培优专题 相交线与平行线铅笔头模型—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2024七下·杭州期中）如图，，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】铅笔头模型；平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过E作，
则，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】作，根据两直线平行，同旁内角互补得到，由然后根据平行公理得到，即可求出，再利用角的和差解题即可．
2．（2024七下·苍南期中）如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：如图，过点作
∴
分别是和的角平分线
过点H作，
同理可求
故选C．
【分析】由于同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，因此可分别过点G、H作AB的平行线，再利用平行线的性质结合角平分线的概念即可．
3．如图， 直线 于点 ， 若 ， 则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠AEF+∠A=180°，∠CEF+∠C=180°，
∴∠AEF=180°-∠A=180°-120°=60°，
又∵AE⊥CE，
∴∠CEF=90°-∠AEF=30°，
∴∠C=180°-∠CEF=150°，
故选：B.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.
4．如图， 已知 分别平分 和， 且交于点， 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点 作， 如图，
整理得 ．
故选：C.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质及角平分线的概念即可推理分析目标角的度数，不熟练的情况可以通过设二元进行关系表示更为直观.
5．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放， 若 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：如图，过直角顶点作直线平行与直尺，
依题意，∠1=∠3，∠2=∠4，
又∵∠1=47°，∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°-∠1=43°.
故选：B.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.
6．（2024七下·义乌月考）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的判定与性质；铅笔头模型；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴①正确；
过点H作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵
∴，
即，
∴②正确．
设，则，，
由②知
作，
，
，
∴，无法判断是否为，
∴③错误；
∴，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定，平行线的性质，以及相关角度的和差计算，逐项进行推理判断求值，即可得出答案。
7．（2025七下·上城期中） 如图，已知AB//CD，CG交AB于点G，且∠C=α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BGC=∠C=α，
∵GE平分∠BGC，
，
当点 P 在AB 和CD之间时，如图，过点 P作PM∥AB，
，
，
，
，
故 A 选项不符合题意；
当点 P 在AB 上方时，如图，过点 P 作PN∥AB，
∴ ∠FPN = ∠FGA =
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠NPH=∠PHC，
，
故C选项不符合题意，D选项符合题意；
当点 P 在CD下方时，如图，过点 P 作PK∥AB，
故B选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行公理、平行线的性质、角平分线的定义得到逐项判断解题即可.
8．（2024七下·上城期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；平行公理；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
【分析】分3种情况画图，过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质解答即可．
二、填空题
9．（2025七下·金华期末） 如图，已知，点E在直线AB上，点F在直线CD上，连结EF.点G是射线FD上一点（不与点F重合），过点G作交线段EF于点H，且.
（1） 的度数为 .
（2） 已知点P，Q在直线AB，CD之间，点M在射线EA上，连结PQ，PM，MQ，使线段PQ经过点H.若，，则的度数为 .
【答案】（1）30°
（2）72°或168°
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD ∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）
∵GH⊥EF ∴∠FGH=90°，∠EFD+∠HGF=90°
∵∴∠EFD：∠HGF=1：2 ，解得∠EFD=30°
∴∠AEF=∠EFD=30°
故答案为：30°.
（2）由∠GHQ=42°，可对P、Q的位置进行分类讨论：
①点Q在HG左侧时
过点P作PL//AB，过点H作HR//AB
∵PL//AB，HR//AB，AB//CD
∴PL//HR//AB//CD
由（1）得∠HGF=60° ∴∠RHG=60°，∠RHQ=42°+60°=102°
∴∠LPH=∠RHQ=102°
∵∠MPQ=90° ∴∠MPL=360°-90°-102°=168°
∵AB//PL ∴∠AMP=∠MPL=168°
②点Q在HG右侧时，过点P作PL//AB，过点H作HR//AB
同理可得，PL//HR//AB//CD
由（1）得∠HGF=60° ∴∠RHG=60°，∠RHQ=60°-42°=18°
∴∠LPH=∠RHQ=18°
∵∠MPQ=90° ∴∠MPL=90°-18°=72°
∵AB//PL ∴∠AMP=∠MPL=72°
故答案为：168°或72°.
