2.4 二元一次方程组的应用—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·余姚期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州期末） 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. 意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺. 设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·临平月考）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2。如果在这个两位数后面加个0，所得到的三位数比原数大216。设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，则列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·杭州月考）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼.意思是：77元钱共买了10斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·杭州月考）《算法统宗》中有这样一个问题如图，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两请问：所分的银子共有多少两？注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语设有个人，两银子，根据题意可以列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．某学校准备购进单价分别为5元和7元的 A，B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求购进 A种笔记本的数量不多于 B种笔记本数量的3倍，且不少于 B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30
碑上的数 是 一 个 两 位数，数字之和为 6 十位与个位数字与 12：00时所看到的正好颠倒了 比 12：00时看到的两位数中间多了个 0
则12：00时看到的两位数是( ).
A．24 B．42 C．51 D．15
8．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（ ）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．（2025七下·浙江月考）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是 ．
10．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如表所示：
乘坐缆车方式 乘坐缆车费用/(元/人)
往返 160
单程 90
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有6人乘坐缆车，返程时有12人乘坐缆
车，他们乘坐缆车的总费用是 1 540 元，则该小组共有 人.
11． 一个长方形的周长为10cm，长比宽长3cm.设这个长方形的长为x(cm)，宽为y(cm)，则根据题意可列出关于x，y 的二元一次方程组是： .
12．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠1的度数x°比∠2的度数y°的2倍多10°，则列出关于x，y的方程组是
13．（2025七下·杭州期末） 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入 个大铁球和 个小铁球.（写出一组符合要求的值即可）
三、解答题
14．成都第31届世界大学生夏季运动会，羽毛球、排球、网球三个项目决赛门票的价格如下表。
项目 羽毛球 排球 网球
票价/(元/张) 280 120 80
小聪购买了排球和网球决赛门票共6张，他发现购买这6张门票的价格恰好等于2张羽毛球决赛门票的价格。如果设小聪购买的排球和网球决赛门票分别为x张和y张，请根据问题中的条件列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求两种门票的数量。
15．已知两个自然数的和是7，差是3。设这两个自然数分别是x，y，请列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求出这两个自然数。
16．（2023七下·临平月考）据研究，地面上空h(m)处的气温t(℃)与地面气温T(℃)有如下关系：t＝T－kh.现用气象气球测得某时离地面150m处的气温为8.8℃，离地面400m处的气温为6.8℃．
（1）求T，k的值．
（2）求地面上空1000m处的气温．
17．小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3c m的小正方形(阴影部分)，求小长方形的面积.
18．（2025七上·桂阳月考）东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 3 2 14
第2次 4 5 24.5
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？
（2）若果农共有吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？
19．（2025七下·宁海期中）综合与实践
探究操场跑道的设计与分析
素材 标准田径跑道的设计如右图。 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道；
任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（π取3.14）
任务二 计算第8道与第1道的长度之差.（π取3.14，保留一位小数）
任务三 小明从A点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从B点的正上方（垂直于AB）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的CD段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度.（取3，保留两位小数）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得， .
故答案为：C .
【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，列方程组如下
故答案为：A .
【分析】这是一道方程的实际应用问题，需要从文字中发现两个量，木头长度和绳子长度，找到它们之间的两个等量关系：绳子不对折时，比木头长4.5尺；绳子对折时，比木头短1尺。根据这两个等量关系就可以列出一元二次方程组。
3．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 个位上的数字比十位上的数字大2 ，
∴y=x+2.
∵ 在这个两位数后面加个0，所得到的三位数比原数大216 ，
∴100x+10y-(10x+y)=216.
综上所述，列出的方程组为：.
故答案为：C.
【分析】根据题意找出对应的等量关系式，分别列出两个关于x和y的方程，即可列出关于y和y的方程组.
4．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每斤肉元，每斤鱼元，根据条件“ 77元钱共买了10斤肉和斤鱼 ”可得方程，根据条件“斤肉的钱等于斤鱼的钱 ”可得方程，联立可得 .
