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浙教版2025-2026学年七年级下数学第2章 二元一次方程组 尖子生测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
【答案】A
【解析】设这个四位数为abcd，则abcd+dcba=10769；
则b+c=16；又据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，
则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，可得：d=8，
又∵a+d=8+1+a=10，∴a=1，
综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选A．
2． 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
【答案】C
【解析】
①×2，得2x＋4y＝2k③，
③ ②得，y＝1 k，
将y＝1 k代入①得，x＝3k 2，
A：当时，，故A错；
B：当时，，故B错；
C：不论k取什么实数，的值始终不变，故C对；
D：当时，方程组的解不满足方程的解，故D错.
故答案为：C .
3． 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
【答案】B
【解析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据题意可得：
整理②得：
把①代入，并整理，可得
解得：a=6.
故大长方形周长为：2(8+6)=28.
故答案为：B
4．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】关于x，y的二元一次方程组，
可得，
即，
故k的值为，
故答案为：A．
5．关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知关于x，y的方程组 的解为，
即；
那么将关于x，y的方程组 整理得，
故5x=4045，5y=1，
解得：x=809，，
故该方程组的解为：；
故答案为：A.
6．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【解析】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴m的最大值为24
故本题应选：B
7．如图，长方形的宽为，长为，，第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次下去恰好能把这个长方形分成四个正方形，，，，并且无剩余，则与应满足的关系是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【解析】①如图：
∵AB=AE=a，AD=BC=b，
ED=EI=IG=GF=b-a，
∴a=3（b-a），
∴4a=3b，
∴
②如图：
∵AB=AF=BE=a，AD=BC=b，
∴EI=IC=2a-b，
∴b=a+2a-b+2a-b，
∴
综上所述：或
故答案为：B.
8．我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（ ）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
【答案】B
【解析】∵关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组
x+2y＝5的正整数解有2组
x+2y＝7的正整数解有3组
......
∴对于方程，x+2y=2n+1，其正整数解为n组
∵x+2y+2z＝15
∴x+2(y+z)=15
设k=y+z(k≥2)，则x=15-2k
∵x，k为正整数
∴15-2k>0，解得：k<7.5
∴k的取值为：2，3，4，5，6，7
当k=2时，y+z=2，正整数解有1组
当k=3时，y+z=3，正整数解有2组
当k=4时，y+z=4，正整数解有3组
当k=5时，y+z=5，正整数解有4组
当k=6时，y+z=6，正整数解有5组
当k=7时，y+z=7，正整数解有6组
∴x+2y+2z＝15的正整数解：1+2+3+4+5+6=21组
故答案为：B
9．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
【答案】D
【解析】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，
∴，∴，∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
10．方程的整数解的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵，，而是整数，是整数，且，
∴或或，
（1）当时，有①，②，
其中方程组①有整数解，②没有整数解；
(2)当时，有①，②，③，④，
其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解；
(3)当时，有①，②，
其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解；
综上所述，原方程组的整数有3个，
故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 已知方程组 甲解对了， 得 乙看错了 ， 得 则
【答案】-40
【解析】把甲的正确解代入原方程，得，
由②式解得正确的c=-2.
把乙的错误解代入原方程组中的①方程，得.
联立①、③得，
①+③解得a=4.
把a=4代入①解得b=5.
∴abc=-2×4×5=-40.
故答案为：-40.
12．一个自然数与 3 的和是 5 的倍数，与 3 的差是 6 的倍数，这样的自然数中最小的是
【答案】27
【解析】设这个数为x，
根据题意可得：，n、z是自然数，
∴x＝6n＋3且x＝5z 3，
∴5z＝6（n＋1），
当n＝1时，5z＝12，z＝，不合题意；
当n＝2时，5z＝18，z＝，不合题意；
当n＝3时，5z＝24，z＝，不合题意；
当n＝4时，5z＝30，z＝6符合题意．
∴x＝4×6＋3＝27．
故答案为：27．
13．甲、乙两班为运动会订购一批啦啦球，甲班开始订购的啦啦球数量是乙班订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲班决定把自己所订购的啦啦球数量转让7个给乙班，但由于商家失误，寄来的啦啦球总数比甲、乙两班所定购的总数少了七个，最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍，那么甲、乙两班最后所得的啦啦球总数最多是
【答案】105
【解析】设甲乙两班最后所得的啦啦球总数为x个，在寄来的啦啦球总数少了7个中，甲少要了y个（0≤y≤7），乙班少要了(7-y)个，
由题意得
整理得x-12y=21，
∴x=12y+21，
∴当y=7时，x的最大值为105.