【分析】（1）由平行线的性质定理可得∠AEF=∠EFD，再根据三角形内角和定理及已知条件中，便可求得∠AEF的度数。
（2）本题若只看点P，Q在直线AB，CD之间，无法确定P、Q的位置，可利用∠GHQ=42°且线段PQ经过点H ，对P、Q的位置进行分类讨论，确定P、Q的位置后，再借助平行线的性质定理及∠MPQ=90°求得相关角度，从而得到∠AMP的度数。
10．（2025七下·浙江期中）如图是路政工程车的工作截面图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠°，∠°，则∠3的度数为 .
【答案】160
【知识点】铅笔头模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，过∠2 顶点作直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5.
∵工作篮底部与支撑平台平行，且直线l//支撑平台，
∴直线l//支撑平台//工作篮底部，
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°，
∵∠4+∠5=∠2=50°，
∴∠5=50°-∠4=20°，
∴∠3=180°-∠5=160°，
故答案为：160.
【分析】平行线中间有拐点时，通常过这个拐点作一条直线与已知两平行线平行，然后利用平行线的性质进行角度的转换与计算.
三、解答题
11．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
（3）【拓展应用】如图，已知和分别平分和，若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，过作直线，
而，
，
，，
，
即；
如图，过作直线，
而，
，
，，
；
（2）解：如图，延长，交于点，过作，
而，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
由的结论可得：，，
和分别平分和，
，，
，
，
，
.
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由于两直线平行，同旁内角互补，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与互补，与互补，显然可得、和的和为；
由于两直线平行，内错角相等，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与相等，与相等，显然可得等于和的和；
（2）借鉴（1）的作法，可过点A作AF//MN，则AF//CD，再延长AB交DC的延长线于点Q，则被AF分为两个角和，且与互补即，等于等于即，则可求；
（3）由（1）结论知，等于与的和，且等于与的和，由已知和的数量关系可得到关于的一元一次方程并解方程即可.
12．（2024七下·东阳期中）直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点．
（1）如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值．
（3）如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 (用含、的代数式表示)
【答案】（1）解：，
理由：过点P作EF∥AB，如图所示：
∵EF∥AB，
∴∠AMP=∠MPF，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FPN=∠CNP，
∵∠MPN=∠MPF+∠FPN，
∴∠MPN=∠MPN+∠CNP
（2）解：由（1）同理可得：∠EPN=∠AEP+∠CNP，
∵AB平分∠MPN，
∴∠MPF=∠NPF，
∵∠MPE=∠MEP，∠MPF=∠MPE+∠EPF，
∴∠EPN=∠EPF+∠FPN=∠EPF+∠MPF=∠EPF+∠MPE+∠EPF=2∠EPF+∠MPE，
∴∠AEP+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，
∴∠MPE+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，
即∠CNP=2∠EPF，
∴
（3）
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（3）∵平分，平分
∴，，
由（1）同理可得：∠HPG，
由图可知：∠HPG=∠HPS+∠SPN+∠NPG
=∠MPS+∠SPN+∠NPK
=（∠MPN-∠SPN）+∠SPN+（∠SPR-∠SPN）
=∠MPN-∠SPN+∠SPN+∠SPR-∠SPN
=∠MPN+∠SPR
= （∠MPN+∠SPR），
∵， ，
∴ （∠MPN+∠SPR）=（α+β），
故答案为：．
【分析】（1）过点作EF∥AB，运用平行公理的推论和平行线的性质即可得解得出结论；
（2）由（1）可知可得∠EPN=∠AEP+∠CNP，根据平分线的定义和已知条件可知∠EPN=2∠EPF+∠MPE，进而求得∠MPE+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，即可得出∠CNP=2∠EPF，即可得出结论；
（3）由（1）同理可得：∠HPG，由平行线定义可知，，再由角的和差可得出∠HPG=∠HPS+∠SPN+∠NPG，进而得出∠HPG= （∠MPN+∠SPR），即可得出结论.
13．（2024七下·上城期中）已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）有一点在直线之间且在直线左侧，连接；
①如图2，当，时，求的度数；
②如图3，是的平分线，交于点O，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解；①如图所示，过点M作，∵，
∴，
∴，，
∴；
②由（2）①可知，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据等量代换得到，再根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）①过点M作，则，然后根据同旁内角互补得到，，然后根据角的和差解题即可；
②由①可知，根据角平分线得到，即可得到；然后得到，即可得到结论.
