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浙教版2025-2026学年七年级下数学第3章 整式的乘除 尖子生测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知三个实数a，b，c满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】∵，∴，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B
2．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1，＝216－1＋1，＝216.
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
∴末位数字以4为周期，
∴16=4×4，
∴216的末位数字是6，
∴原式末位数字是6.
故答案为：C.
3．设，若，则（ ）
A．27 B．24 C．22 D．20
【答案】A
【解析】，，
，，
，
，
，
.
故答案为：A.
4． 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】将方程分解为质因数幂
分解质因数：
化简为：
∴
由第二式得，代入第一式：
代入第三式：
则，
解得：
计算代入得：，
故答案为：Ａ.
5． 已知，，，都是正数，设 ， ，那么 M 与 N 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】 设 a= a2 + aa3 + +a2024，
则有：M= ( a+ a1) ( a + a2025) ，
N= ( a+ a1+a2025 ) · a，
计算M和N的差：
M N= ( a+ a1) ( a + a2025) ( a+ a1+a2025 ) · a
= a2+ a a1 + aa2025+a1a2025 a2 aa1 aa2025
= a1a2025
∵，，，都是正数 ，因此 a1a20250> 0
∴M N > 0 ，即 M > N
故答案为：C.
6． 设 x， y， s， t 为互不相等的实数，且，，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
【答案】A
【解析】∵，
∴x4-s2x2-t2x2+s2t2-1=0，
设x2=A，A2-（s2+t2）A+s2t2-1=0，
∵，
∴y4-s2y2-t2y2+s2t2-1=0，
∴x2与y2都是关于A的方程A2-（s2+t2）A+s2t2-1=0的根，
∴，
∴=-1.
故答案为：A.
7．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故答案为：B．
8． 如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】设正方形A，B的边长各为a、b(a>b)
得图甲阴影部分的面积为：(a-b)2=a2-2ab+b2=1，
解得：a-b=1或a-b=-1(舍去)，
图乙阴影部分的面积为：(a+b)2-(a2+b2)=2ab=12，
可得(a+b)2=a2 + 2ab+ b2=a2-2ab + b2 + 4ab=(a-b)2+4ab=1+2×12=25，
解得：a+b=5或a+b=-5(舍去)，
∴图丙中阴影部分的面积为
(2a+b)2-(3a2+2b2)
=a2 + 4ab-b2
=(a+b)(a-b)+2×2ab
=5×1+2×12
=5 +24
=29；
故答案为：B.
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是（ ）
A．20是“完美数”
B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍
D．小于30的所有“完美数”之和是60
【答案】D
【解析】A、∵62-42=20，∴ 20是“完美数”，故此项不符合题意；
B、∵ 两个连续偶数的平方差最小值为4，∴ 最小的“完美数”是4 ，故此项不符合题意；
C、设两个连续偶数为2n，2n+2，
∴（2n+2）2-（2n）2=4（2n+1），
∴“完美数”一定是4的奇数倍 ，故此项不符合题意；
D、小于30的“完美数”有4、12、20、28，
∴4+12+20+28=64，故此项符合题意；
故答案为：D.
10．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d＝b﹣c+a，
∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d，
S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2，
l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d，
S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc，
∴S2﹣S1＝bc+c2，
l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d，
∴bc+c2＝（）2，
∴bc+c2＝（b﹣c）2，
∴3bc＝b2，
∴b＝3c，
∴c：b的值为．
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个多项式与的积为，则 .
【答案】0
【解析】∵积中x的三次项的系数为1，
∴另一个多项式的一次项系数也是1，
∵积中有常数项为2，
∴另一个多项式为，
∴
∴，，
∴，
故答案为：0.
12．若，则 ．
【答案】2或3或-1
【解析】本题要分三种情况讨论：
①∵1的任何次幂都等于1∴5-2x=1
解得：x=2
②∵-1的偶数次幂都等于1∴5-2x=-1
解得：x=3
此时x+1=4是偶数，符合题意；
③∵任何不等于零的数的零次幂都等于1∴x+1=0∴x=-1
此时5-2x=5+2=7≠0，符合题意；
综上所述：x=2或3或-1.