故答案为：105.
14．某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口．
【答案】8
【解析】设每分钟增加的购票人数为x人，每个窗口每分钟减少排队的人数为y人，车站同时开放m个售票窗口，
由题意得：，解得n=10x，y=x，
∵ 7分钟内不出现排队现象 ，
∴7my≥n+7x，
∴7m·x≥10x+7x，
解得m≥，
∵m为正整数，∴m的最小值为8；
故答案为：8.
15．确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．
【答案】6，4，1，7
【解析】根据题意 中，由④得d=7，将d=7代入③得c=1，将c=1代入②得b=4，
将b=4代入①得a=6，所以解密得到的明文为6，4，1，7．
故答案为：6，4，1，7．
16．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的十位数字等于百位和个位数字的差的绝对值，则称N是“差等中项数”，例如：三位数413，∵，∴413是“差等中项数”．把一个差等中项数N的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把N的百位数字的3倍，十位数字的2倍和个位数字之和记为．例如：，．已知三位数A是“差等中项数”，是整数，则满足条件的所有A的个数是 ．
【答案】4
【解析】∵已知三位数A是“差等中项数”，
∴设A=100m+10n+x，
∴，
∴，，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∵，
∴2m+n=7，
∴1≤m≤3，
当m=1，n=5时，x=6或x=-4（舍去），故A=156；
当m=2，n=3时，x=5或x=-1（舍去），故A=235；
当m=3，n=1时，x=2或x=4，故A=312或A=314；
综上所述，满足条件的所有A的个数是4，
故答案为：4
三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程组：（1） （2）
【答案】（1）解：整理原方程组得
①-②得4x=36，
∴x=9，
将x=9代入②得y=14，
∴该方程组得解为：；
（2）解：由|x-y|=x+y-2得x+y=|x+y|+2，
∵|x+y|≥0，
∴x+y≥0，
∴|x+y|=x+y①，
将①代入|x+y|=x+2得x+y=x+2，
解得y=2，
将y=2代入|x-y|=x+y-2，
得|x-2|=x，
∴x-2=x或x-2=-x，
方程x-2=x无解，
解x-2=-x得x=1，
∴原方程组得解为.
18．在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a 看成了-8，得到的解为 乙看错了方程组中的b，得到的解为
（1）求a，b，c的值；
（2）求原方程组的解；
（3）已知关于s，t的二元一次方程组 求s，t的值.
【答案】（1）解：由题意，得 是方程组的解，
∴ -8×4+5×3=c，4×4-3b=1，
解得b=5，c=-17.
由题意，得 是方程 ax+5y=c的解，
∴ -3a-5=-17，
解得a=4.
综上所述，a=4，b=5，c=-17
（2）解：当 a=4，b=5，c=-17 时，原方程组为
①+②，得8x=-16，解得x=-2.
把x=-2代入①，得-8+5y=-17，解得
故原方程组的解为
（3）解：方法①：
把a=4，b=5，c=-17代入关于s，t的二元一次方程组，得
解得
方法②：由(2)可知，方程组 的解为
所以方程组 满足
解得
19．已 知 关 于 x，y的 方 程 组
（1）请写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+5=0总有一组固定的解，请求出这组解；
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
【答案】（1）解：由x+2y-6=0，得x=6-2y，
当y=1时，x=4；
当y=2时，x=2.