14．已知 ，试解决下列问题：
（1）如图 1， ▲
（2）如图 2， 等于多少度？请说明理由．
（3） 如图 3， ▲
（4） 如图 4， 试探究 ▲
【答案】（1）
（2）解：如图，过点 作直线 ．
（3）
（4）
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
故填：180°.
（3）如图，过点E和点F分别作EG∥AB，FH∥AB，
同理可得，∠1+∠AEF=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠CFH+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠AEF+∠GEF+∠EFH+∠CFH+∠4=3×180°=540°，
故填：540°.
（4）由（2）（3）可知，
.
故填：.
【分析】（1）观察目标角的关系，直接由平行线的性质即可得出结果；
（2）为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数；
（3）同（2）过拐点作平行线，利用平行线的性质即可推理分析得出目标角的关系并计算得出结果；
（4）由（2）（3）的规律类比推理，即可得出一般性的规律得出结果.
15．如图 1， 已知直线 ， 点 分别在直线 与 上， 点 为两平行线间一点．
（1） 求证： ①；
②．
（2） 利用 (1) 的结论解答：
① 如图 2， 分别平分 ， ， 请你直接写出 与 的数量关系．
② 如图 分别平分 ， ， 若 ， 求 的度数．
【答案】（1）证明：①如图，过点 作 ，
则 ．
即 ．
②∵CD∥MN∥EF，
∴∠APN=∠CAP，∠BPN=∠EBP，
又∵∠ABP+∠APN+∠BPN=360°，
∴.
（2）解：①．
② 由 (1) 得 分别平分 ，
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】（2）解：①由（1）可知，∠P=∠DAP+∠FBP，
同理可证，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
又∵ 分别平分 ， ，
∴，
∴，
即.
【分析】（1）为利用已知平行条件，通过过拐点P作已知直线的平行线即可直接使用平行线的性质完成角度推理得证①②；
（2）根据（1）中结论结合角平分线的角度关系进一步推理，不熟练的情况可以通过设二元直接表示得出目标与条件角直接的关系即可得证①并求出角度②.
16．（2025七下·金华期末）根据以下素材，探索完成任务.
教材母题
素材1 浙教版七年级下册数学教材第23页有一例题，如右图.小明和小芳发现，通过计算两条角平分线(AP与CP)的夹角(∠P)也可判断两条直线是否平行. 例4 如图.AP平分∠BAC，CP平分∠ACD. ∠1+∠2=90°，判断AB.CD是否平行，并说明理由. 解：AB∥CD，理由如下： 如图，由已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.根据角平分线的意义，知 ∠1=∠BAC，∠2=∠ACD. 所以∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=2×90°=180°， 根据”同旁内角互补，两直线平行”得AB∥CD.
类比探究
素材2 小明和小芳思考：角的其它等分线夹角度数与两直线平行之间是否存在联系 已知线段MN夹在直线AB与直线CD之间，其中点M在直线AB上，点N在直线CD上. 小明的做法：如图1，在线段MN的左侧分别作∠AMN的三等分线ME和ME作∠CNM的三等分线NE和NF，其中ME和NE交于点E，MF和NF交于点F.小芳的做法：如图2，在线段MN的两侧分别作∠AMN和∠MND的三等分线，使∠AME=∠AMN， ∠ENC=∠MNC， ∠BMF=∠BMN， ∠FND= ∠MND.
深化探究
素材3 小明和小芳继续思考：当线段MN变为折线时，是否可以利用平行条件求某些 角度关系呢 已知AB∥CD，M，N分别为直线AB，CD上的点，线段EF在平行线AB，CD之间，点P为线段EF上的一个动点，连结ME，NF，MP，NP，使∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP，记∠MPN=α. 如图3和图4分别为小明和小芳根据题意画出的两个图形.
问题解决
⑴任务1 素材1的例题中，当∠P= 度时，AB∥CD.
⑵任务2 请你猜想素材2中，当∠E和∠F满足怎样的数量关系时AB∥CD 并选择其中一种做法说明理由.