故答案为：2或3或-1.
13． 若 ， 则 的值为
【答案】39
【解析】设，
【分析】将（x+2）视为一个整体，将（x-3）视为另一个整体，运用换元法、完全平方公式求解.
14．通过以下方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程．
去分母，
移项，
两边平方，
整理，
（1）的还原方程是 ．
（2）若，则代数式 ．
【答案】；5
【解析】（1），
去分母，，
移项，，
两边平方，，
整理，；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：5．
15．现定义一种新运算：.若，则，所以.
（1）若，则 ；
（2）若，n为正整数，则 （用含n，t的代数式表示）.
【答案】（1）25
（2）
【解析】（1）由题意得：， ，
∴
故答案为： 25.
（2）∵，
，
，
，
... ...
∴，，
.
故答案为：.
16．如图，在长方形ABCD中，AB【答案】31
【解析】∵四边形PMNF和四边形GHCF都是正方形，
∴S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2，
∴PF2+CF2=42，
∵长方形PECF的面积为11，
∴CF PF=11，
∴（PF+CF）2=PF2+CF2+2CF PF=64，
∴PF+CF=8，
∵长方形ABCD的面积=BC CD=（BE+PF） （CF+DF），
∴长方形ABCD的面积=（2+PF）（2+CF）=4+PF CF+2（PF+CF）=31，
故答案为：31.
三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
①
②
【答案】解：①
=
=
=
=
=
=
=
=
．
②
=
=
=
=
=
=
=
=
=
．
18.（1）已知(2 020-a)2+(a-2 019)2=5，求(2020-a)(a-2 019)的值。
（2）已知(a-2019)2+(a-2021)2=8，求(a-2020)2的值。
【答案】（1）解：设2 020-a=x，a-2 019=y，则 x+y=1，∵ = -2，即(2020-a)(a-2019)=xy=-2.
（2）解：设a-2019=x，a-2 021=y，
则
∴（x-y）2=x -2xy+y2 ，
∴+1) .
19．探索规律，回答下列问题.
（1）;;;
………
（2）根据规律，若 ；求 的值.
（3）拓展：若 ；求 的值.
【答案】（1）解： ;
;
…
由上式可得规律：两个数和的平方，等于这两个数分别平方的和再加2与这两个数的乘积，
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ＝4，
∴ ；
（3）解：∵由(1)得： ，
∴ ＝14，
∴（ ）2＝ +2+＝16，
∴（ ）2＝16，
又∵x>0，
∴ = 4 .
20．规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么
例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：______；
（2）若，，且，求的值；
（3）①若，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____．
【答案】（1）
（2）解：，，
，，
，
；
（3）解：①，，，
，，，
，
，
，
；
②2
【解析】（1）解：，
，
故答案为：；
（3）②，，
，
，，
，
设，
则，
故，
故答案为：
21．若a满足（2022－a）2+（a－2023）2=5
（1）①设2022－a=x，a－2023=y，则x2+y2= ▲ ，x+y= ▲ ；
②利用①中的信息，求出（2022－a）（a－2023）的值；
（2）如图，点A，K分别是正方形BGHC的边BG、BC上的点，满足CK=k，AG=k+1（为常数，且k>0），长方形ABKE的面积是6，分别以AB、AE为边作正方形ABID和正方形AEJF，求正方形ABID与正方形AEJF的面积之和．
【答案】（1）解：①5；-1；
②由①可得：，，∴，即，
∴，即，∴；
（2）解：正方形边长为m，
则，，∴，
∵长方形的面积是6，∴，
∵，∴，
即正方形ABID与正方形AEJF的面积之和是13．
【解析】（1） ①设2022－a=x，a－2023=y，则x2+y2= 5，x+y= 2022-a+a-2023=-1；
22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2 +b2+c2-ab-bc-ac= [（a- b）2+（b-c）2+（c-a）2]．
（1）请你验证这个等式．
（2）当a=2 020，b=2 021，c=2 022时，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
（3）若a-b= ，b-c= ，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ac的值．
【答案】（1）解：
=
等式得证.
