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，分别过点C，D作，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
由①-②得：，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，分别过点C和D作，得到，根据平行线的性质，得到，求得，，两式相减，得到，结合， 即可求解.
三、解答题
11．（2022七下·北仑期中）
（1）如图1，l1∥l2，若∠P＝65°，计算并直接写出∠A+∠B的大小．
（2）如图2，在图1的基础上，将直线PB变成折线PQB，请证明：∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°．
（3）如图3，在图2的基础上，继续将直线BQ变成折线BMQ．请你写出一条关于∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的数量关系．（无需证明直接写出）
【答案】（1）解：过P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，
∴∠APB＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝65°，
即∠A+∠B＝65°
（2）证明：过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l1∥QF∥l2，
∴∠A=∠1，∠B=180°-∠4，∠Q=∠3+∠4=∠2+∠4
∴∠A+∠B+∠Q＝∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）＝∠1+∠2+180°=∠APQ+180°，
∴∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°
（3）解：∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：（3）如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，
∵l1∥l2，
∴PC∥QD∥ME∥l1∥l2，
∴∠1＝∠APC，∠QPC＝∠PQD，∠DQM＝∠EMQ，∠EMB＝∠5，
∴∠2＝∠1+∠PQD，∠4＝∠5+∠DQM，
∴∠2+∠4＝∠1+∠PQD+∠5+∠DQM＝∠1+∠3+∠5，
∴∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5．
【分析】（1）可作辅助线PE与l1、l2平行，根据“两直线平行，内错角相等”，则求∠A+∠B的问题将转化为求∠1+∠2的问题，而∠1+∠2+∠P=360°且∠P已知，即可求出∠A+∠B；
（2）参照（1）的思维方式、过程，过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，则求 ∠A+∠B+∠Q 的问题将转化为求∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）的问题，整理即可；
（3）参照（1）、（2）的思维方式，可得到类似模型的结论.
12．
（1）如图1，AB∥CD，试问∠2与∠1＋∠3的关系是什么？并说明理由；
（2）如图2，AB∥CD，试问∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的关系是什么？请直接写出结论；
（3）如图3，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的关系是什么？请直接写出结论.
【答案】（1）解：∠2与∠1＋∠3的关系是∠2＝∠1＋∠3.
理由：过点E作EF∥AB，如图所示.∵AB∥EF，AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠BEF，∠3＝∠CEF，∴∠2＝∠1＋∠3.
（2）解：由(1)可得，∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的关系是∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.
（3）解：由(1)可得，∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的关系是∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.
【知识点】平行公理及推论；锯齿模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质即可得到 与 的关系；
(2)由(1)中的结论可以直接写出 与 的关系；
(3)由(1)中的结论可以直接写出 6与 的关系.
13．（2024七下·东西湖期中），点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且.
（1）如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出 ；
（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值.
（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值.
【答案】（1）解：①证明：过点О作OG∥AB，如图所示又∵AB∥CD.∴OG∥CD.又∵∠OFC=20°∴∠GOF=∠OFC=20°∴∠EOF=80°∴∠EOG=∠EOF-∠GOF=80°-20°=60°∵AB∥OG∴∠AEO=∠EOG=60°；
②80°
（2）解：过点M作 MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图所示：
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO.
∴∠BEM=∠OEM=x，∠CFN= ∠OFN=y
则∠AEO=180°-2x
∴∠OFC+∠AEO=180°-2x+2y=80°
∴x - y=50°
∴MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD
∴AB∥MK∥NH∥CD.
∴∠EMK=∠BEM=x， ∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN -∠FNM=∠EMK+∠KMN - (∠HNM+∠HNF)=x+∠KMN -∠HNM - y=x- y=50°.
故∠EMN-∠FNM的值为50°；
（3）解：m=4
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；锯齿模型
【解析】【解答】解：（1）②过点О作OG∥AB，如图所示
∵OG∥AB，AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠AEO=∠EOG，∠CFO=∠GOF，
∴∠AEO+∠CFO=∠EOG+∠GOF=∠EOF=80°；
故答案为：80°；
（3）如图，设直线FH与EG交于点K，FH与AB相交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠AHF=∠HFD，
∵∠AHF=∠EKH+∠HEK=∠EKH+∠AEG，
∴∠HFD=∠EKH+∠AEG，
∵∠EKH=∠NMF-∠ENM=80°，
∴∠KFD=80°+∠AEG，即∠KFD-∠AEG=80°，
∵∠AEG=m∠OEG，FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，
∴∠CFO=180°-∠DFH-∠OFH=180°-∠HFD-∠HFD，∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+∠AEG，
∵∠BEO+∠DFO=280°，
∴∠AEO+∠CFO=80°，
∴∠AEG+∠AEG+180°-∠HFD-∠KFD=80°，即(1+)(∠KFD-∠AEG)=100°，
∴(1+)×80°=100°，
∴m=4.