⑶任务3 请你根据素材3中小明和小芳画出的两个图形，直接写出∠F-∠E的值. (用含a的式子表示)
【答案】解：（1）若∠P=90°，由三角形内角和定理，得∠CAP+∠ACP=90°
∵∠1+∠2=90° ∴∠BAC+∠ACD=180° ∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）小明的证法：设∠AME=x，∠FNC=y
若AB//CD，则由题意得3x+3y=180°，即x+y=60°
由三角形内角和定理得，∠E=180°-2x-y，∠F=180°-x-2y
∴∠E+∠F=360°-3x-3y=180°(图1)
因此，若AB//CD，则需要满足∠E+∠F=180°
小芳的证法：设∠AME=x，∠FND=y，∠ENM=m，∠NMF=n
若AB//CD，则由题意得∠AMN=∠DNM，∠CNM=∠BMN，即x=y，m=n
由三角形内角和定理得，∠E=180°-2x-m，∠F=180°-2y-n(图2)
因此，若AB//CD，则需要满足∠E=∠F.
（3）如图3，过点E作EK//AB，过点F作FR//AB
则EK//FR//AB//CD
∴∠KEF=∠EFR 设∠KEF=∠EFR=m
设∠EMP=x，∠FNP=y
∵ ∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP ∴∠AME=2x，∠DNF=2y
∠MEF=2x+m，∠EFN=2y+m
∴∠EFN-∠MEF=2(y-x)
由（2）得，∠MPN=∠AMP+∠PNC=α
∴3x+180-3y=α ∴3(x-y)=α-180
∴
∴
如图4，过点E作EK//AB，过点F作FR//AB
则EK//FR//AB//CD
同理可得，
【知识点】平行线的判定与性质；铅笔头模型
【解析】【分析】（1）考查平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行。当∠P=90°时，根据三角形内角和定理，得∠PAC+∠ACP=90°，又因为∠1+∠2=90°，所以∠BAC+∠ACD=180°，则AB//CD。
（2）在判断过程中，可以采用倒推的方式，若要满足AB//CD，则需得到什么结论，结合平行线的判定定理以及三角形内角和定理，利用已知条件中角的等分线所包含的角的倍数关系，便能找到小明与小芳的作法中∠E与∠F的数量关系。
（3）可以作EG//AB，PH//AB，FI//AB，从而得到AB//EG//PH//FI//CD，由平行线的性质定理找到相应角度之间的数量关系即可。
1 / 1培优专题 相交线与平行线铅笔头模型—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2024七下·杭州期中）如图，，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·苍南期中）如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 直线 于点 ， 若 ， 则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
4．如图， 已知 分别平分 和， 且交于点， 则 （ ）
A． B．
C． D．
5．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放， 若 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·义乌月考）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
7．（2025七下·上城期中） 如图，已知AB//CD，CG交AB于点G，且∠C=α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·上城期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2025七下·金华期末） 如图，已知，点E在直线AB上，点F在直线CD上，连结EF.点G是射线FD上一点（不与点F重合），过点G作交线段EF于点H，且.
（1） 的度数为 .
（2） 已知点P，Q在直线AB，CD之间，点M在射线EA上，连结PQ，PM，MQ，使线段PQ经过点H.若，，则的度数为 .
10．（2025七下·浙江期中）如图是路政工程车的工作截面图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠°，∠°，则∠3的度数为 .
三、解答题
11．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
（3）【拓展应用】如图，已知和分别平分和，若，求的度数．
12．（2024七下·东阳期中）直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点．
（1）如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值．
（3）如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 (用含、的代数式表示)
13．（2024七下·上城期中）已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）有一点在直线之间且在直线左侧，连接；
①如图2，当，时，求的度数；
②如图3，是的平分线，交于点O，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系．
14．已知 ，试解决下列问题：
（1）如图 1， ▲
（2）如图 2， 等于多少度？请说明理由．
（3） 如图 3， ▲
（4） 如图 4， 试探究 ▲
15．如图 1， 已知直线 ， 点 分别在直线 与 上， 点 为两平行线间一点．
（1） 求证： ①；
②．
（2） 利用 (1) 的结论解答：
① 如图 2， 分别平分 ， ， 请你直接写出 与 的数量关系．
② 如图 分别平分 ， ， 若 ， 求 的度数．
16．（2025七下·金华期末）根据以下素材，探索完成任务.