（2）解：当 时，
a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，
∴
（3）解：∵ a-b= ，b-c= ，
∴a-c=a-b+b-c=.
∵ a2+b2+c2=1，
∴
=
23．完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值．
解：．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m＋n＝4，，求mn的值；
（2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解： ∵
∴ 42-2mn=25
∴ mn=
（2）解：∵
∴ (a-2b)2+4×（-5）=11
∴ (a-2b)2=31
∴ a-2b=
（3）解：如图
设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6
∵ 正方形ABHG，正方形DEFC，正方形AMND，正方形BPQC，
∴ S正ABHG= S正DEFC=b2， S正AMND= S正BPQC=a2
∴ S阴影=S正ABHG+ S正DEFC+S正AMND+ S正BPQC=2（b2+a2）
∵ 阴影部分的周长为38
∴ 8a+4b=38 即4a+2b=19
∴ （4a+2b）2=192
∴ （4a-2b）2=（4a+2b）2-32ab=192-32×6=169
∴ （4a-2b）2=169
∵ BC＞2AB
∴ a＞2b
∴ 4a＞2b即4a-2b＞0
∴ 4a-2b=13
联立解得a=4，b=
则S阴影=2（b2+a2）=2（16+）=
24．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
【答案】解：（1）；（2）-12；（3）-1；
（4）当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数；
（5）∵，
∴，
∵，∴，∴当时，有最小值，最小值为1
【解析】（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，∴；
故答案为：-12.
（3）∵，
∴，∴，∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：-1.
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浙教版2025-2026学年七年级下数学第3章 整式的乘除 尖子生测试卷
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知三个实数a，b，c满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．设，若，则（ ）
A．27 B．24 C．22 D．20
4． 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
5． 已知，，，都是正数，设 ， ，那么 M 与 N 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
6． 设 x， y， s， t 为互不相等的实数，且，，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
7．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8． 如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是（ ）
A．20是“完美数”
B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍
D．小于30的所有“完美数”之和是60
10．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个多项式与的积为，则 .
12．若，则 ．
13． 若 ， 则 的值为
14．通过以下方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程．
去分母，
移项，
两边平方，
整理，
（1）的还原方程是 ．
（2）若，则代数式 ．
15．现定义一种新运算：.若，则，所以.
（1）若，则 ；
（2）若，n为正整数，则 （用含n，t的代数式表示）.
16．如图，在长方形ABCD中，AB三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
①
②
18.（1）已知(2 020-a)2+(a-2 019)2=5，求(2020-a)(a-2 019)的值。
（2）已知(a-2019)2+(a-2021)2=8，求(a-2020)2的值。
19．探索规律，回答下列问题.
（1）；
；
………
（2）根据规律，若 ；求 的值.
（3）拓展：若 ；求 的值.
20．规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么
例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：______；
（2）若，，且，求的值；
（3）①若，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____．
21．若a满足（2022－a）2+（a－2023）2=5
（1）①设2022－a=x，a－2023=y，则x2+y2= ▲ ，x+y= ▲ ；
②利用①中的信息，求出（2022－a）（a－2023）的值；
（2）如图，点A，K分别是正方形BGHC的边BG、BC上的点，满足CK=k，AG=k+1（为常数，且k>0），长方形ABKE的面积是6，分别以AB、AE为边作正方形ABID和正方形AEJF，求正方形ABID与正方形AEJF的面积之和．
22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2 +b2+c2-ab-bc-ac= [（a- b）2+（b-c）2+（c-a）2]．
（1）请你验证这个等式．
（2）当a=2 020，b=2 021，c=2 022时，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．
（3）若a-b= ，b-c= ，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ac的值．
23．完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值．
解：．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m＋n＝4，，求mn的值；
（2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
24．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
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