故答案为：A.
【分析】根据题意列出方程组即可.
5．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意中“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可求得.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：设购进 A种笔记本x本，则购进B种笔记本(50-x)本.
由题意，得
解得
∵x为正整数，
∴x的取值为34，35，36，37，
∴不同的购买方案数为4.
故选：D.
【分析】根据题意列二元一次不等式组求解，再结合所求不等式组解集及现实意义得出不等式组的特殊解，作出相应的选择即可.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y
由题意可得：
解得：
∴12：00时看到的两位数是10y+x=51
故答案为：C
【分析】设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
9．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组．
10．【答案】14
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】一题多解 方法①设该小组乘坐缆车往返的有x人，乘坐缆车单程的有y人.
由题意，得
解得
∴该小组共有4+10=14(人).
故填：14.
【分析】根据“往返总费用+单程总费用=乘车总费用；去程乘缆车人数+返程乘缆车人数=乘坐缆车单程总人数”列方程作答.
11．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：.
【分析】根据题中的两个相等关系“2个长+2个宽=周长，长=宽+3”可列方程组.
12．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：.
【分析】由∠1与∠2互为邻补角可列出方程x+y=180，根据 ∠1的度数x°比∠2的度数y°的2倍多10° 可列出方程x=2y+10，联立两方程即可.
13．【答案】3；2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） .
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。
14．【答案】解：根据条件可列出关于x，y的方程组 因为x，y必须取自然数(为什么 )，所以列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
120x+80y 480 520 560 600 640 680 720
可见，只有x=2，y=4符合这个方程组，所以方程组的解是 答：小聪买了排球决赛门票2张，网球决赛门票4张。
【知识点】列二元一次方程组；列表法解二元一次方程组
【解析】【分析】先由题意列出关于x，y的二元一次方程组，再列表求这个方程组的正整数解即可.
15．【答案】解： 设这两个自然数分别是x，y， 由题意知：，
对方程列表如下：
x 6 5 4 3
y 1 2 3 4
对方程列表如下：
x 6 5 4 3
y 1 2 3 4
方程组的解是.
【知识点】列二元一次方程组；列表法解二元一次方程组
【解析】【分析】先列表分别表示出两个方程的若干组解，再从中找出公共解即可.
16．【答案】（1）解：根据题意列方程组
解得T=10，．
（2）解：t＝10－h.
当h=1000时，t＝2℃．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题目中已知的h和t的值分别代入t＝T－kh即可列出两个方程，解方程组即可；
（2）把h=1000代入t＝10－h求t即可
17．【答案】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，则题图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，题图2 中大正方形的边长可以表示为(2x+y) cm或(2y+3) cm.
由题意，得
解得
答：小长方形的面积为135 cm2.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的宽为 xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题.
18．【答案】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴，
∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）先设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，再根据运输的车辆数与总吨数，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出二元一次方程，再根据车辆数为正整数写出可能组合即可．
（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴，
∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车．
19．【答案】解：任务一：2×36.5×3.14+84.39×2·
=398米
答：第1跑道的长为398米.
任务二：（米）
答：第8道与第1道的长度之差为53.6米.·
任务三：设小方的速度为a米/秒，小明的速度为b米/秒.
小方与小明相遇时，两人的所跑过的路程之和为米.
于是有
解得
答：小方的速度为8.26米/秒，小明的速度为7.23米/秒.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图可知，第一跑道实际由左右两个半径为36.5m的半圆以及中间的矩形拼合而成，因此，求出半径为36.5m的圆的周长，再加上2倍直线跑道长84.39m即可；
（2）只需要计算第8跑道与第1跑道的圆周长之差即可；
（3）设小方的速度为a米/秒，小明的速度为米/秒，根据题意列出关于a、b的二元一次方程组并求解即可.