教材母题
素材1 浙教版七年级下册数学教材第23页有一例题，如右图.小明和小芳发现，通过计算两条角平分线(AP与CP)的夹角(∠P)也可判断两条直线是否平行. 例4 如图.AP平分∠BAC，CP平分∠ACD. ∠1+∠2=90°，判断AB.CD是否平行，并说明理由. 解：AB∥CD，理由如下： 如图，由已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.根据角平分线的意义，知 ∠1=∠BAC，∠2=∠ACD. 所以∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=2×90°=180°， 根据”同旁内角互补，两直线平行”得AB∥CD.
类比探究
素材2 小明和小芳思考：角的其它等分线夹角度数与两直线平行之间是否存在联系 已知线段MN夹在直线AB与直线CD之间，其中点M在直线AB上，点N在直线CD上. 小明的做法：如图1，在线段MN的左侧分别作∠AMN的三等分线ME和ME作∠CNM的三等分线NE和NF，其中ME和NE交于点E，MF和NF交于点F.小芳的做法：如图2，在线段MN的两侧分别作∠AMN和∠MND的三等分线，使∠AME=∠AMN， ∠ENC=∠MNC， ∠BMF=∠BMN， ∠FND= ∠MND.
深化探究
素材3 小明和小芳继续思考：当线段MN变为折线时，是否可以利用平行条件求某些 角度关系呢 已知AB∥CD，M，N分别为直线AB，CD上的点，线段EF在平行线AB，CD之间，点P为线段EF上的一个动点，连结ME，NF，MP，NP，使∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP，记∠MPN=α. 如图3和图4分别为小明和小芳根据题意画出的两个图形.
问题解决
⑴任务1 素材1的例题中，当∠P= 度时，AB∥CD.
⑵任务2 请你猜想素材2中，当∠E和∠F满足怎样的数量关系时AB∥CD 并选择其中一种做法说明理由.
⑶任务3 请你根据素材3中小明和小芳画出的两个图形，直接写出∠F-∠E的值. (用含a的式子表示)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】铅笔头模型；平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过E作，
则，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】作，根据两直线平行，同旁内角互补得到，由然后根据平行公理得到，即可求出，再利用角的和差解题即可．
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：如图，过点作
∴
分别是和的角平分线
过点H作，
同理可求
故选C．
【分析】由于同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，因此可分别过点G、H作AB的平行线，再利用平行线的性质结合角平分线的概念即可．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠AEF+∠A=180°，∠CEF+∠C=180°，
∴∠AEF=180°-∠A=180°-120°=60°，
又∵AE⊥CE，
∴∠CEF=90°-∠AEF=30°，
∴∠C=180°-∠CEF=150°，
故选：B.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点 作， 如图，
整理得 ．
故选：C.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质及角平分线的概念即可推理分析目标角的度数，不熟练的情况可以通过设二元进行关系表示更为直观.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：如图，过直角顶点作直线平行与直尺，
依题意，∠1=∠3，∠2=∠4，
又∵∠1=47°，∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°-∠1=43°.
故选：B.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数.
6．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的判定与性质；铅笔头模型；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴①正确；
过点H作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵
∴，
即，
∴②正确．
设，则，，
由②知
作，
，
，
∴，无法判断是否为，
∴③错误；
∴，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定，平行线的性质，以及相关角度的和差计算，逐项进行推理判断求值，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BGC=∠C=α，
∵GE平分∠BGC，
，
当点 P 在AB 和CD之间时，如图，过点 P作PM∥AB，
，
，
，
，
故 A 选项不符合题意；
当点 P 在AB 上方时，如图，过点 P 作PN∥AB，
∴ ∠FPN = ∠FGA =
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠NPH=∠PHC，
，
故C选项不符合题意，D选项符合题意；
当点 P 在CD下方时，如图，过点 P 作PK∥AB，
故B选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行公理、平行线的性质、角平分线的定义得到逐项判断解题即可.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；平行公理；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
【分析】分3种情况画图，过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质解答即可．
9．【答案】（1）30°
（2）72°或168°
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD ∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）
∵GH⊥EF ∴∠FGH=90°，∠EFD+∠HGF=90°
∵∴∠EFD：∠HGF=1：2 ，解得∠EFD=30°
∴∠AEF=∠EFD=30°
故答案为：30°.