∴方程 x+2y-6 =0 的所有正整数解为
（2）解：由题意，得
解得
把 代入x-2y+ mx+5=0，
解得
（3）解：由x-2y+ mx+5=0，得(1+m)x-2y=-5，
当x=0时，y=2.5，
即固定的解为
（4）解：
①+②，得2x-6+ mx+5=0，
整理，得
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m=1或2+m=-1，
解得m=-1或m=-3
20．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
21．五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．
（1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了 张B型优惠券．
（2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
（3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）
【答案】（1）5
（2）解：设顾客乙用了x张A型，y张B型优惠券．根据题意列方程组，得：
解得：
答：顾客乙用了4张A型，2张B型优惠券．
（3）解：设小丽使用A型a张，B型b张，C型c张．
①若小丽使用A型，B型优惠券，
100a+68b=708．
化简，得，25a+17b=177．
∵a，b都为整数，且，，
∴a=3，b=6
②若小丽使用B型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵b，c都为整数，且，，
∴，．
③若小丽使用A型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵a，c都为整数，且，，
∴无解．
答：小丽可能用了两种优惠券组合方法，
方法1：A型3张，B型6张；
方法2：B型6张，C型15张．
【解析】（1）（640-2×100-5×20）÷68=5，
∴还用了5张B型优惠券，
故答案为：5；
22．某商场为了促进消费， 在母亲节期间推出赠送优惠券活动， 其中优惠券分为三种类型 (见下表)．
型 型 型
满 368 减 100 满 168 减 68 满 50 减 20
在此次活动中， 小温领到了三种不同类型优惠券若干张， 准备给妈妈买礼物．
（1）若小温同时使用三种不同类型的优惠券消费， 共优惠了 520 元， 已知他用了1 张 型优惠券， 4 张 型优惠券，则他用了 张 B 型优惠券．
（2）若小温同时使用了 5 张 A， B 型优惠券， 共优惠了 404 元， 则他使用了 型优惠券各几张？
（3）若小温共领到三种不同类型的优惠券各 16 张 (部分未使用)， 他同时使用 ， C 型中的两种不同类型的优惠券消费， 共优惠了 708 元， 请问有哪几种优惠券使用方案？ (请写出具体解题过程)
【答案】（1）5
（2）解：设小温用了m张 A型优惠券，则用了（5-m）张B 型优惠券，根据题意得：
100m+68(5-m）=404.
解得：m=2.
故5-m=3（张）.
答：小温用了2张A型优惠券，用了3张B 型优惠券.
（3）解：设小温用A型优惠券a张，用B型优惠券b张，用C型优惠券c张，a，b，c都是小于等于16的自然数，由题意：同时使用其中的两种不同类型的优惠券消费，
可得：①使用A，B两种优惠券，有100a+68b=708.
化简得：25a+17b=177.
可得：b=6，a=3.
②使用A，C两种优惠券，有100a+20c=708.
化简得：25a+5c=177.
此时a，c无整数解
③使用B，C两种优惠券，有68b+20c=708.
化简得：17b+5c=177.
可得：b=6，c=15.
综上述：有两种优惠券使用方案：①用3张A型优惠券，6张b型优惠券；②用6张B型优惠券，15张C型优惠券.
【解析】（1）设小温用x张 B 型优惠券，根据题意得：
100+68x+4×20=520
解得：x=5.
故共用了5张B型优惠券，
故答案为：5.
23．已知用[a]表示不大于a的最大整数，.如[3.2]-3，[-4.2]=-5.
（1）求[3.2]+[-1.8]的值.
（2）若x，y满足，求的值.
（3）已知.