1 / 12.4 二元一次方程组的应用—浙教版数学七（下）核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·余姚期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得， .
故答案为：C .
【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得.
2．（2025七下·杭州期末） 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. 意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺. 设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，列方程组如下
故答案为：A .
【分析】这是一道方程的实际应用问题，需要从文字中发现两个量，木头长度和绳子长度，找到它们之间的两个等量关系：绳子不对折时，比木头长4.5尺；绳子对折时，比木头短1尺。根据这两个等量关系就可以列出一元二次方程组。
3．（2025七下·临平月考）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2。如果在这个两位数后面加个0，所得到的三位数比原数大216。设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，则列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 个位上的数字比十位上的数字大2 ，
∴y=x+2.
∵ 在这个两位数后面加个0，所得到的三位数比原数大216 ，
∴100x+10y-(10x+y)=216.
综上所述，列出的方程组为：.
故答案为：C.
【分析】根据题意找出对应的等量关系式，分别列出两个关于x和y的方程，即可列出关于y和y的方程组.
4．（2025七下·杭州月考）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼.意思是：77元钱共买了10斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每斤肉元，每斤鱼元，根据条件“ 77元钱共买了10斤肉和斤鱼 ”可得方程，根据条件“斤肉的钱等于斤鱼的钱 ”可得方程，联立可得 .
故答案为：A.
【分析】根据题意列出方程组即可.
5．（2025七下·杭州月考）《算法统宗》中有这样一个问题如图，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两请问：所分的银子共有多少两？注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语设有个人，两银子，根据题意可以列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意中“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可求得.
6．某学校准备购进单价分别为5元和7元的 A，B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求购进 A种笔记本的数量不多于 B种笔记本数量的3倍，且不少于 B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：设购进 A种笔记本x本，则购进B种笔记本(50-x)本.
由题意，得
解得
∵x为正整数，
∴x的取值为34，35，36，37，
∴不同的购买方案数为4.
故选：D.
【分析】根据题意列二元一次不等式组求解，再结合所求不等式组解集及现实意义得出不等式组的特殊解，作出相应的选择即可.
7．小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30
碑上的数 是 一 个 两 位数，数字之和为 6 十位与个位数字与 12：00时所看到的正好颠倒了 比 12：00时看到的两位数中间多了个 0
则12：00时看到的两位数是( ).
A．24 B．42 C．51 D．15
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y
由题意可得：
解得：
∴12：00时看到的两位数是10y+x=51
故答案为：C
【分析】设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
8．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（ ）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
二、填空题
9．（2025七下·浙江月考）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组．
10．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如表所示：
乘坐缆车方式 乘坐缆车费用/(元/人)
往返 160
单程 90
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有6人乘坐缆车，返程时有12人乘坐缆
车，他们乘坐缆车的总费用是 1 540 元，则该小组共有 人.
【答案】14
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】一题多解 方法①设该小组乘坐缆车往返的有x人，乘坐缆车单程的有y人.
由题意，得
解得
∴该小组共有4+10=14(人).
故填：14.
【分析】根据“往返总费用+单程总费用=乘车总费用；去程乘缆车人数+返程乘缆车人数=乘坐缆车单程总人数”列方程作答.
11． 一个长方形的周长为10cm，长比宽长3cm.设这个长方形的长为x(cm)，宽为y(cm)，则根据题意可列出关于x，y 的二元一次方程组是： .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：.
【分析】根据题中的两个相等关系“2个长+2个宽=周长，长=宽+3”可列方程组.
12．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠1的度数x°比∠2的度数y°的2倍多10°，则列出关于x，y的方程组是
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：.
【分析】由∠1与∠2互为邻补角可列出方程x+y=180，根据 ∠1的度数x°比∠2的度数y°的2倍多10° 可列出方程x=2y+10，联立两方程即可.
13．（2025七下·杭州期末） 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入 个大铁球和 个小铁球.（写出一组符合要求的值即可）
【答案】3；2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） .