（2）由∠GHQ=42°，可对P、Q的位置进行分类讨论：
①点Q在HG左侧时
过点P作PL//AB，过点H作HR//AB
∵PL//AB，HR//AB，AB//CD
∴PL//HR//AB//CD
由（1）得∠HGF=60° ∴∠RHG=60°，∠RHQ=42°+60°=102°
∴∠LPH=∠RHQ=102°
∵∠MPQ=90° ∴∠MPL=360°-90°-102°=168°
∵AB//PL ∴∠AMP=∠MPL=168°
②点Q在HG右侧时，过点P作PL//AB，过点H作HR//AB
同理可得，PL//HR//AB//CD
由（1）得∠HGF=60° ∴∠RHG=60°，∠RHQ=60°-42°=18°
∴∠LPH=∠RHQ=18°
∵∠MPQ=90° ∴∠MPL=90°-18°=72°
∵AB//PL ∴∠AMP=∠MPL=72°
故答案为：168°或72°.
【分析】（1）由平行线的性质定理可得∠AEF=∠EFD，再根据三角形内角和定理及已知条件中，便可求得∠AEF的度数。
（2）本题若只看点P，Q在直线AB，CD之间，无法确定P、Q的位置，可利用∠GHQ=42°且线段PQ经过点H ，对P、Q的位置进行分类讨论，确定P、Q的位置后，再借助平行线的性质定理及∠MPQ=90°求得相关角度，从而得到∠AMP的度数。
10．【答案】160
【知识点】铅笔头模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，过∠2 顶点作直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5.
∵工作篮底部与支撑平台平行，且直线l//支撑平台，
∴直线l//支撑平台//工作篮底部，
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°，
∵∠4+∠5=∠2=50°，
∴∠5=50°-∠4=20°，
∴∠3=180°-∠5=160°，
故答案为：160.
【分析】平行线中间有拐点时，通常过这个拐点作一条直线与已知两平行线平行，然后利用平行线的性质进行角度的转换与计算.
11．【答案】（1）证明：如图，过作直线，
而，
，
，，
，
即；
如图，过作直线，
而，
，
，，
；
（2）解：如图，延长，交于点，过作，
而，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
由的结论可得：，，
和分别平分和，
，，
，
，
，
.
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由于两直线平行，同旁内角互补，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与互补，与互补，显然可得、和的和为；
由于两直线平行，内错角相等，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与相等，与相等，显然可得等于和的和；
（2）借鉴（1）的作法，可过点A作AF//MN，则AF//CD，再延长AB交DC的延长线于点Q，则被AF分为两个角和，且与互补即，等于等于即，则可求；
（3）由（1）结论知，等于与的和，且等于与的和，由已知和的数量关系可得到关于的一元一次方程并解方程即可.
12．【答案】（1）解：，
理由：过点P作EF∥AB，如图所示：
∵EF∥AB，
∴∠AMP=∠MPF，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FPN=∠CNP，
∵∠MPN=∠MPF+∠FPN，
∴∠MPN=∠MPN+∠CNP
（2）解：由（1）同理可得：∠EPN=∠AEP+∠CNP，
∵AB平分∠MPN，
∴∠MPF=∠NPF，
∵∠MPE=∠MEP，∠MPF=∠MPE+∠EPF，
∴∠EPN=∠EPF+∠FPN=∠EPF+∠MPF=∠EPF+∠MPE+∠EPF=2∠EPF+∠MPE，
∴∠AEP+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，
∴∠MPE+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，
即∠CNP=2∠EPF，
∴
（3）
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（3）∵平分，平分
∴，，
由（1）同理可得：∠HPG，
由图可知：∠HPG=∠HPS+∠SPN+∠NPG
=∠MPS+∠SPN+∠NPK
=（∠MPN-∠SPN）+∠SPN+（∠SPR-∠SPN）
=∠MPN-∠SPN+∠SPN+∠SPR-∠SPN
=∠MPN+∠SPR
= （∠MPN+∠SPR），
∵， ，
∴ （∠MPN+∠SPR）=（α+β），
故答案为：．
【分析】（1）过点作EF∥AB，运用平行公理的推论和平行线的性质即可得解得出结论；
（2）由（1）可知可得∠EPN=∠AEP+∠CNP，根据平分线的定义和已知条件可知∠EPN=2∠EPF+∠MPE，进而求得∠MPE+∠CNP=2∠EPF+∠MPE，即可得出∠CNP=2∠EPF，即可得出结论；
（3）由（1）同理可得：∠HPG，由平行线定义可知，，再由角的和差可得出∠HPG=∠HPS+∠SPN+∠NPG，进而得出∠HPG= （∠MPN+∠SPR），即可得出结论.