【分析】（1）①过点О作OG∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得OG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠GOF=∠OFC=20°，由角的构成可算出∠EOG=60°，进而再根据二直线平行，内错角相等，得∠AEO=∠EOG=60°；
②过点О作OG∥AB，如图所示，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥OG∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AEO=∠EOG，∠CFO=∠GOF，然后根据角的和差及等量代换可得答案；
（2）过点M作 MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线定义设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN= ∠OFN=y，则∠AEO=180°-2x，结合（1）中②的结论可求出x - y=50°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥MK∥NH∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠EMK=∠BEM=x， ∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，然后根据角的和差及等量代换可推出∠EMN -∠FNM=x- y，从而即可得出答案；
（3）设直线FH与EG交于点K，FH与AB相交于点H，由二直线平行，内错角相等，得∠AHF=∠HFD，由三角形外角性质、并结合已知、对顶角相等及等量代换可推出∠HFD=∠EKH+∠AEG，∠KFD-∠AEG=80°，结合已知及（1）中②的结论可得∠AEG+∠AEG+180°-∠HFD-∠KFD=80°，即(1+)(∠KFD-∠AEG)=100°，从而即可得出关于字母m的方程，求解即可.
四、实践探究题
14．（2024七下·新兴期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．
问题解决：
（1），的平分线，所夹的的度数为______；
问题探究：
（2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数．
【答案】解：（1）
（2），
理由：如图，过点作．
由（1）可得，.
，的平分线相交于点，
，.
∴
，，
∴，
∴∠BAK1+∠AK1G=180°，DCK1+∠CK1G=180°，
∴∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=(∠BAK1+DCK1)+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，
又∵∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，
∴.
；
（3）由（2），可知．
同理，可得，
，
……
．
故当时，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵，分别是，的平分线，并且相交于点K，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用平行线的性质得，，继而结合角平分线的定义推出，从而三角形的内角和定理可得；
（2）过点作，由（1）得，，由角平分线的概念得，，于是可求得的度数，平行公理和平行线的性质得∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=360°，由周角概念得∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，即可求得∠AK1C的度数，从而可得 ∠AK1C与之间的等量关系 ；
（3）由（2）得，同理得，，继而总结规律可得，从而得解．
15．（2024七下·廊坊期中） 如图1，E是直线，内部一点，，连接，．
（1）探究猜想：
①若，，则等于 ▲ 度；
②若，，则等于 ▲ 度；
③猜想图1中，，的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线与矩形的边交于点E，与边交于点F，①②③④分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系并选择其中一个证明．
【答案】（1）解：①70；
②80；
③猜想：．
理由：过点作，
∵，
∴（平行于同一条直线的两直线平行），
，（两直线平行，内错角相等），
（等量代换）．
（2）解：根据题意得：点在区域①时，如图所示：
根据解析（1）中的结论可知：，
∵，，
∴；
点在区域②时，如图所示：
根据解析（1）中的结论可知：；
点在区域④时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴
；
点在区域③时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴
．
【知识点】锯齿模型；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）①如图，过点作，
∵，
∴，
又∵，，
，，
，
故答案为：70；
②过点作，
∵，
∴，
又∵，，
，，
，
故答案为：80；
【分析】（1）①过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2可算出答案；
②过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2可算出答案；
③过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2及等量代换可算出答案；
（2）按照四个区域，分别分情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求出结果即可．
五、阅读理解题
16．（2024七下·高州期末）【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在、两平行线之间，，，求的度数．
解：过点作，
因为，
所以，
所以，
，
所以，
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图，已知直线，是一个平面镜，光线从直线上的点射出，在平面镜上经点反射后，到达直线上的点我们称为入射光线，为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．
（1）由图写出、、之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图，再放置块平面镜，其中两块平面镜在直线和上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形，光线从点以适当的角度射出后，其传播路径为直接写出和的数量关系．
（3）【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图所示的样子，并提出了一个问题：
在图中，，，，，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下，
如图，过点作，则，
所以，，
因为，
所以．
（2）解：；
（3）解：如图，过点作，过点作，则，
所以，，，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
【知识点】猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】（2）解：；理由如下：
由（1）得，，
同理可得，，
因为入射角等于反射角，
所以，，
所以．
【分析】（1）过点P作PE∥OA，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥BQ，利用平行线的性质“二直线平行，内错角相等”及各角之间的关系即可得到答案；
（2）根据（1）的结论得∠AOP+∠BQP=∠OPQ，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，然后根据镜面反射性质“ 入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角 ”得∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，从而即可得出结论；
（3）过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PM∥QN∥CD，利用平行线的性质“二直线平行，内错角相等及二直线平行，同旁内角互补”找出各角之间的关系求解即可．
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