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。
三、解答题
14．成都第31届世界大学生夏季运动会，羽毛球、排球、网球三个项目决赛门票的价格如下表。
项目 羽毛球 排球 网球
票价/(元/张) 280 120 80
小聪购买了排球和网球决赛门票共6张，他发现购买这6张门票的价格恰好等于2张羽毛球决赛门票的价格。如果设小聪购买的排球和网球决赛门票分别为x张和y张，请根据问题中的条件列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求两种门票的数量。
【答案】解：根据条件可列出关于x，y的方程组 因为x，y必须取自然数(为什么 )，所以列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
120x+80y 480 520 560 600 640 680 720
可见，只有x=2，y=4符合这个方程组，所以方程组的解是 答：小聪买了排球决赛门票2张，网球决赛门票4张。
【知识点】列二元一次方程组；列表法解二元一次方程组
【解析】【分析】先由题意列出关于x，y的二元一次方程组，再列表求这个方程组的正整数解即可.
15．已知两个自然数的和是7，差是3。设这两个自然数分别是x，y，请列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求出这两个自然数。
【答案】解： 设这两个自然数分别是x，y， 由题意知：，
对方程列表如下：
x 6 5 4 3
y 1 2 3 4
对方程列表如下：
x 6 5 4 3
y 1 2 3 4
方程组的解是.
【知识点】列二元一次方程组；列表法解二元一次方程组
【解析】【分析】先列表分别表示出两个方程的若干组解，再从中找出公共解即可.
16．（2023七下·临平月考）据研究，地面上空h(m)处的气温t(℃)与地面气温T(℃)有如下关系：t＝T－kh.现用气象气球测得某时离地面150m处的气温为8.8℃，离地面400m处的气温为6.8℃．
（1）求T，k的值．
（2）求地面上空1000m处的气温．
【答案】（1）解：根据题意列方程组
解得T=10，．
（2）解：t＝10－h.
当h=1000时，t＝2℃．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题目中已知的h和t的值分别代入t＝T－kh即可列出两个方程，解方程组即可；
（2）把h=1000代入t＝10－h求t即可
17．小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3c m的小正方形(阴影部分)，求小长方形的面积.
【答案】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，则题图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，题图2 中大正方形的边长可以表示为(2x+y) cm或(2y+3) cm.
由题意，得
解得
答：小长方形的面积为135 cm2.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的宽为 xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题.
18．（2025七上·桂阳月考）东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 3 2 14
第2次 4 5 24.5
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？
（2）若果农共有吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？
【答案】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴，
∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）先设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，再根据运输的车辆数与总吨数，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出二元一次方程，再根据车辆数为正整数写出可能组合即可．
（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴，
∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车．
19．（2025七下·宁海期中）综合与实践
探究操场跑道的设计与分析
素材 标准田径跑道的设计如右图。 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道；
任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（π取3.14）
任务二 计算第8道与第1道的长度之差.（π取3.14，保留一位小数）
任务三 小明从A点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从B点的正上方（垂直于AB）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的CD段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度.（取3，保留两位小数）
【答案】解：任务一：2×36.5×3.14+84.39×2·
=398米
答：第1跑道的长为398米.
任务二：（米）
答：第8道与第1道的长度之差为53.6米.·
任务三：设小方的速度为a米/秒，小明的速度为b米/秒.
小方与小明相遇时，两人的所跑过的路程之和为米.
于是有
解得
答：小方的速度为8.26米/秒，小明的速度为7.23米/秒.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图可知，第一跑道实际由左右两个半径为36.5m的半圆以及中间的矩形拼合而成，因此，求出半径为36.5m的圆的周长，再加上2倍直线跑道长84.39m即可；
（2）只需要计算第8跑道与第1跑道的圆周长之差即可；
（3）设小方的速度为a米/秒，小明的速度为米/秒，根据题意列出关于a、b的二元一次方程组并求解即可.
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