①写出2m-n的所有可能值：
②若m＋n=14，请直接写出一对符合条件的x，y的解：
【答案】（1）解：＝3＋(－2)＝1
（2）解：
①＋②，得，
即．
把代入①，得，
∴＋＝11
（3）解：①记...①，...②
①×2－②得
∵
∴．
②答案不唯一，x的整数部分是偶数，小数部分是大于0.5且小于1．
如x＝2.6，y＝4(4≤y＜5都可以)
【解析】
【小问3详解】 (3)、 ②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵都是整数，
∴也是整数，
∴一定要是偶数，即x的整数部分一定要是偶数；
设x的小数部分为t，
由（3）①得，当时，，
联立，解得，不符合题意；
当时，，
联立，解得符合题意；
∴x整数部分一定要是偶数，且小数部分大于且小于1，
∴符合题意的x、y的值可以为．
24．规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪个点是方程的“理想点”，哪个点不是方程的“理想点”并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根．
（3）已知是正整数，且是方程的“理想点”，求点的坐标．
【答案】（1）解：点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”，理由如下：
，时，，
，时，，
，时，，
点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”；
（2）解：把代入方程，
得，
又，
解得，
，为非负整数，
，，
，
；
（3）解：根据题意，得，
解得，
是整数，
或，
是整数，
或或或，
或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或或或．
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浙教版2025-2026学年七年级下数学第2章 二元一次方程组 尖子生测试卷
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
2． 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
3． 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
（第3题） （第6题） （第7题）
4．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
7．如图，长方形的宽为，长为，，第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次下去恰好能把这个长方形分成四个正方形，，，，并且无剩余，则与应满足的关系是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
8．我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（ ）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
9．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
10．方程的整数解的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 已知方程组 甲解对了， 得 乙看错了 ， 得 则
12．一个自然数与 3 的和是 5 的倍数，与 3 的差是 6 的倍数，这样的自然数中最小的是
13．甲、乙两班为运动会订购一批啦啦球，甲班开始订购的啦啦球数量是乙班订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲班决定把自己所订购的啦啦球数量转让7个给乙班，但由于商家失误，寄来的啦啦球总数比甲、乙两班所定购的总数少了七个，最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍，那么甲、乙两班最后所得的啦啦球总数最多是
14．某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开
放 个售票窗口．
15．确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．
16．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的十位数字等于百位和个位数字的差的绝对值，则称N是“差等中项数”，例如：三位数413，∵，∴413是“差等中项数”．把一个差等中项数N的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把N的百位数字的3倍，十位数字的2倍和个位数字之和记为．例如：，．已知三位数A是“差等中项数”，是整数，则满足条件的所有A的个数是 ．
三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程组：
（1） （2）
18．在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a 看成了-8，得到的解为 乙看错了方程组中的b，得到的解为
（1）求a，b，c的值；
（2）求原方程组的解；
（3）已知关于s，t的二元一次方程组 求s，t的值.
19．已 知 关 于 x，y的 方 程 组
（1）请写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+5=0总有一组固定的解，请求出这组解；
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
20．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
21．五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．
（1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了 张B型优惠券．
（2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
（3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）
22．某商场为了促进消费， 在母亲节期间推出赠送优惠券活动， 其中优惠券分为三种类型 (见下表)．
型 型 型
满 368 减 100 满 168 减 68 满 50 减 20
在此次活动中， 小温领到了三种不同类型优惠券若干张， 准备给妈妈买礼物．
（1）若小温同时使用三种不同类型的优惠券消费， 共优惠了 520 元， 已知他用了1 张 型优惠券， 4 张 型优惠券，则他用了 张 B 型优惠券．
（2）若小温同时使用了 5 张 A， B 型优惠券， 共优惠了 404 元， 则他使用了 型优惠券各几张？
（3）若小温共领到三种不同类型的优惠券各 16 张 (部分未使用)， 他同时使用 ， C 型中的两种不同类型的优惠券消费， 共优惠了 708 元， 请问有哪几种优惠券使用方案？ (请写出具体解题过程)
23．已知用[a]表示不大于a的最大整数，.如[3.2]-3，[-4.2]=-5.
（1）求[3.2]+[-1.8]的值.
（2）若x，y满足，求的值.
（3）已知.
①写出2m-n的所有可能值：
②若m＋n=14，请直接写出一对符合条件的x，y的解：
24．规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪个点是方程的“理想点”，哪个点不是方程的“理想点”并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根．
（3）已知是正整数，且是方程的“理想点”，求点的坐标．
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