13．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解；①如图所示，过点M作，∵，
∴，
∴，，
∴；
②由（2）①可知，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据等量代换得到，再根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）①过点M作，则，然后根据同旁内角互补得到，，然后根据角的和差解题即可；
②由①可知，根据角平分线得到，即可得到；然后得到，即可得到结论.
14．【答案】（1）
（2）解：如图，过点 作直线 ．
（3）
（4）
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
故填：180°.
（3）如图，过点E和点F分别作EG∥AB，FH∥AB，
同理可得，∠1+∠AEF=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠CFH+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠AEF+∠GEF+∠EFH+∠CFH+∠4=3×180°=540°，
故填：540°.
（4）由（2）（3）可知，
.
故填：.
【分析】（1）观察目标角的关系，直接由平行线的性质即可得出结果；
（2）为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数；
（3）同（2）过拐点作平行线，利用平行线的性质即可推理分析得出目标角的关系并计算得出结果；
（4）由（2）（3）的规律类比推理，即可得出一般性的规律得出结果.
15．【答案】（1）证明：①如图，过点 作 ，
则 ．
即 ．
②∵CD∥MN∥EF，
∴∠APN=∠CAP，∠BPN=∠EBP，
又∵∠ABP+∠APN+∠BPN=360°，
∴.
（2）解：①．
② 由 (1) 得 分别平分 ，
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】（2）解：①由（1）可知，∠P=∠DAP+∠FBP，
同理可证，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
又∵ 分别平分 ， ，
∴，
∴，
即.
【分析】（1）为利用已知平行条件，通过过拐点P作已知直线的平行线即可直接使用平行线的性质完成角度推理得证①②；
（2）根据（1）中结论结合角平分线的角度关系进一步推理，不熟练的情况可以通过设二元直接表示得出目标与条件角直接的关系即可得证①并求出角度②.
16．【答案】解：（1）若∠P=90°，由三角形内角和定理，得∠CAP+∠ACP=90°
∵∠1+∠2=90° ∴∠BAC+∠ACD=180° ∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）小明的证法：设∠AME=x，∠FNC=y
若AB//CD，则由题意得3x+3y=180°，即x+y=60°
由三角形内角和定理得，∠E=180°-2x-y，∠F=180°-x-2y
∴∠E+∠F=360°-3x-3y=180°(图1)
因此，若AB//CD，则需要满足∠E+∠F=180°
小芳的证法：设∠AME=x，∠FND=y，∠ENM=m，∠NMF=n
若AB//CD，则由题意得∠AMN=∠DNM，∠CNM=∠BMN，即x=y，m=n
由三角形内角和定理得，∠E=180°-2x-m，∠F=180°-2y-n(图2)
因此，若AB//CD，则需要满足∠E=∠F.
（3）如图3，过点E作EK//AB，过点F作FR//AB
则EK//FR//AB//CD
∴∠KEF=∠EFR 设∠KEF=∠EFR=m
设∠EMP=x，∠FNP=y
∵ ∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP ∴∠AME=2x，∠DNF=2y
∠MEF=2x+m，∠EFN=2y+m
∴∠EFN-∠MEF=2(y-x)
由（2）得，∠MPN=∠AMP+∠PNC=α
∴3x+180-3y=α ∴3(x-y)=α-180
∴
∴
如图4，过点E作EK//AB，过点F作FR//AB
则EK//FR//AB//CD
同理可得，
【知识点】平行线的判定与性质；铅笔头模型
【解析】【分析】（1）考查平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行。当∠P=90°时，根据三角形内角和定理，得∠PAC+∠ACP=90°，又因为∠1+∠2=90°，所以∠BAC+∠ACD=180°，则AB//CD。
（2）在判断过程中，可以采用倒推的方式，若要满足AB//CD，则需得到什么结论，结合平行线的判定定理以及三角形内角和定理，利用已知条件中角的等分线所包含的角的倍数关系，便能找到小明与小芳的作法中∠E与∠F的数量关系。
（3）可以作EG//AB，PH//AB，FI//AB，从而得到AB//EG//PH//FI//CD，由平行线的性质定理找到相应角度之间的数量关系即可。
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